Перегляд вихідного коду сторінки Теорія лінійних стаціонарних систем

'''Тео́рія ліні́йних стаціона́рних систе́м'''&nbsp;— розділ [[Теорія систем|теорії динамічних систем]], що вивчає поведінку і динамічні властивості лінійних стаціонарних систем (ЛСС). Використовується для вивчення процесів керування технічними системами, для [[Цифрова обробка сигналів|цифрової обробки сигналів]] і в інших галузях науки і техніки.

== Огляд ==
Визначальними властивостями будь-якої лінійної стаціонарної системи є '''лінійність''' і '''стаціонарність''':

* '''Лінійність''' означає лінійний зв'язок між входом і виходом системи.

Формально, лінійною називається система, що має таку властивість:

: якщо сигнал на вході системи можна подати зваженою сумою впливів (наприклад, двох)&nbsp;— :: <math>x(t) = A x_1 (t) + B x_2 (t)</math>
: то сигнал на виході системи є також зваженою сумою реакцій на кожен із впливів&nbsp;— :: <math>y (t) = A y_1 (t) + B y_2 (t)</math>
: для будь-яких сталих ''A'' і ''B.''

* '''Стаціонарність'''&nbsp;— означає, що вихідний сигнал системи як реакція на будь-який заданий вхідний сигнал однаковий для будь-якого моменту прикладення вхідного сигналу (з точністю до часу запізнювання моменту прикладення вхідного сигналу). У вужчому сенсі&nbsp;— при запізненні вхідного сигналу за часом на деяку величину, вихідний сигнал буде запізнюватися на ту ж саму величину.

Динаміку системи, що має перераховані вище властивості, можна описати однією простою функцією, наприклад, [[Імпульсна перехідна функція|імпульсною перехідною функцією]]. Вихід системи можна розрахувати як [[Згортка (математичний аналіз)|згортку]] вхідного сигналу з імпульсною перехідною функцією системи. Цей метод аналізу іноді називають аналізом у ''[[Часова область|часовій області]]''. Сказане справедливе і для [[Дискретна система|дискретних систем]].
[[Файл:LTI.png|праворуч|міні|320x320пкс| Зв'язок між часовою і частотною областями]]
Крім того, будь-яку ЛСС можна описати в ''[[частотна область|частотній області]]'' за допомогою її [[Передавальна функція|передавальної функції]], яка є [[Перетворення Лапласа|перетворенням Лапласа]] імпульсної перехідної функції (або [[Z-перетворення]]м у разі дискретних систем). У силу властивостей цих перетворень, вихід системи в частотній області дорівнюватиме добутку передавальної функції і відповідного перетворення вхідного сигналу. Іншими словами, згортці в часовій області відповідає множення в частотній області.

Для всіх ЛСС [[Власна функція|власні функції]] є [[Комплексна функція|комплексними]] [[Експонента (функція)|експонентами]]. Тобто, якщо вхід системи є комплексним сигналом <math>A\exp({st})</math> з деякою комплексною амплітудою <math>A</math> і частотою <math>s</math>, то вихід дорівнюватиме деякому сигналу <math>B\exp({st})</math> з комплексною амплітудою <math>B</math>. Відношення <math>B/A</math> буде передавальною функцією системи на частоті <math>s</math>.

Оскільки [[синусоїда]] є сумою комплексних експонент з комплексно-спряженими частотами, якщо вхід системи&nbsp;— синусоїда, то виходом системи буде також синусоїда, в загальному випадку з іншого [[Амплітуда|амплітудою]] і фазою, але з тією ж [[Частота|частотою]].

Теорія ЛСС добре підходить для опису багатьох систем. Більшість ЛСС значно простіше аналізувати, ніж нестаціонарні і нелінійні системи. Будь-яка система, динаміка якої описується лінійним [[Диференціальні рівняння|диференціальним рівнянням]] зі сталими коефіцієнтами, є лінійною стаціонарною системою. Прикладами таких систем є [[Електричне коло|електричні схеми]], зібрані з [[резистор]]ів, [[Електричний конденсатор|конденсаторів]] і котушок [[Індуктивність|індуктивності]] (RLC-ланцюжки). [[Пружинний маятник|Вантаж на пружині]] також можна вважати ЛСС.

Більшість загальних концепцій ЛСС схожі як у разі неперервних систем, так і в разі дискретних систем.

== Стаціонарність і лінійні перетворення ==
Розглянемо нестаціонарну систему, чия імпульсна характеристика є [[Функція (математика)|функцією]] двох змінних. Подивимося, як властивість стаціонарності допоможе нам позбутися від одного виміру. Наприклад, нехай вхідний сигнал&nbsp;— <math>x(t)</math>, де аргумент&nbsp;— числа дійсної осі, тобто <math>t \in \mathbb{R}</math>. [[Лінійне відображення|Лінійний оператор]] <math>\mathcal{H}</math> показує, як система відпрацьовує цей вхідний сигнал. Відповідний оператор для деякого набору аргументів є функцією двох змінних:

: <math>h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.</math>

Для [[Дискретна система|дискретної системи]]:

: <math>h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.</math>

Оскільки <math>\mathcal{H}</math>&nbsp;— лінійний оператор, вплив системи на вхідний сигнал <math>x(t)</math> подається [[Лінійне відображення|лінійним перетворенням]], описуваним таким [[інтеграл]]ом (інтеграл суперпозиції)

: <math>y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.</math>

Якщо [[Лінійне відображення|лінійний оператор]] <math>\mathcal{H}</math> до всього іншого є і стаціонарним, тоді

: <math> h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.</math>

Поклавши

: <math> \tau = -t_2,</math>

отримаємо:

: <math>h(t_1, t_2) = h(t_1 - t_2, 0).</math>

Для стислості запису другий аргумент в <math>h (t_1, t_2)</math> зазвичай опускають і інтеграл суперпозиції стає інтегралом згортки:

: <math>y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).</math>

Таким чином, інтеграл згортки показує як лінійна [[стаціонарна система]] відпрацьовує будь-який вхідний сигнал. Отримане співвідношення для дискретних систем:

: <math>y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].</math>

== Імпульсна перехідна функція ==
Якщо до входу системи прикласти вхідний сигнал у вигляді [[Дельта-функція Дірака|дельта-функції Дірака]], кінцевий вихідний сигнал ЛСС являтиме собою [[Імпульсна перехідна функція|імпульсну перехідну функцію]] системи. Запис:

: <math> (h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),</math>

Для дискретної системи:

: <math>x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[n-m].</math>

(через властивості зсуву дельта-функції).

Зауважимо, що:

: <math>h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{with } t = t_1 - t_2)</math>

тобто <math>h(t)</math>&nbsp;— імпульсна [[перехідна функція]] системи.

Імпульсна перехідна функція використовується для того, щоб знайти вихідний сигнал системи як реакцію на будь-який вхідний сигнал. Крім того, будь-який вхід можна подати у вигляді суперпозиції дельта-функцій:

: <math>x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau</math>

Приклавши до входу системи, отримаємо:

: <math>\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau</math>
: <math>\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau</math> (оскільки <math>\mathcal{H}</math> лінійна)
: <math>\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau</math> (оскільки <math>x(\tau)</math> стала за ''t'' і <math>\mathcal{H}</math> лінійна)
: <math>\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau</math> (за визначенням <math>h(t)</math>)

В імпульсній перехідній функції <math>h(t)</math> міститься вся інформація про динаміку ЛСС.

== Власні функції ==
[[Власна функція]]&nbsp;— функція, для якої вихід [[Оператор (математика)|оператора]] являє собою ту ж функцію, в загальному випадку з точністю до сталого множника. Запис:

: <math>\mathcal{H}f = \lambda f</math> ,

де ''f''&nbsp;— власна функція, і <math>\lambda</math>&nbsp;— [[власне число]], стала.

[[Експонента (функція)|Експоненти]] <math>e^{s t}</math>, де <math>s \in \mathbb{C}</math> є власними функціями лінійного стаціонарного оператора.

==== Доведення ====
Нехай вхідний сигнал системи <math>x(t) = e^{s t}</math>. Тоді вихідний сигнал системи <math>h(t)</math> дорівнює:

: <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau</math>

що еквівалентно такому виразу в силу комутативності згортки:

: <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau</math>
: <math> \quad = e^{s t} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau</math>
: <math> \quad = e^{s t} H(s)</math> ,

де

: <math>H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t</math>

залежить тільки від ''s.''

Таким чином, <math>e^{s t}</math>&nbsp;— [[власна функція]] ЛСС.

== Перетворення Лапласа і Фур'є ==

: <math>H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t</math>

є точним способом отримати власні числа з імпульсної перехідної функції. Особливий інтерес становлять чисті синусоїди, тобто експоненти вигляду <math>\exp({j \omega t})</math> де <math>\omega \in \mathbb{R}</math> і <math>j</math>&nbsp;— [[уявна одиниця]]. Їх зазвичай називають комплексними експонентами, навіть якщо аргумент не має дійсної частини. [[Перетворення Фур'є]] <math>H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}</math> дає власні числа для чисто комплексних синусоїд. <math>H(s)</math> називається ''передавальною функцією системи,'' іноді в літературі цей термін застосовують і до <math>H(j\omega)</math>.

Перетворення Лапласа зазвичай використовують для односторонніх сигналів, тобто за нульових початкових умов. Початковий момент часу без втрати загальності приймається за нуль, а перетворення береться від [[0 (число)|нуля]] до [[Нескінченність|нескінченності]] (перетворення, яке виходить при інтегруванні також і до мінус нескінченності, називається [[Двостороннє перетворення Лапласа|двостороннім перетворенням Лапласа]]).

Перетворення Фур'є використовується для аналізу систем, через які проходять періодичні сигнали, і в багатьох інших випадках&nbsp;— наприклад, для аналізу системи на [[Стійкість (значення)|стійкість]].

Через властивості [[Згортка (математичний аналіз)|згортки]] для обох перетворень мають виконуються співвідношення:

: <math>y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau</math>
: <math>\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}</math>

Для дискретних систем:

: <math>y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m]</math>
: <math>\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}</math>

== Деякі властивості ==
Деякі з важливих властивостей будь-якої системи&nbsp;— причинність і стійкість. Для того, щоб система існувала в реальному світі, має виконуватися принцип причинності. Нестійкі системи можуть бути побудованими і іноді навіть бути корисними.

=== Причинність ===
Система називається причинною, якщо її вихід залежить тільки від поточного або попереднього прикладеного впливу. Необхідна і достатня умова причинності:

: <math>h(t) = 0 \quad \forall t < 0,</math>

Для [[Дискретна система|дискретних систем]]:

: <math>h[n] = 0 \ \forall n < 0,</math>

де <math>h(t)</math>&nbsp;— імпульсна перехідна функція. У явному вигляді визначити причинна система чи ні з її перетворення Лапласа в загальному випадку неможливо, оскільки зворотне перетворення Лапласа не є унікальним. Причинність можна визначити, коли задано [[область збіжності]].

=== Стійкість ===
Система є стійкою за обмеженим входом, обмеженим виходом ({{Lang-en|bounded input, bounded output stable, BIBO stable}}) якщо для кожного обмеженого входу вихідний сигнал є скінченним. Запис: Якщо

: <math>||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty</math>

і

: <math>||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty</math>

(тобто, максимуми абсолютних значень <math>x(t)</math> і <math>y(t)</math> скінченні), то система стійка. Необхідна і достатня умова стійкості: імпульсна перехідна характеристика системи, <math>h(t)</math>, має задовольняти виразу

: <math>||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.</math>

Для дискретних систем:

: <math>||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.</math>

У частотній області область збіжності має містити уявну вісь <math>s=j\omega</math>.

== Див. також ==
* [[Діаграма Найквіста|АФЧХ]]
* [[Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика|ЛАФЧХ]]
* [[Системний аналіз]]
* [[Передавальна функція]]
* [[Функція Гріна]]
* [[Нелінійне керування]]

== Посилання ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Стаття|volume SP-43|title=Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals|видання=IEEE Trans. Signal Proc.|language=en|тип=journal|author=P. P. Vaidyanathan and T. Chen|місяць=5|date=1995}}
* {{Стаття|volume SP-43|title=Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms|видання=IEEE Trans. Signal Proc.|language=en|тип=journal|author=P. P. Vaidyanathan and T. Chen|місяць=5|date=1995}}
* {{Книга
|автор = В.И. Зубов
|заголовок = Теория уравнений управляемого движения
|видавництво = ЛГУ
|місце = Л.
|рік = 1980
|мова = und
}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Теорія керування]]
[[Категорія:Цифрова обробка сигналів]]
[[Категорія:Класична теорія керування]]
[[Категорія:Електротехніка]]