Перегляд вихідного коду сторінки Теорема про неявну функцію

'''Теорема про неявну функцію''' — загальна назва для теорем, що гарантують локальне існування і описують властивості '''неявної функції''', тобто [[Функція (математика)|функції]]
:<math>y=f(x), \quad f\colon X\to Y,</math>
заданої рівнянням
:<math>F(x,y)=0, \quad F\colon X\times Y\to Z.</math>

У [[Математика|математиці]], точніше в [[Числення багатьох змінних|аналізі функцій багатьох змінних]], '''теорема про неявну функцію'''{{efn|У пізанській математичній школі її називали теоремою [[Уліс Діні|Діні]].
В англомовній літературі [[Теорема Діні|теорема Діні]] — інша теорема математичного аналізу.}} є інструментом, який дозволяє переходити від співвідношень до {{нп|Функція кількох дійсних змінних|функцій кількох дійсних змінних||Function of several real variables}}.
Це досягається шляхом представлення співвідношень у вигляді [[Графік функції|графіка функції]].
Може не існувати єдиної функції, графік якої може представляти все співвідношення, але може існувати така функція при обмеженні на область визначення співвідношення.
Теорема про неявну функцію дає достатню умову існування такої функції.

Точніше, для заданої системи з <math>m</math> рівнянь <math>f_i(x_1, \dots , x_n, y_1, \dots , y_m) = 0</math>, <math>i = 1, \dots , m</math> (часто скорочено записуємо її як <math>F(x, y) = 0</math>), теорема стверджує, що за нежорстких умов на [[Часткова похідна|частинні похідні]] (відносно змінних <math>y_i</math>) у точці, <math>m</math> змінних <math>y_i</math> є диференційовними функціями змінних <math>x_j</math> в деякому [[Окіл|околі]] точки.  Хоча ці функції у загальному випадку не можуть бути представлені в [[Замкнений вигляд (математика)|замкненому вигляді]], але вони ''неявно'' визначаються рівняннями, і це мотивувало назву теореми.<ref>{{Cite book |last=Chiang |first=Alpha C. |title=Fundamental Methods of Mathematical Economics |publisher=McGraw-Hill |edition=3rd |year=1984 |pages=[https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1/page/204 204–206] |isbn=0-07-010813-7 |url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1/page/204 }}</ref>

Іншими словами, за нежорстких умов на частинні похідні множина [[Нуль функції|нулів]] системи рівнянь {{нп|Локальна властивість|локально||Local property}} є [[Графік функції|графіком функції]].

== Історія ==

[[Оґюстен-Луї Коші|Оґюстену-Луї Коші]] (1789—1857) приписують перше чітке формулювання теореми про неявну функцію.  [[Уліс Діні|Улісс Діні]] (1845—1918) узагальнив варіант теореми про неявну функцію на випадок функцій будь-якої кількості дійсних змінних.<ref>{{cite book |first1=Steven |last1=Krantz |first2=Harold |last2=Parks |title=The Implicit Function Theorem |series=Modern Birkhauser Classics |publisher=Birkhauser |year=2003 |isbn=0-8176-4285-4 |url=https://archive.org/details/implicitfunction0000kran |url-access=registration }}</ref>

== Перший приклад ==

[[Image:Implicit circle.svg|thumb|right|200px|Одиничне коло можна задати у вигляді лінії рівня <math>f(x, y) = 1</math> функції <math>f(x, y) = x^2 + y^2</math>.  В околі точки <math>A</math> змінну <math>y</math> можна виразити як функцію <math>y(x)</math>.  У цьому прикладі цю функцію можна записати в явному вигляді як <math>g_1(x)=\sqrt{1-x^2}</math>. У багатьох випадках такого явного співвідношення не існує, але все ще можна використовувати термін неявної функції <math>y(x)</math>.  В околі точки <math>B</math> такої функції немає.]]
Якщо визначити функцію <math>f(x, y) = x^2 + y^2</math>, то рівняння <math>f(x, y) = 1</math> вирізає [[Одиничне коло|одиничне коло]] як [[Множина рівня|множину рівня]]: <math>\{(x, y) \,|\,  f(x, y) = 1\}</math>.
Немає можливості представити одиничне коло у вигляді графіка функції однієї змінної <math>y = g(x)</math>, оскільки для кожного <math>x \in (-1, 1)</math> є два варіанти для змінної <math>y</math>, а саме <math>\pm \sqrt{1-x^2}</math>.

Однак можна представити частину кола у вигляді графіка функції однієї змінної.
Якщо візьмемо <math>g_1(x)=-\sqrt{1-x^2}</math> при <math>-1 \leq x \leq 1</math>, то графік <math>y=g_1(x)</math> визначає верхню половину кола.
Аналогічно, якщо <math>g_1(x)=-\sqrt{1-x^2}</math>, тоді графік <math>y=g_2(x)</math> визначає нижню половину кола.

Ціль теореми про неявну функцію — розповісти про існування таких функцій як <math>g_1(x)</math> і <math>g_2(x)</math> навіть у випадках, коли неможливо записати явні формули.  Це гарантує, що <math>g_1(x)</math> і <math>g_2(x)</math> є диференційованими, і це працює навіть у випадках, коли немає формули для <math>f(x, y)</math>.

== Означення ==

Нехай <math>f\colon \mathbb R^{n+m} \rightarrow \mathbb R^m</math> — [[Диференційовна функція|неперервно  диференційована функція]]. Розглянемо <math>\mathbb R^{n+m}</math> як [[Декартів добуток множин|декартів добуток]] просторів <math>\mathbb R^n \times \mathbb R^m</math>, і запишемо точку цього добутку як <math>({\bf x},{\bf y})=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)</math>.
Стартуючи з даної функції <math>f</math>, наша мета полягає в побудові функції <math>g\colon \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math>, графік якої <math>({\bf x},g({\bf x}))</math> є саме множиною всіх точок <math>({\bf x},{\bf y})</math> таких, що <math>f({\bf x},{\bf y})={\bf 0}</math>.

Як зазначили вище, це не завжди можливо. Тому зафіксуємо точку <math>(\textbf{a},\textbf{b})=(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_m)</math>, яка задовольняє рівняння <math>f(\textbf{a},\textbf{b})=\textbf{0}</math>, і знайдемо функцію <math>g</math> визначену в околі точки <math>(\textbf{a},\textbf{b})</math>. Іншими словами, знаходимо [[Відкрита множина|відкриту множину]] <math>U \subset \mathbb R^n</math>, що містить точку <math>\textbf{a}</math>, та відкриту множину <math>V \subset \mathbb R^m</math>, що містить точку <math>\textbf{b}</math>, і функцію <math>g\colon U \rightarrow V</math> таку, що графік функції <math>g</math> задовольняє співвідношення <math>f(\textbf{a},\textbf{b})=\textbf{0}</math> на <math>U \times V</math>, і що жодні інші точки з <math>U \times V</math> не задовольняють цю умову. У символьній формі
:<math>
\{\textbf{x}, g(\textbf{x}) \,|\, \textbf{x} \in U\}=\{(\textbf{x},\textbf{y}) \in U \times V \,|\, f(\textbf{x},\textbf{y})=\textbf{0}\}.
</math>
Щоб сформулювати теорему про неявну функцію, необхідне поняття [[Матриця Якобі|матриці Якобі]] для функції <math>f</math>, яка є матрицею [[Часткова похідна|частинних похідних]] функції <math>f</math>.
Ввівши позначення <math>(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})</math> як <math>({\textbf {a}},{\textbf {b}})</math>, матрицю Якобі можна записати у вигляді
:<math> \begin{align}
&(Df)(\mathbf{a} ,\mathbf{b}) = \left[\begin{matrix}\dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(\mathbf{a} ,\mathbf{b} )&\cdots &\dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(\mathbf{a} ,\mathbf{b})\\\vdots &\ddots &\vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(\mathbf{a} ,\mathbf{b} )&\cdots &\dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}(\mathbf{a} ,\mathbf{b} )\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}\dfrac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}(\mathbf{a} ,\mathbf{b} )&\cdots &\dfrac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}(\mathbf{a} ,\mathbf{b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\
\dfrac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}(\mathbf{a} ,\mathbf{b} )&\cdots &\dfrac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}(\mathbf{a} ,\mathbf{b} )\\\end{matrix}\right] = [X|Y],
\end{align}</math>
де <math>X</math> — матриця частинних похідних за змінними <math>x_{i}</math>, <math>Y</math> — матриця частинних похідних за змінними <math>y_{j}</math>. Теорема про неявну функцію стверджує, що якщо <math>Y</math> є оборотна матриця, то існують відповідно відкриті множини <math>U</math>, <math>V</math> та функція <math>g</math>. Записавши усі гіпотези разом, отримуємо наступне твердження.

== Формулювання теореми ==

Нехай Матриця Якобі <math>f \colon \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}^{m}</math> — [[Диференційовна функція|неперервно диференційована функція]], і нехай <math>\mathbb {R} ^{n+m}</math> має координати <math>(\textbf{x},\textbf{y})</math>. Зафіксуємо точку <math>(\textbf{a},\textbf{b})=(a_{1},\dots,a_{n}, b_{1}, \dots,b_{m})</math> таку, що <math>f(\textbf{a},\textbf{b})=\mathbf{0}</math>, де <math>\mathbf{0} \in \mathbb {R} ^{m}</math> — нульовий вектор. Якщо [[Матриця Якобі|матриця Якобі]] (права частина матриці Якобі з попереднього пункту)
:<math>J_{f,\mathbf{y}}(\mathbf{a},\mathbf{b})=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}  (\mathbf{a},\mathbf{b})\right]</math>
є [[Обернений елемент|оборотною]], то існує відкрита множина <math>U \subset \mathbb{R}^{n}</math>, яка містить точку <math>\textbf{a}</math> така, що існує єдина неперервно диференційована функція <math>g \colon U \to \mathbb{R}^{m}</math> така, що <math>g(\mathbf{a})=\mathbf{b}</math> і <math>f(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))=\mathbf{0}</math> для всіх точок <math>\mathbf{x} \in U</math>. Більш того, якщо позначити ліву частину матриці Якобі з попереднього пункту як
:<math>J_{f,\mathbf{x}}(\mathbf{a},\mathbf{b})=\left[\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} (\mathbf{a},\mathbf{b})\right],</math>
то матриця Якобі частинних похідних функції <math>g</math> в <math>U</math> визначається за допомогою [[Множення матриць|добутку матриць]]:<ref>{{Cite journal |first=Oswaldo |last=de Oliveira |title=The Implicit and Inverse Function Theorems: Easy Proofs |journal=Real Anal. Exchange |volume=39 |issue=1 |year=2013 |doi=10.14321/realanalexch.39.1.0207 |pages=214–216 |s2cid=118792515 }}</ref> 
:<math>\left[\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}(\mathbf{x})\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf{y} }(\mathbf{x},g(\mathbf{x} ))\right]_{m\times m}^{-1} \left[J_{f,\mathbf{x}}(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))\right]_{m\times n}.</math>

===Похідні вищих порядків===

Якщо, крім того, функція <math>f</math> є [[Аналітична функція|аналітичною]] або <math>k</math> разів неперервно диференційованою в околі точки <math>({\textbf {a}},{\textbf {b}})</math>, тоді можна вибрати відкриту множину <math>U</math> для того, щоб те саме виконувалось для функції <math>g</math> всередині <math>U</math>.<ref>{{Cite book |first1=K. | last1=Fritzsche |first2=H. |last2=Grauert |year=2002 |url=https://books.google.com/books?id=jSeRz36zXIMC&pg=PA34 |title=From Holomorphic Functions to Complex Manifolds |publisher=Springer |page=34 |isbn=9780387953953 }}</ref> Відповідна теорема в аналітичному випадку називається '''теоремою про неявну аналітичну функцію'''.

== Одновимірний випадок ==

Проста теорема про неявну функцію полягає в наступному.

Якщо функція <math>F \colon \R \times \R \to \R</math> [[Неперервне відображення|неперервна]] у деякому [[окіл точки|околі точки]] <math>(x_0,y_0)</math>, <math>F(x_0,y_0)=0</math> і при фіксованому <math>x</math> функція <math>F(x,y)</math> [[монотонна функція|строго монотонна]] по <math>y</math> у даному околі тоді у деякому двовимірному проміжку <math> I=I_x \times I_y</math>, що є околом точки <math>(x_0,y_0)</math>, і така неперервна функція <math>f \colon I_x \to I_y</math>, що для будь-якої точки <math>(x,y) \in I</math>
: <math>F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)</math>.

Звичайно додатково передбачається, що функція <math>F</math> [[неперервно диференційовна функція|неперервно диференційовна]], в цьому випадку умова монотонності випливає з того що <math>F_y'(x_0,y_0)\ne0</math>, тут <math>F_y'</math> позначає [[часткова похідна|часткову похідну]] <math>F</math> по <math>y</math>.
Більш того, в цьому випадку, похідна функції <math>f</math> може бути обчислена за формулою
: <math>f'(x) = - \dfrac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.</math>

== Багатовимірний випадок ==

Нехай <math>\R^n</math> і <math>\R^m</math> — <math>n</math> і <math>m</math>-вимірні [[евклідовий простір|евклідові простори]] з фіксованими системами координат, точки яких відповідно <math>x=(x_1,\dots,x_n)</math> і <math>y=(y_1,\dots,y_m)</math>.
Нехай <math>F</math> відображає деякий окіл <math>W</math> точки <math>(x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m</math> у простір <math>\R^m</math> і
<math>F_1,F_2,\ldots,F_m</math> — координатні функції (від змінних <math>x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m</math>) відображення <math>F</math>, тобто <math>F=(F_1,F_2,\ldots,F_m)</math>.

Припустимо, що <math>F(x_0,y_0)=0</math> і відображення <math>F</math> — неперервно диференційовне в околі <math>W</math>, а [[якобіан]] відображення <math>y\mapsto F(x_0,y)</math> не рівний нулю в точці <math>y_0</math>, тобто [[визначник]] [[матриця|матриці]] <math>\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)</math> не рівний нулю. Тоді існують околи <math>U</math> і <math>V</math> точок <math>x_0</math> і <math>y_0</math> відповідно в просторах <math>\R^n</math> і <math>\R^m</math>, причому <math>U\times V\subset W</math>, і єдине відображення <math>f \colon U \to V</math>, таке, що для всіх <math>x\in U</math> виконується [[тотожність]] <math>F(x, f(x)) = 0</math>. При цьому <math>f(x_0)=y_0</math> і відображення <math>f</math> є <math>k</math> раз неперервно диференційовним на <math>U</math>.
Якщо функція <math>F</math> є неперерфно диференційовною до порядку <math>k</math> в множині <math>U\times V</math>, то такою ж є і функція <math>f</math> у множині <math>U</math> і виконується
:<math>\frac{{\rm d} f}{{\rm d} x_j}(x)=-\left( \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) \right)^{-1}  \frac{\partial F}{\partial x_j}(x)</math>.

== Доведення в двовимірному випадку ==
Нехай функція <math>F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}</math> — неперервно диференційована функція, що визначає криву <math>F({\bf r})=F(x,y)=0</math>.
Нехай <math>(x_0, y_0)</math> — точка на цій кривій.
Твердження вищенаведеної теореми можна переписати для цього простого випадку наступним чином:

'''Теорема.''' Якщо <math>\left. \frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0</math>, то для кривої в околі точки <math>(x_0, y_0)</math> можна записати <math>y=f(x)</math>, де <math>f</math> — дійснозначна функція.

''Доведення.'' Оскільки функція <math>F</math> є диференційованою, то записуємо диференціал функції <math>F</math> через частинні похідні:
:<math>
{\rm d}F=\operatorname{grad} F\cdot {\rm d}r ={\frac {\partial F}{\partial x}} {\rm d}x + {\frac {\partial F}{\partial y}} {\rm d}y.
</math>
Оскільки обмежуємося рухом по кривій <math>{\rm d}F=0</math> і за припущенням <math>{\dfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0</math> в околі точки <math>(x_0, y_0)</math> (оскільки <math>\dfrac{\partial F}{\partial y}</math> неперервна у точці <math>(x_0, y_0)</math> і <math>\left. \dfrac {\partial F}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0)</math>, то
отримуємо [[Лінійне диференціальне рівняння|звичайне диференціальне рівняння першого порядку]]:
:<math>
\partial _{x}F\, {\rm d} x+\partial _{y}F\, {\rm d} y=0,\quad y(x_{0})=y_{0}.
</math>
Далі шукаємо розв'язок цього [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайного диференціального рівняння]] на відкритому інтервалі в околі точки <math>(x_0, y_0)</math>, для якого в кожній його точці <math>\partial_{y}F\neq 0</math>.
Оскільки функція <math>F</math> неперервно диференційована і з припущення отримаємо
:<math>
|\partial _{x}F|<\infty,\quad |\partial _{y}F|<\infty, \quad \partial _{y}F\neq 0.
</math>
З цього випливає, що функція <math>\dfrac{\partial _{x}F}{\partial _{y}F}</math> є неперервною і обмеженою на обох кінцях інтервалу.
Звідси функція <math>{\dfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}</math> є неперервною за Ліпшицом як відносно змінної <math>x</math>, так і відносно змінної <math>y</math>. Отже, за [[Теорема Пікара — Лінделефа|теоремою Пікара—Ліпшица]] існує єдина функція <math>y(x)</math>, яка є розв'язком заданого дифенціального рівняння з початковими умовами. Що й треба було довести.

== Приклад кола ==
Повернемося до прикладу [[Одиничне коло|одиничного кола]].
У цьому випадку <math>n=m=1</math> і <math>f(x,y)=x^2+y^2-1</math>.
Матриця частинних похідних — <math>1 \times 2</math> матриця, що задається формулою
:<math>
 (Df)(a,b)=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b) & \dfrac {\partial f}{\partial y}(a,b)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2a & 2b\end{bmatrix}.
</math>
Таким чином, компонента <math>Y</math> у формулюванні теореми є просто числом <math>2b</math>;  визначене так лінійне відображення є оберненим [Тоді й лише тоді|тоді й лише тоді], коли <math>b \neq 0</math>.
З теореми про неявну функцію випливає, що можна локально записати коло у вигляді функції <math>y=g(x)</math> для всіх точок, де <math>y \neq 0</math>.
Для точок <math>(\pm 1, 0)</math> стикаємося з проблемами, як зазначалося вище.
Теорему про неявну функцію все ще можна застосувати до цих двох точок, записавши <math>x</math> як функцію змінної <math>y</math>, тобто <math>x=h(y)</math>; тепер графік функції буде мати вигляд <math>\left(h(y), y\right)</math>, оскільки при <math>b=0</math> маємо, що <math>a=1</math>, і умови локального представлення функції в такому вигляді виконуються.

Неявну похідну від функції <math>y</math> за змінної <math>x</math> та від функції <math>x</math> за змінною <math>y</math> можна знайти шляхом повного диференціювання неявної функції <math>x^2+y^2-1</math> і прирівнювання до <math>0</math>:
:<math>
2x\,{\rm d}x+2y\,{\rm d}y=0.
</math>
У результаті
:<math>
{\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}}=-{\dfrac {x}{y}}
\quad \text{і}\quad
{\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}y}}=-{\dfrac {y}{x}}.
</math>

== Застосування: зміна координат ==
Нехай задано <math>m</math>-вимірний простір, параметризований набором координат <math>(x_1,\dots,x_m)</math>.
Введемо нову систему координат <math>(x'_1,\dots,x'_m)</math> за допомогою <math>m</math> функцій <math>h_1,\dots, h_m</math>, кожна з яких є неперервно диференційованою.
Ці функції дозволяють обчислити нові координати <math>(x'_1,\dots,x'_m)</math> точки з урахуванням старих координат точки <math>(x_1,\dots,x_m)</math> за допомогою формул <math>x'_{1}=h_{1}(x_{1},\dots, x_{m}),\dots,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})</math>.
Можна перевірити, чи можливе протилежне: задано координати <math>(x'_1,\dots,x'_m)</math>, чи можна «повернутися» і обчислити вихідні координати тієї ж точки <math>(x_1,\dots,x_m)</math>?
Теорема про неявну функцію дає відповідь на це питання.
Координати (нові та старі) <math>(x'_1,\dots,x'_m, x_1,\dots,x_m)</math> пов'язані за допомогою формули <math>f = 0</math>, де
:<math>
f(x'_{1},\dots,x'_{m},x_{1},\dots,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\dots, x_{m})-x'_{1},\dots,h_{m}(x_{1},\dots,x_{m})-x'_{m}).
</math>
Тепер матриця Якобі функції <math>f</math> у певній точці <math>(a, b)</math> [де
<math>a=(x'_1,\dots,x'_m)</math>, <math>b=(x_1,\dots,x_m)</math>] визначається як
:<math>
(Df)(a,b)=\left[\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}
 \left|\begin{matrix}\dfrac{\partial h_{1}}{\partial x_{1}}(b)&\cdots &\dfrac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}(b)\\
 \vdots &\ddots &\vdots \\
 \dfrac{\partial h_{m}}{\partial x_{1}}(b)&\cdots &\dfrac{\partial h_{m}}{\partial x_{m}}(b)\end{matrix}\right.\right]
 =[-I_{m}|J],
</math>
де <math>I_m</math> — <math>m \times m</math> [[Одинична матриця|одинична матриця]] <math>J</math> — <math>m \times m</math> матриця частинних похідних, обчислених в <math>(a, b)</math>.
(Вище ці блоки позначалися <math>X</math> і <math>Y</math>.
У цьому конкретному застосуванні теореми жодна з матриць не залежить від <math>a</math>.)
Теорема про неявну функцію тепер стверджує, що можна локально виразити <math>(x_1,\dots,x_m)</math> як функція від <math>(x'_1,\dots,x'_m)</math>, якщо матриця <math>J</math> є оборотною.
Вимога оборотності матриці <math>J</math>  еквівалентна умові <math>\det J \neq 0</math>.
Отже, можна повернутися від штрихованих координат до нештрихованих, якщо визначник якобіана <math>J</math> відмінний від нуля.
Це твердження також відоме як [[Теорема про обернену функцію|теорема про обернену функцію]].

===Приклад: полярні координати===
В якості простого застосування розглянемо площину, параметризовану [[Полярна система координат|полярними координатами]] <math>(R, \theta)</math>.
Перейдемо до нової системи координат ([[Декартова система координат|декартових координат]]), визначивши функції <math>x(R, \theta) = R \cos(\theta)</math> і <math>y(R, \theta) = R \sin(\theta)</math>.
Це дає змогу для будь-якої точки <math>(R, \theta)</math> знайти відповідні декартові координати <math>(x, y)</math>.
Коли можна повернутися назад, тобто перейти від декартових координат до полярних?
Згідно попереднього прикладу, для цього достатньо виконання умови <math>\det J \neq 0</math>, де
:<math>
J =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x(R,\theta)}{\partial R} & \dfrac{\partial x(R,\theta)}{\partial \theta} \\
\dfrac{\partial y(R,\theta)}{\partial R} & \dfrac{\partial y(R,\theta)}{\partial \theta} \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -R \sin \theta \\
\sin \theta & R \cos \theta
\end{bmatrix}.</math>
Оскільки <math>\det J = R</math>, то перетворення назад до полярних координат можливе, якщо <math>R \neq 0</math>.
Отже, залишилося перевірити випадок <math>R = 0</math>. Легко помітити, що у випадку <math>R = 0</math> наше перетворення координат не є оборотним: у початку координат, значення <math>\theta</math> не є однозначно визначеним.

== Узагальнення ==
===Випадок банахового простору===
На основі [[Теорема про обернену функцію|теореми про обернену функцію]] в [[Банахів простір|банахових просторах]] можна узагальнити теорему про неявну функцію на відображення зі значеннями в банахових просторах.<ref>{{Cite book |last=Lang |first=Serge |title=Fundamentals of Differential Geometry |url=https://archive.org/details/fundamentalsdiff00lang_678 |url-access=limited |year=1999 |publisher=Springer | location=New York |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=0-387-98593-X |pages=[https://archive.org/details/fundamentalsdiff00lang_678/page/n15 15]–21 }}</ref><ref>{{Cite book |last=Edwards |first=Charles Henry (1994)[1973]|title=Advanced Calculus of Several Variables |year=1994 |url=https://archive.org/details/advancedcalculus0000edwa |location=Mineola, New York: Dover Publications. pp. 417–418. ISBN 0-486-68336-2.}}</ref>

Нехай <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> — банахові простори, а відображення <math>f \colon X \times Y \rightarrow Z</math> є неперервно [[Похідна Фреше|диференційоване за Фреше]].
Якщо <math>(x_0,y_0) \in X \times Y</math>, <math>f(x_{0},y_{0})=0</math>, а <math>y \mapsto Df(x_0,y_0)(0,y)</math> — ізоморфізм банахових просторів <math>Y</math> і <math>Z</math>, тоді існує окіл <math>U</math> точки <math>x_0</math> і окіл <math>V</math> точки <math>y_0</math> і диференційована за Фреше відображення <math>g \colon U \rightarrow V</math> таке, що <math>f(x, g(x)) = 0</math> і <math>f(x, y) = 0</math> тоді й лише тоді, коли <math>y = g(x)</math> для всіх <math>(x,y) \in U \times V</math>.

===Випадок недиференційованих функцій===
У випадку недиференційованої функції <math>f</math> мають місце різні формулювання теореми про неявну функцію.
Стандартним є те, що в одновимірному випадку достатньо локальної строгої монотонності.<ref>Kudryavtsev, Lev Dmitrievich (2001). Implicit function. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.</ref> Наступне більш загальне формулювання було доведене Кумагаєм на основі спостереження Джітторнтума.<ref>{{Cite journal |first=K. |last=Jittorntrum |title=An Implicit Function Theorem |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-optimization-theory-and-applications_1978-08_25_4/page/575 |journal=Journal of Optimization Theory and Applications |volume=25 |issue=4 |year=1978 |doi=10.1007/BF00933522 |pages=575–577 |s2cid=121647783 }}</ref><ref>{{Cite journal |first=S. |last=Kumagai |title=An implicit function theorem: Comment |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-optimization-theory-and-applications_1980-06_31_2/page/285 |journal=Journal of Optimization Theory and Applications |volume=31 |issue=2 |year=1980 |doi=10.1007/BF00934117 |pages=285–288 |s2cid=119867925 }}</ref>

Розглянемо неперервне відображення <math>f\colon \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}</math> таке, що <math>f(x_{0},y_{0})=0</math>.
Існують відкриті околи <math>A \subset \mathbb {R}^{n}</math> і <math>B \subset \mathbb{R}^{m}</math> відповідно точок <math>x_0</math> і <math>y_0</math> такі, що для всіх <math>y</math> з <math>B</math> відображення <math>f(\cdot,y)\colon A\to \mathbb{R}^{n}</math> є локальною бієкцією тоді і лише тоді, коли існують відкриті околи <math>A_{0} \in \mathbb{R}^{n}</math> і <math>B_{0} \in \mathbb{R}^{m}</math> точок <math>x_0</math> і <math>y_0</math> такі, що для всіх <math>y\in B_0</math> рівняння <math>f(x, y) = 0</math> має єдиний розв'язок
:<math>
x=g(y)\in A_{0},
</math>
де <math>g</math> — неперервна функція з <math>B_0</math> в <math>A_0</math>.

== Дивись також ==
*[[Теорема про обернену функцію]].
*[[Теорема про обернену функцію|Теорема про постійний ранг]]: теорему про неявну функцію і теорему про обернену функцію можна розглядати як частинні випадки теореми про постійний ранг.

== Виноски ==
{{Notelist}}

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{cite book |first=Carl B. |last=Allendoerfer |title=Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds |url=https://archive.org/details/calculusofsevera0000alle |location=New York |publisher=Macmillan |year=1974 |chapter=Theorems about Differentiable Functions |pages=[https://archive.org/details/calculusofsevera0000alle/page/54 54]–88 |isbn=0-02-301840-2 }}
*{{cite book |first=K. G. |last=Binmore |chapter=Implicit Functions |title=Calculus |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1983 |isbn=0-521-28952-1 |pages=198–211 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=K8RfQgAACAAJ&pg=PA198 }}
*{{cite book |first1=Lynn H. |last1=Loomis |first2=Shlomo |last2=Sternberg |title=Advanced Calculus |url=https://archive.org/details/advancedcalculus0000loom |url-access=registration |location=Boston |publisher=Jones and Bartlett |edition=Revised |year=1990 |pages=[https://archive.org/details/advancedcalculus0000loom/page/164 164–171] |isbn=0-86720-122-3 }}
*{{cite book |first1=Murray H. |last1=Protter |first2=Charles B. Jr. |last2=Morrey |chapter=Implicit Function Theorems. Jacobians |title=Intermediate Calculus |location=New York |publisher=Springer |edition=2nd |year=1985 |isbn=0-387-96058-9 |pages=390–420 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=3lTmBwAAQBAJ&pg=PA390}}
* {{Колмогоров.Фомин}}

{{Математичний аналіз}}

[[Категорія:Теореми в математичному аналізі]]