Перегляд вихідного коду сторінки Теорія Ейнштейна — Картана

{{картка
|ім'я         = Теорія Ейнштейна — Картана 
|стиль_тіла   = 
|назва        = Теорія Ейнштейна — Картана
|стиль_назви  = 
|угорі        =
|зображення   = [[File:Albert Einstein Head.jpg|thumb|Albert Einstein Head]]
|стиль_підпису = 
|стиль_заголовків = background:#ccf;
|стиль_міток  = background:#ddf;
|стиль_тексту =
|заголовок1 =  [[Гравітація]]
Математичне формулювання
[[Космологія]]
|мітка1  = 
|текст1  = 
|заголовок2 = 
|мітка2  = Геометрії
|текст2  = [[Геометрія Рімана — Картана]], [[Геометрія калібру]], [[Ріманова геометрія]]
|заголовок3 = 
|мітка3  = Рівняння
|текст3  = [[Рівняння Ейнштейна]], рівняння поля
|заголовок4 = 
|мітка4  = Фундаментальні принципи
|текст4  = [[Загальна теорія відносності]], [[принцип найменшої дії]], [[Гамільтонів принцип]]
|заголовок5 = 
|мітка5  = Розвиток теорії
|текст5  = [[Загальна теорія відносності ]](Ейнштейна-Гільберта) → загальна теорія відносності (Палатіні) → Ейнштейн-Картан
|заголовок6 = 
|мітка6  = Відомі науковці
|текст6  = [[Альберт Ейнштейн]], [[Елі Жозеф Картан]], Гільберт, [[Палатіні]], [[Леві-Чивіта]]
}}{{Short description|Класична теорія гравітації}}'''Теорія Ейнштейна&nbsp;— Картана''', також знана як '''теорія Ейнштейна&nbsp;— Картана&nbsp;— Скіама&nbsp;— Кіббла''', у [[теоретична фізика|теоретичній фізиці]] є класичною [[теорія гравітації|теорією гравітації]], схожою на загальну [[теорія відносності|теорію відносності]]. Цю теорію вперше запропонував [[Елі Жозеф Картан|Еліє Картан]] 1922 року.

== Загальний огляд ==
Теорія Ейнштейна&nbsp;— Картана відрізняється від загальної теорії відносності двома способами: (1) вона формулюється в рамках геометрії Рімана&nbsp;— Картана, яка має локально запаяну групу Лоренца, в той час як загальна теорія відносності формулюється в рамках ріманової геометрії, яка не має такої групи; (2) постановка додаткового набору рівнянь, які пов'язуються з кривиною. Ця різниця може бути розкладена на такий спосіб: загальна теорія відносності (Ейнштейна&nbsp;— Гільберта) → загальна теорія відносності (Палатіні) → Ейнштейн&nbsp;— Картан.

По-перше, шляхом переформулювання загальної теорії відносності в рамках геометрії Рімана&nbsp;— Картана, замінюючи дію Ейнштейна-Гільберта на рімановій геометрії дією Палатіні в геометрії Рімана&nbsp;— Картана; і по-друге, вилучення нульового обмеження кривини з дії Палатіні, що призводить до додаткового набору рівнянь для кривини та обертання, а також до додавання додаткових термінів, пов'язаних із обертанням, у рівняннях Ейнштейна.

Теорія загальної теорії відносності спочатку формулювалася в рамках [[ріманова геометрія|ріманової геометрії]] [[Дія Ейнштейна — Гільберта|дією Ейнштейна&nbsp;— Гільберта]], з якої виникають рівняння поля Ейнштейна. На момент початкового формулювання не існувало концепції [[Геометрія Рімана — Картана|геометрії Рімана&nbsp;— Картана]]. Також не існувало достатньої усвідомленості концепції [[Калібрувальна інваріантність|геометрії калібру]], щоб зрозуміти, що ріманові геометрії не мають необхідної структури для втілення локально запаяної [[група Лоренца|групи Лоренца]], такої, яка потрібна для виразу рівнянь збереження і законів збереження для обертальної та підвищальної симетрій, або для опису спінорів в кривих просторово-часових геометріях. Результатом додавання цієї інфраструктури є геометрія Рімана-Картана. Зокрема, для можливості опису спінорів необхідна включення спінорної структури, яка достатня для створення такої геометрії.

Основна різниця між геометрією Рімана&nbsp;— Картана і рімановою геометрією полягає в тому, що в першій [[афінне з'єднання]] незалежне від метрики, в той час як в другій воно похідне від метрики як з'єднання Леві-Чивіти, різниця між ними називається конторсією. Зокрема, антисиметрична частина з'єднання (називається кривиною) дорівнює нулю для з'єднань Леві-Чивіти, як одна з визначальних умов для таких з'єднань.

Оскільки [[Конторсія|конторсію]] можна виразити лінійно в термінах кривини, то можна безпосередньо перекласти дію Ейнштейна-Гільберта в геометрію Рімана-Картана, і результатом буде [[дія Палатіні]] (див. також [[варіація Палатіні|варіацію Палатіні]]). Вона походить із переформулювання дії Ейнштейна-Гільберта в термінах афінного з'єднання, і окремо поставлено умову, яка змушує як кривину, так і конторсію дорівнювати нулю, що призводить до того, що афінне з'єднання дорівнює з'єднанню Леві-Чивіти. Оскільки це безпосереднє перекладення дії та рівнянь поля загальної теорії відносності виражене в термінах з'єднання Леві-Чивіти, це можна вважати теорією загальної теорії відносності, викладеною в геометрії Рімана&nbsp;— Картана.

Теорія Ейнштейна&nbsp;— Картана послаблює цю умову і, відповідно, відміняє припущення загальної теорії відносності, що афінне з'єднання має нульову антисиметричну частину ([[тензор кривини]]). Використовується та сама дія, як і в дії Палатіні, за винятком того, що умова щодо кривини вилучена. Це призводить до двох різниць відносно загальної теорії відносності: (1) рівняння поля тепер виражені в термінах афінного з'єднання, а не з'єднання Леві-Чивіти, тому вони містять додаткові терміни в рівняннях поля Ейнштейна, пов'язані з [[Конторсія|конторсією]], яких немає в рівняннях поля, отриманих з формулювання Палатіні; (2) тепер присутній додатковий набір рівнянь, які зв'язують кривину з внутрішнім обертовим моментом ([[спін]]ом) речовини, так само, як і афінне з'єднання зв'язане з енергією та імпульсом речовини. В теорії Ейнштейна&nbsp;— Картана кривина тепер є змінною в [[Принцип найменшої дії|принципі стаціонарної дії]], яка зв'язана з кривиною в просторі-часі спіну (тензором спіну). Ці додаткові рівняння виражають кривину лінійно в термінах тензора спіну, пов'язаного із джерелом речовини, що означає, що кривина, як правило, не дорівнює нулю всередині речовини.

Наслідком лінійності є те, що поза речовиною кривина дорівнює нулю, так що [[зовнішня геометрія]] залишається такою ж, як і та, яка описується загальною теорією відносності. Різниця між теорією Ейнштейна&nbsp;— Картана та загальною теорією відносності (формульованою в термінах дії Ейнштейна-Гільберта на рімановій геометрії або дії Палатіні на геометрії Рімана&nbsp;— Картана) полягає виключно в тому, що відбувається з геометрією всередині джерел речовини. Тобто ''кривина не поширюється''. Розглядалися узагальнення дії Ейнштейна&nbsp;— Картана, які дозволяють поширення кривини.

Оскільки у геометріях Рімана&nbsp;— Картана група Лоренца є локальною калібрувальною симетрією, можливо формулювати відповідні закони збереження. Зокрема, розглядаючи метричні та кривинні тензори як незалежні змінні, отримується правильна узагальнена консерваційна теорема для загального орбітального та внутрішнього [[Момент імпульсу|моменту кутового руху]] в присутності [[Гравітаційне поле|гравітаційного поля]].

== Рівняння поля ==
Рівняння поля Ейнштейна загальної теорії відносності можна отримати постулюючи дію Ейнштейна-Гільберта як справжню дію простору-часу, і потім змінюючи цю дію відносно метричного тензора. Рівняння поля Ейнштейна&nbsp;— Картана виникають з точно такого ж підходу, за винятком того, що припускається загальне асиметричне афінне з'єднання, а не симетричне з'єднання Леві-Чивіти (іншими словами, припускається, що простір-час має торсію, крім кривини), і потім метрику та торсію змінюють незалежно.
Нехай <math>\mathcal{L}_\mathrm{M}</math> позначає [[лагранжіан густини матерії]], і <math>\mathcal{L}_\mathrm{G}</math> позначає [[лагранжіан]] щільності гравітаційного поля. [[Лагранжіан]] щільності для гравітаційного поля в теорії Ейнштейна&nbsp;— Картана пропорційний [[Скалярна кривина|скаляру Річчі]]:
: <math>\mathcal{L}_\mathrm{G}=\frac{1}{2\kappa}R \sqrt{|g|} </math>
: <math>S=\int \left( \mathcal{L}_\mathrm{G} + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right) \, d^4x ,</math>
де <math>g</math>&nbsp;— детермінант [[Метричний тензор|метричного тензора]], а <math>\kappa</math>&nbsp;— фізична константа <math>8\pi G/c^4</math>, яка включає в себе гравітаційну константу та швидкість світла. Згідно з [[Гамільтонів принцип|принципом Гамільтона]], зміна загальної дії <math>S</math> для гравітаційного поля та матерії дорівнює нулю:
: <math>\delta S = 0.</math>
Зміна відносно метричного тензора <math>g^{ab}</math> призводить до рівнянь Ейнштейна:
: <math> \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{G}}{\delta g^{ab}} -\frac{1}{2}P_{ab}=0</math>

: {| class="wikitable"
|-
| <math> R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab}=\kappa P_{ab}</math>
|}
де <math>R_{ab}</math>- тензор Річчі, а <math>P_{ab}</math> ''канонічний'' [[тензор енергії-імпульсу-моменту]].
Тензор Річчі вже не є симетричним через наявність ненульового тензора торсії; отже, права частина рівняння також не може бути симетричною, що вказує на те, що <math>P_{ab}</math> повинен включати асиметричний внесок, який можна показати, що пов'язаний з тензором спіну. Цей канонічний тензор [[енергії-імпульсу-моменту]] пов'язаний з відомішим ''симетричним'' [[Тензор енергії-імпульсу|тензором енергії-імпульсу]] за допомогою процедури Белінфанте-Розенфельда

Зміна відносно тензора торсії <math>{T^{ab}}_c</math> призводить до рівнянь спін-з'єднання Картана.
: <math>\frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{G}}{\delta {T^{ab}}_c} -\frac{1}{2}{\sigma_{ab}}^c =0</math>

: {| class="wikitable"
|-
| <math> {T_{ab}}^c + {g_a}^c{T_{bd}}^d - {g_b}^c {T_{ad}}^d = \kappa {\sigma_{ab}}^c</math>
|}

де <math>{\sigma_{ab}}^c</math>- тензор спіну. Оскільки рівняння торсії є алгебраїчним обмеженням, а не частковим диференціальним рівнянням, поле торсії не поширюється як хвиля і зникає поза межами речовини. Тому в принципі торсію можна алгебраїчно виключити з теорії на користь тензора спіну, який створює ефективну «спін-спін» нелінійну самоінтеракцію всередині речовини.

== Уникнення сингулярностей ==
Сингулярні теореми, які ґрунтуються і формулюються в рамках [[Ріманова геометрія|Ріманової геометрії]] (наприклад, [[Сингулярні теореми Пенроуза — Гокінга]]), не обов'язково застосовуються до Ріман&nbsp;— Картанової геометрії. Отже, теорія Ейнштейна&nbsp;— Картана здатна уникнути загально-релятивістської проблеми сингулярності при [[Великий вибух|Великому вибуху]].

В цій теорії мінімальна зв'язок між торсією та [[Ферміон Дірака|дираківськими спінорами]] породжує ефективну нелінійну самоінтеракцію спін-спін, яка стає значущою всередині [[ферміон]]ічної речовини при надзвичайно великих густинах. Замість утворення сингулярного Великого вибуху, ця інтеракція припускається веде до появи конусоподібного [[Великий відскок|Великого відскоку]] при мінімальному, але скінченному [[Масштабний фактор (космологія)|масштабному факторі]], перед яким спостережуваний Всесвіт скорочувався. Цей сценарій також пояснює, чому поточний Всесвіт на найбільших масштабах здається просторово плоским, однорідним та ізотропним, надаючи фізичну альтернативу космічній [[Інфляція (космологія)|інфляції]]. Торсія дозволяє ферміонам бути просторово розширеними, замість «точкових», що допомагає уникнути утворення сингулярностей, таких як [[Чорна діра|чорні діри]], і усуває [[Ультрафіолетова дивергенція|ультрафіолетову дивергенцію]] у [[Квантова теорія поля|квантовій теорії полів]]. Згідно з загальною теорією відносності, гравітаційний звалювання достатньо компактної маси призводить до утворення сингулярної чорної діри. У теорії Ейнштейна&nbsp;— Картана замість цього звалювання досягає відскоку і формує регулярний міст Ейнштейна-Розена (віртуальний червоний) у новий розквітлий Всесвіт на іншому боці [[Горизонт подій|горизонту подій]].

== Література і джерела ==

* {{cite arXiv |eprint=gr-qc/9602013|last1=Gronwald|first1=F.|title=On the Gauge Aspects of Gravity|last2=Hehl|first2=F. W.|year=1996}}
* {{cite journal | last=Hammond | first=Richard T | title=Torsion gravity | journal=Reports on Progress in Physics| volume=65 | issue=5 | date=2002-03-27 | issn=0034-4885 | doi=10.1088/0034-4885/65/5/201 | pages=599–649| bibcode=2002RPPh...65..599H | s2cid=250831296 }}
* {{cite journal | last=Hehl | first=F. W. | title=Spin and torsion in general relativity: I. Foundations | url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_1973_4_4/page/333 | journal=General Relativity and Gravitation| volume=4 | issue=4 | year=1973 | issn=0001-7701 | doi=10.1007/bf00759853 | pages=333–349| bibcode=1973GReGr...4..333H | s2cid=120910420 }}
* {{cite journal | last=Hehl | first=F. W. | title=Spin and torsion in general relativity II: Geometry and field equations | journal=General Relativity and Gravitation| volume=5 | issue=5 | year=1974 | issn=0001-7701 | doi=10.1007/bf02451393 | pages=491–516| bibcode=1974GReGr...5..491H | s2cid=120844152 }}
* {{cite journal | last1=Hehl | first1=Friedrich W. | last2=von der Heyde | first2=Paul | last3=Kerlick | first3=G. David | title=General relativity with spin and torsion and its deviations from Einstein's theory | journal=Physical Review D | volume=10 | issue=4 | date=1974-08-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.10.1066 | pages=1066–1069| bibcode=1974PhRvD..10.1066H }}
* {{cite journal | last=Kleinert | first=Hagen | title=Nonholonomic Mapping Principle for Classical and Quantum Mechanics in Spaces with Curvature and Torsion | url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2000-05_32_5/page/769 | journal=General Relativity and Gravitation| volume=32 | issue=5 | year=2000 | issn=0001-7701 | doi=10.1023/a:1001962922592 | pages=769–839| arxiv=gr-qc/9801003 | bibcode=2000GReGr..32..769K | s2cid=14846186 }}
* {{cite journal | last=Kuchowicz | first=Bronisław | title=Friedmann-like cosmological models without singularity | journal=General Relativity and Gravitation| volume=9 | issue=6 | year=1978 | issn=0001-7701 | doi=10.1007/bf00759545 | pages=511–517| bibcode=1978GReGr...9..511K | s2cid=118380177 }}
* Lord, E. A. (1976). «Tensors, Relativity and Cosmology» (McGraw-Hill).
* {{cite journal | last=Petti | first=R. J. | title=Some aspects of the geometry of first-quantized theories | url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_1976-11_7_11/page/869 | journal=General Relativity and Gravitation| volume=7 | issue=11 | year=1976 | issn=0001-7701 | doi=10.1007/bf00771019 | pages=869–883| bibcode=1976GReGr...7..869P | s2cid=189851295 }}
* {{cite journal | last=Petti | first=Richard J. | title=On the local geometry of rotating matter | journal=General Relativity and Gravitation| volume=18 | issue=5 | year=1986 | issn=0001-7701 | doi=10.1007/bf00770462 | pages=441–460| bibcode=1986GReGr..18..441P | s2cid=120013580 }}
* {{cite journal | last=Petti | first=R J | title=Translational spacetime symmetries in gravitational theories | journal=Classical and Quantum Gravity| volume=23 | issue=3 | date=2006-01-12 | issn=0264-9381 | doi=10.1088/0264-9381/23/3/012 | pages=737–751| arxiv=1804.06730 | bibcode=2006CQGra..23..737P | s2cid=118897253 }}
* {{cite journal |arxiv=1301.1588|last1=Petti|first1=R. J.|title=Derivation of Einstein–Cartan theory from general relativity|journal=International Journal of Geometric Methods in Modern Physics|year=2021|volume=18|issue=6|pages=2150083–2151205|doi=10.1142/S0219887821500833|bibcode=2021IJGMM..1850083P|s2cid=119218875}}
* {{cite arXiv |eprint=0911.0334|last1=Poplawski|first1=Nikodem J.|title=Spacetime and fields|class=gr-qc|year=2009}}
* de Sabbata, V. and Gasperini, M. (1985). «Introduction to Gravitation» (World Scientific).
* de Sabbata, V. and Sivaram, C. (1994). «Spin and Torsion in Gravitation» (World Scientific).
* {{cite journal | last=Shapiro | first=I.L. | title=Physical aspects of the space–time torsion | journal=Physics Reports| volume=357 | issue=2 | year=2002 | issn=0370-1573 | doi=10.1016/s0370-1573(01)00030-8 | pages=113–213| arxiv=hep-th/0103093 | bibcode=2002PhR...357..113S | s2cid=119356912 }}
* {{cite journal | last=Trautman | first=Andrzej | title=Spin and Torsion May Avert Gravitational Singularities | journal= Nature Physical Science| volume=242 | issue=114 | year=1973 | issn=0300-8746 | doi=10.1038/physci242007a0 | pages=7–8| bibcode=1973NPhS..242....7T }}
* {{cite arXiv |eprint=gr-qc/0606062|last1=Trautman|first1=Andrzej|title=Einstein–Cartan Theory|year=2006}}

== Примітки ==
{{reflist}}
{{Теорії гравітації}}

[[Категорія:Теорії гравітації]]
[[Категорія:1922 у науці]]
[[Категорія:Альберт Ейнштейн]]