Перегляд вихідного коду сторінки Теорія де Бройля — Бома

{{Квантова механіка|Інтерпретації}}
'''Теорія де Бройля&nbsp;— Бома''' (також відома як '''{{нп|теорія хвилі-пілота|||Pilot wave}}''', '''бомівська механіка''', '''інтерпретація Бома''' і '''причинна інтерпретація''')&nbsp;— це {{нп|інтерпретація квантової механіки|інтерпретація||Interpretations of quantum mechanics}} [[квантова механіка|квантової теорії]]. Окрім [[хвильова функція|хвильової функції]] на просторі всіх можливих конфігурацій, вона також постулює фактичну конфігурацію, яка існує навіть неспостережувана. Еволюція з плином часу конфігурації (тобто, позиції всіх частинок або конфігурації всіх полів) визначається хвильовою функцією через [[#Керуюче рівняння|керуюче рівняння]]. Еволюція хвильової функції з плином часу визначається виразом [[рівняння Шредінгера]]. Теорія названа на честь [[Луї де Бройль|Луї де Бройля]] ([[1892]]–[[1987]]), і {{нп|Девід Бом|Девіда Бома||David Bohm}} ([[1917]]–[[1992]]).

Ця теорія [[Детермінізм|детерміністична]]<ref>{{Cite journal| first = David | last = Bohm | title = A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of 'Hidden Variables' I | journal = Physical Review | year = 1952 | volume = 85 | pages = 166–179 | doi = 10.1103/PhysRev.85.166|bibcode = 1952PhRv...85..166B }} («На відміну від звичайної інтерпретації, ця альтернативна інтерпретація дозволяє уявити кожну окрему систему у точно визначеному стані, чиї зміни з часом визначаються певними законами, що аналогічні (але не ідентичні) до класичних рівнянь руху. Квантовомеханічні ймовірності розглядаються (як і їхні відповідники в класичній статистичній механіці), як тільки практична необхідність, а не як вроджена відсутність повного визначення властивості матерії на квантовому рівні.»)</ref> і явно [[Принцип близькодії|нелокальна]]: швидкість будь-якої частинки залежить від величини ведучого рівняння, яке залежить від конфігурації системи, визначеної її хвильовою функцією; остання залежить від граничних умов системи, які, в принципі, можуть бути цілим Всесвітом.

Результати теорії полягають у формалізмі вимірювання, аналогічному до [[Термодинаміка|термодинаміки]] для класичної механіки, що дає стандартний квантовий формалізм, який зазвичай пов'язують із [[Копенгагенська інтерпретація|копенгагенською інтерпретацією]]. Явна нелокальність теорії розв'язує «{{нп|проблема вимірювання|проблему вимірювання||Measurement problem}}», яка умовно делегується до питання {{нп|інтерпретація квантової механіки|інтерпретації квантової механіки||Interpretations of quantum mechanics}} в копенгагенській інтерпретації.
[[Правило Борна]] в теорії Бройля&nbsp;— Бома не є основним законом. Замість того, в цій теорії зв'язок між густиною ймовірності і хвильовою функцією має статус гіпотези, що називається {{нп|гіпотезою квантової рівноваги|||Quantum non-equilibrium}}, яка є доповненням до основних принципів регулювання хвильової функції.

Теорія була історично розроблена Луї де Бройлем у [[1920]]-ті роки, якого в [[1927]] році переконали відмовитися від неї на користь тоді популярної копенгагенської інтерпретації. Девід Бом, незадоволений переважною ортодоксальністю, заново відкрив теорію пілотованої хвилі де Бройля в [[1952]] році. Пропозиції Бома не були широко сприйняті тоді, почасти через причини, які не мають відношення до їхнього змісту, пов'язані з юнацькими захопленнями Бома комуністичною пропагандою<ref>F. David Peat, ''Infinite Potential: The Life and Times of David Bohm'' ([[1997]]), p. 133. Джеймс Кушинг у книзі ''Quantum Mechanics: Historical Contingency and the Copenhagen Hegemony'' ([[1994]]) обговорює «гегемонію копенгагенської інтерпретації квантової механіки» над такими теоріями, як бомівська механіка як приклад того, як прийняття наукових теорій може керуватися соціальними аспектами.</ref>. Теорія де Бройля&nbsp;— Бома широко вважалася неприйнятною пануючими теоретиками, в основному, через її явну нелокальність. [[Джон Стюарт Белл]], ознайомившись з роботою Девіда Бома, і зацікавившись, чи очевидну нелокальність теорії можна було б усунути, отримав натхнення для формулювання і доведення своєї [[Теорема Белла|теореми]] у [[1964]] році. З [[1990]]-х років знову прокинувся інтерес до розробки доповнень до теорії де Бройля&nbsp;— Бома, намагаючись узгодити її зі [[спеціальна теорія відносності|спеціальною теорією відносності]] і [[квантова теорія поля|квантовою теорією поля]], на додачу до розробок інших доповнень, таких як врахування [[спін]]у або криволінійних просторових геометрій<ref>Книга Девіда Бомаі Безіла Гайлі ''The Undivided Universe&nbsp;— An Ontological Interpretation of Quantum Theory'' з'явилася після смерті Бома, в [[1993]] році; [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~bohmmech/BohmHome/files/bhr.pdf огляд якої] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305055903/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~bohmmech/BohmHome/files/bhr.pdf |date=5 березня 2016 }} написав Шелдон Ґолдштейну статті ''Physics Today'' ([[1994]]). J. Cushing, A. Fine, S. Goldstein (eds.), ''Bohmian Mechanics and Quantum Theory&nbsp;— An Appraisal'' ([[1996]]).</ref>.

Стаття ''[[Стенфордська філософська енциклопедія|Стенфордської філософської енциклопедії]]'' про [[квантова декогеренція|квантову декогеренцію]] ([http://plato.stanford.edu/entries/qm-decoherence/ Гвідо Бачаґалуппі, 2012] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160311061926/http://plato.stanford.edu/entries/qm-decoherence/ |date=11 березня 2016 }}) групує «{{нп|інтерпретація квантової механіки|підходи до квантової механіки||Interpretations of quantum mechanics}}» на п'ять груп, однією з яких є «теорії пілотованої хвилі» (інші групи&nbsp;— це копенгагенська інтерпретація, [[Об'єктивний колапс|об'єктивні теорії колапсу]], [[Багатосвітова інтерпретація|багатосвітові інтерпретації]] і {{нп|модальні інтерпретації квантової механіки|модальні інтерпретації||Interpretations_of_quantum_mechanics#Modal_interpretations_of_quantum_theory}}).

Є кілька еквівалентних [[#Наслідки|математичних формулювань]] теорії, які відомі під рядом різних [[#Історія|назв]]. [[Хвиля де Бройля]] має макроскопічний аналог, що називається {{нп|хвиля Фарадея|||Faraday wave}}<ref>John W. M. Bush: [http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/tti_talks/deBB_10/bush_tti2010.pdf «Quantum mechanics writ large»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171215051636/http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/tti_talks/deBB_10/bush_tti2010.pdf |date=15 грудня 2017 }}</ref>.

== Огляд ==
Теорія де Бройля&nbsp;— Бома ґрунтується на таких постулатах:

* Існує конфігурація <math>q</math> всесвіту, що описується координатами <math>q^k</math>, які є елементом [[Конфігураційний простір (фізика)|конфігураційного простору]] <math>Q</math>. Простір конфігурації відрізняється для різних варіантів теорії хвилі-пілота. Наприклад, це може бути простір позицій <math>\mathbf{Q}_k</math> з <math>N</math> частинок, або, у випадку теорії поля, простір конфігурацій поля <math>\phi(x)</math>. Конфігурація еволюціонує (для нульового спіну) у відповідності з керуючим рівнянням
: <math>m_k\frac{d q^k}{dt} (t) = \hbar \nabla_k \operatorname{Im} \ln \psi(q,t) = \hbar \operatorname{Im}\left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi} \right) (q, t) = \frac{m_k \mathbf{j}_k}{\psi^*\psi} = \mathrm{Re}\left ( \frac{\mathbf{\hat{P}}_k\Psi}{\Psi} \right ) </math>,

де <math>\mathbf{j}</math>&nbsp;— [[струм ймовірності]] або потік ймовірності і <math>\mathbf{\hat{P}}</math>&nbsp;— [[оператор імпульсу]]. Тут <math>\psi(q,t)</math>&nbsp;— стандартна [[Комплекснозначна функція|комплекснозначна]] хвильова функція, відома з квантової теорії, яка еволюціонує відповідно до рівняння Шредінгера
: <math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(q,t)=-\sum_{i=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2\psi(q,t) + V(q)\psi(q,t)</math>

Це вже завершує специфікацію теорії для будь-якої квантової теорії з оператором Гамільтона типу <math>H=\sum \frac{1}{2m_i}\hat{p}_i^2 + V(\hat{q})</math>.

* Конфігурація розподілена згідно з <math>|\psi(q,t)|^2</math> в деякий момент часу <math>t</math>, і це, отже, виконується для всіх моментів часу. Такий стан називається квантовою рівновагою. Через квантову рівновагу ця теорія узгоджується із результатами стандартної квантової механіки.

Навіть якщо це останнє співвідношення часто подається як аксіома теорії, в оригінальних роботах Бома [[1952]] року воно було представлене як виведене зі статистично-механічних параметрів. Цей аргумент був також підтриманий роботою Бома в [[1953]] році і був обґрунтований роботою Віґєра і Бома [[1954]] року, якою вони ввели стохастичні ''рідинні флуктуації'', які ведуть процес асимптотичної релаксації від {{нп|квантова нерівновага|квантової нерівноваги||quantum non-equilibrium}} до квантової рівноваги (ρ → |ψ|<sup>2</sup>)<ref>Публікації Д. Бома в [[1952]] і [[1953]] роках і з Ж.&nbsp;П.&nbsp;Віґєром в [[1954]] році, як процитовано у {{Cite journal|author1=Antony Valentini|author2=Hans Westman|title=Dynamical origin of quantum probabilities |journal=Proc. R. Soc. A|date=8 січня 2005|volume=461|number=2053|pages=253–272|doi=10.1098/rspa.2004.1394|bibcode=2005RSPSA.461..253V|arxiv = quant-ph/0403034 }} [http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/461/2053/253.full.pdf#page=3 p. 254]</ref>.

=== Експеримент з двома щілинами ===
[[Файл:doppelspalt.svg|thumb|Бомівські траєкторії для електрона в експерименті з двома щілинами. Аналогічна картина була також екстрапольована {{нп|слабке вимірювання|слабкими вимірюваннями||weak measurement}} поодиноких фотонів<ref>[{{Cite web |url=http://www.sciencemag.org/content/332/6034/1170.figures-only |title=Спостерігаючи середні траєкторії одиничних фотонів в двощілинному інтерферометрі({{lang-en|"Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer"}}) |accessdate=18 квітня 2016 |archive-date=24 вересня 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150924161538/http://www.sciencemag.org/content/332/6034/1170.figures-only }} Спостерігаючи середні траєкторії одиничних фотонів в двощілинному інтерферометрі({{lang-en|"Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer"}})]</ref>.]]

[[Інтерференційний експеримент Юнга|Експеримент на подвійних щілинах]] є ілюстрацією [[корпускулярно-хвильовий дуалізм|корпускулярно-хвильового дуалізму]]. У ньому пучок частинок (наприклад, електронів) проходить через бар'єр, який має дві щілини. Якщо помістити екран детектора за бар'єром, малюнок виявлених частинок показує [[Інтерференція хвиль|інтерференційну картину]], яка є характерною рисою хвиль, що надходять на екран із двох джерел (двох щілин). Однак інтерференційна картина складається з окремих точок відповідних частинок, які потрапили на екран. Система наглядно демонструє поведінку хвиль (інтерференційна картина) і частинок (точки на екрані) одночасно.

Якщо змінити цей експеримент таким чином, щоб одна щілина була закритою, інтерференційна картина не спостерігається. Отже, стан обох щілин впливає на остаточний результат. Можна також організувати мінімально інвазивний детектор на одній із щілин, щоб визначити, через яку щілину пройшла частинка. Якщо це зробити, інтерференційна картина зникає.

[[Копенгагенська інтерпретація]] стверджує, що частинки не локалізовані в просторі, доки вони не будуть виявлені, отже, якщо немає ніякого детектора на щілинах, немає ніякої інформації про те, через які щілини частинка пройшла. Якщо щілина має детектор на виході, то хвильова функція руйнується через це виявлення.

У теорії де Бройля&nbsp;— Бома хвильова функція визначена в обидвох щілинах, але кожна частинка має чітко визначену траєкторію, яка проходить через рівно одну зі щілин. Остаточне положення частинки на екрані детектора і щілина, через яку частинка проходить, визначається початковим положенням частинки. Таке вихідне положення невідоме і не контрольоване експериментатором, тому малюнок на детекторі виглядає випадковим. У своїх роботах [[1952]] року Бом використовував хвильову функцію для побудови квантового потенціалу, який при включенні в рівняння Ньютона, давав траєкторії частинок, що проходять через дві щілини. Насправді хвильова функція інтерферує сама з собою і веде частинки через квантовий потенціал таким чином, що частинки уникають регіонів, в яких інтерференція є деструктивною і притягуються до регіонів, в яких інтерференція є конструктивною, що призводить до інтерференційної картини на екрані детектора.

Щоб пояснити поведінку виявлення детектором проходження частинки через одну щілину, потрібно враховувати роль умовної хвильової функції, і як вимірювання призводить до її колапсу; детально це пояснено нижче. Основна ідея полягає в тому, що навколишнє середовище, що реєструє виявлення, ефективно відокремлює два хвильові пакети в конфігураційному просторі.

== Теорія ==

=== Онтологія ===
[[Онтологія]] теорії де Бройля&nbsp;— Бома складається з конфігурації <math>q(t)\in Q</math> всесвіту і хвилі-пілота <math>\psi(q,t)\in\mathbb{C}</math>. Простір конфігурації <math>Q</math> можна вибрати по-різному, як і в класичній механіці, так і в стандартній квантовій механіці.

Таким чином, онтологія теорії хвилі-пілота містить як траєкторії <math>q(t)\in Q</math>, відомі з класичної механіки, хвильові функції <math>\psi(q,t)\in\mathbb{C}</math> квантової теорії. Таким чином, в кожен момент часу існує не тільки хвильова функція, але також чітко визначена конфігурація цілого всесвіту (тобто система, визначена граничними умовами, використаними при розв'язуванні рівняння Шредінгера). Відповідність з нашим досвідом встановлюється через ототожнення конфігурації нашого мозку з деякою частиною конфігурації цілого світу <math>q(t)\in Q</math>, як і в класичній механіці.

Хоча онтологія класичної механіки є частиною онтології теорії де Бройля&nbsp;— Бома, динаміки дуже різні. У класичній механіці прискорення частинок надаються безпосередньо силами, які існують у фізичному тривимірному просторі. У теорії де Бройля&nbsp;— Бома швидкості частинок визначаються хвильовою функцією, яка існує в 3N-вимірному конфігураційному просторі, де N відповідає числу частинок в системі;<ref>{{cite book|author=David Bohm|title=Causality and Chance in Modern Physics|year=1957|publisher=Routledge & Kegan Paul and D. Van Nostrand|isbn=0-8122-1002-6}}, p. 117.</ref> Бом висунув гіпотезу, що кожна частка має «складну і тонку внутрішню структуру», яка забезпечує здатність реагувати на інформацію, надану хвильовою функцією через квантовий потенціал<ref>D. Bohm and B. Hiley: ''The undivided universe: An ontological interpretation of quantum theory'', p. 37.</ref>. Крім того, на відміну від класичної механіки, фізичні властивості (наприклад, маса, заряд) розкидані по хвильовій функції в теорії де Бройля&nbsp;— Бома, не локалізовані в положенні частинки<ref>H. R. Brown, C. Dewdney and G. Horton: «Bohm particles and their detection in the light of neutron interferometry», ''Foundations of Physics'', [[1995]], Volume 25, Number 2, pp. 329—347.</ref><ref>J. Anandan, «The Quantum Measurement Problem and the Possible Role of the Gravitational Field», ''Foundations of Physics'', March [[1999]], Volume 29, Issue 3, pp. 333—348.</ref>.

Саме хвильова функція, а не частинки, визначає динамічну еволюцію системи: частинки не впливають назад на хвильову функцію. Як Бом і Гайлі сформулювали, «рівняння Шредінгера для квантового поля не має джерел, ані не має будь-якого іншого способу, за допомогою якого поле могло б безпосередньо залежати від стану частинок […] квантову теорію можна повністю зрозуміти з точки зору припущення про те, що квантове поле не має джерел або інших форм залежності від частинок.»<ref>D. Bohm and B. Hiley: ''The undivided universe: An ontological interpretation of quantum theory'', [http://books.google.de/books?id=vt9XKjc4WAQC&pg=PA24 p. 24] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121105051923/http://books.google.de/books?id=vt9XKjc4WAQC&pg=PA24 |date=5 листопада 2012 }}</ref> П. Голланд вважає відсутність взаємної дії частинок і хвильової функції однією «серед багатьох некласичних властивостей, що маніфестовані цією теорією»<ref>Peter R. Holland: ''The Quantum Theory of Motion: An Account of the De Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics'', Cambridge University Press, Cambridge (вперше опубліковано [[25 червня]] [[1993]] року), ISBN 0-521-35404-8 книга в твердій обкладинці, ISBN 0-521-48543-6 книга в м'якій обкладинці, переведений в цифровий друк у [[2004]] році, Глава I. розділ (7) «There is no reciprocal action of the particle on the wave», [http://books.google.com/books?id=BsEfVBzToRMC&pg=PA26 p.&nbsp;26] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161224151149/https://books.google.com/books?id=BsEfVBzToRMC&pg=PA26|date=24 грудня 2016}}</ref>. Слід зазначити, однак, що Голланд пізніше назвав це просто ''удаваною'' відсутністю зворотної реакції, у зв'язку з неповнотою опису<ref>* P. Holland: «Hamiltonian theory of wave and particle in quantum mechanics II: Hamilton-Jacobi theory and particle back-reaction», ''Nuovo Cimento B'' 116, [[2001]], pp.&nbsp;1143–1172, [http://users.ox.ac.uk/~gree0579/index_files/NuovoCimento2.pdf#page=31 Повнотекстовий препринт с. 31] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111110140052/http://users.ox.ac.uk/~gree0579/index_files/NuovoCimento2.pdf#page=31 |date=10 листопада 2011 }})</ref>.

В поданих нижче міркуваннях розглянуті випадки однієї частинки, що рухається у <math>\mathbb{R}^3</math>, і випадок <math>N</math> частинок, що рухаються у 3-х вимірах. У першому випадку, [[Конфігураційний простір (фізика)|конфігураційний простір]] і реальний простір однакові, в той час як у другому, реальний простір і раніше <math>\mathbb{R}^3</math>, але конфігураційний простір тепер <math>\mathbb{R}^{3N}</math>. Хоча частинка позиціює себе в реальному просторі, поле швидкостей і хвильова функція знаходяться у конфігураційному просторі, в якому частинки сплутані одна з одною в цій теорії.

[[#Розширення|Розширення]] до цієї теорії охоплює спін і більш складні конфігураційні простори.

Ми використовуємо варіації <math>\mathbf{Q}</math> для позицій частинок в той час як <math>\psi</math> представляє комплекснозначну хвильову функцію на конфігураційному просторі.

=== Керуюче рівняння ===
Для безспінової поодинокої частинки, що рухається у <math>\mathbb{R}^3</math>, швидкість частинки задана

: <math>\frac{d \mathbf{Q}}{dt} (t) = \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im} \left(\frac{\nabla \psi}{\psi} \right) (\mathbf{Q}, t)</math>.

Для багатьох частинок, ми позначаємо <math>k</math>-ту частинку як <math>\mathbf{Q}_k</math>, їхні швидкості задані

: <math>\frac{d \mathbf{Q}_k}{dt} (t) = \frac{\hbar}{m_k} \operatorname{Im} \left(\frac{\nabla_k \psi}{\psi} \right) (\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \ldots, \mathbf{Q}_N, t)</math>.

Основне, що варто зауважити, це те, що це поле швидкості залежить від фактичних позицій усіх <math>N</math> частинок у всесвіті. Як пояснено нижче, в більшості експериментальних ситуацій, вплив всіх цих частинок може бути записаний у ефективну хвильову функцію для підсистеми всесвіту.

=== Рівняння Шредінгера ===
Одночастинкове рівняння Шредінгера визначає еволюцію в часі комплекснозначної хвильової функції на <math>\mathbb{R}^3</math>. Рівняння являє собою квантований варіант повної енергії класичної системи, що еволюціонує під впливом дійснозначної функції потенціалу <math>V</math> на <math>\mathbb{R}^3</math>:

: <math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi</math>

Для багатьох частинок, рівняння таке ж, за винятком того, що <math>\psi</math> і <math>V</math> тепер належать конфігураційному простору <math>\mathbb{R}^{3N}</math>.

: <math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\sum_{k=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m_k}\nabla_k^2\psi + V\psi</math>

Це та сама хвильова функція традиційної квантової механіки.

=== Відношення до правила Борна ===
В оригінальних роботах Бома [[1952]] року він обговорює, як теорія Бройля&nbsp;— Бома випливає із звичайних результатів вимірювань квантової механіки. Основна ідея полягає в тому, що це вірно, якщо положення частинок задовольняють статистичний розподіл, заданий <math>|\psi|^2</math>. І той розподіл гарантовано буде виконуватися для всіх моментів часу через керуюче рівняння, якщо початковий розподіл частинок задовольняє <math>|\psi|^2</math>.

Для даного експерименту можна постулювати це твердження як вірне та експериментально перевірити, що так воно і є. Однак, як зазначили Дюрр та ін.,<ref name="dgz92">{{cite journal | last1 = Dürr | first1 = D. | last2 = Goldstein | first2 = S. | last3 = Zanghì | first3 = N. | year = 1992 | title = Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty | url = http://arxiv.org/abs/quant-ph/0308039 | journal = Journal of Statistical Physics | volume = 67 | issue =  | pages = 843–907 | arxiv = quant-ph/0308039 | bibcode = 1992JSP....67..843D | doi = 10.1007/BF01049004 | accessdate = 18 квітня 2016 | archive-date = 18 січня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160118025446/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0308039 }}</ref> потрібно аргументувати, що цей розподіл для підсистем характерний. Вони стверджують, що <math>|\psi|^2</math> в силу своєї еквіваріантності при динамічній еволюції системи, є слушною мірою типовості для {{нп|Первинний стан|первинних станів||initial condition}} положення частинок. Потім вони доводять, що статистичні дані результатів вимірювань з більшості можливих початкових конфігурацій будуть розподілені відповідно до [[Правило Борна|правила Борна]] (тобто, <math>|\psi|^2</math>). Таким чином, у всесвіті, керованому динамікою де Бройля&nbsp;— Бома, типовою є поведінка, що відповідає правилу Борна.

Таким чином, ситуація аналогічна ситуації в класичній [[Статистична фізика|статистичній фізиці]]. З надзвичайно високою ймовірністю початковий стан з низькою ентропією перетвориться у стан з більш високою ентропією: поведінка, узгоджена з [[Другий закон термодинаміки|другим законом термодинаміки]], є типовою. Є, звичайно, аномальні початкові умови, які призведуть до виникнення порушень другого закону. Проте, за відсутності будь-якого дуже детального доказу, що підтверджував би фактичну реалізацію одної з цих спеціальних початкових умов, було б зовсім нерозумно очікувати щось інше, ніж фактично спостережуване рівномірне зростання ентропії. Аналогічним чином, в теорії де Бройля&nbsp;— Бома, існують аномальні початкові умови, які спричинили б статистичні дані вимірювання, розподілені не у відповідності до правила Борна (тобто, в протиріччі з передбаченнями стандартної квантової теорії). Але теорема типовості показує, що слід очікувати поведінку, відповідну до правила Борна, за відсутності будь-якої конкретної причини вважати, що одна з цих спеціальних початкових умов була фактично реалізована.

Саме в цьому сенсі для теорії де Бройля&nbsp;— Бома правило Борна є теоремою, а не (як у звичайній квантовій теорії) додатковим постулатом.

Крім того, можна показати, що розподіл часток, які ''не є'' розподіленими відповідно до правила Борна (тобто, розподіл 'поза квантовою рівновагою') і такий, що розвивається відповідно до динаміки де Бройля&nbsp;— Бома, в переважній більшості випадків розвивається динамічно в стан, розподілений як <math>|\psi|^2</math>. Для прикладу, дивись посилання, подане у виносці<ref>Towler, M. D.; Russell, N. J.; Valentini A., pbs., [http://arxiv.org/abs/1103.1589 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170508164856/https://arxiv.org/abs/1103.1589 |date=8 травня 2017 }} Часові шкали для динамічної релаксації правила Борна {{lang-en|"Timescales for dynamical relaxation to the Born rule"}}] quant-ph/11031589</ref>. Відео електронної щільності двовимірного вікна, що розвивається в рамках цього процесу доступне [http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/raw_movie.gif тут] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303230023/http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/raw_movie.gif |date=3 березня 2016 }}.

=== Умовна хвильова функція підсистеми ===
У формулюванні теорії де Бройля&nbsp;— Бома присутня тільки хвильова функція для всього всесвіту (яка завжди еволюціонує рівнянням Шредінгера). Слід, однак, зазначити, що «всесвіт»&nbsp;— це просто система, обмежена тими ж граничними умовами, які використовуються для розв'язання рівняння Шредінгера. Проте, як тільки теорія сформульована, зручно ввести поняття хвильової функції також для підсистем всесвіту. Запишемо хвильову функцію всесвіту<math>\psi(t,q^{\mathrm I},q^{\mathrm{II}})</math>, де <math>q^{\mathrm I}</math> позначає змінні конфігурації, пов'язані з деякою підсистеми (I) всесвіту і <math>q^{\mathrm{II}}</math>позначає інші змінні конфігурації. Позначимо, відповідно, <math>Q^{\mathrm I}(t)</math> і <math>Q^{\mathrm{II}}(t)</math> фактичну конфігурацію підсистеми (I) і решту всесвіту. Для простоти ми розглянемо тут тільки безспіновий випадок. ''Умовна хвильова функція'' підсистеми (I) визначається за формулою:

: <math>\psi^{\mathrm I}(t,q^{\mathrm I})=\psi(t,q^{\mathrm I},Q^{\mathrm{II}}(t)). \,</math>

Це безпосередньо випливає з того факту, що <math>Q(t)=(Q^{\mathrm I}(t),Q^{\mathrm{II}}(t))</math> задовольняє керуюче рівняння, що також конфігурація <math>Q^{\mathrm I}(t)</math> задовольняє керуюче рівняння, ідентичне наведеному в формулюванні теорії, з універсальною хвильовою функцією <math>\psi</math> замінену умовною хвильовою функцією <math>\psi^{\mathrm I}</math>. Крім того, той факт, що <math>Q(t)</math> випадкова з [[Густина імовірності|густиною імовірності]], заданою квадратом модуля <math>\psi(t,\cdot)</math>, звідки випливає, що [[Умовний розподіл|умовна густина ймовірності]] <math>Q^{\mathrm I}(t)</math> при умові <math>Q^{\mathrm{II}}(t)</math> задається квадратом модуля нормалізованої умовної хвильової функції <math>\psi^{\mathrm I}(t,\cdot)</math> (в термінології Дюрра та інших<ref>[http://arxiv.org/abs/quant-ph/0308039 «Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160118025446/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0308039 |date=18 січня 2016 }}, D. Dürr, S. Goldstein and N. Zanghì, ''Journal of Statistical Physics'' [[1992]]; 67, 843—907</ref> цей факт названий ''фундаментальною формулою умовної ймовірності'').

На відміну від універсальної хвильової функції, умовна хвильова функція підсистеми не завжди еволюціонує рівнянням Шредінгера, але в багатьох ситуаціях це робить. Наприклад, якщо універсальні чинники хвильової функції такі:
: <math>\psi(t,q^{\mathrm I},q^{\mathrm{II}})=\psi^{\mathrm I}(t,q^{\mathrm I})\psi^{\mathrm{II}}(t,q^{\mathrm{II}}) \,</math>

тоді умовна хвильова функція підсистеми (I) є (з точністю до несуттєвого скалярного множника) дорівнює
<math>\psi^{\mathrm I}</math> (Це те, що стандартна квантова теорія розглядатиме як хвильову функцію підсистеми (I)). Якщо, крім того, гамільтоніан не містить члену взаємодії між підсистемами (I) і (II), тоді <math>\psi^{\mathrm I}</math> дійсно задовольняє рівняння Шредінгера. У більш загальному сенсі, припустимо, що універсальну хвильову функцію <math>\psi</math> можна записати у вигляді:

: <math>\psi(t,q^{\mathrm I},q^{\mathrm{II}})=\psi^{\mathrm I}(t,q^{\mathrm I})\psi^{\mathrm{II}}(t,q^{\mathrm{II}})+\phi(t,q^{\mathrm I},q^{\mathrm{II}}), \,</math>

де <math>\phi</math> розв'язує рівняння Шредінгера і <math>\phi(t,q^{\mathrm I},Q^{\mathrm{II}}(t))=0</math> для всіх <math>t</math> і <math>q^{\mathrm I}</math>. Тоді, знову ж таки, умовна хвильова функція підсистеми (I) (з точністю до несуттєвого скалярного множника) дорівнює <math>\psi^{\mathrm I}</math> і якщо гамільтоніан не містить члену взаємодії між підсистемами (I) і (II), <math>\psi^{\mathrm I}</math> задовольняє рівняння Шредінгера.

Той факт, що умовна хвильова функція підсистеми не завжди еволюціонує відповідно до рівняння Шредінгера, пов'язаний з тим, що звичайне правило колапсу стандартної квантової теорії виникає з бомівського формалізму, якщо взяти до уваги умовні хвильові функції підсистем.

== Розширення ==

=== Теорія відносності ===
Теорія хвилі-пілота явно нелокальна, через що начебто конфліктує зі [[спеціальна теорія відносності|спеціальною теорією відносності]]. Існують різні розширення у вигляді механік, подібних до Бомівської, які намагаються вирішити цю проблему. Бом сам в [[1953]] році представив розширення теорії, що задовольняє [[рівняння Дірака]] для однієї частинки. Тим не менш, це не можна розширити на випадок багатьох частинок, оскільки використовується абсолютний час<ref>Олівер Пасон, «Те, що ви завжди хотіли знати про бомівську механіку, але боялися запитати», Запрошена доповідь на весняній сесії Deutsche Physikalische Gesellschaft, Dortmund, [[2006]], arXiv: quant-ph/0611032, p. 13.</ref>.
Відновлений інтерес при побудові Лоренц-інваріантних розширень бомівської теорії виникли в [[1990]]-і роки; дивись книгу Бома і Гайлі «Нерозділений Всесвіт» ({{lang-en|The Undivided Universe}}), і [http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0208185]{{Недоступне посилання|date=вересня 2019 |bot=InternetArchiveBot }}, [http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0302152]{{Недоступне посилання|date=вересня 2019 |bot=InternetArchiveBot }}, і посилання в них. Інший підхід наведено в роботі Дюрра та інших<ref>{{cite journal | last1 = Dürr | first1 = D. | last2 = Goldstein | first2 = S. | last3 = Münch-Berndl | first3 = K. | last4 = Zanghì | first4 = N. | year = 1999 | title = Hypersurface Bohm-Dirac Models | url = http://arxiv.org/abs/quant-ph/9801070 | journal = Physical Review A | volume = 60 | issue =  | pages = 2729–2736 | doi = 10.1103/physreva.60.2729 | arxiv = quant-ph/9801070 | bibcode = 1999PhRvA..60.2729D | accessdate = 18 квітня 2016 | archive-date = 17 серпня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160817085943/http://arxiv.org/abs/quant-ph/9801070 }}</ref>, в якому вони використовують моделі Бома-Дірака і Лоренц-інваріантне шарування простору-часу.

Таким чином, Дюрр та інші у [[1999]] році показали, що можна формально відновити [[Лоренц-коваріантність|Лоренц-інваріантність]] для теорії Бем-Дірака шляхом введення додаткової структури. Такий підхід, як і раніше вимагає [[шарування]] простору-часу. Хоча це суперечить стандартній інтерпретації відносності, запропоноване шарування, якщо неспостережене, не призводить до будь-яких емпіричних конфліктів з теорією відносності. У [[2013]] році Дюрр та інші припустили, що необхідне шарування може бути коваріантно визначене хвильовою функцією<ref>{{cite journal | last1 = Dürr | first1 = Detlef | last2 = Goldstein | first2 = Sheldon | last3 = Norsen | first3 = Travis | last4 = Struyve | first4 = Ward | last5 = Zanghì | first5 = Nino | year = 2013 | title = Чи можна з Бомівської механіки зробити релятивістську? (Мовою оригіналу: "Can Bohmian mechanics be made relativistic?") | url = http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/470/2162/20130699.short | journal = Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences | volume = 470 | issue =  | pages = 20130699 | doi = 10.1098/rspa.2013.0699 | accessdate = 18 квітня 2016 | archive-date = 4 березня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160304100613/http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/470/2162/20130699.short }}</ref>.

Співвідношення між нелокальністю і привілейованим шарування якнайкраще можна зрозуміти в такий спосіб. У теорії де Бройля&nbsp;— Бома нелокальність проявляється як той факт, що швидкість і прискорення однієї частинки залежить від миттєвого положення всіх інших частинок. З іншого боку, в теорії відносності поняття миттєвість не має інваріантного змісту, не є інваріантом. Таким чином, для визначення траєкторії частинок, необхідно додаткове правило, яке визначає, які точки простору-часу слід вважати миттєвим. Найпростіший спосіб для досягнення цієї мети є запровадження привілейованого шарування простору-часу вручну, таким чином, що кожна гіперповерхня шарування визначає гіперповерхню однакового часу.

Спочатку було визнано неможливим викласти опис траєкторій фотонів в теорії де Бройля&nbsp;— Бома через труднощі опису бозонів у релятивістський спосіб.<ref name="ghose-1996">{{cite journal | last1 = Ghose | first1 = Partha | year = 1996 | title = Relativistic quantum mechanics of spin-0 and spin-1 bosons | url = http://www.springerlink.com/content/yq03611746404204/fulltext.pdf | format = PDF | journal = Foundations of Physics | volume = 26 | issue = 11 | pages = 1441–1455 | doi = 10.1007/BF02272366 | bibcode = 1996FoPh...26.1441G }}{{Недоступне посилання}}</ref> У [[1996]] році {{нп|Партга Ґгосе|||Partha Ghose}} представив релятивістський квантово-механічний опис бозонів з нульовим або одиничним спіном, починаючи від {{нп|рівняння Даффіна-Кеммера-Петьє|||Duffin–Kemmer–Petiau algebra}}, виклавши бомівської траєкторії для масивних бозонів і бозонів без маси (а, отже, і для [[фотон]]ів).<ref name="ghose-1996"/> У [[2001]] році {{нп|Жан-П'єр Віґ’єр|||Jean-Pierre Vigier}} (відомий фізик, а також агент радянської розвідки) наголосив на важливості отримання чітко визначеного опису світла в термінах траєкторій частинок в рамках або бомівської механіки або стохастичної механіки Нельсона<ref>{{cite journal | last1 = Cufaro Petroni | first1 = Nicola | last2 = Vigier | first2 = Jean-Pierre | year = | title = Remarks on Observed Superluminal Light Propagation | url = | journal = Foundations of Physics Letters | volume = 14 | issue = 4| pages = 395–400 | doi = 10.1023/A:1012321402475 }}, в ньому: розділ ''3. Conclusions'', стор. 399</ref> У тому ж році Ґгосе розробив бомівські траєкторії фотонів для конкретних випадків<ref>{{cite journal | last1 = Ghose | first1 = Partha | last2 = Majumdar | first2 = A. S. | last3 = Guhab | first3 = S. | last4 = Sau | first4 = J. | year = 2001 | title = Bohmian trajectories for photons | url = http://web.mit.edu/saikat/www/research/files/Bohmian-traj_PLA2001.pdf | format = PDF | journal = Physics Letters A | volume = 290 | issue = | pages = 205–213 | doi=10.1016/s0375-9601(01)00677-6|arxiv = quant-ph/0102071 |bibcode = 2001PhLA..290..205G }}</ref> Послідовні експерименти {{нп|слабке вимірювання|слабкого вимірювання||Weak measurement}} виявили траєкторії, які збігаються з передбаченими траєкторіями<ref>Sacha Kocsis, Sylvain Ravets, Boris Braverman, Krister Shalm, Aephraim M. Steinberg: [http://www.aip.org.au/Congress2010/Abstracts/Monday%206%20Dec%20-%20Orals/Session_3E/Kocsis_Observing_the_Trajectories.pdf «Спостерігаючи траєкторії одного фотона за допомогою слабкого вимірювання» ({{lang-en|"Observing the trajectories of a single photon using weak measurement"}})] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110626194505/http://www.aip.org.au/Congress2010/Abstracts/Monday%206%20Dec%20-%20Orals/Session_3E/Kocsis_Observing_the_Trajectories.pdf |date=26 червня 2011 }} 19-ий Конгрес Австралійського інституту фізики у [[2010]] році ({{lang-en|19th Australian Institute of Physics (AIP) Congress, [[2010]]}})</ref><ref>{{cite journal | last1 = Kocsis | first1 = Sacha | last2 = Braverman | first2 = Boris | last3 = Ravets | first3 = Sylvain | last4 = Stevens | first4 = Martin J. | last5 = Mirin | first5 = Richard P. | last6 = Shalm | first6 = L. Krister | last7 = Steinberg | first7 = Aephraim M. | year = 2011 | title = Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer | url = | journal = Science | volume = 332 | issue = 6034| pages = 1170–1173 | doi = 10.1126/science.1202218 |bibcode = 2011Sci...332.1170K }}</ref>.

Кріс Д'юдні і Ґ. Гортон запропонували релятивістськи коваріантне, хвильово-функціональне формулювання теорії Бома квантового поля<ref>{{cite journal | last1 = Dewdney | first1 = Chris | last2 = Horton | first2 = George | year = 2002 | title = Relativistically invariant extension of the de Broglie Bohm theory of quantum mechanics | url = | journal = Journal of Physics A: Mathematical and General | volume = 35 | issue = 47| pages = 10117–10127 | doi = 10.1088/0305-4470/35/47/311 |arxiv = quant-ph/0202104 |bibcode = 2002JPhA...3510117D }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Dewdney | first1 = Chris | last2 = Horton | first2 = George | year = 2004 | title = A relativistically covariant version of Bohm's quantum field theory for the scalar field | url = | journal = Journal of Physics A: Mathematical and General | volume = 37 | issue = 49| pages = 11935–11943 | doi = 10.1088/0305-4470/37/49/011 |arxiv = quant-ph/0407089 |bibcode = 2004JPhA...3711935H }}</ref> і розширили його до форми, яка дозволяє включення гравітації<ref>{{cite journal | last1 = Dewdney | first1 = Chris | last2 = Horton | first2 = George | year = 2010 | title = A relativistic hidden-variable interpretation for the massive vector field based on energy-momentum flows | url = | journal = Foundations of Physics | volume = 40 | issue = 6| pages = 658–678 | doi = 10.1007/s10701-010-9456-9 |bibcode = 2010FoPh...40..658H }}</ref>

Ніколіч запропонував Лоренц-коваріантне формулювання бомівської інтерпретації багаточасткових хвильових функцій<ref>{{cite journal | last1 = Nikolić | first1 = Hrvoje | year = 2005 | title = Relativistic Quantum Mechanics and the Bohmian Interpretation | url = http://www.springerlink.com/content/y23q534285n7170l/ | journal = Foundations of Physics Letters | volume = 18 | issue = 6 | pages = 549–561 | doi = 10.1007/s10702-005-1128-1 | bibcode = 2005FoPhL..18..549N | arxiv = quant-ph/0406173 }}{{Недоступне посилання}}</ref>. Він розробив узагальнену релятивістсько-інваріантну ймовірнісну інтерпретацію квантової теорії<ref name="nikolicqft">{{cite journal | last1 = Nikolic | first1 = H | year = 2010 | title = QFT as pilot-wave theory of particle creation and destruction | url = http://arxiv.org/abs/0904.2287 | journal = International Journal of Modern Physics | volume = 25 | issue =  | pages = 1477–1505 | doi = 10.1142/s0217751x10047889 | arxiv = 0904.2287 | bibcode = 2010IJMPA..25.1477N | accessdate = 21 квітня 2016 | archive-date = 29 листопада 2014 | archive-url = https://web.archive.org/web/20141129042134/http://arxiv.org/abs/0904.2287 }}</ref><ref>Hrvoje Nikolić: [http://xxx.lanl.gov/abs/0811.1905 «Час в релятивістській і нерелятивістській квантовій механіці» ({{lang-en|"Time in relativistic and nonrelativistic quantum mechanics"}}]{{Недоступне посилання|date=вересня 2019 |bot=InternetArchiveBot }}, arXiv:0811/0811.1905v2 (представлено [[12 листопада]] [[2008]] року (перша версія), переглянуто [[12 січня]] [[2009]] року)</ref><ref>Hrvoje Nikolić: [http://arxiv.org/abs/1002.3226 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141129042328/http://arxiv.org/abs/1002.3226 |date=29 листопада 2014 }} «Суміщення нелокальної реальності з теорією відносності»({{lang-en|"Making nonlocal reality compatible with relativity"}})], {{arxiv|1002.3226v2}} [quant-ph] (представлено [[17 лютого]] [[2010]] року, версія від [[31 травня]] [[2010]] року)</ref>, в якому <math>|\psi|^2</math> вже більше не щільність ймовірності в просторі, а щільність ймовірності в [[простір-час|просторі-часі]]. Він використовує цю узагальнену ймовірнісну інтерпретацію формулювання релятивістськи-коваріантного варіанту теорії де Бройля&nbsp;— Бома без введення переважного шарування простору-часу. Його робота також охоплює розширення бомівської інтерпретації до квантування полів і струн<ref>Hrvoje Nikolić: [http://iopscience.iop.org/1742-6596/67/1/012035/pdf/jpconf7_67_012035.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141129074555/http://iopscience.iop.org/1742-6596/67/1/012035/pdf/jpconf7_67_012035.pdf |date=29 листопада 2014 }} «Бомівська механіка в релятивістській квантовій механіці, квантовій теорії поля і теорії струн»({{lang-en|"Bohmian mechanics in relativistic quantum mechanics, quantum field theory and string theory"}})]'', [[2007]] рік, Journal of Physics'': Conf. Ser. 67 012035</ref>.

Родерік Сазерленд з [[Сідней]]ського університету розробив формалізм Лагранжа для хвилі-пілота і її можливих станів, спираючись на слабкі вимірювання {{нп|Якір Ааронов|Якіра Ааронова||Yakir Aharonov}} для пояснення багаточастинкового заплутування у спосіб спеціальної теорії відносності без необхідності введення конфігураційного простору. Основна ідея вже була опублікована {{нп|Олів’єр Коста де Бореґард|Олів’єром Коста де Бореґардом|fr|Olivier Costa de Beauregard}} в [[1950]]-і роки, а також використовується {{нп|Джон Крамер|Джоном Крамером||John G. Cramer}} в його транзакційній інтерпретації без можливих станів, які існують між вимірюваннями сильного проєкційного оператора фон Неймана. Лагранжіан Сазерленда включає двосторонню дію реакції між хвилі-пілота і її можливими станами. Таким чином, це постквантова нестатистична теорія з остаточними граничними умовами, що порушують теореми квантової теорії про відсутність сигналу. Подібно до того, як спеціальна теорія відносності є граничним випадком загальної теорії відносності, коли кривина простору-часу дорівнює нулю, так само статистична беззаплутувальносигнальна квантова теорія з правилом Борна це просто граничний випадок постквантового Лагранжіану дії-віддачі, коли реакція має значення нуль, а остаточна гранична умова виокремлена<ref>Roderick Sutherland: [http://arxiv.org/abs/1509.02442 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160118005145/http://arxiv.org/abs/1509.02442 |date=18 січня 2016 }} «Опис Лагранжіана для частинкової інтерпретації квантової механіки&nbsp;— Випадок заплутування багатьох частинок» ({{lang-en|"Lagrangian Description for Particle Interpretations of Quantum Mechanics — Entangled Many-Particle Case"}})], {{arxiv|1509.02442}}</ref>.

=== Спін ===
Для того, щоб включити [[спін]], [[хвильова функція]] повинна бути комплексовекторнозначною. Простір значень називається спіновим простором; для [[ферміон]]ів <math>\mathbb{C}^2</math> підходить як спіновий простір. Основоположне рівняння модифікується шляхом проведення внутрішніх множень в спіновому просторі, щоб звести комплексні вектори до комплексних чисел. Рівняння Шредінгера модифікується додаванням члена спін-Паулі.

: <math>\begin{align}
          \frac{d \mathbf{Q}_k}{dt} (t) &= \frac{\hbar}{m_k} Im \left(\frac{(\psi,D_k \psi)}{(\psi,\psi)} \right) (\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \ldots, \mathbf{Q}_N, t) \\
  i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi &= \left(-\sum_{k=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m_k}D_k^2 + V - \sum_{k=1}^{N} \mu_k \mathbf{S}_{k}/{S}_{k} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{q}_k) \right) \psi
\end{align}</math>

де <math>\mu_k</math>&nbsp;— [[магнітний момент]] <math>k</math>-тої частинки, <math>\mathbf{S}_{k}</math>&nbsp;— відповідний спіновий оператор, який діє в спіновому просторі <math>k</math>-тої частинки, <math>{S}_{k}</math>&nbsp;— спін частинки (<math>{S}_{k} = 1/2</math> для електрона),

: <math>D_k = \nabla_k-\frac{ie_k}{c\hbar}\mathbf{A}(\mathbf{q}_k)</math>,

<math>\mathbf{B}</math> і <math>\mathbf{A}</math>&nbsp;— відповідно, магнітне поле і вектор-потенціал у <math>\mathbb{R}^{3}</math> (всі інші функції означені повністю у конфігураційному просторі), <math>e_k</math>&nbsp;— заряд <math>k</math>-тої частинки, і <math>(\cdot,\cdot)</math>&nbsp;— скалярний добуток в спіновому просторі <math>\mathbb{C}^d</math>,

: <math>(\phi,\psi) = \sum_{s=1}^d \phi_s^* \psi_s.</math>

Для прикладу спінового простору, система, що складається з двох частинок зі спіном 1/2 й однієї зі спіном 1, має хвильову функцію виду
: <math>\psi: \mathbb{R}^{9}\times \mathbb{R} \to \mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{3}</math>.
Тобто, його спіновий простір являє собою 12-вимірний простір.

=== Квантова теорія поля ===
У роботі Дюрра та інших<ref name="dgtz04">Dürr, D., Goldstein, S., Tumulka, R., and Zanghì, N., [[2004]], [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0303156 «Bohmian Mechanics and Quantum Field Theory»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160118025451/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0303156 |date=18 січня 2016 }}, ''Physical Review Letters'' 93: 090402:1–4.</ref><ref>Dürr, D., Tumulka, R., and Zanghì, N., ''Journal of Physics A'': Math. Gen. 38, R1–R43 ([[2005]]), [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0407116v1 quant-ph/0407116] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180412145813/https://arxiv.org/abs/quant-ph/0407116v1 |date=12 квітня 2018 }}</ref> автори описують розширення теорії де Бройля&nbsp;— Бома для обробки [[оператори народження та знищення|операторів народження та знищення]], на які вони посилаються як «квантові теорії поля типу Белла». Основна ідея полягає в тому, що конфігураційний простір перетворюється у неперетинне об'єднання просторів всіх можливих конфігурацій будь-якого числа частинок. Частину часу система еволюціонує детерміновано згідно з керуючим рівнянням з фіксованим числом частинок. Але під час [[стохастичний процес|стохастичного процесу]], частинки можуть створюватися й аннігілювати (тобто, взаємознищуватись і перетворюватися в інші частинки). Розподіл подій створення продиктований хвильовою функцією. Сама хвильова функція розвивається в усіх моментах часу у повному конфігураційному простору багатьох частинок.

Грвоє Ніколіч<ref name="nikolicqft"/> вводить чисто детерміновану теорію створення частинок і руйнування де Бройля&nbsp;— Бома, відповідно до якої траєкторії частинок є неперервними, але детектори частинок поводяться так, якби частинки були створені або знищені, навіть коли справжнє створення або знищення частинок не відбувається.

=== Викривлений простір ===
Для розширення теорії де Бройля&nbsp;— Бома у викривленому просторі ([[ріманів многовид]] в математичній термінології), достатньо просто зазначити, що всі елементи цих рівнянь мають сенс, такі як [[градієнт]]и і [[лапласіан]]и. Таким чином, ми використовуємо рівняння, які мають ту ж форму, що і вище. Топологічні і [[граничні умови]] можуть застосовуватися в доповненні еволюції рівняння Шредінгера.

Для теорії де Бройля&nbsp;— Бома на викривленому просторі зі спіном, простір перетворюється у [[векторне розшарування]] в просторі конфігурації і потенціал в рівнянні Шредінгера перетворюється у локальний самоспряжений оператор, що діє на цьому ж просторі<ref>{{cite journal | last1 = Dürr | first1 = D. | last2 = Goldstein | first2 = S. | last3 = Taylor | first3 = J. | last4 = Tumulka | first4 = R. | last5 = Zanghì | first5 = N. | year = 2007 | title = Quantum Mechanics in Multiply-Connected Spaces | url = http://arxiv.org/abs/quant-ph/0506173 | journal = Phys. A: Math. Theor | volume = 40 | issue =  | pages = 2997–3031 | doi = 10.1088/1751-8113/40/12/s08 | arxiv = quant-ph/0506173 | bibcode = 2007JPhA...40.2997D | accessdate = 21 квітня 2016 | archive-date = 17 серпня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160817020145/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0506173 }}</ref>.

=== Використовуючи нелокальність ===
{{нп|Ентоні Валентіні|||Antony Valentini}}<ref>{{cite journal | last1 = Valentini | first1 = A | year = 1991 | title = Signal-Locality, Uncertainty and the Subquantum H-Theorem. II | url = | journal = Physics Letters A | volume = 158 | issue = | pages = 1–8 | doi=10.1016/0375-9601(91)90330-b|bibcode = 1991PhLA..158....1V }}</ref> поширив теорію де Бройля&nbsp;— Бома до включення сигналу нелокальності, який дозволив би [[Сплутані квантові стани|заплутування]] використовувати як автономний канал зв'язку без вторинного класичного сигналу «ключа» для «розблокування» повідомлення, закодованого в заплутаності. Це порушує ортодоксальну квантову теорію, але вона цінна тим, що вона, в принципі, уможливлює спостереження паралельних всесвітів [[хаотична теорія інфляції|хаотичної теорії інфляції]].

На відміну від теорії де Бройля&nbsp;— Бома, у теорії Валентіні еволюція хвильової функції також залежить від онтологічних змінних. Це вносить нестабільність, петлю зворотного зв'язку, яка виштовхує приховані змінні із «субквантової теплової смерті». Отримана теорія, таким чином, нелінійна і неунітарна.

== Результати ==
Нижче наведені деякі основні результати, які виникають з аналізу теорії де Бройля&nbsp;— Бома. Експериментальні результати узгоджуються з усіма стандартними передбаченнями квантової механіки настільки, наскільки ця має передбачення. Проте, в той час як стандартна квантова механіка обмежується обговоренням результатів «вимірів», теорія де Бройля&nbsp;— Бома управляє динамікою системи без втручання зовнішніх спостерігачів (117-ий параграф у Белла<ref name="bell">{{cite book |last=Bell |first=John S. |title=Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics |url=https://archive.org/details/speakableunspeak0000bell |location= |publisher=Cambridge University Press |year=1987 |isbn=0521334950 }}</ref>).

Підставою для узгодження зі стандартною квантовою механікою є те, що частинки розподілені згідно з <math>|\psi|^2</math>. Можна довести<ref name="dgz92" />, що для всесвіту, керованим цією теорією, це твердження невігластва спостерігача, як правило, має місце. Існує очевидний колапс хвильової функції, яка регулює підсистеми всесвіту, але немає ніякого колапсу універсальної хвильової функції.

=== Вимірювання спіну і поляризації ===
Згідно зі звичайною квантовою теорією, не можна виміряти [[спін]] або [[Поляризація хвиль|поляризацію]] частинки безпосередньо; замість цього, компонента в одному напрямку вимірюється; результат з однієї частинки може бути 1, а це означає, що частинка була розташована згідно з вимірювальним пристроєм або -1, а це означає, що воно була розташована в протилежну сторону. Для ансамблю частинок, якщо ми очікуємо, що частинки будуть вирівняні, результати всіх будуть 1. Якщо ми очікуємо, що вони повинні бути вирівняні протилежно, результати всіх будуть -1. Для інших впорядкувань, ми очікуємо, що деякі результати будуть 1, а деякі -1 з ймовірністю, що залежить від очікуваного вирівнювання. Для повного пояснення цього дивіться [[дослід Штерна-Герлаха]].

У теорії де Бройля&nbsp;— Бома результати спінового експерименту не можуть бути проаналізовані без деякого знання експериментальної установки. Цілком можливо<ref>Albert, D. Z., [[1992]], Quantum Mechanics and Experience, Cambridge, MA: Harvard University Press</ref> змінити налаштування таким чином, щоб траєкторія частки не змінилася, але, щоб частинка з одним налаштуванням реєструється зі спіном вгору, в той час як за інших налаштувань вона реєструється як зі спіном вниз. Таким чином, для теорії де Бройля&nbsp;— Бома, спін частинки не є внутрішньою властивістю частинки, натомість спіна, так би мовити, це значення хвильової функції частинки стосовно конкретного пристрою, використовуваного для вимірювання спіну. Це ілюстрація того, що іноді називають контекстуальністю, і пов'язана з наївним реалізмом про оператори<ref>{{cite journal | last1 = Daumer | first1 = M. | last2 = Dürr | first2 = D. | last3 = Goldstein | first3 = S. | last4 = Zanghì | first4 = N. | year = 1997 | title = Naive Realism About Operators | url = http://arxiv.org/abs/quant-ph/9601013 | journal = Erkenntnis | volume = 45 | issue =  | pages = 379–397 | accessdate = 21 квітня 2016 | archive-date = 17 серпня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160817023537/http://arxiv.org/abs/quant-ph/9601013 }}</ref>.

=== Вимірювання, квантовий формалізм, і незалежність спостерігача ===
Теорія де Бройля&nbsp;— Бома дає ті ж результати, що і квантова механіка. Вона розглядає хвильову функцію як фундаментальний об'єкт в теорії, оскільки хвильова функція описує, як рухаються частинки. Це означає, що жоден експеримент не може розрізнити дві теорії. У цьому розділі викладаються ідеї щодо того, як виникає стандартний квантовий формалізм з квантової механіки. Список використаної літератури включає оригінальну роботу Бома [[1952]] року і роботу Дюрра та інших.<ref name="dgz92" />

==== Колапс хвильової функції ====
Теорія де Бройля&nbsp;— Бома належить до теорій, що в першу чергу застосовні до всього всесвіту. Тобто, існує єдина хвильова функція, що регулює рух всіх частинок у всесвіті відповідно до керуючого рівняння. Теоретично рух однієї частинки залежить від положення всіх інших частинок у всесвіті. У деяких ситуаціях, наприклад, в експериментальних системах, ми можемо уявити саму систему з точки зору теорії де Бройля&nbsp;— Бома, в якій хвильова функція системи отримана шляхом введення поправки на навколишнє середовище системи. Таким чином, система може бути проаналізована з рівняння Шредінгера і керуючого рівняння з початковим <math>|\psi|^2</math> розподілом частинок в системі (дивіться розділ [[#Умовна хвильова функція підсистеми| умовна хвильова функція підсистеми]] для отримання більш докладної інформації).

Це вимагає спеціального налаштування, щоб умовна хвильова функція системи підкорялася квантовій еволюції. Коли система взаємодіє з навколишнім середовищем, наприклад, за допомогою вимірювань, умовна хвильова функція системи розвивається по-іншому. Еволюція універсальної хвильової функції може стати такою, що видається, ніби хвильова функція системи перебуває в суперпозиції різних станів. Однак, якщо середовище зафіксувало результати експерименту, то використовуючи фактичну бомівську конфігурацію середовища для обумовлення, умовна хвильова функція колапсує тільки в одну альтернативу, що відповідає результатам вимірювань.

[[Колапс хвильової функції|Колапс]] універсальної хвильової функції ніколи не зустрічається в теорії де Бройля&nbsp;— Бома. Вся її еволюція визначається рівнянням Шредінгера й еволюції частинок регулюються керуючим рівнянням. Колапс відбувається тільки феноменологічно для систем, які нібито слідують своєму власному рівнянню Шредінгера. Оскільки це ефективний опис системи, це питання вибору щодо того, що визначити експериментальну систему для включення і від цього вибору буде залежати, коли відбувається «колапс».

==== Оператори, як спостережувані ====
У стандартному квантовому формалізмі, вимірювання спостережуваних в загальному випадку вважається вимірюванням операторів в гільбертовому просторі. Наприклад, вимірювання положення вважається вимірюванням оператора положення. Таке співвідношення між фізичними вимірюваннями й операторами гільбертового простору виступає додатковою аксіомою теорії для стандартної квантової механіки. Теорія де Бройля&nbsp;— Бома, навпаки, не вимагає таких аксіом вимірювань (і вимірювання як таке не є динамічно різне або спеціальною підкатегорією фізичних процесів в теорії). Зокрема, звичайний формалізм операторів як спостережуваних виступає теоремою для теорії де Бройля&nbsp;— Бома<ref>Dürr, D., Goldstein, S., and Zanghì, N., [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0308038 «Quantum Equilibrium and the Role of Operators as Observables in Quantum Theory»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160118025447/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0308038 |date=18 січня 2016 }} Journal of Statistical Physics 116, 959—1055 (2004)</ref>. Основною думкою аналізу є те, що багато вимірювань спостережуваних не відповідають властивостям частинок; вони (як і у випадку із вимірювання спіну, обговореного вище), є вимірюваннями хвильової функції.

В історії теорії де Бройля&nbsp;— Бома, прихильникам часто доводилося мати справу з претензіями, що ця теорія неможлива. Такі аргументи, як правило, ґрунтуються на неправильному аналізі операторів як спостережуваних. Якщо вважати, що вимірювання спіну було дійсно вимірюванням спіну частинки, яка існувала до вимірювання, то можна отримати протиріччя. Теорія де Бройля&nbsp;— Бома розв'язує цю проблему, зазначивши, що спін не є властивістю частинки, а радше хвильової функції. Як такий, він має певний результат тільки після вибору експериментального апарату. Як тільки це взяти до уваги, теореми про неможливість стають недоречними.

Існували заяви, що [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0206196 експерименти спростовують траєкторії Бома] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160714132038/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0206196 |date=14 липня 2016 }} на користь стандартних квантовомеханічних ліній. Але, як показано в [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0108038 тут] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180426213224/https://arxiv.org/abs/quant-ph/0108038 |date=26 квітня 2018 }} і [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0305131 тут] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180426075831/https://arxiv.org/abs/quant-ph/0305131 |date=26 квітня 2018 }}, такі експерименти, наведені вище, тільки спростовують неправильне тлумачення теорії де Бройля&nbsp;— Бома, а не саму теорію.

Існують також заперечення проти цієї теорії, обґрунтовані тим, що теорія описує конкретні ситуації, як правило використовуючи власні стани оператора. Наприклад, основний стан водню є справжня хвильова функція. Згідно керуючого рівняння, це означає, що електрон знаходиться в стані спокою, коли перебуває в цьому стані. Проте, він розподіляється по <math>|\psi|^2</math> і неможливо виявити ніякого протиріччя з результатами експериментальних досліджень.

формалізм операторів як спостережуваних призвів до того, що багато хто вважає, що багато операторів еквівалентні. Теорія де Бройля&nbsp;— Бома, з її точки зору, вибирає спостережуване положення як пріорітитне спостережуване, а не, скажімо, спостережуване імпульсу. Знову ж, посилання на спостережуване положення є наслідком динаміки. Мотивацією для теорії де Бройля&nbsp;— Бома є опис системи частинок. Це означає, що мета теорії полягає в тому, щоб описати стан цих частинок в усі моменти часу. Інші спостережувані не мають такого переконливого онтологічного статусу. Отримання визначених позицій пояснює отримування певних результатів, таких як спалахи на екрані детектора. Інші спостережувані не призведуть до такого висновку, але не повинно бути ніяких проблем у визначенні математичної теорії для інших спостережуваних; дивись Гаймана та інших<ref>Hyman, Ross et al [http://www.iop.org/EJ/abstract/0305-4470/37/44/L02 Bohmian mechanics with discrete operators], ''Journal of Physics A'': Math. Gen. 37 L547–L558, [[2004]]</ref> для відкриття того факту, що щільність ймовірності й струм ймовірності можуть бути визначені для будь-якого набору комутуючих операторів.

==== Приховані змінні ====
Теорія де Бройля&nbsp;— Бома часто згадується як [[теорія прихованих параметрів|теорія «прихованних змінних»]]. Бом використовував цей опис у своїх початкових роботах на цю тему, пишучи, {{початок цитати}}«З точки зору [[копенгагенська інтерпретація|звичайної інтерпретації]], ці додаткові елементи або параметри [що дозволяють здійснити детальний причинний і неперервний опис всіх процесів] можна назвати „прихованими“ змінними».{{oq|en|"From the point of view of the usual interpretation, these additional elements or parameters [permitting a detailed causal and continuous description of all processes] could be called 'hidden' variables."}}{{кінець цитати}} Бом і {{нп|Бейсіл Гайлі|Гайлі ||Basil Hiley}} пізніше заявили, що вони вважають вибір Бома терміну «приховані змінні» таким, що має занадто обмежувальний характер. Зокрема, вони стверджували, що частинка насправді не прихована, а натомість «це те, що найбезпосереднішим чином проявляється в спостереженні [хоча] її властивості не можна спостерігати з довільною точністю (в межах [[принцип невизначеності|принципу невизначеності]])»<ref>David Bohm, Basil Hiley: ''The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory'', видання, опубліковане в електронній бібліотеці Тейлора і Френсіса у [[2009]] році (перше видання Routledge, [[1993]]), ISBN 0-203-98038-7, [http://books.google.com/books?id=vt9XKjc4WAQC&pg=PA2 p. 2] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140705152024/http://books.google.com/books?id=vt9XKjc4WAQC&pg=PA2|date=5 липня 2014}}</ref>. Проте, інші все-таки вважають термін «прихованих змінних» як відповідний опис<ref>«Хоча прогнози, що перевіряються бомівською механікою ізоморфні стандартній Копенгагенській квантовій механіці, її основоположні приховані змінні повинні бути, в принципі, неспостережуваними. Якщо можна було б спостерігати за ними, можна було б мати можливість скористатися цим і відправляти сигнали швидше за світло, що&nbsp;— згідно спеціальної теорії відносності&nbsp;— призводить до фізичних часових парадоксів.» {{lang-en|"While the testable predictions of Bohmian mechanics are isomorphic to standard Copenhagen quantum mechanics, its underlying hidden variables have to be, in principle, unobservable. If one could observe them, one would be able to take advantage of that and signal faster than light, which – according to the special theory of relativity – leads to physical temporal paradoxes."}} J. Kofler and A. Zeiliinger, «Quantum Information and Randomness», ''European Review'' ([[2010]]), Vol. 18, No. 4, 469—480.</ref>.

Узагальнені траєкторії частинок можуть бути екстрапольовані через численні слабкі вимірювання ансамблю однаково підготовлених систем, і такі траєкторії збігаються з траєкторіями де Бройля&nbsp;— Бома. Зокрема, експеримент з двома сплутаними фотонами, в якому множина бомівських траєкторій для одного з фотонів була визначена з використанням слабких вимірювань і поствибірки, може бути зрозумілий в термінах нелокального зв'язку між траєкторією одного фотона і поляризацією іншого фотона<ref>{{Cite news|url=http://advances.sciencemag.org/cgi/doi/10.1126/science.1501466|title=Experimental nonlocal and surreal Bohmian trajectories|first1=D. H.|last1=Mahler|first2=L.|last2=Rozema|first3=K.|last3=Fisher|first4=L.|last4=Vermeyden|first5=K. J.|last5=Resch|first6=H. M.|last6=Wiseman|first7=A.|last7=Steinberg|date=2016-02-19|pages=e1501466–e1501466|language=en|work=[[Science Advances]]|volume=2|doi=10.1126/science.1501466|pmc=PMC4788483|pmid=26989784|issue=2|issn=2375-2548|access-date=2024-12-20}}</ref><ref>[http://phys.org/news/2016-02-quantum-surrealism.html Researchers demonstrate 'quantum surrealism'] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160423223703/http://phys.org/news/2016-02-quantum-surrealism.html |date=23 квітня 2016 }}, phys.org, 19 February [[2016]]</ref><ref>Anil Ananthaswamy: [https://www.newscientist.com/article/2078251-quantum-weirdness-may-hide-an-orderly-reality-after-all/ Quantum weirdness may hide an orderly reality after all] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160427010116/https://www.newscientist.com/article/2078251-quantum-weirdness-may-hide-an-orderly-reality-after-all/ |date=27 квітня 2016 }}, newscientist.com, 19 February [[2016]]</ref>. Проте, не тільки інтерпретація де Бройля&nbsp;— Бома, але і багато інших інтерпретацій квантової механіки, які не містять такі траєкторії, узгоджуються з такими експериментальними даними.

=== Принцип невизначеності Гейзенберга ===
[[Принцип невизначеності Гейзенберга]] стверджує, що при здійсненні двох доповнювальних вимірювань, є межа для добутку їхньої точності. До прикладу, якщо вимірювати положення з точністю <math>\Delta x</math>, і імпульс з точністю <math>\Delta p</math>, тоді <math>\Delta x\Delta p\gtrsim h.</math> Якщо ми робимо додаткові вимірювання для того, щоб отримати більше інформації, ми порушимо систему і змінимо траєкторію на іншу залежно від налаштувань вимірювань. Таким чином, результати вимірювань, як і раніше, підкоряються співвідношенню невизначеності Гейзенберга.

У теорії де Бройля&nbsp;— Бома, по суті, завжди стоїть питання про положення та імпульс частинки. Кожна частинка має чітко визначену траєкторію, а також хвильову функцію. Спостерігачі мають обмежені знання щодо того, якою є ця траєкторія (і, отже, положення та імпульс). Це відсутність знань про траєкторію частинки, яка враховує принцип невизначеності. Що можна дізнатися про частинку в будь-який момент часу описується хвильовою функцією. Оскільки співвідношення невизначеності може бути отримане з хвильової функції в інших інтерпретації квантової механіки, воно може бути отримано аналогічним чином в теорії де Бройля&nbsp;— Бома (в [[Епістемологія|епістемологічному]] сенсі згадуваному вище).

Для того, щоб поставити заяву інакше, положення частинок відомі тільки статистично. Як і в [[класична механіка|класичній механіці]], послідовні спостереження позицій частинок уточнюють знання експериментатора про [[початкові умови]] частинки. Таким чином, при наступних спостереженнях, початкові умови стають все більше і більше обмеженими. Цей формалізм узгоджується зі звичайним використанням [[рівняння Шредінгера]].

Для виведення співвідношення невизначеностей дивись [[принцип невизначеності Гейзенберга]], зауваживши, що там описується він з точки зору [[копенгагенська інтерпретація|копенгагенської інтерпретації]].

=== Квантова заплутаність, парадокс Ейнштейна-Подольського-Розена, теорема Белла і нелокальність ===
Теорія де Бройля&nbsp;— Бома висвітлила питання про {{нп|Квантова нелокальність|нелокальність||Quantum nonlocality}}, що надихнуло [[Джон Стюарт Белл|Джона Белла]] на формулювання і доведення тепер відомої його [[Теорема Белла|теореми]]<ref>{{cite journal | author = Bell J. S. | year = 1964 | title = On the Einstein Podolsky Rosen Paradox | url = http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf | format = PDF | journal = Physics | volume = 1 | issue =  | page = 195 | accessdate = 21 квітня 2016 | archive-date = 28 вересня 2019 | archive-url = https://web.archive.org/web/20190928050929/http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf }}</ref>,, що в свою чергу, призвело до {{нп|експерименти нерівності Белла|експериментів нерівності Белла||Bell test experiments}}.

В [[Парадокс Ейнштейна — Подольського — Розена|парадоксі Ейнштейна-Подольського-Розена]], автори описують уявний експеримент, який можна було б провести на парі частинок, які взаємодіяли, результати якого вони інтерпретували як вказівку, що квантова механіка є неповною теорією<ref>{{cite journal |last=Einstein |last2=Podolsky |last3=Rosen |title=Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? |journal=[[Physical Review|Phys. Rev.]] |volume=47 |issue=10 |pages=777–780 |year=1935 |doi=10.1103/PhysRev.47.777 |bibcode = 1935PhRv...47..777E }}</ref>.

Кілька десятиліть по тому [[Джон Стюарт Белл|Джон Белл]] довів [[Теорема Белла|теорему Белла]] (див 14 параграф у<ref name="bell"/>), в якій він показав, що для того, щоб інтерпретація квантової механіки з «прихованими змінними» узгоджувалася з емпіричними прогнозами квантової механіки, вона повинна бути або нелокальною (як інтерпретація Бома) або відмовитися від припущення, що експерименти завжди дають однакові результати (див інтерпретацію {{нп|контрафактна означуваність|контрафактної означуваності||Counterfactual definiteness}} і [[Багатосвітова інтерпретація|багатосвітову інтерпретацію]]). Зокрема, Белл довів, що будь-яка локальна теорія з однаковими результатами повинна зробити емпіричні передбачення, що задовольняють статистичне обмеження під назвою «нерівності Белла».

[[Ален Аспе]] провів серію {{нп|експерименти нерівності Белла|експериментів нерівності Белла||Bell test experiments}}, що перевіряють нерівність Белла за допомогою налаштувань типу парадоксу Ейнштейна-Подольського-Розена. Результати Аспе показують експериментально, що нерівність Белла фактично порушується, а це означає, що відповідні квантово-механічні передбачення є правильними. У цих експериментах нерівності Белла, створені пари частинок, пов'язані квантовою заплутаністю; частинки відділяються і подорожують до віддалених вимірювальних приладів. Орієнтація вимірювального пристрою може бути змінена під час польоту частинок, демонструючи очевидну нелокальність ефекту.

Теорія де Бройля&nbsp;— Бома робить ті ж (емпірично правильні) передбачення для експериментів нерівності Белла, як звичайна квантова механіка. Це можливо тому, що теорія декларована явно нелокальною. Вона часто піддається критиці або відкидається на цій підставі; ставлення Белла було: {{початок цитати}}«Це заслуга версії де Бройля&nbsp;— Бома за подачу цієї [нелокальності] так, що вона вже явно не може бути проігнорованою.»
{{oq|en|"It is a merit of the de Broglie–Bohm version to bring this [nonlocality] out so explicitly that it cannot be ignored."}}<ref>Белл, сторінка 115</ref>{{кінець цитати}}

Теорія де Бройля&nbsp;— Бома описує фізику в експериментах нерівності Белла наступним чином: щоб зрозуміти еволюцію частинок, нам потрібно створити хвильове рівняння для обох частинок; орієнтація апарату впливає на хвильову функцію. Частинки в експерименті слідують вказівкам хвильової функції. Це хвильова функція, яка переносить швидше, ніж швидкість світла, ефектом зміни орієнтації пристрою. Аналіз того, яка саме нелокальність присутня і як вона сумісна з теорією відносності можна знайти в Модліна<ref>{{cite book |last=Maudlin |first=T. |year=1994 |title=Quantum Non-Locality and Relativity: Metaphysical Intimations of Modern Physics |location=Cambridge, Mass. |publisher=Blackwell |isbn=0631186093 }}</ref>. Зверніть увагу, що в роботі Белла, і більш докладно в роботі Модліна показано, що нелокальність не дозволяє передачу сигналів зі швидкістю більшою, ніж швидкість світла.

=== Межа, де проявляється класична поведінка ===
Формулювання Бома теорії де Бройля&nbsp;— Бома в термінах версії класичного виду має свої переваги, наприклад, поява класичної поведінки, здається, повинна наступати безпосередньо у будь-якій ситуації, в якій квантовим потенціалом можна знехтувати, як було зазначено Бомом у [[1952]] році. Сучасні методи [[декогеренція|декогеренції]] мають відношення до аналізу цієї межі. Див. Алорі та інших<ref>{{cite journal | last1 = Allori | first1 = V. | last2 = Dürr | first2 = D. | last3 = Goldstein | first3 = S. | last4 = Zanghì | first4 = N. | year = 2002 | title = Seven Steps Towards the Classical World | url = http://arxiv.org/abs/quant-ph/0112005 | journal = Journal of Optics B | volume = 4 | issue =  | pages = 482–488 | doi = 10.1088/1464-4266/4/4/344 | accessdate = 21 квітня 2016 | archive-date = 17 серпня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160817084032/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0112005 }}</ref> для кроків у напрямку ретельного аналізу.

=== Метод квантової траєкторії ===
Робота {{нп|Роберт Ваят|Роберта Ваята||Robert E. Wyatt}} на початку [[2000]]-х років намагалася використовувати «частинки» Бома як адаптивну сітку, яка слідує за фактичною траєкторію квантового стану в часі й просторі. У методі «квантової траєкторії», підбирається квантова хвильова функція із сіткою квадратурних точок. Потім квадратурні точки розвиваються в часі відповідно до рівняння руху Бома. На кожному часовому кроці, повторно синтезується хвильова хвиля з точок, перераховуються квантові сили, і продовжується підрахунок. (Відео у форматі QuickTime для цього реактивного розсіювання можна завантажити на [http://research.cm.utexas.edu/rwyatt/movies/qtm/index.html сайті групи Ваята] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160512133454/http://research.cm.utexas.edu/rwyatt/movies/qtm/index.html |date=12 травня 2016 }})
Цей підхід був адаптований, розширений, і використаний багатьма дослідниками у спільноті хімічної фізики як спосіб обчислення напівкласичної і квазікласичної молекулярної динаміки. Нещодавній випуск [[2007]] року [http://pubs.acs.org/toc/jpcafh/111/41~~HEAD=pobj Журнал фізичної хімії ({{lang-en|Journal of Physical Chemistry}})]{{Недоступне посилання|date=липень 2019 |bot=InternetArchiveBot }} був присвячений професору Ваяту і його роботі над «Обчислювальною бомівською динамікою».

[http://k2.chem.uh.edu Група] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210805161220/http://k2.chem.uh.edu/ |date=5 серпня 2021 }} {{нп|Ерік Бітнер|Еріка Бітнера||Eric R. Bittner}} в [[Університет Х'юстона|університеті Х'юстона]] розробила статистичний варіант такого підходу, який використовує баєсівский метод відбору проб для зразків квантової щільність і обчислення квантового потенціалу на безструктурній сітці точок. Цей метод був недавно використаний для оцінки квантових ефектів в теплоємності малих кластерів Ne<sub>n</sub> при n~100.

Все ще залишаються труднощі з використанням бомівського підходу, в основному, пов'язані з утворенням сингулярностей в квантовому потенціалі через вузли в квантовій хвильовій функції. Загалом, вузли формуються через інтерференційні ефекти, що призводить до випадку, коли <math>R^{-1}\nabla^2R\rightarrow\infty.</math> Це призводить до нескінченної сили на частинки зразка змушуючи їх відійти від вузла і часто перетинаючи шлях інших точок вибірки (що порушує однозначність). Різні схеми були розроблені, щоб подолати цю проблему; проте, загальний розв'язок досі невідомий.

Ці методи, як і Бомівські формулювання рівнянь Гамільтона-Якобі, не застосовні до ситуацій, в яких повинна бути взята до уваги повна спінова динаміка.

=== Критика у стилі Бритви Оккама ===
І [[Х'ю Еверетт]] і {{нп|Девід Бом|||David Bohm}} розглядали хвильову функцію як [[Науковий реалізм|фізично реальне]] [[поле (фізика)|поле]]. [[Багатосвітова інтерпретація]] Еверетта є спробою показати, що [[хвильова функція]] самодостатня для пояснення всіх наших спостережень. Коли ми бачимо спалах детектора частинок або чуємо клацання [[лічильник Гейгера|лічильника Гейгера]], то теорія Еверетта інтерпретує це як реакцію нашої ''хвильової функції'' на зміни ''хвильової функції'' детектора, який відповідає в свою чергу на проходження іншої ''хвильової функції'' (про яку ми думаємо як «частинку», але насправді це просто ще один [[хвильовий пакет]]).<ref name=BrownWallace>{{cite journal | last1 = Brown | first1 = Harvey R | authorlink = Harvey Brown (philosopher) | last2 = Wallace | first2 = David | year = 2005 | title = Solving the measurement problem: de Broglie-Bohm loses out to Everett | url = http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001659/01/Cushing.pdf | format = PDF | journal = Foundations of Physics | volume = 35 | issue =  | pages = 517–540 | doi = 10.1007/s10701-004-2009-3 | arxiv = quant-ph/0403094 | bibcode = 2005FoPh...35..517B | accessdate = 21 квітня 2016 | archive-date = 9 липня 2010 | archive-url = https://web.archive.org/web/20100709164536/http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001659/01/Cushing.pdf }} Анотація: "Квантова теорія де Бройля і Бома вирішує проблему вимірювання, але гіпотетичні корпускули не грають ніякої ролі в аргументі. Рішення знаходить більш природну оселю в інтерпретації Еверетта.{{lang-en|Abstract: "The quantum theory of de Broglie and Bohm solves the measurement problem, but the hypothetical corpuscles play no role in the argument. The solution finds a more natural home in the Everett interpretation."}}</ref> Згідно з цією теорією, жодна частинка не існує (в сенсі Бома наявності певного положення і швидкості). З цієї причини Еверетт іноді називав його власний [[Багатосвітова інтерпретація|багатосвітовий підхід]] як «чисто хвильову теорію». Говорячи про підхід Бома теорії [[1952]] року, Еверетт каже: {{початок цитати}}Наша головна критика цієї точки зору полягає у простоті&nbsp;— якщо хтось бажає дотримуватися думки, що <math>\psi</math> є справжнє поле, то пов'язана з ним частинка є надлишковою, оскільки, як ми прагнули показати, чисто хвильова теорія самодостатня.
{{oq|en|Our main criticism of this view is on the grounds of simplicity — if one desires to hold the view that <math>\psi</math> is a real field then the associated particle is superfluous since, as we have endeavored to illustrate, the pure wave theory is itself satisfactory.}}<ref>Див розділ VI дисертації Еверетта: [http://www.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121016151021/http://www.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf |date=16 жовтня 2012 }} ''Теорія універсальної хвильової функції {{lang-en|Theory of the Universal Wavefunction}}''], P. 3-140 за редакцією [[Брайс Девітт|Брайс Селігман ДеВіт]], [[Нейль Ґрем]], ''Багатосвітова інтерпретація квантової механіки {{lang-en|The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics}}'', Princeton Series in Physics, [[Princeton University Press]] ([[1973]]), ISBN 0-691-08131-X</ref>{{кінець цитати}}

З точки зору Еверета, частинки Бома зайві об'єкти для теорії, аналогічно, як і однаково непотрібне поняття, як [[Ефір (фізика)|світлоносний ефір]], який визнаний непотрібним для [[спеціальна теорія відносності|спеціальної теорії відносності]]. Цей аргумент Еверетта іноді називають аргумент «надмірності», оскільки зайві частинки є надлишковими в сенсі [[бритва Оккама|бритви Оккама]]<ref>[[Craig Callender]]: [http://philosophy.ucsd.edu/faculty/ccallender/The%20Redundancy%20Argument%20Against%20Bohmian%20Mechanics.doc «Аргумент надмірності проти бомівської механіки» ]{{lang-en|"The Redundancy Argument Against Bohmian Mechanics"}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100612191323/http://philosophy.ucsd.edu/faculty/ccallender/The%20Redundancy%20Argument%20Against%20Bohmian%20Mechanics.doc|date=12 червня 2010}}</ref>. Багато авторів висловлювали критичні погляди теорії де Бройля&nbsp;— Бома, порівнюючи його з багатосвітовим підходом Еверета. Багато (але не всі) прихильників теорії де Бройля&nbsp;— Бома (такі як Бом і Бел) інтерпретувати універсальну хвильову функцію, як фізично реальну. На думку деяких прихильників теорії Еверета, якщо розглядати хвильову функцію, яка ніколи не колапсує, як фізично реальну, то природно інтерпретувати теорію як таку, що має ті ж безліч світів, які має теорія Еверета. У погляді Еверета бомівська частинка виступає у ролі «покажчика», позначення або опції вибору тільки однієї гілки {{нп|універсальна хвильова функція|універсальної хвильової функції||Universal wavefunction}} (припущення про те, що ця гілка вказує, який ''хвильовий пакет'' визначає спостережуваний результат даного експерименту, називається «припущення результату»<ref name=BrownWallace/>); інші гілки призначені бути «порожніми» і, за неявним припущенням Бома, бути позбавленими свідомих спостерігачів.<ref name=BrownWallace/> {{нп|Дітер Зе|||Dieter Zeh}} так висловився про ці «порожні» гілки: {{початок цитати}}Як правило, обходять увагою той факт, що теорія Бома містить ті ж самі «багато світів» динамічно окремих гілок, як і інтерпретація Еверета (тепер згадані як «порожні» хвильові компоненти), оскільки вона базується на точно такій же … {{нп|універсальна хвильова функція|глобальній хвильовій функції||Universal wavefunction}}…
{{oq|en|It is usually overlooked that Bohm's theory contains the same "many worlds" of dynamically separate branches as the Everett interpretation (now regarded as "empty" wave components), since it is based on precisely the same . . . {{нп|універсальна хвильова функція|global wave function|en|Universal wavefunction}} . . .}}<ref>[[Деніел Деннет]] ([[2000]]). '' З невеликою допомогою моїх друзів. '' {{lang-en|With a little help from my friends.}} За редакцією Д. Росс, А. Брук, Д. Томпсон, {{lang-en|In D. Ross, A. Brook, and D. Thompson (Eds.)}}, ''Філософія Деннета: всебічна оцінка'' {{lang-en|Dennett's Philosophy: a comprehensive assessment.}} MIT Press/Bradford, ISBN 0-262-68117-X.</ref>{{кінець цитати}}
[[Девід Дойч]] висловив ту ж точку зору більш «кисло»:<ref name=BrownWallace/>{{початок цитати}}Теорії хвилі-пілота є теоріями паралельних всесвітів у стані хронічного заперечення.
{{oq|en|pilot-wave theories are parallel-universe theories in a state of chronic denial.}}<ref>[[Девід Дойч]], Коментар на Локвуд. ({{lang-en|Comment on Lockwood.}}) ''Британський журнал філософії науки'' {{lang-en|British Journal for the Philosophy of Science}} 47, 222228, [[1996]]</ref>{{кінець цитати}}

Згідно з {{нп|Гарві Браун|Брауном||Harvey Brown (philosopher)}} і Воллесом,<ref name="BrownWallace"/> частинки де Бройля&nbsp;— Бома не грають ніякої ролі в рішенні проблеми вимірювання. Ці автори стверджують,<ref name=BrownWallace/> що «припущення результату» (дивись вище) не узгоджується з думкою, що немає ніякої проблеми вимірювання у випадку передбачуваного результату (тобто одного результату). Ці автори також стверджують,<ref name=BrownWallace/> що стандартне неявне припущення теорії де Бройля&nbsp;— Бома (що спостерігачу стає відомо про конфігурацію частинок звичайних об'єктів за допомогою кореляції між такими конфігураціями і конфігурацією частинок в мозку спостерігача) є необґрунтованою. Цей висновок було поставлено під сумнів {{нп|Ентоні Валентіні|||Antony Valentini}}<ref>Valentini A., [http://arxiv.org/abs/0811.0810 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170118194431/https://arxiv.org/abs/0811.0810 |date=18 січня 2017 }} «Де Бройля&nbsp;— Бома теорія хвилі-пілота: безліч світів в запереченні?» {{lang-en|"De Broglie-Bohm pilot wave theory: many worlds in denial?"}}] ''Багато світів? Еверет, квантова теорія і реальність'' {{lang-en|Many Worlds? Everett, Quantum Theory, and Reality}}, ред. С. Сондерс і ін. {{lang-en|eds. S. Saunders et al.}} (Oxford University Press, [[2010]]), P. 476—509</ref>, який стверджує, що сукупність таких заперечень виникає через відмову від інтерпретації теорії Бройля&nbsp;— Бома на її власних умовах.

Згідно з {{нп|Пітер Голанд|Пітером Голандом||Peter R. Holland}}, теорії можуть бути сформульовані в більш широких гамільтонових рамках, в яких частинки ''справді'' впливають назад на хвильову функцію<ref>П. Голланд, «Гамільтонова теорія хвилі і частинки в квантовій механіці I, II» {{lang-en|"Hamiltonian Theory of Wave and Particle in Quantum Mechanics I, II"}}, ''Nuovo Cimento B'' 116, 1043, 1143 ([[2001]]) [http://users.ox.ac.uk/~gree0579/index_files/NuovoCimento2.pdf онлайн] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111110140052/http://users.ox.ac.uk/~gree0579/index_files/NuovoCimento2.pdf |date=10 листопада 2011 }}</ref>.

== Наслідки ==
З теорії де Бройля&nbsp;— Бома було отримано багато результатів багато разів і багатьма способами. Нижче наведено шість наслідків-висновків, кожне з яких дуже різне і призводить до різних способів розуміння і розширення цієї теорії.

* [[Рівняння Шредінгера#Виведення|Рівняння Шредінгера]] може бути отримане за допомогою [[фотоефект|гіпотези Ейнштейна про кванти світла]]: <math>E = \hbar \omega \;</math> і [[Хвилі де Бройля|гіпотези де Бройля]]: <math>\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\;</math>.

: Керуюче рівняння може бути отримано аналогічним чином. Припустимо випадок плоскої хвилі: <math>\psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}</math>. Зверніть увагу, що <math>i\mathbf{k}= \nabla\psi /\psi</math>. Припускаючи, що <math>\mathbf{p} = m \mathbf{v}</math> для фактичної швидкості частинки, ми маємо, що <math>\mathbf{v}= \frac{\hbar}{m} Im \left(\frac{\nabla\psi}{\psi}\right) </math>. Таким чином, ми отримали керуюче рівняння.

: Зверніть увагу на те, що цей висновок не використовує рівняння Шредінгера.

* Збереження щільності при часовій еволюції&nbsp;— це ще один спосіб виведення. Це метод, який цитує Белл. Саме цей метод узагальнює багато можливих альтернативних теорій. Відправною точкою є [[рівняння неперервності]] <math>-\frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot (\rho v^{\psi})</math> для щільності <math>\rho=|\psi|^2</math>. Це рівняння описує потік ймовірності вздовж струму. Ми беремо поле швидкостей, пов'язане з цим струмом як поле швидкостей, чиї інтегральні криві задають рух частинки.

* Спосіб застосовний для частинок без [[спін]]у&nbsp;— це зробити [[Полярний розклад матриці|полярний розклад]] хвильової функції і перетворити рівняння Шредінгера у два пов'язані рівняння: [[рівняння неперервності]] зверху і [[рівняння Гамільтона-Якобі]]. Це метод, який використовується Бомом у [[1952]] році. Розклад і рівняння виглядають так:

: Розкладання :. <math>\psi(\mathbf{x},t) = R(\mathbf{x},t)e^{i S(\mathbf{x},t) / \hbar}.</math> Зауважте, що <math>R^2(\mathbf{x},t)</math> відповідає густині ймовірності <math>\rho (\mathbf{x},t) = |\psi (\mathbf{x},t)|^2</math>.

: Рівняння неперервності: <math>-\frac{\partial \rho(\mathbf{x},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \left(\rho (\mathbf{x},t)\frac{\nabla S(\mathbf{x},t)}{m}\right)</math>

: Рівняння Гамільтона-Якобі: <math>\frac{\partial S(\mathbf{x},t)}{\partial t} = -\left[ V + \frac{1}{2m}(\nabla S(\mathbf{x},t))^2 -\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\nabla ^2R(\mathbf{x},t)}{R(\mathbf{x},t)} \right]. </math>

: Рівняння Гамільтона-Якобі&nbsp;— це рівняння, отримане з ньютонівської системи з потенціалом <math>V-\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\nabla ^2 R}{R}</math> і полем швидкостей <math>\frac{\nabla S}{m}.</math> Потенціал <math>V</math>&nbsp;— це класичний потенціал, який з'являється в рівнянні Шредінгера, а інший доданок залежний від <math>R</math>,&nbsp;— це {{нп|квантовий потенціал|||Quantum potential}}, поняття, яке ввів Бом.

: Це призводить до розуміння квантової теорії, в якому частинки рухаються через дію класичної сили, зміненої на значення квантової сили. Однак, на відміну від стандартної [[Класична механіка|ньютонівської механіки]], початкове поле швидкостей вже визначене <math>\frac{\nabla S}{m}</math>, що є ознакою того, що дана теорія є [[Логіка першого порядку|теорією першого порядку]], а не [[Логіка другого порядку|теорією другого порядку]].

* Четвертий висновок розробили Дюрр та інші.<ref name="dgz92"/> У своєму висновку, вони отримують поле швидкостей, вимагаючи відповідних властивостей перетворення, визначеного різними симетріями, які задовольняє рівняння Шредінгера, як тільки хвильова функція перетворена відповідним чином. Керуюче рівняння випливає з цього аналізу.

* П'ятий висновок розроблений Дюрром та іншими<ref name="dgtz04"/> підходить для узагальнення в квантовій теорії поля і рівняння Дірака. Ідея полягає в тому, що поле швидкості також можна розуміти як диференційний оператор першого порядку, що діє на функції. Таким чином, якщо ми знаємо, як він діє на функціях, ми знаємо, що це за оператор. Тоді визначається оператор Гамільтона <math>H</math>, рівняння, яке мають задовольняти усі функції <math>f</math> (з пов'язаним оператором множення <math>\hat{f}</math>), є наступним:

: <math>(v(f))(q) = \mathrm{Re} \frac{(\psi, \frac{i}{\hbar} [H,\hat f] \psi)}{(\psi,\psi)}(q)</math> де <math>(v,w)</math>&nbsp;— локальний ермітовий [[скалярний добуток]] на просторі значень хвильової функції.

: Це формулювання допускає стохастичні теорії, такі як створення і знищення частинок.

* Ще один висновок отриманий Пітером Р. Голандом, на якому він базує усю своє працю, представлену в його підручнику з квантової фізики ''Квантова теорія руху'' ({{lang-en|The Quantum Theory of Motion}}), що є основним довідником по теорії де Бройля&nbsp;— Бома. Він заснований на трьох основних постулатах і додаткового четвертого постулату, який пов'язує хвильову функцію з ймовірностями вимірювання:<ref>Peter R. Holland: ''Квантова теорія руху'' ({{lang-en|The quantum theory of motion}}), Cambridge University Press, [[1993]] (перевидана у [[2000]] році, переведена у цифровий друк [[2004]] року), ISBN 0-521-48543-6, с. 66</ref>

: 1. Фізична система полягати в просторо-часовій хвилі, що розповсюджується і точкової частинки, що пілотується хвилею;

: 2. Хвиля описується математичним розв'язком <math>\psi</math> хвильового рівняння Шредінгера;

: 3. Рух частинки описується розв'язком рівняння <math>\mathbf{\dot x}(t) = [\nabla S (\mathbf{x}(t),t))]/m</math> в залежності від початкової умови <math>\mathbf{x}(t=0)</math>, де <math>S</math> фаза <math>\psi</math>.
: Четвертий постулат є дочірнім, що узгоджується з першими трьома:
: 4. Імовірність <math>\rho (\mathbf{x}(t))</math> знаходження частинки у диференціалі об'єму <math>d^3 x</math> в момент t дорівнює <math>|\psi(\mathbf{x}(t))|^2</math>.

== Історія ==
Теорія де Бройля&nbsp;— Бома має історію різних формулювань і назв. В цьому розділі кожен етап названий і охарактеризований.

=== Теорія хвилі-пілота ===
[[Луї де Бройль]] представив свою теорію хвилі-пілота на п'ятому [[Ернест Сольве|сольвеївському]] [[Сольвеєвський конгрес|конгресі]] у [[1927]] році,<ref>Solvay Conference, [[1928]], Electrons et Photons: Rapports et Descussions du Cinquieme Conseil de Physique tenu a Bruxelles du 24 au 29 October [[1927]] sous les auspices de l'Institut International Physique Solvay</ref> після тісної співпраці зі Шредінгером, який розробив своє хвильове рівняння для теорії де Бройля. Наприкінці презентації [[Вольфганг Паулі]] зазначив, що ця теорія не була сумісна з напівкласичною технікою Фермі, раніше прийнятою в разі непружного розсіювання. Всупереч популярній легенді, де Бройль фактично дав правильне спростування, що конкретний метод не може бути узагальнений для цілей Паулі, хоча публіка, можливо, не змогла збагнути технічних деталей і лагідна манера де Бройля залишила враження, що заперечення Паулі було доречне. Його зрештою переконали відмовитися від цієї теорії, через те, що він був «збентежений критичними зауваженнями, які [вона] спровокувала»<ref> Луї де Бройль, в передмові до книги Девіда Бома ''Причинність і ймовірність в сучасній фізиці'' ([[1957]]). ({{lang-en|Causality and Chance in Modern Physics}})</ref>. Теорія де Бройля вже була застосовна для багатьох безспінових частинок, але їй бракувало адекватної теорії вимірювання, оскільки ніхто не розумів [[квантова декогеренція|квантової декогеренції]] в той час. Аналіз презентації де Бройля поданий у роботі Бачаґалуппі та інших.<ref>Bacciagaluppi, G., and Valentini, A., «Quantum Theory at the Crossroads»: Reconsidering the [[1927]] Solvay Conference</ref><ref>Див короткий опис Тавлера, [http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/PWT/lectures/bohm7.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160322141228/http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/%7Emdt26/PWT/lectures/bohm7.pdf |date=22 березня 2016 }} «Теорія хвилі-пілота, бомівська метафізика і основи квантової механіки» {{lang-en|"Pilot wave theory, Bohmian metaphysics, and the foundations of quantum mechanics"}}] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160322141228/http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/%7Emdt26/PWT/lectures/bohm7.pdf |date=2016-03-22 }}</ref> Крім того, в [[1932]] році [[Джон фон Нейман]] опублікував статтю<ref>von Neumann, J. [[1932]] ''Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik''</ref>, яка широко вважалася такою, що спростовує можливість існування теорій з прихованими змінними, однак, помилково, як показано {{нп|Джеффрі Баб|||Jeffrey Bub}}<ref>{{cite journal |title=Von Neumann's 'No Hidden Variables' Proof: A Re-Appraisal|year=2010 |last1=Bub |first1=Jeffrey |authorlink1=Jeffrey Bub |journal=Foundations of Physics |volume=40|issue=9–10|pages=1333–1340|bibcode = 2010FoPh...40.1333B |doi = 10.1007/s10701-010-9480-9 |arxiv = 1006.0499 }}</ref>. Це вирішило долю теорії де Бройля протягом наступних двох десятиліть.

У [[1926]] році [[Ервін Маделунг]] розробив гідродинамічну версію [[рівняння Шредінгера]], який хибно вважається основою для виведення щільності струму у теорії де Бройля&nbsp;— Бома<ref>{{cite journal |last=Madelung |first=E. |title=Quantentheorie in hydrodynamischer Form |journal=[[Zeitschrift für Physik|Z. Phys.]] |volume=40 |year=1927 |issue=3–4 |pages=322–326 |doi=10.1007/BF01400372 |bibcode = 1927ZPhy...40..322M }}</ref>. {{нп|Рівняння Маделунга|||Madelung equations}}, бувши квантовою версією [[рівняння Ейлера]], філософськи відрізняються від механіки де Бройля&nbsp;— Бома<ref>{{cite journal | first = Roumen | last = Tsekov | title = Bohmian Mechanics versus Madelung Quantum Hydrodynamics | year = 2012 | doi = 10.13140/RG.2.1.3663.8245 }}</ref> і є основою {{нп|стохастична інтерпретація|стохастичної інтерпретації||Stochastic interpretation}} квантової механіки.

{{нп|Пітер Голанд|||Peter R. Holland}} зазначив, що раніше в [[1927]] році [[Альберт Ейнштейн|Ейнштейн]] фактично представив препринт з подібною пропозицією, але, оскільки не був упевнений у цій теорії, скасував його перед публікацією<ref>{{cite journal | last1 = Holland | first1 = Peter | year = 2004 | title = What's wrong with Einstein's [[1927]] hidden-variable interpretation of quantum mechanics? | url = | journal = Foundations of Physics | volume = 35 | issue = 2| pages = 177–196 | doi = 10.1007/s10701-004-1940-7 |arxiv= quant-ph/0401017 |bibcode = 2005FoPh...35..177H }} [http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0401/0401017.pdf#page=1 с. 1] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150712175556/http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0401/0401017.pdf#page=1 |date=12 липня 2015 }}</ref>. За Голандом, недооцінка ключових моментів теорії де Бройля&nbsp;— Бома призвела до плутанини, ключовим моментом є те, «що траєкторії квантової системи з багатьох тіл корелюють не тому, що частинки створюють прямий вплив одна на одну (''а-ля'' Кулон), але тому, що всі вони рухаються через вплив сутності&nbsp;— яка математично описується хвильовою функцією або функціями, що залежать від неї&nbsp;— що лежить за ними» ({{lang-en|"that the trajectories of a many-body quantum system are correlated not because the particles exert a direct force on one another (à la Coulomb) but because all are acted upon by an entity – mathematically described by the wavefunction or functions of it – that lies beyond them").}}<ref>{{cite journal | last1 = Holland | first1 = Peter | year = 2004 | title = What's wrong with Einstein's 1927 hidden-variable interpretation of quantum mechanics? | url = | journal = Foundations of Physics | volume = 35 | issue = 2| pages = 177–196 | doi = 10.1007/s10701-004-1940-7 |  arxiv= quant-ph/0401017 |bibcode = 2005FoPh...35..177H }} [http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0401/0401017.pdf#page=14 p. 14] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150712175556/http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0401/0401017.pdf#page=14 |date=12 липня 2015 }}</ref> Ця сутність&nbsp;— це {{нп|квантовий потенціал|квантовий потенціал||Quantum potential}}.

Після публікації популярного підручника з квантової механіки, що дотримувався повністю Копенгагенської ортодоксії, Бом був переконаний Ейнштейном критично переглянути теорему фон Неймана. Результатом був "Пропоноване трактування квантової теорії в термінах «прихованих змінних» І і II' ({{lang-en|'A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables" I and II'}}) [Бом 1952]. Це було незалежним зародженням теорії хвилі-пілота, і розширення для включення узгодженої теорії вимірювання, а також для вирішення критики Паулі, на яку де Бройль не належним чином відреагував; яке було взяте детермінованим (хоча Бом натякнув в оригінальних роботах про те, які повинні бути порушення детермінованості цього, аналогічні до того, як [[броунівський рух]] порушує ньютонівську механіку). Цей етап відомий як ''теорія де Бройля&nbsp;— Бома'' в роботі Белла [[1987]] року і є основою для «квантової теорії руху» ({{lang-en|'The Quantum Theory of Motion'}}) Голанда [[1993]] року.

Цей етап застосовний до багатьох частинок, і є детермінованим.

Теорія де Бройля&nbsp;— Бома є прикладом [[Теорія прихованих параметрів|теорії прихованих змінних]]. Бом спочатку сподівався, що приховані змінні можуть забезпечити [[Принцип близькодії|локальний]], [[Принцип причинності|причинний]], [[Об'єктивність|об'єктивний]] опис, який вирішив би або усунув би багато з парадоксів квантової механіки, такі, як [[кішка Шредінгера]], {{нп|проблема вимірювання|||Measurement problem}} і [[колапс хвильової функції]]. Проте, [[теорема Белла]] ускладнює цю надію, оскільки вона свідчить про те, що не може бути локальної теорії прихованих змінних, яка була б сумісною з передбаченнями квантової механіки. Бомівська інтерпретація [[причинна]], але не[[Принцип близькодії|локальна]].

Робота Бома в значній мірі ігнорувалася або різко критикувалася іншими фізиками. [[Альберт Ейнштейн]], який припустив, що пошук Бома для реалістичної альтернативи переважним [[Копенгагенська інтерпретація|копенгагенської інтерпретації]], не вважав інтерпретацію Бома задовільною відповіддю на питання квантової нелокальності, назвавши її «занадто дешево.»<ref>(Лист від [[12 травня]] [[1952]] року від Ейнштейна Максу Борну, у ''The Born–Einstein Letters'', Macmillan, [[1971]], с. 192.</ref>, в той час як [[Вернер Гайзенберг]] вважав її «надлишковою ’ідеологічною надбудовою’».<ref>Werner Heisenberg, ''Physics and Philosophy'' ([[1958]]), p. 133.</ref> [[Вольфганг Паулі]], який не був переконаним де Бройлем в [[1927]] році, поступився Бому наступним чином:

{{початок цитати}}Я тільки що отримав Вашого довгого листа від 20-го листопада, і я також більш ретельно вивчив деталі вашої роботи. Я не бачу більше можливості будь-якого логічного протиріччя до тих пір, поки ваші результати повністю узгоджуються з результатами звичайної хвильової механіки і до тих пір, як аж ніяк не дано виміряти значення ваших прихованих параметрів як за допомогою вимірювальної апаратури і в спостереженні [так в оригіналі] системи. Наскільки вся ця справа стоїть зараз, ваші «додаткові хвильово-механічні передбачення» все ще є чеком, який не можна перевести у готівку.{{oq|en|I just received your long letter of 20th November, and I also have studied more thoroughly the details of your paper. I do not see any longer the possibility of any logical contradiction as long as your results agree completely with those of the usual wave mechanics and as long as no means is given to measure the values of your hidden parameters both in the measuring apparatus and in the observe [sic] system. As far as the whole matter stands now, your ‘extra wave-mechanical predictions’ are still a check, which cannot be cashed.}}<ref>Паулі Бому, [[3 грудня]] [[1951]] року у Вольфганга Паулі, ''Scientific Correspondence'', Том IV&nbsp;— Частина I, [ред. Карла фон Меєна], (Берлін, [[1996]]), стор. 436—441.</ref>{{кінець цитати}}

Згодом він описав теорію Бома, як «штучну метафізику».<ref>Pauli, W. ([[1953]]). «Remarques sur le probleme des parametres caches dans la mecanique quantique et sur la theorie de l'onde pilote». Під ред. А. Джорджа, ''Louis de Broglie—physicien et penseur'' (P. 33–42). Париж: Editions Albin Michel.</ref>

За словами фізика {{нп|Макс Дрезден|Макса Дрездена|de|Max Dresden}}, коли теорія Бома була представлена в [[Інститут перспективних досліджень|Інституті передових досліджень]] в [[Прінстон]]і, багато заперечення були [[Argumentum ad Hominem|переходом на особистості]] через симпатії Бома до комуністів, проілюстровані його відмовою від подачі свідчень в [[комісія з розслідування антиамериканської діяльності|комісію з розслідування антиамериканської діяльності]]<ref>F. David Peat, ''Infinite Potential: The Life and Times of David Bohm'' ([[1997]]), с. 133.</ref>

У [[1979]] році Кріс Філіпідіс, Кріс Д'юдні і {{нп|Бейсіл Гайлі|||Basil Hiley}} були першими, хто виконав чисельні розрахунки на основі квантового потенціалу, щоб вивести ансамблі траєкторій частинок.<ref>Заява про те, що вони були фактично першими у: B. J. Hiley: ''Nonlocality in microsystems'', у: Joseph S. King, Karl H. Pribram (ред.): ''Scale in Conscious Experience: Is the Brain Too Important to be Left to Specialists to Study?'', Psychology Press, [[1995]], P.&nbsp;318 ff., [http://books.google.com/books?id=jXRub48gzuIC&pg=PA p. 319] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215172639/https://books.google.com/books?id=jXRub48gzuIC&pg=PA |date=15 лютого 2017 }}, які посилаються на: C. Philippidis, C. Dewdney and B. J. Hiley: ''Quantum interference and the quantum potential'', Il Nuovo Cimento B, Vo. 52, No. 1, P.&nbsp;15–28, [[1979]], {{doi|10.1007/BF02743566}} ([http://www.springerlink.com/content/m48mn37340524112/ abstract] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200127003110/http://www.springerlink.com/content/m48mn37340524112/ |date=27 січня 2020 }})</ref><ref>[[Olival Freire, Jr.]]: ''Continuity and change: charting David Bohm's evolving ideas on quantum mechanics'', In: Décio Krause, Antonio Videira (ред.): ''Brazilian Studies in the Philosophy and History of Science'', Boston Studies in the Philosophy of Science, Springer, ISBN 978-90-481-9421-6, pp.291–300, там же [http://books.google.com/books?id=EAswiGbShCAC&pg=PA296 p. 296—297] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161224144855/https://books.google.com/books?id=EAswiGbShCAC&pg=PA296|date=24 грудня 2016}}</ref> Їхня робота відновила інтерес фізиків до інтерпретації Бома квантової фізики<ref>Olival Freire jr.: ''A story without an ending: the quantum physics controversy [[1950]]–[[1970]]'', Science & Education, Vo&nbsp;12, P.&nbsp;573–586, [[2003]], [http://www.controversia.fis.ufba.br/index_arquivos/freire-se.pdf#page=4 с. 576] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140310040550/http://www.controversia.fis.ufba.br/index_arquivos/freire-se.pdf#page=4 |date=10 березня 2014 }}</ref>

Зрештою [[Джон Стюарт Белл|Джон Белл]] почав захищати теорію. В книзі Белла [[1987]] року «Про що говорять і про що мовчать у квантовій механіці» ({{lang-en|"Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics}})], деякі з робіт стосуються теорій прихованих змінних (які містять теорію Бома).

Траєкторії моделі Бома, яка приведе до конкретних експериментальних налаштувань, були деякими названі «сюрреалістичним»<ref>B-G. Englert, M. O. Scully, G. Sussman and H. Walther, [[1992]], ''Surrealistic Bohm Trajectories'', Z. Naturforsch. 47a, 1175—1186.</ref><ref>B. J. Hiley, R.E Callaghan, O. Maroney: ''Quantum trajectories, real, surreal or an approximation to a deeper process?'' (подано [[5 жовтня]] [[2000]] року, версія від [[5 листопада]] [[2000]] року&nbsp;— [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0010020 arXiv: quant-ph/0010020] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140906153902/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0010020 |date=6 вересня 2014 }}</ref>. Все ще в [[2016]] році, математик і фізик Шелдон Голдштейн сказав про теорію Бома: «Раніше ви не могли навіть говорити про це, тому що це було єретичним. Ймовірно, досі це ще поцілунок смерті для кар'єри фізика, щоб насправді працювати над теорією Бома, але, можливо, це зміниться» ({{lang-en|“There was a time when you couldn’t even talk about it because it was heretical. It probably still is the kiss of death for a physics career to be actually working on Bohm, but maybe that’s changing.”}})<ref>Anil Ananthaswamy: [https://www.newscientist.com/article/2078251-quantum-weirdness-may-hide-an-orderly-reality-after-all/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160427010116/https://www.newscientist.com/article/2078251-quantum-weirdness-may-hide-an-orderly-reality-after-all/ |date=27 квітня 2016 }} Квантова дивина може приховати впорядковану реальність після всього ({{lang-en|Quantum weirdness may hide an orderly reality after all}})], newscientist.com, [[19 лютого]] [[2016]] року</ref>

=== Бомівська механіка ===
Цей термін використовується для опису тієї ж теорії, але з акцентом на поняття електричного струму, яка визначається на основі {{нп|гіпотеза квантової рівноваги|гіпотези квантової рівноваги||Quantum non-equilibrium}}, що ймовірність підкоряється [[Правило Борна|правилу Борна]]. Термін «Бомівська механіка» також часто використовується для включення більшості подальших розширень після безспінової версії Бома. Хоча у теорії де Бройля&nbsp;— Бома [[Лагранжіан]] і [[рівняння Гамільтона-Якобі]] виступають основним фокусом і фоном, з іконою квантового потенціалу, Бомівська механіка розглядає [[рівняння неперервності]] як первинне і керуюче рівняння виступає тут іконою. Вони математично еквівалентні до того часу, поки формалізм Гамільтона-Якобі застосовний, тобто, для безспінових частинок. Роботи Дюрра і його колег принесли популярність цьому терміну.

Все з нерелятивістської квантової механіки може бути повністю враховане у цій теорії.

=== Причинна інтерпретація і онтологічна інтерпретація ===
Бом розвивав свої оригінальні ідеї, назвавши їх ''причинною інтерпретацією''. Пізніше він відчув, що значення слова ''причинна'' лежить занадто близько до значення слова ''детермінована'' і волів називати його теорію ''онтологічною інтерпретацією''. Основним посиланням є книга 'Нерозділений Всесвіт' {{lang-en|'The Undivided Universe'}} [Бом, Гайлі 1993].
Цей етап охоплює роботу Бома й у співпраці з {{нп|Жан-П'єр Віґ’єр|Жаном-П'єром Віґ’єром||Jean-Pierre Vigier}} і {{нп|Бейсіл Гайлі|Бейсілом Гайлі||Basil Hiley}}. Бом чітко висловлюється, що ця теорія не є детермінованою (робота з Гайлі містить стохастичну теорію). Таким чином, ця теорія не є, строго кажучи, формулюванням теорії де Бройля&nbsp;— Бома. Проте, вона заслуговує на увагу тут тому, що термін «Бомівська інтерпретація» є неоднозначним між цією теорією і теорією де Бройля&nbsp;— Бома.
Поглиблений аналіз можливих інтерпретацій моделі Бома [[1952]] року був здійснений в [[1996]] році [[Філософія науки|науковим філософом]] {{нп|Артур Файн|Артуром Файном||Arthur Fine}}<ref>A. Fine: «On the interpretation of Bohmian mechanics», in: J. T. Cushing, A. Fine, S. Goldstein (Eds.): ''Bohmian mechanics and quantum theory: an appraisal'', Springer, [[1996]], pp.&nbsp;231−250</ref>.

== Див. також ==
* [[Квантова механіка]]
* [[Хвилі де Бройля]]

== Зноски ==
{{Reflist|30em}}

== Примітки ==

* {{Cite journal| doi = 10.1038/scientificamerican0594-58| first = David Z. | last = Albert | title = Bohm's Alternative to Quantum Mechanics | journal = Scientific American |date=May 1994 | volume= 270 | pages = 58–67 | issue=5}}
* {{Cite journal| first = G. D. | last = Barbosa |author2=N. Pinto-Neto | title = A Bohmian Interpretation for Noncommutative Scalar Field Theory and Quantum Mechanics | journal = Physical Review D | volume = 69 | year = 2004 | pages = 065014 | id = | doi = 10.1103/PhysRevD.69.065014 | arxiv=hep-th/0304105|bibcode = 2004PhRvD..69f5014B }}
* {{Cite journal| first = David | last = Bohm | title = A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables" I | journal = Physical Review | year = 1952 | volume = 85 | pages = 166–179 | doi = 10.1103/PhysRev.85.166|bibcode = 1952PhRv...85..166B }} ([https://www.nd.edu/~dhoward1/Bohm%20HV-I%20Phys%20Rev%201952.pdf full text] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121018190801/https://www.nd.edu/~dhoward1/Bohm%20HV-I%20Phys%20Rev%201952.pdf |date=18 жовтня 2012 }})
* {{Cite journal| first = David | last = Bohm | title = A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables", II | journal = Physical Review | year = 1952 | volume = 85 | pages = 180–193 | doi = 10.1103/PhysRev.85.180|bibcode = 1952PhRv...85..180B }} ([https://www.nd.edu/~dhoward1/Bohm%20HV-II%20Phys%20Rev%201952.pdf full text] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121018190859/https://www.nd.edu/~dhoward1/Bohm%20HV-II%20Phys%20Rev%201952.pdf |date=18 жовтня 2012 }})
* {{Cite journal | first = David | last = Bohm | title = A new theory of the relationship of mind and matter | url = http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/local_papers/bohm_mind_matter_1990.pdf | year = 1990 | journal = Philosophical Psychology | volume = 3 | issue = 2 | pages = 271–286 | doi = 10.1080/09515089008573004 | accessdate = 16 квітня 2016 | archive-date = 4 березня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160304053851/http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/local_papers/bohm_mind_matter_1990.pdf }}
* {{Cite book| first = David | last = Bohm |author2=B.J. Hiley | title = The Undivided Universe: An ontological interpretation of quantum theory | url = https://archive.org/details/undividedunivers0000bohm | location = London | publisher = Routledge | year =1993 | isbn = 0-415-12185-X}}
* {{Cite journal | first = Detlef | last = Dürr | author2 = Sheldon Goldstein | author3 = Roderich Tumulka | author4 = Nino Zanghì | url = http://www.math.rutgers.edu/~oldstein/papers/bohmech.pdf | format = PDF | title = Bohmian Mechanics | date = December 2004 | volume = 93 | issue = 9 | pages = 090402 | issn = 0031-9007 | pmid = 15447078 | journal = Physical Review Letters | doi = 10.1103/PhysRevLett.93.090402 | arxiv = quant-ph/0303156 | bibcode = 2004PhRvL..93i0402D | accessdate = 16 квітня 2016 | archive-date = 15 березня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160315064001/http://math.rutgers.edu/~oldstein/papers/bohmech.pdf }}
* {{Cite journal | first = Sheldon | last = Goldstein | url = http://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm/ | title = Bohmian Mechanics | year = 2001 | journal = [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] | accessdate = 16 квітня 2016 | archive-date = 5 лютого 2012 | archive-url = https://www.webcitation.org/65DR2r5v8?url=http://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm/ }}
* {{Cite journal| first = Michael J. W. | last = Hall | title = Incompleteness of trajectory-based interpretations of quantum mechanics | year = 2004 | id = | doi = 10.1088/0305-4470/37/40/015 | journal = Journal of Physics a Mathematical and General | volume = 37 | pages = 9549–9556 | arxiv=quant-ph/0406054|bibcode = 2004JPhA...37.9549H }} (Demonstrates incompleteness of the Bohm interpretation in the face of fractal, differentialble-nowhere wavefunctions.)
* {{Cite book| first = Peter R. | last = Holland | title = The Quantum Theory of Motion : An Account of the de Broglie–Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics | url = https://archive.org/details/quantumtheoryofm0000holl | location = Cambridge | publisher = Cambridge University Press | year = 1993 | isbn = 0-521-48543-6}}
* {{Cite journal| first = H. | last = Nikolic | title = Relativistic quantum mechanics and the Bohmian interpretation | year = 2004 | id = | doi = 10.1007/s10702-005-1128-1 | journal = Foundations of Physics Letters | volume = 18 | pages = 549–561 | arxiv=quant-ph/0406173|bibcode = 2005FoPhL..18..549N }}
* {{Cite journal| first = Oliver | last = Passon | title = Why isn't every physicist a Bohmian? | year =2004 | id = | arxiv=quant-ph/0412119|bibcode = 2004quant.ph.12119P }}
* {{Cite journal| first = A. S. | last = Sanz |author2=F. Borondo | title = A Bohmian view on quantum decoherence | year = 2003 | id = | doi = 10.1140/epjd/e2007-00191-8 | journal = European Physical Journal D | volume = 44 | pages = 319–326 | arxiv=quant-ph/0310096|bibcode = 2007EPJD...44..319S }}
* {{Cite journal| first = A. S. | last = Sanz | doi = 10.1088/0305-4470/38/26/013 | title = A Bohmian approach to quantum fractals | year = 2005 | journal = Journal of Physics A: Math. Gen. | volume = 38 | pages = 319|arxiv = quant-ph/0412050 |bibcode = 2005JPhA...38.6037S }} (Describes a Bohmian resolution to the dilemma posed by non-differentiable wavefunctions.)
* {{Cite book | first = Mark P. | last = Silverman | title = And Yet It Moves: Strange Systems and Subtle Questions in Physics | location = Cambridge | publisher = Cambridge University Press | year = 1993 | isbn = 0-521-44631-7 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/andyetitmoves00mark }}
* {{Cite web | first = Ray F. | last = Streater | authorlink = Ray Streater | url = http://www.mth.kcl.ac.uk/~streater/lostcauses.html#XI | title = Bohmian mechanics is a 'lost cause' | year = 2003 | accessdate = 2006-06-25 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20050403215217/http://www.mth.kcl.ac.uk/~streater/lostcauses.html#XI | archivedate = 2005-04-03 | deadurl = yes }}
* {{Cite journal| first = Antony | last = Valentini | authorlink = Antony Valentini |author2=Hans Westman | title = Dynamical Origin of Quantum Probabilities | year = 2004 | id = | arxiv=quant-ph/0403034|bibcode = 2005RSPSA.461..253V |doi = 10.1098/rspa.2004.1394 | volume=461 | journal=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences | pages=253–272}}
* [http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme3.py?level=1&index1=-139823 Bohmian mechanics on arxiv.org] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210310151846/http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme3.py?level=1&index1=-139823 |date=10 березня 2021 }}
{{Refend}}

== Література ==
* [[Джон Стюарт Белл]]: ''Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collected Papers on Quantum Philosophy'', Cambridge University Press, [[2004]], ISBN 0-521-81862-1
* {{нп|Девід Бом|||David Bohm}}, {{нп|Бейсіл Гайлі|||Basil Hiley}}: ''The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory'', Routledge Chapman & Hall, [[1993]], ISBN 0-415-06588-7
* Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, Nino Zanghì: ''Quantum Physics Without Quantum Philosophy'', Springer, [[2012]], ISBN 978-3-642-30690-7
* Detlef Dürr, Stefan Teufel: ''Bohmian Mechanics: The Physics and Mathematics of Quantum Theory'', Springer, [[2009]], ISBN 978-3-540-89343-1
* {{нп|Пітер Голанд|||Peter R. Holland}}: ''The quantum theory of motion'', Cambridge University Press, [[1993]] (нове видання [[2000]], перенесено в цифровий друк [[2004]]), ISBN 0-521-48543-6

== Посилання ==
* [http://www.annualreviews.org/doi/abs/10.1146/annurev-fluid-010814-014506 «Гідродинаміка пілотованих хвиль»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210318163615/https://www.annualreviews.org/doi/abs/10.1146/annurev-fluid-010814-014506 |date=18 березня 2021 }} Bush, J. W. M., ''Annual Review of Fluid Mechanics'', [[2015]]
* [http://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm «Bohmian Mechanics» (Стенфордська філософська енциклопедія)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160411210033/http://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm/ |date=11 квітня 2016 }}
* [http://www.youtube.com/playlist?list=PL7LbfRoKBR5OpRjt8toBOmzqGjH7zaM1m Відео з відповідями на типові запитання про бомівську механіку] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308095337/https://www.youtube.com/playlist?list=PL7LbfRoKBR5OpRjt8toBOmzqGjH7zaM1m |date=8 березня 2016 }}
* [http://www.bohmian-mechanics.net «Bohmian-Mechanics.net»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200901061044/https://bohmian-mechanics.net/ |date=1 вересня 2020 }}, домашня сторінка міжнародної дослідницької мережі по бомівської механіці, яка була розпочата Д. Дюрром, С. Ґольдштейном і Н. Занґі.
* [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~bohmmech/ Робоча група бомівської механіки в Мюнхені (Д. Дюрр)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160419112643/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~bohmmech/ |date=19 квітня 2016 }}
* [http://bohm-mechanics.uibk.ac.at/ Група Бомівської механіки в університеті Інсбруку (Г. Ґрюбл)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141125213942/http://bohm-mechanics.uibk.ac.at/ |date=25 листопада 2014 }}
* [http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/pilot_waves.html «Пілотні хвилі, бомівської метафізика і основи квантової механіки»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160410173517/http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/%7Emdt26/pilot_waves.html |date=10 квітня 2016 }}, курс лекцій з теорії де Бройля&nbsp;— Бома від Майка Тавлера з Кембриджського університету.
* [http://www.vallico.net/tti/deBB_10/conference.html «Напрямки 21-го століття в теорії де Бройля&nbsp;— Бома і за її межами»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160423235023/https://vallico.net/tti/deBB_10/conference.html |date=23 квітня 2016 }}, Серпень [[2010]] Міжнародна конференція з теорії де Бройля&nbsp;— Бома. Сайт містить слайди всіх доповідей останніх ультрасучасних досліджень теорії.
* [https://web.archive.org/web/20110626194505/http://www.aip.org.au/Congress2010/Abstracts/Monday%206%20Dec%20-%20Orals/Session_3E/Kocsis_Observing_the_Trajectories.pdf «Спостереження за траєкторіями одного фотона за допомогою слабкого вимірювання»]
* [http://www.physicsforums.com/blog.php?b=3077 "Бомівської траєкторії вже більше не «приховані змінні»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110617152532/http://www.physicsforums.com/blog.php?b=3077 |date=17 червня 2011 }}
* [http://dbohm.com Спільнота Девіда Бома] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210321132109/http://dbohm.com/ |date=21 березня 2021 }}

[[Категорія:Інтерпретації квантової механіки]]
[[Категорія:Квантові вимірювання]]