Перегляд вихідного коду сторінки Теорема про зміну моменту імпульсу системи

'''Теорема про зміну моменту''' '''імпульсу''' '''системи''' ('''теорема про зміну''' '''кінетичного''' '''моменту системи''')&nbsp;— одна із загальних теорем [[Динаміка|динаміки]], наслідок [[Закони Ньютона|законів Ньютона]]. Пов'язує зміну [[Момент імпульсу|моменту імпульсу]] з [[Момент сили|моментом зовнішніх сил]], що діють на тіла, які складають систему. Системою, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

== Формулювання теореми ==
Моментом імпульсу (кінетичним моментом) механічної системи називають величину, що дорівнює сумі моментів імпульсу (кінетичних моментів) усіх тіл, що входять до системи відносно центра зведення. Головний момент зовнішніх сил, що діють на тіла системи,&nbsp;— це векторна сума моментів усіх зовнішніх сил, що діють на тіла системи відносно центра зведення. Теорема про зміну кінетичного моменту системи стверджує{{Sfn|Тарасов|2012|с=320}}:
{{Виписка|Похідна за часом від моменту імпульсу системи <math>\vec L_{0}</math> відносно нерухомого центра дорівнює головному моменту зовнішніх сил системи відносно цього центра <math>\vec M^{e}</math>: 
: <math>\frac{d \vec L_{0}}{dt} = \vec M^{e}</math>.}}

Теорема допускає узагальнення на випадок [[Неінерціальна система відліку|неінерційних систем відліку]]. У цьому випадку до головного моменту зовнішніх сил необхідно додати головні моменти [[Сила інерції|переносних]] і [[Сила Коріоліса|коріолісових сил]] інерції<ref>''Жирнов Н. И.'' Классическая механика.&nbsp;— Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов.&nbsp;— {{М.}}, [[Просвещение (видавництво)|Просвещение]], 1980.&nbsp;— Тираж 28&nbsp;000 экз.&nbsp;— с. 261</ref>.

Для [[Тверде тіло|твердого тіла]] рівняння <math>\frac{d \vec L_{0}}{dt} = \vec M^{e}</math> виражає основний закон динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки.

У проєкціях на осі нерухомої [[Декартова система координат|прямокутної декартової системи координат]] із початком у полюсі O закон зміни моменту імпульсу має вигляд: <math>\frac{dL_{x}}{dt} = M_{x}^{e}, \frac{dL_{y}}{dt} = M_{y}^{e}, \frac{dL_{z}}{dt} = M_{z}^{e}</math>. Тут <math>L_{x}, L_{y}, L_{z}, M_{x}^{e}, M_{y}^{e}, M_{z}^{e}</math>&nbsp;— моменти імпульсу системи та головні моменти зовнішніх сил відносно відповідних осей координат<ref name="Detlaf">''[[Яворський Борис Михайлович|Яворский Б. М.]], [[Детлаф Андрій Антонович|Детлаф А. А.]], Лебедев А. К.'' Справочник по физике для инженеров и студентов вузов.&nbsp;— М., Оникс, 2007.&nbsp;— ISBN 978-5-488-01248-6.&nbsp;— с. 83-84</ref>.

Рівняння динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки <math>O</math>, в жорстко пов'язаній із тілом рухомий [[Система координат|системі координат]], початок якої в точці <math>O</math>, має вигляд: <math>\frac{\tilde {d} \vec{L}}{dt}=\vec {M} - \vec{\omega} \times \vec {L}</math> . Тут <math>L</math>&nbsp;— момент імпульсу тіла, <math>M</math>&nbsp;— головний момент прикладених до тіла зовнішніх сил відносно точки <math>O</math>, <math>\omega</math>&nbsp;— кутова швидкість обертання тіла, <math>\frac{\tilde {d} \vec{L}}{dt} = \frac{dL_{x'}}{dt}i' + \frac{dL_{y'}}{dt}j' + \frac{dL_{z'}}{dt}k'</math>&nbsp;— відносна похідна за часом від вектора <math>\vec {L}</math>, <math>i', j', k'</math>&nbsp;— [[Одиничний вектор|орти]] рухомої системи<ref name="Detlaf"/>.

Якщо осі рухомої системи координат збігаються з головними осями інерції тіла в точці <math>O</math>, то рівняння руху тіла в проєкціях на ці осі мають вигляд:

: <math>J_{1} \dot \omega_{1} + (J_{3} - J_{2}) \omega_{2} \omega_{3} = M_{1}</math>,
: <math>J_{2} \dot \omega_{2} + (J_{1} - J_{3}) \omega_{3} \omega_{1} = M_{2}</math>,
: <math>J_{3} \dot \omega_{3} + (J_{2} - J_{1}) \omega_{1} \omega_{2} = M_{3}</math>,

де <math>J_{1}, J_{2}, J_{3}</math>&nbsp;— головні моменти інерції тіла в точці <math>O</math>, <math>\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}</math>&nbsp;— проєкції вектора кутової швидкості тіла на головні осі інерції, <math>\dot \omega_{i} = \frac{d \omega_{i}}{dt}, i =1,2,3</math>, <math>M_{1}, M_{2}, M_{3}</math>&nbsp;— моменти всіх зовнішніх сил відносно тих самих осей (динамічні [[Рівняння Ейлера (динаміка твердого тіла)|рівняння Ейлера]])<ref name="Detlaf"/>.

== Доведення ==
Нехай система складається з <math>n</math> [[Матеріальна точка|матеріальних точок]] із масами <math> m_{i}</math>, швидкостями <math>\vec v_{i}</math> та радіус-векторами відносно початку координат <math>\vec r_{i}</math>. Момент інерції системи відносно початку координат обчислюється за такою формулою: <math>\vec L_{0} = \sum_{k=1}^{n} \vec r_{k} \times m_{k} \vec v_{k} </math>. Знайдемо похідну за часом від цієї рівності: <math>\frac {d \vec L_{0}}{dt} = \frac {d}{dt} \sum_{k=1}^{n} (\vec r_{k} \times m_{k} \vec v_{k})= \sum_{k=1}^{n} \frac {d}{dt} (\vec r_{k} \times m_{k} \vec v_{k}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{d \vec r_{k}}{dt} \times m_{k} \vec v_{k} + \sum_{k=1}^{n} \vec r_{k} \times \frac{d}{dt} (m_{k} \vec v_{k}) = \sum_{k=1}^{n} \vec r_{k} \times \frac{d}{dt}(m_{k} \vec v_{k})</math> . Це випливає з <math>\frac{d \vec r_{k}}{dt} \times m_{k} \vec v_{k} =\vec v_{k} \times m_{k} \vec v_{k} = 0</math>, оскільки <math>v_{k} m_{k} v_{k} \sin(\vec v_{k}, m_{k} \vec v_{k}) = 0</math> . Нехай до <math>k</math>-ої точки системи прикладено зовнішні <math>\vec F_{k}^{e}</math> та внутрішні <math>\vec F_{k}^{i}</math> сили. Тоді з другого закону Ньютона випливає: <math> \vec r_{k} \times \frac{d}{dt}(m_{k} \vec v_{k}) = \vec r_{k} \times \vec F_{k}^{e} + \vec r_{k} \times \vec F_{k}^{i}</math> . З третього закону Ньютона випливає, що в механічній системі сума моментів внутрішніх сил дорівнює нулю, оскільки для пари точок, що взаємодіють, ці сили напрямлені вздовж прямої, що їх з'єднує (це істотно), рівні за модулем і протилежні за напрямом. Приходимо до твердження теореми: <math>\frac {d \vec L_{0}}{dt} = \vec M_{0} (\vec F^{e})</math>.

== Закон збереження моменту інерції системи ==
З теореми про зміну кінетичного моменту системи випливає, що якщо головний момент зовнішніх сил відносно центра дорівнює нулю, то момент інерції системи відносно того ж центра є сталим за модулем та напрямком <math>\vec L_{0} = const</math>.

Закон збереження моменту імпульсу каже{{Sfn|Тарасов|2012|с=321}}:<center>{{Виписка|Якщо сума моментів усіх зовнішніх сил, що діють на систему, відносно якоїсь осі дорівнює нулю, то момент імпульсу (кінетичний момент) системи відносно цієї осі є сталою величиною.}}</center>

== Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками ==
У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яка виводиться з урахуванням [[Принцип д'Аламбера — Лагранжа|принципу д'Аламбера&nbsp;— Лагранжа]].

Теорема про зміну кінетичного моменту системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує:<center>{{Виписка|Якщо ідеальні стаціонарні зв'язки допускають у кожний момент часу поворот системи як цілого навколо деякої нерухомої осі, то похідна за часом від моменту імпульсу системи відносно осі дорівнює сумі моментів відносно тієї ж осі зовнішніх активних сил, що діють на систему.}}</center>Цю теорему можна довести так. Замінюючи в {{li|Загальне рівняння динаміки|text=загальному рівнянні динаміки|Q=Q16682241}} <math>\sum_{k=1}^{N}(\vec{F}_k-m_{k}\vec{w}_k) \delta \vec{r}_k=0</math> приріст <math>\delta \vec{r}_k = \vec{i} \delta \varphi \times \vec{r}_k</math>, отримуємо:

: <math>\sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{d \vec{v}_k}{dt} ( \vec{i} \times \vec{r}_k ) = ( \sum_{k=1}^{N} \vec{F}_k ) (\vec{i} \times \vec{r}_k )</math>

Внаслідок того, що скалярно-векторний добуток не змінюється за циклічної перестановки множників:

: <math>\vec{i} \sum_{k=1}^{N} ( \vec{r}_k \times m_{k} \frac{d \vec{v}_k}{dt} ) = \vec{i} \sum_{k=1}^{N} ( \vec{r}_k \times \vec{F}_k )</math>

або

: <math>\vec{i} \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^{N} ( \vec{r}_k \times m_k \vec{v}_k ) = \vec{i} \sum_{k=1}^{N} ( \vec{r}_k \times  \vec{F}_k^{ae} )</math>

або

: <math>\vec{i} \frac{d\vec{L}_0}{dt} = \sum_{k=1}^{N} mom_{x} F_{x}^{ae}</math>

або

: <math>\frac{d}{dt} (\vec{i} \vec{L}_0 ) = \sum_{k=1}^{N} mom_{x} F_{x}^{ae}</math>.

Підсумковий результат:

: <math>\frac{dL_{x}}{dt} = \sum_{k=1}^{N} mom_{x} F_{x}^{ae}</math>

У формулах використано значки <math>^a</math> (активна, тобто така, що не є реакцією зв'язків, сила) і <math>^e</math> (зовнішня сила).

== Див. також ==
* [[Теорема про рух центра мас системи]]
* [[Теорема про кінетичну енергію системи]]
* [[Теорема про зміну імпульсу системи]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Книга
|автор = Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И.
|заголовок = Теоретическая механика
|місце = {{М.}}
|видавництво = ТрансЛит
|рік = 2012
|ISBN = 978-5-94976-455-8 страниц  = 560
|ref = Тарасов
}}
[[Категорія:Теоретична механіка]]
[[Категорія:Динаміка]]
[[Категорія:Фізичні теореми]]