Перегляд вихідного коду сторінки Теорема про обернену функцію

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
'''Теорема про обернену функцію''' в [[диференціальне числення|диференціальному численні]] дає достатню умову для того, щоб [[Функція (математика)|функція]] була [[Обернена функція|оберненою]] в [[окіл|околі]] точки з її [[область визначення|області визначення]]: а саме, її ''[[похідна]] [[Неперервна функція|неперервна]] і не дорівнює нулю'' в точці.

Теорема також дає [[Формула|формулу]] для похідної оберненої функції. У [[Числення багатьох змінних|аналізі функцій багатьох змінних]] цю теорему можна узагальнити для будь-якої [[Диференційовна функція|неперервно диференційовної]], [[векторнозначна функція|векторзначної функції]] для якої [[визначник]] [[Матриця Якобі|Якобі]] (якобіан) відмінний від нуля в точці її області визначення, що дає формулу для оберненої [[Матриця Якобі|матриці Якобі]]. Також існують версії теореми про обернену функцію для [[комплексні числа|комплексних]] [[Голоморфна функція|голоморфних функцій]], для диференційних відображень між [[многовид]]ами та диференційовних функцій між [[Банахів простір|банаховими просторами]], тощо.

Вперше ця теорема була встановлена [[Еміль Пікар|Пікаром]] і [[Едуар Ґурса|Ґурса]] за допомогою ітераційної схеми: основна ідея полягає в тому, щоб довести {{нп|Теорема про нерухому точку|теорему про нерухому точку||Fixed-point theorems}} за допомогою [[Стискуюче відображення|теореми про стискаючі відображення]].

==Твердження ==
Для функцій однієї [[Змінна|змінної]], теорема стверджує: якщо <math>f</math> — [[Диференційовна функція|неперервно диференційовна]] функція, похідна якої не дорівнює нулю у точці <math>a</math>, то функція <math>f</math> ін'єктивна (або бієктивна на образі) в околі точки <math>a</math>, обернена функція неперервно диференційовна в околі точки <math>b=f(a)</math>, а похідна оберненої функції в точці <math>b</math> є оберненою до похідної функції <math>f</math> у точці <math>a</math>: 
:<math>\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\bigr(f^{-1}(b)\bigr)}.</math>
Може статися, що функція <math>f</math> може бути ін'єктивною в околі точки <math>a</math>, тоді як <math>f'(a)=0</math>. Наприклад, <math>f'(x)=(x-a)^3</math>. По суті, для такої функції, обернена не може бути диференційовною в точці <math>b=f(a)</math>, так як, якщо обернена функція <math>f^{-1}</math> була б диференційовною в точці <math>b</math>, то тоді, за правилом [[диференціювання складеної функції]] маємо
:<math>1=\bigl(f^{-1}\circ f\bigr)'(a) = \bigr(f^{-1}\bigr)'(b)f'(a),</math>
з чого випливає, що <math>f'(a)\neq0</math>. (Для голоморфних функцій вже інша ситуація, див. [[#Теорема про обернену голоморфну функцію]] нижче.)

Для функцій більше ніж однієї змінної теорема стверджує, що якщо <math>f</math> — [[Диференційовна функція|неперервно диференційовна]] функція з відкритої множини <math>U</math> простору <math>\mathbb{R}^n</math> у простір <math>\mathbb{R}^m</math>, і [[повна похідна]] функції  <math>f'(a)</math> оборотна в точці <math>a</math> (тобто визначник матриці Якобі для функції <math>f</math> в точці <math>a</math> відмінний від нуля), то існує окіл <math>U'</math> точки <math>a</math> в <math>U</math> та окіл <math>V</math> точки <math>b=f(a)</math> такі, що <math>f(U')\subset V </math> і <math>f\colon U' \to V </math> є бієкцією.<ref name="Hörmander">Theorem 1.1.7. in {{cite book|title=The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis|series=Classics in Mathematics|first=Lars|last= Hörmander|publisher=Springer|year= 2015|edition=2nd|
isbn= 9783642614972}}</ref> Запис <math>f=\bigr(f_1,\dots,f_n\bigr)</math> означає, що система з <math>m</math> рівнянь <math>y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})</math> має єдиний розв'язок для <math>x_{1},\dots ,x_{n}</math> у термінах <math>y_{1},\dots ,y_{n}</math>, де <math>x \in U'</math>, <math>y \in V</math>. Зауважимо, що теорема ''не стверджує'', що функція <math>f</math> є бієкцією в образ, де похідна <math>f'(a)</math> оборотна (визначник матриці Якобі не дорівнює нулю), а що це локальна бієкція, де похідна <math>f'</math> оборотна.

Більше того, теорема стверджує, що обернена функція <math>f^{-1}\colon V\to U'  </math> неперервно диференційовна, а її похідна в точці <math>b=f(a)</math> є оберненим відображенням для <math>f'(a)</math>, тобто
:<math>(f^{-1})'(b) = f'(a)^{-1}.</math>
Інакше кажучі, якщо <math>Jf^{-1}(b)  </math> і <math>Jf(a)  </math> — матриці Якобі відповідно для <math>\big(f^{-1}\big)'(b)  </math> і <math>f'(a)</math>, то 
:<math>Jf^{-1}(b) = Jf(a)^{-1}.</math> 
Складною частиною теореми є доведення теореми про існування та диференційовність функції <math>f^{-1}</math>. При цьому формула похідної для оберненої функції випливає з правила диференціювання складеної функції, застосованого до <math>f^{-1}\circ f = I</math>. (І справді, <math>I = (f^{-1} \circ f)^'(a) = (f^{-1})'(b) \circ f'(a).</math>) Як наслідок отримуємо, що якщо функція <math>f</math> є <math>k</math> раз диференційовною із ненульовою похідною в точці <math>a</math>, то функція <math>f</math> є оборотною в околі точки <math>a</math>, і обернена функція також є <math>k</math> раз диференційовною. Тут <math>k</math> — натуральне число або <math>\infty</math>.

Існує два варіанта теореми про обернену функцію.<ref name="Hörmander" />  Для заданої неперервно диференційовного відображення <math>f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}</math> перший варіант це

* Похідна функції <math>f'(a)</math> є сюр’єктивною (тобто відповідна матриця Якобі має ранг <math>m</math>), тоді й лише тоді, коли існує неперервно диференційовна функція <math>g</math> в околі <math>V</math> точки <math>b = f(a)</math> така, що <math>f\circ g=I  </math> в околі точки <math>b</math>.

А інший варіант це

* Похідна функції <math>f'(a)</math> ін’єктивна тоді й лише тоді, коли існує неперервно диференційовна функція <math>g</math> в околі <math>V</math> точки <math>b=f(a)</math> така, що <math>g \circ f = I</math> в околі точки <math>a</math>. 

У першому випадку (коли похідна функція <math>f'(a)</math> є сюр’єктивною) точка <math>b=f(a)</math> називається [[Субмерсія|регулярним значенням]]. Оскільки, ранг <math>m=\dim \ker\bigr(f'(a)\bigr)+\dim \operatorname {im} \bigr(f'(a)\bigr)</math>, то перший випадок еквівалентний тому, щоб сказати, що точка <math>b=f(a)</math> не є образом [[Критична точка (математика)|критичних точок]] <math>a</math> (критичною точкою є точка <math>a</math> така, що ядро для <math>f'(a)</math> є ненульовим). Твердження в першому випадку іноді також називають [[Субмерсія|теоремою про субмерсію]].

Ці варіанти є повторенням теореми про обернені функції. Дійсно, у першому випадку, коли <math>f'(a)</math> є сюр’єкцією, то можна знайти (ін’єктивне) лінійне відображення <math>T</math> таке, що <math>f'(a)\circ T=I</math>. Визначивши <math>h(x)=a+Tx</math>, отримуємо 
:<math>\bigr(f\circ h\bigr)'(0)=f'(a)\circ T=I.</math>
Отже, за теоремою про обернену функцію, композиція <math>f\circ h</math> має обернену функцію в околі точки <math>0</math>, тобто <math>f\circ h\circ \bigr(f\circ h\bigr)^{-1}=I</math> в околі точки <math>b</math>. Другий випадок (коли <math>f'(a)</math> є ін'єкцією) розглядається аналогічно.

==Приклад==
Розглянемо [[Вектор-функція|векторзначну функцію]] <math>F\colon \mathbb {R}^{2}\to \mathbb {R} ^{2}</math> визначену як
:<math>
\mathbf{F}(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {\rm e}^x \cos y\\
 {\rm e}^x \sin y
\end{bmatrix}.
</math>
Матриця Якобі для якої має вигляд
:<math>
J_F(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {\rm e}^x \cos y & -{\rm e}^x \sin y\\
 {\rm e}^x \sin y & {\rm e}^x \cos y
\end{bmatrix}.
</math>
із визначником
:<math>
\det J_F(x,y)=
{\rm e}^{2x} \cos^2 y + {\rm e}^{2x} \sin^2 y=
{\rm e}^{2x}.
</math>
Визначник <math>{\rm e}^{2x}</math> — скрізь відмінний від нуля. Таким чином, теорема забезпечує, що для кожної точки <math>p</math> у <math>\mathbb{R}^{2}</math> існує окіл точки <math>p</math>  у якому функція <math>F</math> є оборотною. Зауважимо, що це не означає оборотності функції <math>F</math> на всій області: у цьому випадку функція <math>F</math> не є навіть [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивною]], оскільки вона є періодичною <math>F(x,y)=F(x,y+2\pi)</math>.

== Контрприклад ==
[[File:Inv-Fun-Thm-3.png|thumb|Функція <math>f(x)=x+2x^{2}\sin(\tfrac {1}{x})</math> обмежена всередині квадратичної області навколо прямої <math>y=x</math>, тому <math>f'(0)=1</math>. Проте, вона має точки локального максимуму або локального мінімуму, що накопичуються при наближенні до точки <math>x=0</math>, а отже функція не є взаємно однозначною на будь-якому інтервалі, що включає точку <math>x=0</math>.]]
Якщо відкинути припущення, що похідна неперервна, то функція необов'язково має бути оборотною.

Наприклад, <math>f(x)=x+2x^{2}\sin\left(\frac {1}{x}\right)</math> і <math>f(0)=0</math> має розривну похідну 
:<math>f'(x)=1-2\cos\left(\frac {1}{x}\right)+4x\sin\left(\frac {1}{x}\right) </math> та <math>f'(0)=1,</math> 
яка зануляється при наближені до точки <math>x=0</math>.

Ці критичні точки є локальними максимумами або локальними мінімумами функції <math>f</math>. Таким чином, функція <math>f</math> не є взаємно однозначною (і оборотною) на будь-якому інтервалі, що включає точку <math>x=0</math>.

Інтуїтивно зрозуміло, що кутовий коефіцієнт <math>f'(0)=1</math> не розповсюджується на найближчі точки, де кутові коефіцієнти визначається слабкими, але швидкими коливаннями.

== Методи доведення ==
Як важливий результат теорема про обернену функцію отримала багаточисельні доведення. Доведення, яке найчастіше зустрічається в підручниках, ґрунтується на принципі [[Стискуюче відображення|стискаючих відображень]], також відоме як [[теорема Банаха про нерухому точку]] (яку також можна використовувати як ключовий крок у доведенні [[Теорема Пікара — Лінделефа|існування та єдиності]] розв’язків [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]]).<ref>{{cite book |first=Robert C. |last=McOwen |title=Partial Differential Equations: Methods and Applications |location=Upper Saddle River, NJ |publisher=Prentice Hall |year=1996 |isbn=0-13-121880-8 |pages=218–224 |chapter=Calculus of Maps between Banach Spaces |chapter-url=https://www.google.com/books/edition/_/TuNHsNC1Yf0C?hl=en&gbpv=1&pg=PA218 }}</ref><ref>{{Cite web |url=https://terrytao.wordpress.com/2011/09/12/the-inverse-function-theorem-for-everywhere-differentiable-maps/ |first=Terence |last=Tao |title=The inverse function theorem for everywhere differentiable maps |date=12 вересня 2011 |access-date=2019-07-26 }}</ref>

Оскільки теорема про нерухому точку використовується у нескінченновимірній (банахового простору) постановці, то це доведення відразу узагальнюється на нескінченновимірну версію теореми про обернену функцію<ref>{{Cite book
|url=http://dx.doi.org/10.1017/cbo9780511623943.021
|title=The inverse function theorem |date=1981-02-05
|series=Topological Geometry
|publisher=Cambridge University Press
|pages=375–398
}}</ref> (див. [[Теорема про обернену функцію|узагальнення]] нижче). 

Альтернативне доведення у скінченновимірних просторах базується на [[Друга теорема Веєрштрасса|теоремі про екстремальні значення]] (друга теорема Веєрштрасса) для функцій на [[Компактний простір|компактній множині]].<ref>{{Cite news|title=Thinking about Edward Said: Pages from a Memoir|url=http://dx.doi.org/10.1086/430981|work=Critical Inquiry|date=2005-01|accessdate=2022-06-24|issn=0093-1896|doi=10.1086/430981|pages=519–525|volume=31|issue=2|first=Gayatri|last=Spivak}}</ref>

Ще одне доведення використовує [[метод Ньютона]], який має ту перевагу, що надає [[Ефективний метод|ефективний варіант]] теореми: обмеження на похідну функції приводять до оцінки розміру околу на якому функція є оборотною.<ref>{{Cite news|title=Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach|url=http://dx.doi.org/10.2307/3647874|work=The American Mathematical Monthly|date=2003-10|accessdate=2022-06-24|issn=0002-9890|doi=10.2307/3647874|pages=754|volume=110|issue=8|first=Warwick|last=Tucker|first2=John H.|last2=Hubbard|first3=Barbara Burke|last3=Hubbard}}</ref>

=== Доведення з використанням методу послідовних наближень ===
Для доведення існування, внаслідок афінного перетворення, можна вважати, що <math>f(0)=0</math> та <math>f^{\prime}(0)=I</math>, а тому <math>a=b=0</math>. 

За основною теоремою математичного аналізу, якщо <math>u</math> є неперервно диференційовною функцією, то 
:<math>u(1)-u(0)=\int _{0}^{1}u^{\prime }(t)\, {\rm d}t,</math>
тобто
:<math>\|u(1)-u(0)\|\leq \sup_{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|.</math>
Нехай <math>u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)</math>, тоді
:<math>\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\| \sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.</math>
Тепер візьмемо <math>\delta >0</math>, тоді <math>\|f'(x)-I\|<\frac{1}{2}</math> для <math>\|x\|<\delta</math>. Нехай <math>\|y\|<\frac{\delta}{2}</math> і <math>x_{n}</math> визначається рекуретно за <math>x_{0}=0</math> та <math>x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})</math>. Припущення показують, що якщо <math>\|x\|, \|x^{\prime}\|<\delta</math>, то
:<math>\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \frac{\|x-x^{\prime }\|}{2}.</math>
Зокрема, якщо <math>f(x)=f(x^{\prime })</math>, то <math>x=x^{\prime }</math>. У індуктивній схемі маємо <math>\|x_{n}\|<\delta</math> та <math>\|x_{n+1}-x_{n}\|<\frac{\delta}{2^{n}}</math>. Таким чином, <math>(x_{n})</math> — це [[фундаментальна послідовність]], що прямує до <math>x</math>. За побудовою <math>f(x)=y</math>, що і вимагалося.

Щоб перевірити, що <math>g=f^{-1}</math> є неперервно диференцйовною, запишемо <math>g(y+k)=x+h</math> і, отже, <math>f(x+h)=f(x)+k</math>. За наведеними вище нерівностями, маємо
:<math>\|h-k\|<\frac{\|h\|}{2},</math>
а тому
:<math>\frac{\|h\|}{2}<\|k\|<2\|h\|.</math>
З іншого боку, якщо <math>A=f^{\prime }(x)</math>, тоді <math>\|A-I\|<\frac{1}{2}</math>. Використовуючи [[геометричний ряд]] для <math>B=I-A</math>, отримуємо, що <math>\|A^{-1}\|<2</math>. Але тоді
:<math>{\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}
</math>
прямує до нуля, якщо <math>k</math> та <math>h</math> прямують до нуля, що доводить те, що <math>g</math> є неперервно диференційовною, причому <math>g^{\prime}(y)=f^{\prime}(g(y))^{-1}</math>.

Вищенаведене доведення представлено для скінченновимірного простору, але його також можна використовувати і у випадку [[Банахів простір|банахових просторів]]. Якщо оборотна функція <math>f</math> є <math>k</math> раз неперервно диференційовною, де <math>k>1</math>, то її обернена функція також є <math>k</math> раз неперервно диференційовною. Це випливає за індукцією з використанням того факту, що відображення <math>F(A)=A^{-1}</math> для операторів є <math>k</math> раз неперервно диференційовним для будь-яких значень <math>k</math> (у скінченновимірному випадку це елементарний факт, оскільки обернена матриця визначається [[Союзна матриця|приєднаною матрицею]] поділеною на її [[визначник]]).<ref name="Hörmander" /><ref>{{cite book|title=Calcul Differentiel|url=https://archive.org/details/differentialcalc00cart|language=fr|first=Henri|last= Cartan|publisher=Hermann|year= 1971|isbn=9780395120330 |pages=[https://archive.org/details/differentialcalc00cart/page/n55 55]–61}}</ref> Описаний метод доведення можна знайти у книжках [[Анрі Картан]]а, [[Жан Д'єдонне|Жана Д'єдонне]], [[Серж Ленг|Сержа Ленга]], {{нп|Роджер Годемент|Роджера Годемента||Roger Godement}} та [[Ларс Германдер|Ларса Германдера]].

=== Доведення із використанням принципу стискаючого відображення ===
Нижче наведено доведення, що використовує [[Теорема Банаха про нерухому точку|теорему про стискаюче відображення]]. Зокрема, слідуючи роботам [[Теренс Тао|Теренса Тао]],<ref>Theorem 17.7.2 in {{cite book|mr=3310023|last1=Tao|first1=Terence|title=Analysis. II|edition=Third edition of 2006 original|series=Texts and Readings in Mathematics|volume=38|publisher=Hindustan Book Agency|location=New Delhi|year=2014|isbn=978-93-80250-65-6|zbl=1300.26003}}</ref> воно використовує наступний наслідок з теореми про стискаюче відображення. 

'''Лемма.''' Нехай <math>B(0, r)</math> відкрита куля радіуса <math>r</math> в <math>\mathbb{R}^n</math> з центром в точці 0. Якщо відображення <math>g : B(0, r) \to \mathbb{R}^n</math> таке, що <math>g(0) = 0</math> та існує константа <math>0 < c < 1</math> така, що 
:<math>|g(y) - g(x)| \le c|y-x|</math>
для усіх <math>x, y \in B(0, r)</math>, тоді функціія <math>f = I + g</math> є ін'єктивною на <math>B(0, r)</math> та <math>B(0, (1-c)r) \subset f\left(B(0, r)\right) \subset B(0, (1+c)r)</math>.

(У загальному випадку твердження залишається вірним, якщо простір <math>\mathbb{R}^n</math> замінити на банаховий простір.)

''Доведення.'' По суті, лема стверджує, що невелике збурення тотожного відображення за допомогою стискаючого відображення є ін'єктивним та, в деякому сенсі, зберігає кулю. Взявши до уваги  лему, спочатку доведемо теорему. Як і у попередньому доведенні, достатньо довести частинний випадок, коли <math> a=0</math>, <math>b=f(a)=0</math> та <math>f'(0) = I</math>. Нехай <math>g = f - I</math>. Застосувавши {{нп|Теорема про середнє значення для векторнозначних функцій|теорему про середнє значення||Mean value theorem#Mean value theorem for vector-valued functions}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Mean value theorem#Mean value theorem for vector-valued functions]] перекладена як [[Теорема про середнє значення]], хоча хотіли [[Теорема про середнє значення для векторнозначних функцій]] (SashkoR0B0T)--> до відображення  <math>t \mapsto g(x + t(y - x))</math>, отримуємо
:<math>|g(y) - g(x)| \le |y-x|\sup_{0 < t < 1} |g'(x + t(y - x))|.</math>
Оскільки <math>g'(0) = I - I = 0</math> і функція <math>g'</math> є неперервною, то можна знайти <math>r > 0</math> таке, що 
:<math>|g(y) - g(x)| \le 2^{-1}|y-x|</math>
для усіх  <math>x,y \in B(0, r)</math>. Тоді з леми випливає, що функція <math>f = g + I</math> є ін'єктивною на <math>B(0, r)</math> і <math>B\left(0,\frac{r}{2}\right)\subset f\left(B(0,r)\right)</math>. Отже, відображення 
:<math>f\colon \ U=B(0,r)\cap f^{-1}\left(B\left(0,\frac{r}{2}\right)\right)\to V=B\left(0,\frac{r}{2}\right)</math>
є бієктивним і отже, має обернене. Далі покажемо, що обернена функція <math>f^{-1}</math> є неперервно диференційовною (ця частина міркувань є такою ж як і в попередньому доведенні). Цього разу нехай <math>g = f^{-1}</math> — обернена до функції <math>f</math> та <math>A=f'(x)</math>. Для <math>x=g(y)</math> запишемо <math>g(y+k)=x+h</math> або <math>y+k=f(x+h)</math>. Тепер, згідно попередньої оцінки,
:<math>|h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq \frac{|h|}{2}</math>
і тому <math>\frac{|h|}{2}\leq |k|</math>. Використовуючи <math>\|\cdot \|</math> для оператора норми, отримуємо
:<math>|g(y+k) - g(y) - A^{-1} k| = |h - A^{-1}(f(x + h) - f(x))| \le \|A^{-1}\||Ah - f(x+h) + f(x)|.</math>
Оскільки <math>k\to 0</math>, то <math>h \to 0</math> і <math>\frac{|h|}{|k|}</math> є обмеженим. Отже, <math>g</math> є диференційовною функцією за змінною <math>y</math>, причому <math>g'(y)=f'(g(y))^{-1}</math>. До того ж, <math>g'</math> це теж саме, що і композиція <math>\iota \circ f'\circ g</math>, де <math>\iota\colon T\mapsto T^{-1}</math>. Таким чином, функція <math>g'</math> — неперервна.

Тепер залишається довести лему. По перше, відображення <math>f</math> є ін'єктивним на <math>B(0,r)</math> так як, якщо функція <math>f(x)=f(y)</math>, то тоді <math>g(y)-g(x)=x-y</math>, і, таким чином,
:<math>|g(y) - g(x)| = |y - x|</math>,
що є протиріччям, за винятком, якщо <math>y=x</math>. (Ця частина не вимагає умови <math>g(0)=0</math>.) Далі покажемо, що
:<math>f(B(0, r)) \supset B(0, (1-c)r)</math>.
Ідея полягає в тому, щоб помітити, що для заданої точки <math>y \in B(0,(1-c)r)</math>, це еквівалентно знаходженню нерухомої точку відображення
:<math>F : \overline{B}(0, r') \to \overline{B}(0, r'), \, x \mapsto y - g(x),</math>
де <math>0<r'<r</math> таке, що <math>|y|\leq (1-c)r'</math>, та риска означає замкнену кулю. Для знаходження нерухомої точки використаємо теорему про стискаюче відображення і прямо перевіряємо, що <math>F</math> є добре визначеним строго-стискаючим відображення. Зрештою маємо, що <math>f\left(B(0,r)\right)\subset B(0,(1+c)r)</math>, оскільки 
:<math>|f(x)| = |x + g(x) - g(0)| \le (1+c)|x|.</math>
Як вже зрозуміло, дане доведення суттєво не відрізняється від попереднього, оскільки теорема про стискаюче відображення доводиться методом послідовних наближень.

== Застосування ==

=== Теорема про неявну функцію ===
Теорему про обернену функцію можна використовувати при розв'язанні систем рівнянь 
:<math>\begin{align}
&f_{1}(x)=y_{1},\\
&\quad \vdots \\
&f_{n}(x)=y_{n},
\end{align}</math>
тобто, <math>y_{1},\dots ,y_{n}</math> виражені як функцій від <math>x = (x_1, \dots, x_n)</math>, за умови, що матриця Якобі є невиродженою. [[Теорема про неявну функцію]] дає можливість розв'язати більш загальну систему рівнянь
:<math>\begin{align}
&f_1(x, y) = 0, \\
&\quad \vdots\\
&f_n(x, y) = 0\end{align}</math>
для <math>y</math> у термінах змінних <math>x</math>. Хоча ця теорема є більш загальною, але фактично є наслідком теореми про обернену функцію. Насамперед, точне твердження теореми про неявну функцію виглядає наступним чином:<ref>{{harvnb|Spivak|1965|loc=Theorem 2-12.}}</ref>
* Нехай задано відображення <math>f\colon \mathbb {R}^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}</math>. Якщо <math>f(a,b)=0</math>, то функція <math>f</math> є неперервно диференційовною в околі точки <math>(a, b)</math> і похідна <math>y\mapsto f(a,y)</math> в точці <math>b</math> є оборотною, то тоді існує диференційовне відображення <math>g \colon U\to V</math> для деяких околів <math>U</math>, <math>V</math> точок <math>a</math>, <math>b</math> так, що <math>f(x,g(x))=0</math>. Більш того, якщо  <math>f(x,y)=0</math>, <math>x\in U</math>, <math>y\in V</math>, то <math>y=g(x)</math>; тобто <math>g(x)</math> є єдиним розв'язком. 
Щоб це побачити, розглянемо відображення <math>F(x,y)=(x,f(x,y))</math>. За теоремою про обернену функцію, відображення <math>F\colon U\times V\to W</math> має обернене <math>G</math> для деяких околів <math>U</math>, <math>V</math>, <math>W</math>. Тоді отримуємо, що
:<math>(x, y) = F(G_1(x, y), G_2(x, y)) = (G_1(x, y), f(G_1(x, y), G_2(x, y)),</math>
і з цього випливає, що <math>x=G_{1}(x,y)</math> і <math>y=f(x,G_{2}(x,y))</math>. Таким чином, функція <math>g(x)=G_{2}(x,0)</math> задовольняє необхідну властивість. 

=== Надання структури многовиду ===
У диференціальній геометрії теорему про обернену функцію використовують щоб показати, що прообраз [[Субмерсія|регулярного значення]] при гладкому відображенні є многовидом.<ref>{{harvnb|Spivak|1965|loc=Theorem 5-1. and Theorem 2-13.}}</ref> Дійсно, нехай відображення <math>f \colon U \to \mathbb{R}^{r}</math> є гладким відображенням з відкритої підмножини простору <math>\mathbb {R}^{r}</math> (оскільки результат локальний, то не втрачається загальність при розгляді такого відображення). Зафіксуємо точку <math>a</math> в <math>f^{-1}(b)</math> і тоді, переставляючи координати в <math>\mathbb {R} ^{n}</math>, можна вважати, що матриця 
:<math>\left[{\dfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}</math> має ранг <math>r</math>.
Тоді відображення
:<math>F\colon \ U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\quad x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})</math>
таке, що <math>F'(a)</math> має ранг <math>n</math>. Отже, за теоремою про обернену функцію знайдемо гладку обернену функцію <math>G</math> для відображення <math>F</math> визначену в околі  <math>V\times W</math> точки <math>(b,a_{r+1},\dots ,a_{n})</math>. Тоді маємо 
:<math>x = (F \circ G)(x) = (f(G(x)), G_{r+1}(x), \dots, G_n(x)),</math>
і отже,
:<math>(f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).</math>
Тобто після зміни координат за допомогою <math>G</math>, функція <math>f</math> є координатною проєкцією (цей факт відомий як [[Субмерсія|теорема про субмерсію]]). Більше того, оскільки відображення <math>G\colon V\times W\to U'=G(V\times W)</math> є бієктивним, то відображення
:<math>g=G(b,\cdot )\colon \ W\to f^{-1}(b)\cap U',\quad (x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})</math>
є бієктивним із гладким оберненим. Інакше кажучи, відображення <math>g</math> дає локальну параметризацію для <math>f^{-1}(b)</math> в околі точки <math>a</math>. Отже,  <math>f^{-1}(b)</math> є многовидом. 

(Зауважимо, що доведення дуже схоже на доведення теореми про неявну функцію, і фактично замість нього також можна використовувати теорему про неявну функцію.)

У загальному випадку теорема показує, що для заданого гладкого відображення <math>f\colon P\to E</math>, якщо <math>f</math> є трансверсальним до <math>i\colon M\hookrightarrow E</math> підмноговидом, то тоді прообраз <math>f^{-1}(M)\hookrightarrow P</math> є підмноговидом.<ref>https://sites.math.northwestern.edu/~jnkf/classes/mflds/4transversality.pdf</ref>

== Глобальна версія ==
Теорема про обернену функцію є локальним результатом; це стосується будь-якої точки. Таким чином, теорема ''апріорі'' показує лише те, що функція <math>f</math> є локально бієктивною (або локально дифеоморфною деякого класу). Наступну топологічну лему можна використати для розширення від локальної ін'єктивності до, в певній мірі, глобальної ін'єктивності. 

'''Лема'''.<ref>One of Spivak's books (Editorial note: give the exact location).</ref><ref>{{harvnb|Hirsch|loc=Ch. 2, § 1., Exercise 7.}} NB: This one is for a <math>C^1</math>-immersion.</ref> Якщо <math>A</math> є замкненою підмножиною (що задовольняє другій аксіомі зліченності) топологічного многовиду <math>X</math> (або, більш загально, топологічний простір, що допускає {{нп|Вичерпування компактними підмножинами|вичерпування компактними підмножинами||Exhaustion by compact subsets}}) і відображення <math>f \colon  X \to Z</math>, де <math>Z</math> — деякий топологічний простір, є локальним гомеоморфізмом, що є ін'єктивним на <math>A</math>, то тоді відображення <math>f</math> є ін'єктивним в деякому околі підмножини <math>A</math>. 

''Доведення''.<ref>Lemma 13.3.3. of https://www.utsc.utoronto.ca/people/kupers/wp-content/uploads/sites/50/2020/12/difffop-2020.pdf</ref> Спочатку припустимо, що многовид <math>X</math> є [[компактний простір|компактним]]. Якщо висновок теореми є хибним, то можна знайти дві послідовності <math>x_i \ne y_i</math> такі, що <math>f(x_i) = f(y_i)</math> і <math>x_i, y_i</math> відповідно збігаються в до деяких точках <math>x, y</math> у <math>A</math>. Оскільки функція <math>f</math> є ін'єктивною на <math>A</math>, то <math>x=y</math>. Тепер, якщо значення <math>i</math> є досить великим, то <math>x_i</math>, <math>y_i</math> будуть знаходитись в околі точок <math>x = y</math>, де функція <math>f</math> є ін'єктивною. Таким чином, <math> x_{i}=y_{i}</math>, що є протиріччям. 

У загальному випадку, розглянемо  множину
:<math>E=\big\{(x,y)\in X^{2}\mid x\neq y,\,f(x)=f(y)\big\}.</math>
Вона не перетинається з <math>S \times S</math> для будь-якої підмножини <math>S \subset X</math>, де функція <math>f</math> є ін'єктивною. Нехай, <math>X_1 \subset X_2 \subset \cdots </math> буде зростаючою послідовністю компактних підмножин із об'єднанням <math>X</math> і <math>X_{i}\subset X_{i+1}</math>. Тоді, за першою частиною доведення, для кожного значення <math>i</math> можна знайти окіл <math>U_{i}</math> множини <math>A\cap X_{i}</math> такий, що <math>U_{i}^{2}\subset X^{2}-E</math>. Тож <math>U=\bigcup _{i}U_{i}</math> має необхідну властивість. (Див. також<ref>Dan Ramras (https://mathoverflow.net/users/4042/dan-ramras), On a proof of the existence of tubular neighborhoods., URL (version: 2017-04-13): https://mathoverflow.net/q/58124</ref> щодо альтернативного підходу). 

З леми випливає наступна (свого роду) глобальна версія теореми про обернену функцію:

'''Теорема про обернену функцію'''.<ref>Ch. I., § 3, Exercise 10. and § 8, Exercise 14. in V. Guillemin, A. Pollack. "Differential Topology". Prentice-Hall Inc., 1974. ISBN 0-13-212605-2.</ref> Нехай, <math>f \colon U \to V</math> буде відображенням між відкритими підмножинами просторів <math>\mathbb {R}^{n}</math> й <math>\mathbb {R}^{m}</math>, або у загальному випадку многовидів. Припустимо, що відображення <math>f</math> неперервно диференційовне (або належить класу <math>C^{k}</math>). Якщо відображення <math>f</math> ін'єктивне на замкненій підмножині <math>A\subset U</math> і, якщо матриця Якобі для функції <math>f</math> є невиродженою в будь-якій точці підмножини <math>A</math>, то тоді відображення <math>f</math> ін'єктивне в околі <math>A'</math> підмножини <math>A</math> і обернене відображення <math>f^{-1}\colon f(A')\to A'</math> є неперервно діференційованим (або належить класу <math>C^{k}</math>). 

Зауважимо, що якщо підмножина <math>A</math> є точкою, то отримуємо звичайну теорему про обернену функцію. 

== Теорема про обернену голоморфну функцію ==
Нижче наведено версію теореми про обернену функцію для [[Голоморфна функція|голоморфних відображень]]. 

'''Теорема.'''<ref>{{harvnb|Griffiths|Harris|loc=p. 18.}}</ref><ref>{{cite book |first1=K. |last1=Fritzsche |first2=H. |last2=Grauert |title=From Holomorphic Functions to Complex Manifolds |publisher=Springer |year=2002 |pages=33–36 |isbn=9780387953953 |url=https://books.google.com/books?id=jSeRz36zXIMC&pg=PA33 }}</ref> Нехай <math>U,V \in \mathbb{C}^{n}</math> — відкриті підмножини такі, що <math>0 \in U</math> і <math>f \colon U\to V</math> — голоморфне відображення, матриця Якобі якого у змінних <math>z_{i}</math>, <math>\overline {z}_{i}</math> є невиродженою (визначник не дорівнює <math>0</math>) в точці <math>0</math>. Тоді відображення <math>f</math> є ін'єктивним в околі <math>W</math> точки <math>0</math> і обернене відображення <math>f^{-1}\colon f(W)\to W</math> є голоморфним. 

Теорема випливає зі звичайної теореми про обернену функцію. Дійсно, нехай <math>J_{\mathbb {R}}(f)</math> — матриця Якобі відображення <math>f</math> у змінних <math>x_{i}</math>, <math>y_{i}</math>, <math>J(f)</math> — матриця Якобі у змінних <math>z_{i}</math>, <math>\overline {z}_{i}</math>. Тоді <math>\det J_{\mathbb {R} }(f)=|\det J(f)|^{2}</math> і за припущенням не дорівнює <math>0</math>. Отже, за звичайною теоремою про обернену функцію, відображення <math>f</math> є ін'єктивним в околі точки <math>0</math> і має неперервно диференційовне обернене відображення. За правилом диференціювання складної функції (де <math>w = f(z)</math>) маємо
:<math>\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}\big(f_{j}^{-1}\circ f\big)(z)=\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial w_{k}}}(w){\frac {\partial f_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)+\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w){\frac {\partial {\overline {f}}_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z), </math> 
де ліва частина і перший доданок праворуч зануляються, оскільки відображення <math>f_{j}^{-1}\circ f</math>  та <math>f_{k}</math> є голоморфними.

Таким чином, <math>{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w)=0 </math> для кожного <math>k </math>.

Аналогічно формулюється теорема про неявну функцію для голоморфних функцій.<ref name="holomorphic implicit">{{harvnb|Griffiths|Harris|loc=p. 19.}}</ref> 

Як зазначено раніше, може трапитися, що ін'єктивна гладка функція має обернену, яка не є гладкою (наприклад, функція <math> f(x) = x^3</math>  дійсної змінної <math> x</math>). Цього не буде у випадку голоморфних функцій, оскільки

'''Твердження.'''<ref name="holomorphic implicit" /> Якщо <math>f\colon U\to V</math>  є ін'єктивним голоморфним відображенням між відкритими множинами в <math>\mathbb {C}^{n}</math>, то тоді обернене відображення <math>f^{-1}\colon f(U)\to U</math> є голоморфним.

===Формулювання для многовидів===
Теорему про обернену функцію можна переформулювати у термінах диференційовних відображень між [[Диференційовний многовид|диференційовними  многовидами]]. У цьому контексті теорема стверджує, що для диференційовного відображення <math>F\colon M\to N</math> (класу <math>C^{1}</math>), якщо  [[Диференціал (диференціальна геометрія)|диференціал ]] відображення <math>F</math>, 
: <math> {\rm d}F_{p}\colon \ T_{p}M\to T_{F(p)}N,</math> 
є [[Лінійне відображення|лінійним ізоморфізмом ]] в точці <math>p</math> многовиду <math>M</math>, то тоді існує відкритий окіл <math>U</math> точки <math>p</math> такий, що 
:<math>F|_{U}\colon \ U\to F(U) </math> 
є [[Дифеоморфізм|дифеоморфізмом ]]. Слід зауважити, що звідси випливає, що компоненти зв'язності многовидів <math>M</math> та <math>N</math>, які місять точки <math>p</math> та <math>F(p)</math>, мають однакову розмірність — це вже прямо випливає з припущення, що <math>{\rm d}F_{p}</math> є ізоморфізмом. 
Якщо похідна відображення <math>F</math> є ізоморфізмом в усіх точках <math>p</math> многовиду <math>M</math>, то відображення <math>F</math> є {{нп|Локальний дифеоморфізм|локальним дифеоморфізмом||Local diffeomorphism}}. 

==Узагальнення==

===Банахові простори===
Теорему про обернену функцію можна узагальнити на випадок диференційовних відображень між [[Банахів простір|банаховими просторами]] <math>X</math> and <math>Y</math>.<ref>{{cite book |first=David G. |last=Luenberger |title=Optimization by Vector Space Methods |location=New York |publisher=John Wiley & Sons |year=1969 |isbn=0-471-55359-X |pages=240–242 |url=https://www.google.com/books/edition/_/lZU0CAH4RccC?hl=en&gbpv=1&pg=PA240 }}</ref> Нехай <math>U</math> — відкритий окіл початку координат в просторі <math>X</math>, <math>F\colon U\to Y</math> — неперервно диференційовна функція, причому похідна Фреше <math>{\rm d}F_{0}\colon X\to Y</math> від функції <math>F</math> в точці <math>0</math> — [[обмежений оператор|обмежений]] лінійний ізоморфізм з простору <math>X</math> у простір <math>Y</math>. Тоді існує відкритий окіл <math>V</math> точки <math>F(0)</math> в просторі <math>Y</math> і неперервно диференційовне відображення <math>G\colon V\to X</math> таке, що <math>F(G(y))=y</math> для всіх <math>y</math> з околу <math>V</math>. 
Більш того, <math>G(y)</math> — єдиний достатньо малий розв'язок <math>x</math> рівняння <math>F(x)=y</math>.

Також існує теорема про обернену функцію для банахових многовидів.<ref>{{cite book |first=Serge |last=Lang |author-link=Serge Lang |title=Differential Manifolds |url=https://archive.org/details/differentialmani00lang |location=New York |publisher=Springer |year=1985 |isbn=0-387-96113-5 |pages=[https://archive.org/details/differentialmani00lang/page/n21 13]–19 }}</ref>

===Теорема про сталий ранг===
Теорему про обернену функцію (і [[Теорема про неявну функцію|теорему про неявну функцію]]) можна розглядати як частинний випадок теореми про сталий ранг, яка стверджує, що гладке відображення зі сталим {{нп|Ранг (диференціальна типологія)|рангом||Rank (differential topology)}} в околі точки можна звести до певної нормальної форми в околі цієї точки.<ref name="boothby">{{cite book |first=William M. |last=Boothby |title=An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry |url=https://archive.org/details/introductiontodi0000boot |url-access=registration |edition=Second |year=1986 |publisher=Academic Press |location=Orlando |isbn=0-12-116052-1 |pages=[https://archive.org/details/introductiontodi0000boot/page/46 46–50] }}</ref> Зокрема, якщо відображення <math>F \colon M\to N</math> має сталий ранг в околі точки <math>p\in M</math>, то тоді існують відкриті околи <math>U</math> для точки <math>p</math> і <math>V</math> для точки <math>F(p)</math>, а також існують дифеоморфізми <math>u\colon T_{p}M\to U</math> та <math>v\colon T_{F(p)}N\to V</math> такі, що <math>F(U)\subseteq V</math> і похідна <math>{\rm d}F_{p}\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N</math> дорівнює <math>v^{-1}\circ F\circ u</math>. Тобто, відображення <math>F</math> “виглядає як” його похідна в околі точки <math>p</math>. Множина точок <math>p\in M</math> таких, що ранг є сталим в околі точки <math>p</math>, є відкритою щільною підмножиною простору <math>M</math>, що є наслідком  [[Напівнеперервна функція|напівнеперервності]] функції рангу. Таким чином, теорема про сталий ранг можна використовувати для довільної точки області визначення.

Коли похідна функції <math>F</math> є ін'єктивною (відповідно, сюр'єктивною) в точці <math>p</math>, вона є ін'єктивною (відповідно, сюр'єктивною) в околі точки <math>p</math>, а тому ранг відображення <math>F</math>  є сталим в цьому околі, і можна використовувати теорему про сталий ранг.

===Поліномні функції===
Якби це була вірно, то {{нп|Гіпотеза Якобі|гіпотеза Якобі||Jacobian conjecture}} була б варіантом теореми про обернену функцію для поліномів. Відповідно до гіпотези, якщо векторнозначна поліномна функція має [[Матриця Якобі#Визначник Якобі|визначник Якобі]], який є оборотним поліномом (тобто ненульовою константою), то тоді функція має обернену функцію, яка є також поліномною. Невідомо, чи це вірно, навіть у випадку двох змінних. Це є великою відкритою проблемою теорії поліномів.

=== Функції вибору ===
Якщо відображення <math>f\colon \mathbb {R}^{n}\to \mathbb {R}^{m}</math>, де <math>m\leq n</math>, є [[Диференційовна функція|неперервно диференційовним]] <math>k</math> разів і якобіан <math>A=\nabla f({\overline {x}})</math> в точці <math>\overline {x}</math> має [[Ранг (лінійна алгебра)|ранг]] <math>m</math>, то функції обернена до <math>f</math> може бути не єдиною. Проте, існує локальна [[Функція вибору#Функція вибору та аксіома вибору|функція вибору]] <math>s</math> така, що <math>f(s(y))=y</math> для усіх точок <math>y</math> в [[Окіл|околі]] точки <math>{\overline {y}}=f({\overline {x}})</math>, <math>s({\overline {y}})={\overline {x}}</math>, то тоді функція <math>s</math> є неперервно диференційовною <math>k</math> разів в цьому околі, і 
:<math> \nabla s({\overline {y}})=A^{\rm T}\big(AA^{\rm T}\big)^{-1}\nabla s({\overline {y}})</math> 
є {{нп|Інверсія Мура-Пенроуза|псевдоінверсією Мура-Пенроуза||Moore–Penrose inverse}} якобіана <math>A</math>.<ref>{{cite book |last1=Dontchev |first1=Asen L.|last2=Rockafellar |first2=R. Tyrrell |title=Implicit Functions and Solution Mappings: A View from Variational Analysis |date=2014 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=978-1-4939-1036-6 |page=54 |edition=Second}}</ref>

== Див. також ==
* [[Теорема Банаха про нерухому точку]]
* [[Теорема про неявну функцію]]
* {{нп|Теорема Неша-Мозера|Теорема Неша-Мозера||Nash–Moser theorem}}

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{cite book |first=Carl B. |last=Allendoerfer |title=Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds |url=https://archive.org/details/calculusofsevera0000alle |location=New York |publisher=Macmillan |year=1974 |chapter=Theorems about Differentiable Functions |pages=[https://archive.org/details/calculusofsevera0000alle/page/54 54]–88 |isbn=0-02-301840-2 }}
* {{cite book |first1=Peter |last1=Baxandall |first2=Hans |last2=Liebeck |title=Vector Calculus |url=https://archive.org/details/vectorcalculus0000baxa |location=New York |publisher=Oxford University Press |year=1986 |chapter=The Inverse Function Theorem |isbn=0-19-859652-9 |pages=[https://archive.org/details/vectorcalculus0000baxa/page/214 214]–225 }}
* {{cite journal |last = Nijenhuis |first = Albert |title = Strong derivatives and inverse mappings |url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1974-11_81_9/page/969 |journal = [[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]] |volume = 81 |year = 1974 |pages = 969&ndash;980 |doi = 10.2307/2319298 |issue = 9 |jstor = 2319298}}
*{{citation
 | last1 = Griffiths | first1 = Phillip
 | last2 = Harris | first2 = Joseph
 | isbn = 978-0-471-05059-9
 | publisher = John Wiley & Sons
 | title = Principles of Algebraic Geometry
 | year = 1978}}.
* {{cite book |first1=Murray H. |last1=Protter |first2=Charles B., Jr. |last2=Morrey |title=Intermediate Calculus |url=https://archive.org/details/intermediatecalc0000prot |location=New York |publisher=Springer |edition=Second |year=1985 |isbn=0-387-96058-9 |chapter=Transformations and Jacobians |pages=[https://archive.org/details/intermediatecalc0000prot/page/412 412]–420 }}
* {{cite book |last1=Renardy |first1=Michael |last2=Rogers |first2=Robert C. |title = An Introduction to Partial Differential Equations |url=https://archive.org/details/introductiontopa00roge | series = Texts in Applied Mathematics 13
|  edition = Second |publisher = Springer-Verlag | location = New York |year = 2004 |pages = [https://archive.org/details/introductiontopa00roge/page/n351 337]&ndash;338 |isbn = 0-387-00444-0 }}
* {{Rudin.Principles of Mathematical Analysis}}
* {{cite book |title=Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus |last1=Spivak|first1=Michael|title-link=Calculus on Manifolds (book)|publisher=	Benjamin Cummings |year=1965 |isbn=0-8053-9021-9 |location=San Francisco }}

[[Категорія:Числення багатьох змінних]]
[[Категорія:Диференціальна топологія]]
[[Категорія:Обернені функції]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі]]