Перегляд вихідного коду сторінки Теорема тенісної ракетки

[[Файл:tennis_racquet_principal_axes.svg|міні| Основні осі тенісної ракетки. ]]
'''Теорема тенісної ракетки''' або '''теорема проміжної осі'''&nbsp;— результат [[Класична механіка|класичної механіки]], що описує рух [[Абсолютно тверде тіло|твердого тіла]] з трьома різними [[Момент інерції|головними моментами інерції]]. Вона отримала назву '''ефект Джанібекова''', після того, як радянський [[космонавт]] [[Джанібеков Володимир Олександрович|Володимир Джанібеков]] помітив один з наслідків теореми, перебуваючи в космічному просторі 1985 року<ref>[http://oko-planet.su/science/sciencehypothesis/15090-yeffekt-dzhanibekova-gajka-dzhanibekova.html Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190711125026/https://oko-planet.su/science/sciencehypothesis/15090-yeffekt-dzhanibekova-gajka-dzhanibekova.html |date=11 липня 2019 }}, 23 July 2009 {{Ref-ru}}. ПО може бути завантажене [http://live.cnews.ru/forum/index.php?s=5091d296ac0d22ad6b6e9712f3b0edbe&act=Attach&type=post&id=87112 тут] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160817033257/http://live.cnews.ru/forum/index.php?s=5091d296ac0d22ad6b6e9712f3b0edbe&act=Attach&type=post&id=87112 |date=17 серпня 2016 }}</ref><ref>[https://twitter.com/MichaelGalanin/status/1148408466081538048?s=19] Лінк на відео у Twitter</ref> хоча сам ефект був відомий принаймні за 150 років до цього<ref>[[Луї Пуансо|Poinsot]] (1834) ''Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps'', Bachelier, Paris</ref> і добре описаний в сучасних текстах з класичної механіки, які мали бути відомі Джанібекову<ref>Goldstein H. (1980) ''Classical Mechanics'', 2nd. ed., Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-02918-9}}</ref><ref>[[Ландау Лев Давидович|Landau LD]] and [[Ліфшиць Євген Михайлович|Lifshitz EM]] (1976) ''Mechanics'', 3rd. ed., Pergamon Press. {{ISBN|0-08-021022-8}} (hardcover) and {{ISBN|0-08-029141-4}} (softcover).</ref>. Стаття з поясненням ефекту була опублікована 1991&nbsp;р.<ref>{{Cite journal|last=Ashbaugh|first=Mark S.|last2=Chicone|first2=Carmen C.|last3=Cushman|first3=Richard H.|date=January 1991|title=The Twisting Tennis Racket|journal=Journal of Dynamics and Differential Equations|volume=3|pages=67–85|bibcode=1991JDDE....3...67A|doi=10.1007/BF01049489}}</ref>

==Загальний опис==
Теорема описує ефект, коли обертання об'єкта навколо його першої та третьої [[Момент інерції|головних осей]] є стабільним, а обертання навколо його другої головної осі (або проміжної осі) не є.

Це можна продемонструвати за допомогою наступного експерименту: візьміть у руку тенісну ракетку за ручку сіткою горизонтально землі і намагайтеся підкинути її в повітря так, щоб вона виконала повне обертання навколо горизонтальної осі, перпендикулярній її ручці, і намагайтеся схопити ручку. Майже у всіх випадках під час цього обертання сітка також завершить половинне обертання (тобто на 180°), так що тепер інша сторона сітки буде спрямована вгору. Для контрасту, ракетку можна легко кинути так, щоб вона оберталася навколо осі ручки (третя головна вісь) без супроводу половини обертання навколо іншої осі; також можна зробити її обертання навколо вертикальної осі, перпендикулярної ручці (перша основна вісь) без будь-якого супутнього напівповороту.

Експеримент можна виконати з будь-яким об'єктом, який має три різні моменти інерції, наприклад, книгою, пультом дистанційного керування або смартфоном. Ефект утворюється, коли вісь обертання лише незначно відрізняється від другої основної осі об'єкта; опір повітря або гравітація не обов'язкові.<ref>{{Cite book|url={{google books|plainurl=yes|id=uVSYswEACAAJ|page=151}}|title=Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction|last=Levi|first=Mark|year=2014|publisher=American Mathematical Society|pages=151–152|isbn=9781470414443}}</ref>

== Теорія ==
[[Файл:Intersecting_ellipsoids.gif|міні| Візуалізація нестабільності проміжної осі. Величина кутового моменту і кінетична енергія обертового об'єкта зберігаються. В результаті вектор кутової швидкості залишається на перетині двох еліпсоїдів.]]
[[Файл:Dzhanibekov_effect.ogv|міні|Демонстрація ефекту Джанібекова у [[Мікрогравітація|мікрогравітації]], [[НАСА]].]]
Теорему про тенісну ракетку можна якісно проаналізувати за допомогою [[Рівняння Ейлера (динаміка твердого тіла)|рівнянь Ейлера]]. За умов без [[Момент сили|крутного моменту]] вони мають наступний вигляд:

<math>
\begin{align}
I_1\dot{\omega}_{1}&=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(1)}\\
I_2\dot{\omega}_{2}&=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(2)}\\
I_3\dot{\omega}_{3}&=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(3)}
\end{align}
</math>

Тут <math>I_1, I_2, I_3</math> позначають головні моменти інерції об'єкта, і припустимо, що <math> I_1 > I_2 > I_3</math>. Кутові швидкості навколо трьох основних осей об'єкта позначені <math>\omega_1, \omega_2,  \omega_3</math>, а їх похідні по часу&nbsp;— <math>\dot\omega_1, \dot\omega_2, \dot\omega_3</math>.

; Стабільне обертання навколо першої головної осі
Розглянемо ситуацію, коли об'єкт обертається довкола осі з моментом інерції <math>I_1</math>. Для визначення природи рівноваги, припустимо, що початкові кутові швидкості вздовж двох інших осей є малими. В результаті, відповідно до рівняння (1), <math>~\dot{\omega}_{1}</math> є дуже малим. Тому, залежністю від часу <math>~\omega_1</math> можна знехтувати.

Тепер, диференціюючи рівняння (2) і підставляючи <math>\dot{\omega}_3</math> з рівняння (3),

<math>
\begin{align}
I_2 I_3 \ddot{\omega}_{2}&= (I_3-I_1) (I_1-I_2)(\omega_1)^2\omega_{2}\\
\text{тобто}~~~~ \ddot{\omega}_2 &= \text{(негативне число)} \cdot \omega_2
\end{align}
</math>

Зверніть увагу, що <math>\omega_2</math> протиставляється і тому обертання навколо цієї осі стабільне для об'єкта.

Подібні міркування дають, що обертання навколо осі з моментом інерції <math>I_3</math> також стабільне.

; Нестабільне обертання навколо другої головної осі
Тепер застосуємо той самий аналіз до осі з моментом інерції <math>I_2</math>. Тепер <math>\dot{\omega}_{2}</math> дуже мале. Тому, залежністю від часу <math>~\omega_2</math> можна знехтувати.

Диференціюючи рівняння (1) та підставивши <math>\dot{\omega}_3</math> з рівняння (3),

<math>
\begin{align}
I_1 I_3 \ddot{\omega}_{1}&= (I_2-I_3) (I_1-I_2) (\omega_{2})^2\omega_1\\
\text{тобто}~~~~ \ddot{\omega}_1 &= \text{(позитивне число)} \cdot \omega_1
\end{align}
</math>

Зверніть увагу, що <math>\omega_1</math> ''не'' протиставляється (а тому зростатиме) і обертання довкола другої осі є ''нестабільним''. Тому, навіть маленьке втручання вздовж двох других осей приводить до 'перевороту' об'єкта.

== Див. також ==
* [[Ейлерові кути]]
* [[Еліпсоїд Пуансо]]
* [[Кельтський камінь]]
* [[Момент інерції]]

== Список літератури ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* {{Cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=4dqCQqI-Gis|title=Slow motion Dzhanibekov effect demonstration with table tennis rackets|first=|last=Dan Russell|date=5 березня 2010|publisher=|accessdate=2 лютого 2017|archive-date=25 січня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170125000735/https://www.youtube.com/watch?v=4dqCQqI-Gis}}
* Link to djanibek.zip demonstrating the theorem's effects&nbsp;— [http://evstoliya-3.livejournal.com/115466.html Dzhanibekov's Effect] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190711125026/https://evstoliya-3.livejournal.com/115466.html |date=11 липня 2019 }} (in Russian).
* {{Cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw|title=Dzhanibekov effect demonstration|first=|last=zapadlovsky|date=16 червня 2010|publisher=|accessdate=2 лютого 2017|archive-date=25 січня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170125000734/https://www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw}} on [[Орбітальна станція «Мир»|Mir]] [[Міжнародна космічна станція|International Space Station]]
* {{Cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=VHNvzXy-Iqs|title=Djanibekov effect modeled in  Mathcad 14|first=|last=Viacheslav Mezentsev|date=7 вересня 2011|publisher=|accessdate=2 лютого 2017|archive-date=5 березня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160305171921/https://www.youtube.com/watch?v=VHNvzXy-Iqs}}
* [[Луї Пуансо|Louis Poinsot]], [https://catalog.hathitrust.org/Record/100228096 Théorie nouvelle de la rotation des corps] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190711180146/https://catalog.hathitrust.org/Record/100228096 |date=11 липня 2019 }}, Paris, Bachelier, 1834, 170 p. {{OCLC|457954839}} : historically, the first mathematical description of this effect.

==Інтернет-ресурси==
* [https://www.youtube.com/watch?v=QV7-lGvnGGE Дивне обертання тенісної ракетки (ефект Джанібекова) [Veritasium]]
[[Категорія:Жонглювання]]
[[Категорія:Класична механіка]]
[[Категорія:Теорія стійкості]]