Перегляд вихідного коду сторінки Теорія множин

{{unibox}}
'''Тео́рія множи́н'''&nbsp;— [[Розділи математики|розділ математики]], у якому вивчаються загальні властивості [[множина|множин]] (переважно [[Нескінченна множина|нескінченних]]). Виділення теорії множин у самостійний розділ математики відбулося на рубежі [[XIX століття|XIX]] і [[XX століття|XX]] століть. Теорія множин зробила дуже великий вплив на розвиток сучасної математики&nbsp;— вона є фундаментом низки нових розділів математики, дозволила по-новому поглянути на класичні розділи математики і глибше зрозуміти сам предмет математики.

Сучасні дослідження теорії множин були започатковані [[Георг Кантор|Георгом Кантором]] і [[Ріхард Дедекінд|Ріхардом Дедекіндом]] у 1870-х роках. Після відкриття [[Парадокси теорії множин|парадоксів]] [[Наївна теорія множин|наївної теорії множин]], на початку XX століття були запропоновані численні системи аксіом, серед яких найвідомішою є [[Теорія множин Цермело — Френкеля|система Цермело — Френкеля]] з [[Аксіома вибору|аксіомою вибору]] (ZFC).

== Історія ==
=== Наївна теорія множин ===
{{main|Наївна теорія множин}}
[[Файл:Georg Cantor2.jpg|thumb|right|120px|[[Георг Кантор]] ([[1845]]—[[1918]]), фундатор теорії множин]]
До другої половини [[XIX століття]] поняття «множини» не розглядалося як математичне («множина книг на полиці», «множина людських чеснот» і&nbsp;т.&nbsp;д.&nbsp;— все це суто побутові мовні звороти). Становище змінилося, коли німецький математик [[Георг Кантор]] розробив свою програму стандартизації математики, у межах якої будь-який математичний об'єкт мав бути тією або іншою «множиною». Цей підхід викладений у двох його статтях, опублікованих у 1879—1897 роках у відомому німецькому журналі «[[Mathematische Annalen]]»<ref name="cantor1874">G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal f. Mathematik 77 (1874) 258—262.</ref><ref>Philip Johnson, 1972, ''A History of Set Theory'', Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0-87150-154-6</ref>.

Наприклад, [[натуральне число]] за Кантором слід було розглядати як множину, що складається з єдиного [[елемент (математика)|елемента]] іншої множини, званої «натуральним рядом», який, зі свого боку, сам є множиною, що задовольняє так званим [[аксіоми Пеано|аксіомам Пеано]].

Водночас загальному поняттю «множини», що розглядалося ним як центральне для математики, Кантор давав вельми розмиті означення, ніби «множина є багато що, мислиме як єдине», і&nbsp;т.&nbsp;д. Це цілком відповідало наміру самого Кантора, який підкреслено називав свою програму не «теорією множин» (цей термін з'явився набагато пізніше), а «вченням про множини» (''Mengenlehre'').

Програма Кантора викликала різкі протести з боку багатьох сучасних йому відомих [[математик]]ів. Особливо виділявся своїм непримиренним до неї ставленням [[Леопольд Кронекер]], який вважав, що математичними об'єктами можуть вважатися лише [[натуральне число|натуральні числа]] і те, що до них безпосередньо зводиться (відома його фраза про те, що «бог створив натуральні числа, а все інше&nbsp;— справа рук
людських»).

Повністю відкинули теорію множин і такі авторитетні математики, як [[Герман Шварц]] та [[Анрі Пуанкаре]]. Проте, деякі інші математики&nbsp;— зокрема, [[Готлоб Фреге]], [[Ріхард Дедекінд]] та [[Давид Гільберт]]&nbsp;— підтримали Кантора в його намірі перекласти всю математику на теоретико-множинну мову.
Зокрема, теорія множин стала основою: [[теорія міри|теорії міри]], [[топологія|топології]], [[функціональний аналіз|функціонального аналізу]].

Проте незабаром з'ясувалося, що спрямування Кантора на відсутність обмежень при операціях з множинами (виражене ним самим у принципі «суть математики полягає в її свободі») недосконала із самого початку; а саме, було знайдено [[парадокси теорії множин|ряд теоретико-множинних антиномій]]: виявилося, що під час використання теоретико-множинних уявлень деякі [[твердження (логіка)|твердження]] можуть бути доведені разом зі своїми [[заперечення]]ми (а тоді, відповідно до правил класичної [[логіка висловлень|логіки висловлень]], може бути «доведено» абсолютно будь-яке твердження). Першою такою антимонією став [[парадокс Буралі-Форті]], відкритий самим Кантором ще в 1895 році<ref>Кантор не опублікував виявлений ним парадокс, але написав про нього в листі Гільберту в 1896 році. Пізніше він різко висловлюється щодо публікацій Буралі-Форті</ref><ref>[http://modernproblems.org.ru/memo/184-cantor.html?start=3 Адольф Френкель. Жизнь Георга Кантора] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161012075123/http://modernproblems.org.ru/memo/184-cantor.html?start=3 |date=12 жовтня 2016 }}{{ref-ru}}</ref>, що показував, що припущення про існування множини всіх [[Порядкове число|порядкових чисел]] веде до протиріччя. Пізніше було відкрито велику кількість парадоксів, пов'язаних із [[Самореференція|самореференціями]], наприклад, [[парадокс Расселла]] виникає при спробі побудувати множину всіх множин, що не містять себе як свого елемента. Подібним же способом формулюються [[Парадокс Ґреллінґа — Нельсона]] і [[Парадокс Беррі]]. Трохи інакше побудований {{Нп|парадокс Рішара|||Richard's paradox}}, що має семантичну природу.

[[Антиномія|Антиномії]] ознаменували собою повний [[криза основ математики|провал програми Кантора]].

=== Аксіоматизація теорії множин ===
[[Файл:Ernst Zermelo.jpeg|thumb|right|120px|[[Ернст Цермело]] ([[1871]]—†[[1953]]), автор [[аксіоматика теорії множин|аксіоматики теорії множин]]]]
У [[1901]] році [[Бертран Расселл]], вивчаючи наївну теорію множин, дійшов до [[парадокс]]у (відтоді відомому як [[парадокс Расселла]]). Таким чином була продемонстрована суперечливість наївної теорії множин і, пов'язаної з нею канторівської програми стандартизації математики. Аксіоматична теорія множин була початково розроблена, щоб позбутися таких парадоксів у теорії множин.<ref>[[Джон фон Нейман|John von Neumann]], ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979—1931'', Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8. (наведено за англійською вікіпедією)</ref>

Після виявлення антиномії Рассела частина математиків (наприклад, [[Лейтзен Егберт Ян Брауер|Л. Е.&nbsp;Я.&nbsp;Брауер]] і його школа) вирішила повністю відмовитися від використовування теоретико-множинних уявлень.

Інша ж частина математиків, очолена [[Давид Гільберт|Давидом Гільбертом]] здійснила низку спроб обґрунтувати ту частину теоретико-множинних уявлень, яка здавалася їм якнайменше відповідальною за виникнення антиномій, на основі надійної [[дискретна математика|фінітної математики]].

Сам Кантор, усвідомивши ці проблеми, запропонував ввести поняття «консистентності», яку він характеризував як можливість уявити множину як одне ціле, і з її допомогою розділити власне множини, і «множинності»&nbsp;— більш складні конструкції, що не мають цієї властивості.<ref>{{Cite web |url=http://gtmarket.ru/concepts/7073 |title=Архівована копія |accessdate=12 жовтня 2016 |archive-date=12 жовтня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161012130446/http://gtmarket.ru/concepts/7073 }}</ref>. Ця ідея, хоча й не увійшла до аксіоматичної теорії безпосередньо, проте вплинула на подальші дослідження, і, в більш формалізованому вигляді була реалізована.

Логічний апарат удосконалив Бертран Рассел у роботах, пізніше зібраних у його монографії «[[Principia Mathematica]]» (1910—1913). І в 1904—1908 роках [[Ернст Цермело]] запропонував першу [[Аксіоматика теорії множин|аксіоматику теорії множин]] (див. [[Теорія множин Цермело]]).

Особливістю аксіоматичного підходу є відмова від закладеного в програму Кантора уявлення про справжнє існування множин у деякому ідеальному світі. У межах аксіоматичних теорій множини «існують» винятково формальним чином, і їхні «властивості» можуть істотно залежати від вибору [[аксіоматика|аксіоматики]].
Цей факт завжди був мішенню для критики з боку тих математиків, які не згоджувалися (як на тому наполягав Гільберт) визнати математику, позбавленою будь-якого змісту, грою в [[символ]]и. Зокрема, [[Лузін Микола Миколайович|М.&nbsp;М.&nbsp;Лузін]] писав, що «потужність [[Континуум (теорія множин)|континууму]], якщо тільки мислити його як множину [[точка|точок]], є якась єдина [[реальність]]», місце якої в ряду [[кардинальне число|кардинальних чисел]] не може залежати від того, чи визнається як аксіома [[континуум-гіпотеза]], чи її заперечення.

Наразі найпоширенішою аксіоматичною теорією множин є ZFC&nbsp;— [[Теорія множин Цермело — Френкеля|теорія Цермело — Френкеля з аксіомою вибору]]. Питання про [[несуперечність]] цієї теорії (а тим більше&nbsp;— про існування моделі для неї) залишається нерозв'язаним.

== Базові концепції і позначення ==
{{seealso|Алгебра множин}}
{{seealso|Нотація множин}}
{{seealso|Нотація побудови множини}}

=== Позначення ===
[[Файл:Venn diagram gr la ru.svg|міні|Діаграма Венна, що демонструє множини великих літер грецької, латинської і російської мови]]
* [[Кола Ейлера]] і їхній окремий випадок, [[Діаграма Венна|діаграми Ейлера-Вена]]&nbsp;— широко використовуються для того, щоб позначити прості відношення між скінченною кількістю множин. Самі множини водночас можуть бути як скінченними, так і нескінченними. Деякі теореми теорії множин стають очевидними після побудови відповідної діаграмми. На практиці є зручними лише для невеликої кількості множин.
* [[Квантор]]и [[Квантор загальності|загальності]] (<math>\forall</math>) і [[Квантор існування|існування]] (<math>\exists</math>)&nbsp;— є скороченим записом фраз «для будь-якого об'єкту вірно, що …» і «існує принаймні один об'єкт, такий що …». Також ці позначення мають назви універсальний і екзистенційний квантор.
* [[Індексна множина|Індексні]] позначення&nbsp;— використовуються для перерахування елементів множини, тобто, якщо є множина <math>A</math>, то її елементи, зазвичай, позначають як <math>a_1, a_2, a_3 ...</math>.

=== Основні поняття ===
В основі теорії множин лежать первинні поняття: ''[[множина]]'' та ''[[елемент (математика)|елемент]] множини''. Елемент множини перебуває щодо множини у відношенні ''бути елементом'' множини (позначається як <math>x \in A</math><ref>Символ <math>\in</math> (від {{lang-el | εστι}}&nbsp;— «бути») введений італійським математиком [[Джузеппе Пеано]].</ref>&nbsp;— «x є елемент множини A»). Серед похідних понять важливими є поняття ''[[підмножина|підмножини]]'' і ''[[надмножина|надмножини]]''&nbsp;— множина, яка складається тільки з елементів іншої множини, та множина, до якої належать усі елементи іншої множини, відповідно. Як видно з цього визначення, будь-яка множина є власною підмножиною і надмножиною. Підмножина, що не збігається з множиною, підмножиною якої вона є, і не є порожньою, називається ''власною'', або ''нетривіальною підмножиною''. Множини вважаються рівними, якщо всі їхні елементи збігаються (або ж, інакше, кожна з них є підмножиною другої).
Ці відношення позначаються наступним чином:
* ''[[Відношення включення]]'' (позначається як <math>A \subset B,</math> або <math>A \subseteq B</math>).
* [[Рівність множин|''Відношення рівності'']] (позначається як <math>A = B\,</math>);
Над множинами визначені наступні [[Операції над множинами|операції]]:
* [[Об'єднання множин|''Об'єднання'' (або ''сума'')]] (позначається як <math>\ A \cup B</math>)&nbsp;— множина, що містить усі об'єкти, які є елементами принаймні однієї з множин А і В;
* [[Перетин множин|''Перетин'' (або ''добуток'')]] (позначається як <math>\ A \cap B</math>)&nbsp;— множина, що містить усі об'єкти, які є елементами одночасно множини А і множини В;
* [[Різниця множин|''Різниця'']] (позначається як <math>\ A \setminus B,</math> рідше <math>\ A - B</math>)&nbsp;— множина, що містить усі об'єкти, які є елементами множини А, але не є елементами множини В;
* ''[[Симетрична різниця]]'' (позначається як <math>A\,\triangle\,B,</math> рідше <math>A\,\dot{-}\,B</math>)&nbsp;— множина, що містить усі об'єкти, які є елементами множини А або множини В, але не їх обох.
<gallery caption="Базові операції з множинами" widths = 200px heights = 200px class="center">
Venn0111.svg|Об'єднання множин ''A'' та ''B''
Venn0001.svg|Перетин множин ''A'' та ''B''
Venn0010.svg|Різниця ''B'' і ''A''
Venn0110.svg|Симетрична різниця ''A'' та ''B''
</gallery>
* [[Доповнення множин|''Доповнення'']] (позначається як <math>\ \setminus A,</math> або <math>-A\,</math>)&nbsp;— множина всіх об'єктів, що не є елементами множини А;
* ''[[Декартів добуток множин]]'' <math>\scriptstyle A \times B</math>&nbsp;— множина всіх можливих упорядкованих пар <math>(a, b)</math>, таких що <math>a\in A, b\in B</math>. Наприклад, добутком множин {1, 2} і {а, б, в} буде {(1, а), (1, б), (1, в), (2, а), (2, б), (2, в)}
** Підмножина декартового добутку називається [[Бінарне відношення|''бінарним відношенням'']] між множинами. Наприклад, відношення «ділиться на» між множинами {2, 5, 8} і {2, 4, 7} є множиною {(2, 2), (8, 2), (8, 4)}, яка є підмножиною їх декартового добутку;
** ''Проєкцією'' елементу <math>(a, b)\in R\subseteq A \times B</math> на множину <math>A</math> називають елемент <math>a\in A</math><ref>[http://vunivere.ru/work22288/page3 Моделирование и оценивание характеристик сложных систем] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161012232156/http://vunivere.ru/work22288/page3 |date=12 жовтня 2016 }}{{ref-ru}}</ref>
** ''Перерізом'' відношення <math>R\subseteq A \times B</math> по деякому елементу <math>a\in A</math>, є підмножина <math>Y</math> множини <math>B</math>, така, що для всіх елементів <math>y</math> цієї підмножини <math>(a, y)\in R</math>. Іноді такий переріз називають ''верхнім перерізом'', а аналогічну конструкцію для другої множини&nbsp;— ''нижнім перерізом''<ref>[http://victor-safronov.ru/systems-analysis/lectures/zhivickaya/14.html Системный анализ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161011164817/http://victor-safronov.ru/systems-analysis/lectures/zhivickaya/14.html |date=11 жовтня 2016 }}{{ref-ru}}</ref>
** ''Оберненим відношенням'' до відношення <math>R\subseteq A \times B</math> називається відношення <math>R^{-1}</math>, таке, що для будь-яких <math>a\in A, b\in B: bR^{-1}a=aRb</math><ref>{{Cite web |url=http://ru.math.wikia.com/wiki/Обратное_отношение |title=Обратное отношение |accessdate=2 квітня 2022 |archive-date=20 жовтня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181020221054/http://ru.math.wikia.com/wiki/Обратное_отношение }}</ref>
** ''Функціональним відношенням'' називають таке відношення <math>R\subseteq A \times B</math>, де будь-якому <math>a\in A</math> відповідає не більш ніж одна пара (a, b)<ref>[http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5970/ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211106162557/https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5970/ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ |date=6 листопада 2021 }}{{ref-ru}}</ref>
** ''Взаємно-однозначним відношенням'' називається функціональне відношення, обернене до якого також є функціональним.
[[Файл:Diagonal argument.svg|thumb|Схема доведення [[Рівнопотужність|рівнопотужності]] раціональних і натуральних чисел]]
* ''[[Булеан]]'' множини&nbsp;— множина всіх підмножин деякої множини. Позначається <math>\mathcal{P}(A)</math> або <math>2^A</math>. Наприклад, булеаном множини {1, 2} буде {{}, {1}, {2}, {1, 2}}
* ''[[Потужність множини]]'', або ''кардинальне число''&nbsp;— характеристика, що є узагальненням поняття кількості елементів. Власне, для скінченних множин їхня потужність дорівнює кількості їхніх елементів. Нескінченні множини утворюють свою ієрархію. Множини вважаються [[Рівнопотужність|рівнопотужними]], якщо між їхніми елементами можна встановити взаємнооднозначну відповідність. Потужність позначається як <math>|A|</math>, <math>\overline{\overline{A}}</math>, <math>\# A</math> або <math>\mathrm{card}(A)</math>.

Серед важливих множин можна назвати:
* ''[[Порожня множина]]''&nbsp;— множина, яка не містить елементів, позначається зазвичай <math>\varnothing</math>. Порожня множина є підмножиною будь-якої множини;
* [[Універсальна множина|''Простір'' (''універсум'')]]&nbsp;— множина, що є надмножиною всіх множин (не варто плутати це поняття з множиною всіх множин, існування якої призводить до парадоксів);
* ''Множина [[Натуральне число|натуральних чисел]]''&nbsp;— позначається літерою <math>\N</math>. Найменша з нескінченних множин. Множини, потужність яких рівна потужності множини натуральних чисел називаються [[Зліченна множина|зліченними]].
* ''Множина [[Дійсне число|дійсних чисел]]''&nbsp;— позначається літерою <math>\R</math>. Згідно [[Континуум-гіпотеза|континуум-гіпотезі]], множина дійсних чисел є другою найменш потужною серед нескінченних.

== Аксіоматична теорія множин ==

=== Система Цермело&nbsp;— Френкеля з аксіомою вибору ===
{{main|Теорія множин Цермело — Френкеля}}
Свого сучасного вигляду набула в 1922 році завдяки роботам Туральфа Скулема і Адольфа Френкеля, що доопрацювали опубліковані в 1908 році Ернстом Цермелло аксіоми. Ця система має скорочену назву ZFC, і є найбільш популярною системою аксіом теорії множин.
Її можна сформулювати таким способом:
* [[Аксіома об'ємності]]&nbsp;— дві множини є рівними, якщо будь-який елемент, що міститься в першій множині, міститься і в другій, і навпаки;
* [[Аксіома порожньої множини]]&nbsp;— існує порожня множина, що не містить жодного елемента;
* [[Аксіома нескінченності]]&nbsp;— існує нескінченна множина, що має такі властивості:
** Ця множина містить порожню множину
** Якщо ця множина містить деякий елемент b, то вона містить і елемент {b}
У такий спосіб, така множина має вигляд
: <math>\{\varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, \ \ldots\}</math>
* [[Аксіома пари]]&nbsp;— якщо існують дві множини <math>a_1</math> і <math>a_2</math>, то існує множина кожен елемент якої дорівнює або <math>a_1</math>, або <math>a_2</math> ;
* [[Аксіома булеана]]&nbsp;— для будь-якої множини існує множина всіх її підмножин;
* [[Аксіома об'єднання]]&nbsp;— для будь-якого набору(родини) множин, можна створити множину, кожен елемент якої належить принаймні до однієї з цих множин;
* [[Аксіомна схема виділення]]&nbsp;— якщо є деяке математичне твердження, що може бути застосованним до будь-якого з елементів деякої множини, то можна виділити принаймні одну підмножину цієї множини, застосувавши це твердження;
* [[Аксіомна схема підстановки]]&nbsp;— якщо є функціональне відношення, що може бути застосована до кожного з елементів множини, то, застосувавши його, можна визначити нову (або ж таку саму) множину;
* [[Аксіома регулярності]]&nbsp;— у будь-якій родині множин існує принаймні одна множина, кожен елемент якої не належить цій родині. Одним з наслідків цієї аксіоми є те, що жодна множина не є елементом самої себе;
* [[Аксіома вибору]]&nbsp;— для будь-якого набору непорожніх, неперетинаючихся множин можна побудувати множину, кожен елемент якої є елементом однієї і тільки однієї з множин цього набору.

На відміну від інших, остання аксіома не є достатньо самоочевидною, і тому деякі математики виключають її (система аксіом Цермело&nbsp;— Френкеля без неї позначається просто як ZF). Недовіра до аксіоми вибору підсилюється тим, що наслідки, що випливають з неї, можуть бути дуже контрінтуітивними і парадоксальними, наприклад, [[Парадокс Банаха — Тарського|процедура Банаха-Тарського]], що використовує аксіому вибору, дозводяє розділити тривимірну кулю на п'ять шматків, і зібрати з них дві кулі такого самого розміру.

=== Система фон Неймана&nbsp;— Бернайса&nbsp;— Геделя ===
{{main|Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя}}

[[Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя|Система аксіом Неймана&nbsp;— Бернайса&nbsp;— Геделя]] (''NBG'') є розширенням ZFC. Поняття, сформульовані в ZFC можуть бути доведені тоді, і тільки тоді, якщо вони можуть бути доведені в NBG.

Була розроблена в період з 1940 по 1954 роки [[Курт Гедель|Куртом Геделем]] і {{нп|Пауль Бернайс|Паулем Бернайсом||Paul Bernays}}, і розвивала аксіоматику, розроблену [[Джон фон Нейман|Джоном фон Нейманом]] у 1926 році.

Вводить поняття власного класу&nbsp;— об'єкту, що має у собі елементи, але сам не може бути елементом ніяких об'єктів.
Серед аксіом, що містяться у NBG, але не містяться у ZFC можна назвати такі:
* Аксиома обмеження потужності&nbsp;— для будь-якого класу, множина, що збігається з цим класом, може існувати лише тоді, коли не існує [[бієкція|бієкції]] між цим класом і класом всіх множин.
* Схема аксіом породження підклассів&nbsp;— для будь-якої формули <math>\varphi</math>, що не містить кванторів для змінних-классів (вона може містити змінні-класи як параметри) існує клас <math>A</math>, такий, що <math>\forall x (x \in A \leftrightarrow \varphi (x))</math>.<ref>[http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/iba.pdf ВВЕДЕНИЕ В БУЛЕВОЗНАЧНЫЙ АНАЛИЗ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161012230435/http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/iba.pdf |date=12 жовтня 2016 }}{{ref-ru}}</ref>

== Області дослідження ==

=== Комбінаторна теорія множин ===

Комбінаторна теорія множин (нескінченна комбінаторика) розглядає розширення [[комбінаторика|комбінаторики]] для нескінченних множин. До нього належать дослідження [[Кардинальне число|кардинальної арифметики]] і вивчення розширень [[Теорема Ремзі|теореми Ремзі]], таких як {{Нп|теорема Ердеша-Радо|||Erdős–Rado theorem}}<ref>
{{citation|mr=0081864
 |last=Erdős|first= P.|author1-link=Paul Erdős
 |last2= Rado|first2= R.|author2-link=Річард Радо
 |title=A partition calculus in set theory.  |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |volume=62 |year=1956|pages= 427–489
 |url=http://www.ams.org/bull/1956-62-05/S0002-9904-1956-10036-0/
 |doi=10.1090/S0002-9904-1956-10036-0}}
</ref>.

=== Описова теорія множин ===

Описова, або дескриптивна теорія множин&nbsp;— вивчає внутрішні властивості множин, що побудовані з об'єктів відносно простої природи&nbsp;— відкритих і замкнених множин евклідових, метричних і топологічних просторів за допомогою теоретико-множинних операцій, таких як об'єднання, перетин, різниця тощо. Простори, що вивчаються дескриптивною теорією множин носять загальну назву [[Польський простір|''польські простори'']]. До таких просторів належать, наприклад, простори <math>\R</math> (дійсні числа), <math>2^{\N}</math> (дисконтінуум Кантора), <math>\N^{\N}</math> ([[берівський простір]]), <math>I^{\N}</math> ([[куб Гільберта]]). Серед множин, що вивчаються дескриптивною теорією множин можна назвати борелівські множини, що отримані з відкритих множин вихідного простору не більш ніж [[Зліченна множина|зліченною]] кількістю перетинів, об'єднань і різниць, а також А-множини, введені Александровим, що отримені за допомогою незліченної кількості таких операцій.<ref>[http://www.mccme.ru/free-books/kanovej/set_theory.pdf Современная теория множеств: борелевские и проективные множества] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160910081800/http://www.mccme.ru/free-books/kanovej/set_theory.pdf |date=10 вересня 2016 }}{{ref-ru}}</ref> Найбільший вклад в дескриптивну теорію множин внесли [[Фелікс Гаусдорф]], [[Лузін Микола Миколайович|Микола Лузін]], [[Александров Павло Сергійович|Павло Александров]], [[Суслин Михайло Яковлевич|Михайло Суслін]].

=== Нечіткі множини або Теорія розмитих множин ===
{{main|Нечітка множина}}
Нечіткі множини були введені одночасно<ref name="Winter2007">{{cite book
 |author=Michael Winter
 |title=Goguen categories: a categorical approach to L-fuzzy relations  |url=http://books.google.com/books?id=5wy_tope2VEC&pg=PR9
 |year=2007
 |publisher=Springer
 |isbn=9781402061639
 |pages=ix
 |accessdate=22 березня 2012
 |archive-date=20 вересня 2014
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140920061707/http://books.google.com/books?id=5wy_tope2VEC&pg=PR9
 }}</ref>
[[Лотфі Заде]]<ref>L. A. Zadeh (1965) [http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf «Fuzzy sets»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071127005930/http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf |date=27 листопада 2007 }}. ''Information and Control'' 8 (3) 338—353.</ref>
і Дітером Кляуа<ref>Klaua, D. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin 7, 859—876. A recent in-depth analysis of this paper has been provided by {{cite doi|10.1016/j.fss.2009.12.005}}</ref>
в 1965 році як розширення класичного поняття множини. У теорії множин введеній [[Георг Кантор|Кантором]] і аксіоматизованії [[Ернст Цермело|Цермело]] і [[Абрахам Френкель|Френкелем]], елемент або належить множині, або ні. У теорії нечітких множин цю умову було ослаблено, елемент має ступінь належності до множини, який задається числом між 0 і 1. Наприклад, ступінь приналежності конкретної людини до множини «високих людей» є гнучкішим, ніж просто так чи ні, і може бути дійсним числом, скажімо, 0,75.
Теорія розмитих множин визначена Лотфі Заде використовується в лінгвістиці. Заде вказує на те що деякі категорії не мають ступенів членування тоді як в інших вони є. Категорія сенатор США&nbsp;— чітко визначена. Проте, з іншого боку такі категорії як багаті люди чи високі люди градуйовані лише тому, що є різні ступені багатства та високого росту. Заде запропонував різновид теорії множин для того, щоб моделювати градуйовані категорії. У розмитих множинах за визначенням Заде допускається додаткове значення між 0 і 1.

== Див. також ==
* [[Множина]]
* [[Алгебра множин]]
* [[Теоретико-множинні рівняння]]
* [[Теорія порядку]]
* [[Таблиця математичних символів]]
* [[Теорія категорій]]

== Література ==
; Українською
* {{книга
 |автор          = Г.О.Михалін, Л.І.Дюженкова
 |частина        = 
 |заголовок      = {{PDFlink|[http://web.archive.org/web/20190224175035/http://www.npu.edu.ua/!e-book/book/djvu/A/ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny).pdf Елементи теорії множин і теорії чисел]}}
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = [[Київ]] 
 |видавництво    = НПУ імені М.П. Драгоманова
 |рік            = 2003
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 128
 |isbn           = 966-660-105-2
 |ref            =
}} {{ref-uk}}
* {{книга
 |автор          = Л.Є. Базилевич
 |частина        = 
 |заголовок      = Дискретна математика у прикладах і задачах : теорія множин, математична логіка, комбінаторика, теорія графів
 |посилання      = 
 |видання        = Математичний практикум
 |відповідальний = 
 |місце          = [[Львів]] 
 |видавництво    = 
 |рік            = 2013
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 486
 |isbn           = 9789662645095
 |ref            =
}} {{ref-uk}}
* {{книга
 |автор          = Кужель О. В.
 |частина        = 
 |заголовок      = Елементи теорії множин і математичної логіки
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = [[Київ ]] 
 |видавництво    = Радянська школа
 |рік            = 1977
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 160
 |isbn           = 
 |ref            =
}} {{ref-uk}}
; Іншими мовами
* {{книга
 |автор          = Kieth Devlin
 |частина        = 
 |заголовок      = The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory
 |посилання      = 
 |видання        = 2
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Springer (Undergraduate Texts in Mathematics)
 |рік            = 1994
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 194
 |isbn           = 978-0387940946
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор          = [[Пол Річард Халмош|Paul R. Halmos]]
 |частина        = 
 |заголовок      = Naive set theory
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Martino Fine Books
 |рік            = 2011
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 114
 |isbn           = 978-1614271314
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* Справочник по математике для средних учебных заведений. Цыпкин А. Г./Под ред. С.&nbsp;А.&nbsp;Степанова.&nbsp;— 3-е изд.&nbsp;— М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.&nbsp;— 480 с. {{Ref-ru}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}

== Посилання ==
* Ivo Düntsch, Günther Gediga (2000). {{PDFlink|[http://www.cosc.brocku.ca/~duentsch/archive/methprimer1.pdf Sets, Relations, Functions]}}. ISBN 1903280001. {{ref-en}}
* Stanford Encyclopedia of Philosophy, [http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ Set Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150314173026/http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ |date=14 березня 2015 }}. {{ref-en}}
* [http://mcomb.ks8.ru/index.php «Електронний підручник з теми „Теорія множин. Комбінаторика“»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131023063757/http://mcomb.ks8.ru/index.php |date=23 жовтня 2013 }}. {{ref-ru}}

== Примітки ==
{{Примітки}}

{{Математика-footer}}
{{Теорія множин}}
{{Математична логіка}}
{{Інформатика}}
{{ВП-портали|Математика|}}

[[Категорія:Теорія множин| ]]
[[Категорія:Формальні методи]]
[[Категорія:Математична логіка]]