Перегляд вихідного коду сторінки Теореми Геделя про неповноту

{{Значення|Теореми Геделя}}
'''Теорема Геделя про неповноту''' і '''друга теорема Геделя'''{{#tag:ref|Іноді згадується як друга теорема Геделя «про доведення несуперечливості»{{sfn|Кліні|1957|с=513}}, «про неповноту»<ref>[http://lpcs.math.msu.su/vml2009/ чл.-корр. РАН Лев Дмитриевич Беклемишев в «Введении в математическую логику»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090321120047/http://lpcs.math.msu.su/vml2009/ |date=21 березня 2009 }} {{ref-ru}}</ref><ref>{{книга |назва=Толковый словарь по вычислительным системам |видавництво=Машиностроение |рік=1991 |сторінок=560 |ISBN=5-217-00617-X |сторінка=205}}, стор. 205 {{ref-ru}}</ref><ref>{{cite journal|journal=Доклады Академии наук СССР|volume=262|page=799|year=1982}} {{ref-ru}}</ref>, «про неповноту арифметики»<ref>{{cite journal|journal=Известия Академии наук СССР|volume=50|page=1140|year=1986}} {{ref-ru}}</ref>.|group = ~}} ({{lang-en|Gödel's incompleteness theorems}})&nbsp;— дві теореми [[Математична логіка|математичної логіки]] про принципові обмеження [[Формальна арифметика|формальної арифметики]] і, як наслідок, будь-якої [[Формальна система|формальної системи]], в якій можливо визначити основні арифметичні поняття: [[натуральні числа]], [[0 (число)|0]], [[1 (число)|1]], [[додавання]] та [[множення]].

Перша теорема стверджує, що, якщо формальна арифметика є несуперечливою, то в ній існує невивідна і неспростовна формула.

Друга теорема стверджує, що якщо формальна арифметика є несуперечливою, то в ній є невивідною деяка формула, яка змістовно стверджує несуперечливість цієї арифметики.

Обидві ці теореми було доведено [[Курт Гедель|Куртом Геделем]] 1930 року (опубліковано 1931 року), вони мають безпосередній стосунок до {{нп|Друга проблема Гільберта|другої проблеми||Hilbert's second problem}} зі знаменитого [[Проблеми Гільберта|списку Гільберта]].

== Теорема Геделя про неповноту ==

=== У початковій формі ===
У своєму формулюванні теореми про неповноту Гедель використовував поняття ω-несуперечливої формальної системи&nbsp;— сильніша умова, ніж просто несуперечливість. Формальна система називається ''ω-несуперечливою'', якщо для будь-якої формули ''A''(''x'') цієї системи неможливо одночасно вивести формули ''А''(''0''), ''А''(''1''), ''А''(''2''), … і ∃''x''¬''A''(''x'') (іншими словами, з того, що для кожного натурального числа ''n'' виведено формулу ''A''(n), випливає невивідність формули ∃''x ''¬''A''(''x'')). Легко показати, що ω-несуперечливість спричиняє просту несуперечливість (тобто, будь-яка ω-несуперечлива формальна система є несуперечливою){{sfn|Кліні|1957|c=187}}.

У процесі доведення теореми будується така формула ''A'' арифметичної формальної системи S, що{{sfn|Кліні|1957|c=187}}:

: ''Якщо формальна система ''S'' є несуперечливою, то формула A є невивідною в ''S''; якщо система ''S'' є ω-несуперечливою, то формула ¬A є невивідною в ''S''. Таким чином, якщо система ''S'' є ω-несуперечливою, то вона є неповною<ref group = ~ name = "df_i">Формальна система, що містить нерозв'язну, тобто невивідну і неспростовну формулу, називається неповною.</ref> і A слугує прикладом нерозв'язної формули. ''

Формулу ''A'' іноді називають ''геделевою нерозв'язною формулою''{{sfn|Мендельсон|1971|с=165}}.

==== Інтерпретація нерозв'язної формули ====
В стандартній інтерпретації<ref group = ~ name = "si">Інтерпретація формул теорії S називається стандартною, якщо її областю є множина невід'ємних цілих чисел, символ 0 інтерпретується числом 0, функціональні символи ', +, • інтерпретуються додаванням одиниці, додаванням і множенням відповідно, предикатний символ = інтерпретується відношенням тотожності.</ref> формула ''A'' означає «не існує виведення формули ''A''», тобто стверджує свою власну невивідність в S. Отже, за теоремою Геделя, якщо тільки система S є несуперечливою, то ця формула і справді є невивідною в S і тому істинною в стандартній інтерпретації. Таким чином, для натуральних чисел формула ''A'' є правильною, але невивідною в S<ref> Це міркування запозичено з {{harvnb|Мендельсон|1971|с=160}}</ref>.

=== У формі Россера ===
У процесі доведення теореми будується така формула ''B'' арифметичної формальної системи S, що<ref> Див., наприклад, {{harvnb|Кліні|1957|с=188}}</ref>:

: ''Якщо формальна система'' S ''є несуперечливою, то в ній є невивідними обидві формули B і ¬B; інакше кажучи, якщо система S є несуперечливою, то вона є неповною<ref group = ~ name = "df_i" />, і B слугує прикладом нерозв'язної формули.''

Формулу ''B'' іноді називають ''россеровою нерозв'язною формулою''{{sfn|Мендельсон|1971|с=162}}. Ця формула трохи складніша за геделеву.

==== Інтерпретація нерозв'язної формули ====
В стандартній інтерпретації<ref group = ~ name = "si" /> формула ''B'' означає «якщо існує виведення формули ''B'', то існує виведення формули ¬''B''». Згідно ж теореми Геделя у формі Россера, якщо формальна система S є несуперечливою, то формула ''B'' в ній є невивідною; тому, якщо система S є несуперечливою, то формула ''B'' є правильною в стандартній інтерпретації{{sfn|Мендельсон|1971|с=162-163}}.

=== Узагальнені формулювання ===
Доведення теореми Геделя зазвичай проводять для конкретної формальної системи (не обов'язково однієї й тієї ж), відповідно твердження теореми виявляється доведеним тільки для однієї цієї системи. Дослідження достатніх умов, яким повинна задовольняти формальна система для того, щоб можливо було провести доведення її неповноти, веде до узагальнень теореми на широкий клас формальних систем. Приклад узагальненого формулювання{{sfn|Мендельсон|1971|с=176}}:

: ''Будь-яка достатньо сильна рекурсивно аксіоматизовна несуперечлива теорія першого порядку є неповною.''

Зокрема, теорема Геделя справедлива для кожного несуперечливого скінченно аксіоматизовного розширення арифметичної формальної системи S.

=== Поліноміальна форма ===
Після того, як [[Матіясевич Юрій Володимирович|Юрій Матіясевіч]] довів діофантовість будь-якої ефективно зліченної множини і було знайдено приклади [[Універсальне діофантове рівняння|універсальних діофантових рівнянь]], з'явилася можливість сформулювати теорему про неповноту в поліноміальному (або [[Діофантові рівняння|діофантовому]]) вигляді<ref>[http://www.ams.org/bull/1980-03-02/S0273-0979-1980-14832-6/S0273-0979-1980-14832-6.pdf Jones JP, Undecidable diophantine equations] {{ref-en}}</ref><ref>[http://www.uc09.uac.pt/Presentations/Tutorials/Martin_Davis/Tutorial_I.pdf Martin Davis, Diophantine Equations & Computation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100524162921/http://www.uc09.uac.pt/Presentations/Tutorials/Martin_Davis/Tutorial_I.pdf |date=24 травня 2010 }}  {{ref-en}}</ref><ref>[http://www.ams.org/notices/200604/fea-davis.pdf Martin Davis, The Incompleteness Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304052239/http://www.ams.org/notices/200604/fea-davis.pdf |date=4 березня 2016 }} {{ref-en}}</ref><ref>[http://www.ltn.lv/~podnieks/gt_rus/gram6.htm#glava65 К. Подниекс, Теорема Геделя в диофантовой форме] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170910065127/http://www.ltn.lv/~podnieks/gt_rus/gram6.htm#glava65 |date=10 вересня 2017 }} {{ref-ru}}</ref>:

: ''Для кожної несуперечливої теорії'' T ''можливо вказати таке ціле значення параметра K, що [[Діофантові рівняння|рівняння]]
:: <math>\begin{align}&(elg^2 + \alpha - (b - xy) q^2)^2 + (q - b^{5^{60}})^2 + (\lambda + q^4 - 1 - \lambda b^5)^2 + \\
&(\theta + 2z - b^5)^2 + (u + t \theta - l)^2 + (y + m \theta - e)^2 + (n - q^{16})^2 + \\
&((g + eq^3 + lq^5 + (2(e - z \lambda)(1 + xb^5 + g)^4 + \lambda b^5 + \lambda b^5 q^4)q^4)(n^2 - n) + \\
&(q^3 - bl + l + \theta \lambda q^3 + (b^5-2)q^5)(n^2 - 1) - r)^2 + \\
&(p - 2w s^2 r^2 n^2)^2 + (p^2 k^2 - k^2 + 1 - \tau^2)^2 + \\
&(4(c - ksn^2)^2 + \eta - k^2)^2 + (r + 1 + hp - h - k)^2 + \\
&(a - (wn^2 + 1)rsn^2)^2 + (2r + 1 + \phi - c)^2 + \\
&(bw + ca - 2c + 4\alpha \gamma - 5\gamma - d)^2 + \\
&((a^2 - 1)c^2 + 1 - d^2)^2 + ((a^2 - 1)i^2c^4 + 1 - f^2)^2 + \\
&(((a + f^2(d^2 - a))^2 - 1) (2r + 1 + jc)^2 + 1 - (d + of)^2)^2 + \\
&(((z+u+y)^2+u)^2 + y-K)^2 = 0
\end{align}</math>

: ''не має розв'язків у невід'ємних цілих числах, але цей факт не може бути доведено в теорії ''T''. Більше того, для кожної несуперечливої теорії множина значень параметра K, які мають таку властивість, є [[Нескінченна множина|нескінченною]] й [[Зліченна множина|алгоритмічно незліченною]].''

Степінь даного рівняння можливо знизити до 4 ціною збільшення кількості змінних.

=== Начерк доведення ===
{{Докладніше1|{{нп|Начерк доведення першої теореми Геделя про неповноту|||Proof sketch for Gödel's first incompleteness theorem}}}}

У своїй статті Гедель дає начерк основних ідей доведення{{sfn|Гедель|1931}}, який наведено нижче з незначними змінами.

Кожному примітивному символові, виразу і послідовності виразів деякої формальної системи<ref group = ~>Гедель використовував систему [[Principia Mathematica]] Уайтхеда і Рассела із застереженням, що міркування застосовні до широкого класу формальних систем</ref> S поставмо у відповідність певне натуральне число<ref group = ~>Подібне зіставлення формул і натуральних чисел називається арифметизацією математики, її було здійснено Геделем вперше. Ця ідея згодом стала ключем до розв'язання багатьох важливих задач математичної логіки. Див. [[Нумерація Геделя|Геделева нумерація]]</ref>. Математичні поняття і твердження таким чином стають поняттями і твердженнями про натуральні числа, і, отже, їх самі може бути виражено в символізмі системи S. Можливо показати, зокрема, що поняття «формула», «виведення», «вивідна формула» може бути визначено всередині системи S, тобто можливо відновити, наприклад, формулу ''F''(''v'') в S з однієї вільної натурально-числової змінної ''v'' таку, що ''F''(''v''), в інтуїтивній інтерпретації, означає: ''v''&nbsp;— вивідна формула. Тепер побудуймо нерозв'язне речення системи S, тобто речення ''A'', для якого ані ''A'', ані ''не-A'' невивідні, таким чином:

Формулу в S з рівно однією вільної натурально-числовою змінною назвімо ''клас-виразом''. Впорядкуймо клас-вирази в послідовність будь-яким чином, позначмо ''n-й'' через ''R''(''n''), і зауважмо, що поняття «клас-вираз», також як і відношення впорядкування R, можливо визначити в системі S. Нехай α&nbsp;— довільний клас-вираз; через [α;''n''] позначмо формулу, яка утворюється з клас-виразу α заміною вільної змінної символом натурального числа ''n''. Тернарне відношення ''x'' = [''y'';''z''] теж виявляється визначним в S. Тепер визначмо клас ''K'' натуральних чисел таким чином:

: ''N''∈''K'' ≡ ¬Bew [''R''(''n'');''n'']    (*)

де Bew ''x'' означає: ''x''&nbsp;— вивідна формула<ref group = ~>«Bew»&nbsp;— скор. від {{lang-de|Beweisbar}}&nbsp;— ''доказовий'', ''вивідний''</ref>. Оскільки всі визначальні поняття з цього визначення можливо виразити в S, то це ж правильно і для поняття ''K'', яке з них побудовано, тобто є такий клас-вираз ''C'', що формула [''C'';''n''], інтуїтивно інтерпретована, позначає, що натуральне число ''n'' належить ''K''. Як клас-вираз, ''C ''ідентичний деякому певному ''R''(''q'') в нашій нумерації, тобто

: ''C''=''R''(''q'')

виконується для деякого певного натурального числа ''q''. Тепер покажімо, що речення [''R''(''q'');''q''] нерозв'язне в S. Так, якщо припускається, що речення [''R''(''q'');''q''] є вивідним, то воно виявляється істинним, тобто, відповідно до сказаного вище, ''q ''буде належати ''K'', тобто, відповідно до (*), буде виконано ¬Bew [''R''(''q'');''q''], що суперечить нашому припущенню. З іншого боку, якщо припустити вивідність заперечення [''R''(''q'');''q''], то матиме місце ¬''q''∈''K'', тобто Bew[''R''(''q'');''q''] буде істинним. Отже, [''R''(''q'');''q''] разом зі своїм запереченням буде вивідним, що знову є неможливим.

=== Зв'язок з парадоксами ===
В стандартній інтерпретації<ref group = ~ name = "si" /> геделева нерозв'язна формула ''A'' означає «не існує виведення формули ''A''», тобто стверджує свою власну невивідність в системі S. Таким чином, ''A'' є аналогом [[парадокс брехуна | парадоксу брехуна]]. Міркування Геделя в цілому дуже схожі на {{нп|парадокс Рішара|||Richard's paradox}}. Більше того, для доведення існування невивідності тверджень може бути використано будь-який [[семантичний парадокс]]{{sfn|Гедель|1931}}.

Слід зазначити, що виражене формулою ''A'' твердження не містить порочного кола, оскільки спочатку стверджується тільки те, що деяка конкретна формула, явний запис якої отримати нескладно (хоч і громіздко), є недовідною. «Тільки згодом (і, так би мовити, з волі випадку) виявляється, що ця формула&nbsp;— саме та, якою виражено саме це твердження»{{sfn|Гедель|1931}}.

== Друга теорема Геделя ==
У формальній арифметиці S можливо побудувати таку формулу, яка в стандартній інтерпретації<ref group=~ name="si"/> є істинною в тому і тільки в тому випадку, коли теорія S є несуперечливою. Для цієї формули виконується твердження другої теореми Геделя:

: ''Якщо формальна арифметика'' S ''є несуперечливою, то в ній є невивідною формула, яка змістовно стверджує несуперечливість ''S''.

Іншими словами, несуперечливість формальної арифметики не може бути доведено засобами цієї теорії. Однак, можуть існувати доведення несуперечливості формальної арифметики, що використовують засоби, які неможливо виразити в ній.

=== Начерк доведення ===
Спочатку будується формула ''Con'', яка змістовно виражає неможливість виведення в теорії S якоїсь формули разом з її запереченням. Тоді твердження першої теореми Геделя виражається формулою ''Con'' ⊃ ''G'', де ''G''&nbsp;— геделева нерозв'язна формула. Всі міркування для доведення першої теореми може бути виражено і проведено засобами S, тобто в S є вивідною формула ''Con'' ⊃ ''G''. Звідси, якщо в S є вивідною ''Con'', то в ній є вивідною й ''G''. Проте, згідно першої теореми Геделя, якщо S є несуперечливою, то ''G'' в ній є невивідною. Отже, якщо S є несуперечливою, то в ній є невивідною й формула ''Con''.

== Історичні відомості ==
23 жовтня 1930 року результати Геделя було представлено Віденській академії наук [[Ганс Ган (математик)|Гансом Ганом]]. Основну статтю було отримано для публікації 17 листопада 1930 року і опубліковано на початку 1931 року{{sfn|Heijenoort|1967|с=592}}.

== Примітки ==
{{примітки|group=~}}

== Джерела ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{стаття
 | прізвище = Gödel
 | ім'я = Kurt
 | заголовок = On Formally Undecidable Propositions of the Principia Mathematica and Related Systems. I
 | рік = 1931
 |ref = Гедель
}} в книзі {{книга
 | автор = Davis, Martin (ed.)
 | назва = The Undecidable: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions
 | місце = New York
 | видавництво = Raven Press
 | рік = 1965
 | сторінки = 6-8
}} {{ref-en}}
* {{cite book
 |last=Kleene
 |first=Stephen Cole
 |authorlink=Стівен Коул Кліні
 |year=1952
 |title=Introduction to Metamathematics
 |url=https://archive.org/details/introductiontome0000step
 |publisher=D. van Nostrand Company, Inc.
 |place=New York - Toronto
}} {{ref-en}}
** {{книга
 |автор=[[Стівен Коул Кліні|Клини Стефен Коул]]
 |назва=Введение в метаматематику
 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Klini1957ru.djvu
 |місце=Москва
 |видавництво=«Издательство иностранной литературы»
 |рік=1957
 |сторінок=526
 |ref=Кліні
}} {{ref-ru}}
* {{cite book
 |last=Kleene
 |first=Stephen Cole
 |year=1967
 |title=Mathematical Logic
 |url=https://archive.org/details/mathematicallogi0000klee
 |publisher=John Wiley & Sons, Inc.
 |place=New York - London - Sydney
}} {{ref-en}}
** {{книга
 |автор=Клини Стефен Коул
 |назва=Математическая логика
 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Klini1973ru.djvu
 |місце=Москва
 |видавництво=«Мир»
 |рік=1973
 |сторінок=480
}} {{ref-ru}}
* {{cite book
 |last=Mendelson
 |first=Elliott
 |year=1964
 |title=Introduction to Mathematical Logic
 |url=https://archive.org/details/introductiontoma0000mend
 |publisher=van Nostrand 
}} {{ref-en}}
** {{книга
 |автор=Мендельсон Эллиот
 |назва=Введение в математическую логику
 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mendelson1971ru.djvu
 |місце=Москва
 |видавництво=«Наука»
 |рік=1971
 |сторінок=320
 |ref=Мендельсон
}} {{ref-ru}}
* {{книга
 |автор = [[Мартін Девіс|Davis, Martin]] (ed.)
 |назва = The Undecidable: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions
 |місце = New York
 |видавництво = Raven Press
 |рік = 1965
 |сторінок = 440
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор = [[Жан Геєнорт|Heijenoort, Jean van]] (ed.)
 |назва = From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931
 |місце = Cambridge, Massachusetts
 |видавництво = Harvard University Press
 |рік = 1967
 |сторінок = 660
 |ref = Heijenoort
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор={{нп|Успенський Володимир Андрійович|В. А. Успенский|ru|Успенский, Владимир Андреевич}}
 |назва=Теорема Гёделя о неполноте
 |серия=[[Популярные лекции по математике]]
 |місце=Москва
 |видавництво=Наука
 |рік=1982
 |сторінок=110
 |посилання=http://plm.mccme.ru/ann/a57.htm
}} {{ref-ru}}
* Академик {{нп|Єршов Юрій Леонідович|Ю. Л. Ершов|ru|Ершов, Юрий Леонидович}} ''[https://web.archive.org/web/20090719063356/http://rutube.ru/tracks/1543805.html «Доказательность в математике»]'', программа [[Гордон Олександр Гаррійович|А. Гордона]] от 16 июня 2003 года {{ref-ru}}
* {{стаття
 |автор=А. Б. Сосинский
 |назва=Теорема Геделя
 |видання=летняя школа [http://www.mccme.ru/dubna/ «Современная математика»]
 |місце=Дубна
 |рік=2006
 |посилання=http://www.math.ru/media/lecture/12
}} {{ref-ru}}
* {{стаття
 |автор=П. Дж. Коэн
 |назва=Об основаниях теории множеств
 |видання=[[Успехи математических наук]]
 |рік=1974
 |том=29
 |номер=5(179)
 |сторінки=169–176
 |посилання=http://mi.mathnet.ru/umn4418
 |id={{MR|id=386990}}
}} {{ref-ru}}
* {{книга
 |автор=М. Кордонский
 |назва=Конец истины
 |isbn=5-946448-001-04
 |посилання=http://old.russ.ru/krug/kniga/20021003_mk-pr.html
}} {{ref-ru}}
* {{стаття
 |автор={{нп|Успенський Володимир Андрійович|В. А. Успенский|ru|Успенский, Владимир Андреевич}}
 |назва=Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней
 |видання=летняя школа [http://www.mccme.ru/dubna/ «Современная математика»]
 |місце=Дубна
 |рік=2007
 |посилання=http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=122
}} {{ref-ru}}
* {{книга
 | автор           = {{нп|Єршов Юрій Леонідович|Ершов Ю.Л.|ru|Ершов, Юрий Леонидович}}, {{нп|Палютин Євген Андрійович|Палютин Е.А.|ru|Палютин, Евгений Андреевич}}
 | назва      = Математическая логика
 | місце          = Москва
 | видавництво  = Наука
 | рік           = 1987
 | сторінок    = 336
 | ref             = Ершов
}} {{ref-ru}}
* {{книга
 | автор           = {{нп|Бірюков Борис Володимирович|Бирюков Б.В.|ru|Бирюков, Борис Владимирович}}, {{нп|Тростников Віктор Миколайович|Тростников В. Н.|ru|Тростников, Виктор Николаевич}}
 | назва      = Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики
 | місце          = Москва
 | видавництво  = Едиториал УРСС
 | рік           = 2004
 | сторінок    = 232
 | isbn = 5-354-00310-5
 | ref             = Бирюков
}} {{ref-ru}}

== Бібліографія&nbsp;— статті Геделя ==
* 1931 ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.'' ''Monatshefte für Mathematik und Physik 38'': 173—198.
* 1931 ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.'' and ''On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I'' in {{нп|Соломон Фефереман|Solomon Feferman||Solomon Feferman}}, ed., 1986. ''Kurt Gödel Collected works, Vol. I''. [[Oxford University Press]]: 144—195.
Оригінальний німецький текст з паралельним англійським перекладом, з елементарним введенням, написаним [[Стівен Коул Кліні| Стівеном Кліні]].
* Hirzel, Martin, +2000, ''[http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20040916041216/http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf |date=16 вересня 2004 }}''. Сучасний переклад Марина Херцеля.

* +1951, ''Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications'' in {{нп|Соломон Фефереман|Solomon Feferman||Solomon Feferman}}, ed., 1995. ''Kurt Gödel Collected works, Vol. III''. Oxford University Press: 304—323.

== Див. також ==
* [[Теорема Геделя про повноту]]
* [[Парадокс брехуна]]
* [[Недовідні твердження]]
* [[Теорема Льоба]]
* {{нп|Теорема Тарського про невиразимість істини|||Tarski's undefinability theorem}}
* {{нп|Теорема Хайтіна про неповноту|||Chaitin's incompleteness theorem}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Chaitin's incompleteness theorem]] (→ [[:en:Kolmogorov complexity#Chaitin's incompleteness theorem]]) перекладена як [[Колмогоровська складність]], хоча хотіли [[Теорема Хайтіна про неповноту]] (SashkoR0B0T)-->
* [[Натуральне число | Натуральні числа]]
* [[Формальна система|Формальна теорія]]
* [[Теорема Гудштейна]]
* [[Антиномія]]
* {{нп|Му (заперечення)|||Mu (negative)}}
* [[Gödel, Escher, Bach]]
* [[Непредикативність (математика)]]

{{Математична логіка|state=collapsed}}

[[Категорія:Теореми засад математики|Геделя про неповноту]]
[[Категорія:Математична логіка]]
[[Категорія:Теорія моделей]]
[[Категорія:Теорія доведення]]
[[Категорія:Епістемологія]]
[[Категорія:Метатеореми|Геделя про неповноту]]
[[Категорія:Праці Курта Геделя]]
[[Категорія:Основи математики]]