Перегляд вихідного коду сторінки Теореми Веєрштрасса в банахових просторах

'''Теоре́ми Веєрштра́сса в [[Банахів простір|Бана́хових про́сторах]]'''

Нехай ''<math>\mu</math>''&nbsp;— метрика в [[метричний простір|метричному просторі]] ''<math>B</math>'', тобто ''<math>\mu: B \times B \to R</math>'':

1. для будь-яких ''<math>x,y:\mu(x,y) \ge 0,\mu(x,y)=0 \iff x = y</math>''.

2. ''<math>\mu(x,y) = \mu(y,x)</math>''.

3. ''<math>\mu(x,z)+\mu(z,y) \ge \mu(x,y)</math>''.

'''Означення 1.''' Функціонал ''<math>f</math>'' називається <math>\mu</math>&nbsp;— [[Напівнеперервна функція|напівнеперервним знизу]], якщо <math>\mu(x_{n},x) \to 0 \implies \lim_{x \to \infty}f(x_n) \ge f(x)</math>.

'''Означення 2.''' Множина ''<math>X</math>'' з метричного простору ''<math>B</math>'' називається ''<math>\mu</math>''&nbsp;— ''компактною'', якщо з довільної послідовності точок ''<math>\{x_n\} \subset X</math>'' можна обрати підпослідовність збіжну до ''<math>x \in X</math>''.

'''Теорема 1.''' Якщо функція ''<math>f</math>'' є визначеною, скінченною, ''<math>\mu</math>''&nbsp;— напівнеперервною знизу на ''<math>\mu</math>''&nbsp;— компактній множині ''<math>X</math>'', то ''<math>f</math>'' досягає на ''<math>X</math>'' свого мінімального значення.
''Тобто існує'' ''<math>x \in X:f(x)=\inf_{y \in X} f(x)</math>''.

Нехай тепер <math>E</math>&nbsp;— [[банахів простір]].

'''Означення 3.''' Послідовність <math>\{x_n\} \subset E</math> називається ''слабко збіжною'' до елемента <math>x \in E</math>, якщо для будь-якого лінійного неперервного функціонала <math>F</math> <math>F(x_n) \to F(x)</math>.

'''Означення 4.''' Функціонал ''<math>f</math>'' називається ''слабконапівнеперервним знизу'', якщо з того що <math>x_n \to x</math> випливає, що <math>\lim_{n \to \infty}f(x_n) \ge f(x)</math>.

'''Означення 5.''' Множина ''<math>X</math>'' з банахового простору ''<math>E</math>'' називається ''слабкокомпактною'', якщо з довільної послідовності точок <math>\{x_n\} \subset X</math> можна обрати підпослідовність, що слабко збігається до деякої <math>x \in X</math>.

'''Теорема 2.''' Якщо функція ''<math>f</math>'' визначена, скінченна, слабконапівнеперервна знизу на слабкокомпактній множині ''<math>X</math>'', то ''<math>f</math>'' досягає на ''<math>X</math>'' свого мінімального значення.

== Див. також ==
* [[Друга теорема Веєрштрасса]]

== Джерела ==
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Березанський.Ус.Шефтель}}

{{Math-stub}}

[[Категорія:Прикладна математика]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі|Веєрштраса у банахових просторах]]