Перегляд вихідного коду сторінки Теорія Галуа

'''Теорія Галуа''' — розділ [[алгебра|алгебри]], що вивчає зв'язок між [[розширення поля|розширенням полів]] (зокрема [[поле розкладу|полями розкладу]] [[многочлен]]ів) і [[група автоморфізмів|групами автоморфізмів]] у [[поле (алгебра)|полях]]. Історично початок теорії поклали дослідження [[Еварист Галуа|Евариста Галуа]] щодо розв'язності [[многочлен]]ів у радикалах де він використовував поняття [[група перестановок|груп перестановок]] [[Корінь многочлена|коренів многочлена]].

== Застосування до класичних задач ==

Теорія Галуа дає єдиний елегантний підхід до рішення таких класичних задач як
# Які фігури можна [[побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудувати циркулем і лінійкою]]?
# Які [[алгебраїчне рівняння|алгебраїчні рівняння]] розв'язуються за допомогою стандартних операцій алгебри ([[додавання]], [[віднімання]], [[множення]], [[ділення]] і [[обчислення кореня]])?

== Симетрії коренів ==

Симетрії коренів — [[перестановка|перестановки]] на множині [[Корінь многочлена|коренів многочлена]], для якого будь-якому [[алгебраїчне рівняння|алгебраїчному рівнянню]] з раціональними коефіцієнтами, якому задовольняють корені, задовольняють і перестановки коренів.

=== Приклад: квадратне рівняння ===
{{Докладніше|Квадратне рівняння}}
У многочлена другого степеня ''a'' ''x''² + ''b'' ''x'' + ''c'' є два корені ''x''<sub>1</sub> і ''x''<sub>2</sub>, симетричні щодо точки ''x''=-''b''/2''a''.  Можливі два варіанти:
* Якщо ці корені [[раціональні числа|раціональні]], то рівнянню ''x''-''x''<sub>1</sub>=0 задовольняє тільки один корінь, і група рівняння тривіальна.
* Якщо корені [[ірраціональні числа|ірраціональні]], то група містить один нетривіальний елемент ''x''<sub>1</sub>⇔''x''<sub>2</sub>, і [[Ізоморфізм (математика)|ізоморфна]] <math>\Z /2 \Z</math>.

=== Складніший приклад ===

Розглянемо тепер многочлен (''x''<sup>2</sup>&minus;5)<sup>2</sup>&minus;24.

Його корені: <math>a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, b=\sqrt{2}-\sqrt{3}, c=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, d=-\sqrt{2}-\sqrt{3}</math>.

Існує 4!=24 різних перестановки коренів цього рівняння, але не всі вони є симетріями. Елементи групи Галуа повинні зберігати будь-які рівняння алгебри з раціональними коефіцієнтами.  

Одне з таких рівнянь - ''a''+''d''=0.  Оскільки ''a''+''c''≠0, перестановка ''a''→''a'', ''b''→''b'', ''c''→''d'', ''d''→''c'' не входить до групи Галуа.

Крім того, можна помітити, що (''a''+''b'')²=8, але (''a''+''c'')²=12.  Тому перестановка ''a''→''a'', ''b''→''c'', ''c''→''b'', ''d''→''d'' не входить до групи.

Остаточно можна одержати, що [[група Галуа]] многочлена складається з чотирьох перестановок:
:(''a'', ''b'', ''c'', ''d'') &rarr; (''a'', ''b'', ''c'', ''d'')
:(''a'', ''b'', ''c'', ''d'') &rarr; (''c'', ''d'', ''a'', ''b'')
:(''a'', ''b'', ''c'', ''d'') &rarr; (''b'', ''a'', ''d'', ''c'')
:(''a'', ''b'', ''c'', ''d'') &rarr; (''d'', ''c'', ''b'', ''a'')
і є [[4-група Клейна|4-групою Клейна]], ізоморфною <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>.

== Формулювання в термінах теорії полів ==

[[Поле (алгебра)|Теорія полів]] дає загальніше визначення [[група Галуа|групи Галуа]]. При сучасному підході до теорії Галуа основними об'єктами вивчення є [[скінченне розширення|скінченні розширення поля]] ''K'' та групи [[автоморфізм]]ів на ''L''/''K'' (тобто [[ізоморфізм]]ів α: ''L'' → ''L'' для яких α(''x'') = ''x'' для всіх ''x'' з поля ''K''). Дана група ізоморфізмів також називається '''групою Галуа'''. Якщо розширення поля є розширенням Галуа (тобто скінченним, [[нормальне розширення|нормальним]] і [[сепарабельне розширення|сепарабельним]]) то існує взаємно-однозначна відповідність між [[підгрупа|підгрупами]] групи Галуа і полями, такими, що  ''K'' ⊆ ''E'' ⊆ ''L''.
Для довільного многочлена ''f'' над полем ''K'', поле розкладу ''L'' цього многочлена є розширенням Галуа поля ''K'', тож можна визначити його групу Галуа. Оскільки будь-який автоморфізм α з цієї групи залишає незмінними елементи поля ''K'', а також ''α(0) = 0'', то ''0=α(f(x<sub>1</sub>))=α(f(x<sub>2</sub>))'', де ''x<sub>1</sub>'' — деякий корінь рівняння ''f'', а ''x<sub>2</sub> = α(x<sub>1</sub>)''. Отже кожен автоморфізм на ''L''/''K'' переводить корені рівняння в корені рівняння і відповідно визначає перестановку на множині цих коренів. Навпаки кожна перестановка на множині коренів рівняння визначає автоморфізм на ''L''/''K''. Ці властивості показують зв'язок між класичною і сучасною теорією Галуа. 

У класичній теорії Галуа як основне поле використовується поле [[раціональні числа|раціональних чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>.

== Розв'язні групи і рішення рівнянь у радикалах ==

Корені алгебраїчного рівняння ''P''(''x'')=0 виражаються в радикалах [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли група рівняння [[розв'язна група|розв'язна]].

Існують многочлени ''n''- го степеня над полем [[раціональні числа|раціональних чисел]] [[група Галуа]] яких [[Ізоморфізм (математика)|ізоморфна]] [[симетрична група|симетричній групі]] ''S''<sub>''n''</sub>, тобто складається зі всіх можливих [[перестановка|перестановок]]. Оскільки групи ''S''<sub>''n''</sub> при ''n''>4 не є розв'язною, існують многочлени степеня ''n'', корені яких не можна записати у вигляді радикалів — [[теорема Абеля—Руффіні]].
Наприклад якщо многочлен [[незвідний многочлен|незвідний]] над полем раціональних чисел, його степінь — [[просте число]] ''p'' і ''p-2'' корені цього многочлена є дійсними то його група Галуа ізоморфна ''S''<sub>''n''</sub>. Прикладом такого многочлена є зокрема: <math>f(x) = x^5 -6x +3</math> 

== Див. також ==
*[[Розв'язна група]]
*[[Розширення Галуа]]

== Література ==
=== Українською ===
# {{Дрозд.Теорія Галуа}}
# {{Артін.Теорія Галуа}}
# {{Cite book
|url=http://dspace.wunu.edu.ua//handle/316497/592
|title=Коди поля Галуа : теорія та застосування
|last=Николайчук
|first=Ярослав Миколайович
|date=2012
|publisher=Тернограф
|pages=576
|isbn=978-966-457-135-4
|accessdate=19 грудня 2021
|archive-date=19 грудня 2021
|archive-url=https://web.archive.org/web/20211219162850/http://dspace.wunu.edu.ua//handle/316497/592
}}

=== Іншими мовами ===
# {{cite book
 | author=Robert B. Ash
 | title=Basic Abstract Algebra: For Graduate Students and Advanced Undergraduates
 | publisher=Dover Books on Mathematics
 | year=2006
 | isbn=978-0486453569
 | url=https://faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Algebra.html
 | authorlink=
 | accessdate=22 січня 2022
 | archive-date=27 вересня 2021
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210927085430/https://faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Algebra.html
 }} (Chapter 6: Galois Theory) {{ref-en}}
# {{cite book
 | author=Ian Stewart
 | title =Galois Theory
 | publisher=Chapman and Hall
 | year=1989
 | isbn=0-412-34550-1
 | authorlink=
}} {{ref-en}}
# {{cite book | author=Jörg Bewersdorff | title=Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective| url=https://archive.org/details/galoistheoryforb0000bewe | publisher=American Mathematical Society | year=2006 | isbn=0-8218-3817-2}} {{ref-en}}
# ''Howie, John Mackintosh'' (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 . {{ref-en}}
# {{книга
|автор        = Jean-Pierre Tignol
|заголовок    = Galois' Theory Of Algebraic Equations
|частина      = 
|оригінал     = 
|том          = 
|видавництво  = World Scientific Publishing Company
|місто        = 
|рік          = 2001
|сторінок     = 348
|isbn         = 978-9810245412
}} {{ref-en}}
# {{Ван.дер.Варден.Алгебра}}
# ''Постников М. М.'' Теория Галуа. — М.: Фізматгиз, 1963. {{ref-ru}}

== Див. також ==
* [[Диференціальна теорія Галуа]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
# Dan Goodman (2002), [http://nrich.maths.org/1422 An Introduction to Galois Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160606002807/http://nrich.maths.org/1422 |date=6 червня 2016 }}. {{ref-en}}
# Teruyoshi Yoshida (2010), [https://web.archive.org/web/20150419144305/https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/2010_Galois_M24/2010_Galois_M24.pdf Galois Theory ], University of Cambrdige. {{ref-en}}

{{math-stub}}
[[Категорія:Теорія Галуа]]