Перегляд вихідного коду сторінки Теорія груп

{{Теорія груп}}
[[Файл:Rubik's cube v2.svg|thumb|Всі повороти [[кубик Рубика|кубика Рубика]] складають групу.]]

'''Теорія груп'''&nbsp;— розділ [[математика|математики]], який вивчає властивості [[група (математика)|груп]]. Група — це [[алгебраїчна структура]] з [[двомісна операція|двомісною операцією]], і для цієї операції виконуються такі властивості: [[асоціативність]], існування [[нейтральний елемент|нейтрального елемента]], існування [[обернений елемент|оберненого елемента]].

Поняття групи є узагальненням понять [[група симетрій]], [[група перестановок]].

Часто група може являти собою множину всіх перетворень (симетрій) деякої структури, оскільки результатом послідовного застосування двох перетворень ([[композиція відображень|композицією]]) буде знову деяке перетворення, також можливі обернені перетворення, нейтральним елементом вважається відсутність перетворень.

Наприклад, в [[кубик Рубика|кубика Рубика]] множина всіх трансформацій (що можливі за рахунок повороту граней) є групою, оскільки дві послідовні трансформації утворюють нову трансформацію, для кожної трансформації існує обернена, нейтральний елемент — відсутність трансформацій.

Особливу корисність абстрактне поняття групи отримує завдяки властивості [[гомоморфізм груп|гомоморфізму]], тобто такому зв'язку між різними групами, при якому групова операція зберігається. Гомоморфні групи різноманітної природи мають однакові властивості, і вивчення однієї групи можна замінити вивченням іншої. Наприклад, група поворотів тривимірного тіла гомоморфна групі спеціальних [[ортогональна матриця|ортогональних матриць]] 3x3, груповою операцією якої є множення матриць (див. [[Матриці повороту]]). Завдяки гомоморфізму теорія груп знайшла широке застосування в різноманітних галузях [[математика|математики]] й [[фізика|фізики]], оскільки дозволяє виділити спільні риси в об'єктах дуже різноманітної природи.

== Історія ==
Теорія груп сформувалася в [[XIX століття|XIX столітті]]. Вона має три історичні корені: теорія [[алгебраїчне рівняння|алгебраїчних рівнять]], [[теорія чисел]] та [[геометрія]].

Основною задачею алгебри до [[XIX століття]] було розв'язання алгебраїчних рівнянь. В [[епоха Відродження|епоху Відродження]] були знайдені формули для розв'язку рівнянь [[рівняння третього степеня|третього]] та [[рівняння четвертого степеня|четвертого]] степенів. Були прикладені значні зусилля для пошуку формул для рівнянь п'ятого та вищих степенів, але понад два століття пошуків не дали бажаного результату. У [[1770]] [[Жозеф-Луї Лагранж]] та [[Александр-Теофіл Вандермонд|Александр Вандермонд]] помітили, що розв'язність рівняння зводиться до вивчення [[перестановка|перестановок]] з його [[корінь многочлена|коренів]]. З [[1799]] [[Паоло Руффіні]] в низці робіт, присвячених цій темі, описав [[група перестановок|групу перестановок]] з п'яти елементів. У [[1824]] [[Нільс Абель]] довів теорему, що для рівнянь п'ятого і вищих степенів не існує загальної формули, що виражатиме корені через коефіцієнти в [[радикал (математика)|радикалах]] ([[теорема Абеля—Руффіні]]). Загальний розв'язок проблеми розв'язності алгебраїчних рівнянь отримав [[Еварист Галуа]] в [[1830]]. Саме Галуа запровадив у своїх роботах термін «група» і почав використовувати властивості груп.

У геометрії в XIX столітті викликали інтерес геометричні перетворення. Їх вивчав, зокрема, [[Август Фердинанд Мебіус|Август Мебіус]]. Детальну класифікацію геометричних перетворень провів у [[1854]] [[Артур Келі]]. Він користувався терміном «група», використовував таблиці множення ([[таблиці Келі]]) і довів що [[теорема Келі (теорія груп)|скінченну групу можна представити перестановками]]. У [[Ерлангенська програма|ерлангенській програмі]] [[Фелікс Клейн|Фелікса Клейна]] ([[1872]]) вивчення [[геометрія|геометрії]] було пов'язано з вивченням відповідних груп перетворень. Наприклад, якщо задані [[фігура|фігури]] на [[площина|площині]], то групою рухів з'ясовується їхня рівність.

Третій історичний шлях до теорії груп лежав через [[теорія чисел|теорію чисел]]. Значний внесок у становлення групового підходу до теорії чисел зробили [[Леонард Ейлер]], який вивчав [[остачі]] [[теорема Ейлера (теорія чисел)|від ділення степенів]], [[Карл Фрідріх Гаус|Гаус]], який цікавився пошуком коренів рівняння х<sup>n</sup>-1=0 для побудови [[правильний многокутник|правильних многокутників]] та [[Леопольд Кронекер]], який працював над вивченням скінченних [[абелева група|абелевих груп]], застосовуючи мову теорії чисел.

На початку [[XX століття]] теорією груп займались [[Софус Лі]], [[Давид Гільберт]], [[Еммі Нетер]], [[Еміль Артін]], [[Людвиг Сілов]].

== Визначення групи ==
'''Групою''' називається [[множина]] G, на якій визначена [[бінарна операція]] <math>G \times G \to G</math>, що звичайно називається ''множенням'' і позначається <math>(a,b) \to a \cdot b</math> або <math>\ (a,b) \to ab</math> і має такі властивості:
* [[Асоціативність]]: для довільних елементів ''a'', ''b'', ''c'' групи ''G'' виконується <math>\ a(bc) = (ab)c</math> 
* Існування [[нейтральний елемент|нейтрального елемента]]: існує елемент ''e'' такий, що для кожного елемента ''a'' групи ''G'' виконується <math>\ ea=ae=a</math>
* Існування оберненого елемента: для кожного елемента ''a'' групи існує елемент <math>a^{-1}</math> такий, що <math>a^{-1}a=aa^{-1}=e</math>.

Якщо [[Операція (математика)|операція]] має властивість [[комутативність|комутативності]], то вона називається [[абелева група|абелевою]].
[[Файл:Group operation image.tif|міні|256x256пкс|Ілюстрація композиції]]
Нехай <math>\varphi</math> та <math>\psi</math> - дві операції перетворення. Якщо виконати послідовно перетворення <math>\psi</math>, а потім <math>\varphi</math>, в результаті кожний елемент <math>a</math> множини <math>X</math> спочатку перейде у елемент <math>b=\psi(a) </math>, а потім елемент <math>b</math> перейде у елемент <math>c=\varphi(b),</math> або, що те саме, у елемент <math>c=\varphi[\psi(a)].</math> В результаті отримане відображення множини <math>X</math> у себе, <math>a\to \varphi[\psi(a)].</math> Оскільки <math>\varphi</math> - перетворення, то у елемент <math>c</math> при перетворенні <math>\varphi</math> може перейти лише один елемент <math>b</math>, а оскільки <math>\psi</math> також є перетворенням, у елемент <math>b</math> за перетворення <math>\psi</math> переходить лише елемент <math>a</math>. Тому відображення <math>a\to \varphi[\psi(a)]</math> є перетворенням множини <math>X</math>, яке називається композицією перетворень <math>\varphi</math> та <math>\psi</math> й позначається <math>\varphi\circ\psi.</math> Таким чином, за перетворення <math>\varphi\circ\psi</math> кожний елемент <math>a</math> переходить у елемент <math>\varphi[\psi(a)]:</math>

<math>(\varphi\circ\psi)(a)=\varphi[\psi(a)].</math>

Це можна зобразити наступним чином: <math>a\overset{\psi}{\to}b\overset{\varphi}{\to}c.</math> Композиція перетворень нагадує операцію добутку чисел: як і добуток чисел, композиція має властивість асоціативності.

== Геометричні перетворення ==
Геометричне перетворення - бієкція <math>f</math> множини <math>\Pi</math> точок площини на себе (розглядають й геометричне перетворення усього простору). Оскільки <math>\Pi</math> - множина нескінченна, геометричні перетворення не можна задавати [[Таблиці Келі|таблицями]]. Часто їх задають формулами, які виражають координати <math>x'</math> та <math>y'</math> точки <math>f(M)</math> через координати <math>x</math> та <math>y</math> точки <math>M.</math> У загальному випадку ці формули записують наступним чином:

<math>\begin{cases} x'=\varphi(x,y),\\ y'=\psi(x,y).  \end{cases}</math>

Наприклад, щоб знайти образ точки <math>A(-2;\,4)</math> за перетворення площини <math>\begin{cases}x'=x+y-3,\\ y'=2x+3y+4\end{cases}</math> потрібно змінити у цих рівняннях <math>x</math> та <math>y</math> числами <math>-2</math> та <math>4</math> відповідно: <math>\begin{matrix}x'=-2+4-3=-1,\\ y'=2(-2)+3\cdot 4+4=12.    \end{matrix}</math> Таким чином, точка <math>A(-2;\,4)</math> переходить у точку <math>B(-1;\,12).</math> Щоб віднайти зворотне перетворення, потрібно вирішити систему відносно <math>x</math> та <math>y</math>, тобто: <math>\begin{cases}x=3x'-y'+13, \\ y=-2x'+y'-10\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}x=3(-5)-4+13=-6,\\ y=-2(-5)+4-10=4.\end{cases}</math> Таким чином, <math>M(-6;\,4)</math> переходить у точку <math>N(-5;\,4).</math>

Функції <math>\varphi</math> та <math>\psi</math> не можна обирати довільно - вони повинні задовольняти умові бієктивності відображення <math>(x,y)\to(\varphi(x,y);\,\,\psi(x,y)).</math> Це значить, що вони повинні бути визначені для усіх пар <math>(x;\,y)</math> та, з іншого боку, для будь-якої пари чисел <math>(a';\,b')</math> повинна бути визначена пара чисел <math>(a;\,b)</math> така, що

<math>\varphi(a;\,b)=a'\quad\quad \psi(a,b)=b'.</math>

Наприклад, функції <math>\begin{cases}x'=\sqrt{x+y},\\ y'=\sqrt{x-y}\end{cases}</math> не задають перетворення площини, оскільки визначенні за умов, що <math>x+y\geq0</math> та <math>x-y\geq 0.</math>

За геометричного перетворення <math>\varphi</math> кожна геометрична фігура <math>\Phi</math>, яка називається прообразом, переходить у геометричну фігуру <math>\Phi',</math> яка називається її образом за перетворення <math>\varphi</math>. Можно подогнать начертательную геометрию.

Геометричне перетворення <math>\varphi</math> називається переміщенням ([[Ізометрія (математика)|ізометрією]]) площини, якщо воно не змінює відстаней між точками площини. Іншими словами, <math>\varphi</math> є переміщенням площини, якщо для будь-яких двох точок площини <math>A</math> та <math>B</math> виконується рівність <math>|A'B'|=|AB|,</math>  де <math>A'</math> образ точки <math>A,</math> a <math>B'</math> - образ точки <math>B</math> за цього переміщення, тобто <math>A'=\varphi(A),\,\,B'=\varphi(B).</math>

Нехай <math>\varphi</math> та <math>\psi</math> - два переміщення площини. Оскільки вони не змінюють відстаней між точками площини, то їхня композиція залишає ці відстані незмінними. Відповідно, композиція двох переміщень є переміщенням. Якщо переміщення <math>\varphi</math> не змінює відстаней між точками площини, то й <math>\varphi^{-1}</math> також є переміщенням. Таким чином, переміщення площини утворюють групу.

Фігура <math>\Phi'</math> називається [[Конгруентність (геометрія)|конгруентною]] плоскій фігурі <math>\Phi</math>, якщо існує переміщення <math>\varphi</math>, яке відображає <math>\Phi</math> на <math>\Phi'</math>, тобто таке, що <math>\varphi(\Phi)=\Phi'.</math> Відношення конгруентності [[Рефлексивне відношення|рефлексивне]], [[Симетричне відношення|симетричне]] й [[Транзитивне відношення|транзитивне]], а відтак воно є [[Відношення еквівалентності|відношенням еквівалентності]], яке розшаровує сукупність усіх геометричних фігур на [[Клас еквівалентності|класи еквівалентності]]. [[Осьова симетрія]] є прикладом переміщення площини. Композиція двох осьових симетрій відносно прямих <math>l</math> та <math>m</math>, що перетинаються, є поворотом площини. Якщо замінити прямі <math>l</math> та <math>m</math> іншими прямими <math>p</math> та <math>q,</math> які перетинаються у тій самій точці <math>O</math> й утворюють той самий кут <math>\alpha</math> (відлічуваний від <math>p</math> до <math>q</math>), то отримається поворот навколо тієї самої точки на той самий кут, тобто <math>S_{m}S_{l}=S_{q}S_{p},</math> де <math>S</math> - геометричне перетворення відносно осей, вказаних [[Індекс (математика)|індексом]]. Будь-який поворот навколо точки <math>O</math> можна представити у вигляді композиції двох осьових симетрій. Для цього достатньо провести через цю точку прямі <math>l</math> та <math>m</math> із кутом між ними <math>\alpha/2,</math> де <math>\alpha</math> - кут повороту, і зробити симетрії <math>S_{l}</math> та <math>S_{m}.</math> Композиція осьової симетрії <math>S_{l}</math> й [[Паралельне перенесення|паралельного перенесення]] <math>\vec{a}\neq\vec{0}</math> у напрямку, [[Паралельність|пралельному]] осі <math>l</math>, називається переносною симетрією. Таким чином, будь-яке переміщення площини є або паралельним перенесенням, або поворотом, або осьовою симетрією, або переносною симетрією ([[теорема Шаля]]).

Тотожне перетворення площини переводить кожну фігуру у себе. Для декотрих фігур існують й інші переміщення, які суміщають фігуру із собою. Наприклад, [[трапеція]] із рівними сторонами суміщається із собою за осьової симетрії відносно прямої, яка сполучає середини її основ, а [[паралелограм]] - за [[Центральна симетрія|центральної симетрії]] відносно його центру. Для прямокутника є чотири таких переміщення: тотожне перетворення, дві осьові симетрії й центральна симетрія. Так само чотири переміщення суміщають із собою [[ромб]]. Тільки для прямокутника осями симетрії є прямі, які сполучають середини протилежних сторін, а для ромбу - його діагоналі. [[Квадрат]] комбінує у собі симетрії ромба й прямокутника, сукупність його самосуміщень складається із восьми елементів: повороти центру на кути 0, 90, 180 й 270 [[Радіан|градусів]] й симетрії відносно чотирьох осей. У [[Окружність|окружності]] незліченна кількість самосуміщень - вона переходить у себе за будь-якого повороту навколо центру й за будь-якої осьової симетрії відносно прямої, яка проходить через її центр. Для будь-якої фігури сукупність її самосуміщень утворює групу перетворень, яка називається [[Група самосуміщень|групою самосуміщень]]. Це слідує з того, що якщо перетворення <math>\varphi</math> та <math>\psi</math> переводять фігуру <math>\Phi</math> у себе, то їх композиція <math>\varphi\circ\psi</math> переводить <math>\Phi</math> у <math>\Phi</math>. Точно так само якщо <math>\varphi</math> переводить <math>\Phi</math> у себе, то тією ж властивістю наділене й зворотне перетворення <math>\varphi^{-1}.</math> Групи самосуміщень скінченних фігур складаються лише з обертань та осьових симетрій.

Фігури, які мають поворотні симетрії, можна отримати, згинаючи лист паперу й прорізаючи його ножицями. Наприклад, якщо узяти квадратний лист паперу, скласти його по діагоналі, потім скласти отриманий рівнобедрений трикутник по висоті, а новий трикутник ще раз скласти навпіл та зробити розріз, який прорізає усі шари паперу, то отримається [[витинанка]] у формі, який має назву [[розетка]].

У кристалографії важливу роль відіграє вивчення груп самосуміщень кристалічних ґраток. Їх перелічив Євграф Федоров, і тому їх називають [[Просторова група|федорівськими групами]].

== Пов'язані визначення ==
Коли [[елемент]]и групи неперервно залежать від якихось параметрів, то група називається неперервною, або [[група Лі|групою Лі]]. Також кажуть, що [[група Лі]]&nbsp;— це група, множина елементів якої утворює [[гладкий многовид]]. Множина <math>G</math> гладких перетворень многовиду <math>M</math> у себе називається групою, якщо:

* разом із будь-якими двома перетвореннями <math>g,h\in G</math> композиція <math>g\circ h</math> належить <math>G</math> (запис <math>g\circ h</math> означає, що спочатку застосовується <math>h,</math> а потім <math>g</math>)
* разом із будь-яким <math>g\in G</math> зворотне перетворення <math>g^{-1}</math> також належить <math>G.</math>

З цих умов слідує, що кожна група містить тотожне перетворення (ідемпотент) <math>e.</math>

Наприклад, обертання твердого тіла навколо початку координат утворюють компатну групу Лі <math>SO(3)</math> із двусторонньою інваріантною метрикою.

Дифеоморфі́зм — [[Бієкція|взаємно однозначне]] і неперервно [[Диференційовна функція|диференційовне]] [[відображення]] [[Гладкий многовид|гладкого многовиду]] в гладкий многовид, [[Обернене відображення|обернене]] до якого теж є неперервно диференційовним. Дифеоморфізми декотрої області <math>M</math>, які зберігають [[Диференціал|елемент об'єму]], утворюють групу Лі (див. [[Гідродинаміка]]).

За допомогою [[група Лі|груп Лі]] як [[група симетрії|груп симетрії]] знаходяться [[розв'язок|розв'язки]] [[Диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]].

== Застосування ==
Теорія груп має широку область застосування в [[математика|математиці]], [[фізика|фізиці]], [[хімія|хімії]] та в прикладних галузях, наприклад, в комп'ютерній графіці, [[криптографія|криптографії]] тощо.

Серед розділів математики, в яких застосовується теорія груп, [[геометрія]] і [[топологія]], [[теорія чисел]], [[теорія диференціальних рівнянь]] та інші.

У [[фізика|фізиці]] важливу роль відіграє поняття [[симетрія|симетрії]]. Сукупність [[операція симетрії|операцій симетрії]] складає групу. На основі вивчення цієї групи можна робити важливі висновки про властивості фізичних об'єктів. Наприклад, [[теорема Нетер]] встановлює той факт, що кожній симетрії відповідає певний [[закон збереження]]. Так, [[закон збереження енергії]] є результатом [[Однорідність часу|однорідності часу]], [[закон збереження імпульсу]] випливає із однорідності простору, а [[закон збереження моменту імпульсу]] із [[Ізотропність простору|ізотропності простору]]. Інші фізичні симетрії не настільки очевидні. У [[квантова теорія поля|квантовій теорії поля]] існує поняття [[калібрувальна інваріантність|калібрувальних перетворень]], які відповідають фундаментальним симетріям світу [[елементарні частинки|елементарних частинок]]. Сукупність [[Фундаментальна частинка|фундаментальних частинок]] за сучасними уявленнями гомоморфна групам матриць із родини [[SU(n)]].

В [[кристалографія|кристалографії]] та [[хімія|хімії]] важливе значення мають операції симетрії, які описуються [[точкова група симетрії|точковими]] й [[просторова група симетрії|просторовими групами]]. Вивчення цих груп важливе для класифікації та визначення властивостей [[мінерал]]ів та [[молекула|молекул]]. Групи симетрії визначають, наприклад, структуру [[оптичний спектр|оптичних спектрів]], спектрів [[раманівське розсіяння|раманівського розсіяння]] тощо.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Група (математика)]]
* [[Група перестановок]]
* [[Теорема Келі (теорія груп)]]
* [[Теорема Лагранжа (теорія груп)]]
* [[Представлення групи]]
* [[Теорія представлень]]
* [[Геометрична теорія груп]]

== Навчальні матеріали ==
* {{ref-uk}} {{YouTube|playlist=PLmHyZ3t74Vpx6e8TNCnX-jYjO6Q9TBo69|title=Вступ до теорії груп}}, Сергій Максименко ([[Інститут математики НАН України]]).

== Література ==
=== Українською ===
* {{ref-uk}} {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{ref-uk}} {{книга
|автор        = [[Голод Петро Іванович|Голод П. І.]]
|назва        = Симетрія та методи теорії груп у фізиці (дискретні симетрії)
|рік          = 2005
|видавництво  = Києво-Могилянська академія
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок     = 215
}}
* {{ref-uk}} {{Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії}}

=== Іншими мовами ===
* {{ref-en}} {{книга
|автор        = John F. Humphreys
|назва        = A Course in Group Theory
|рік          = 1996
|видавництво  = Oxford Science Publications
|сторінок     = 296
|isbn         = 978-0198534532
}}
* {{ref-en}} {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}
* {{ref-ru}} {{книга
|автор        = [[Юджин Пол Вігнер|Вигнер Е.]]
|назва        = Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров
|рік          = 1961
|видавництво  = ИЛ
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 444
}}
* {{ref-ru}} {{Курош.Теорія груп}}
* {{ref-ru}} {{книга
|автор        = Хамермеш М.
|назва        = Теория групп и ее применение к физическим проблемам
|рік          = 1966
|видавництво  = Мир
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 588
}}
* {{ref-ru}} {{книга
|автор        = Хейне В.
|назва        = Теория групп в квантовой механике
|рік          = 1963
|видавництво  = ИЛ
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 522
}}
* {{ref-ru}} {{книга
|автор        = Холл М.
|назва        = Теория групп
|рік          = 1962
|видавництво  = ИЛ
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 468
}}

{{Розділи математики}}


{{Math-stub}}

[[Категорія:Теорія груп]]