Перегляд вихідного коду сторінки Теорема про заборону комунікації

'''Теорема про заборону комунікації'''&nbsp;— [[no-go-теорема]] в теорії [[Квантова інформація|квантової інформації]], яка стверджує, що при вимірюванні квантових сплутаних станів [[спостерігач]], вимірюючи підсистему спільного стану, не може передати інформацію іншому спостерігачу. Теорема має важливе значення, тому що заплутування квантових станів може встановити такі кореляції, що здавалося б можлива миттєва комунікація. Теорема про заборону комунікації визначає умови, за яких це неможливо. Її результати можна застосувати до так званих парадоксів квантової механіки, таких як [[Парадокс Ейнштейна — Подольського — Розена|парадокс ЕПР]] чи до порушення локального реалізму в дослідах і перевірки [[Теорема Белла|теореми Белла]]. Теорема про заборону комунікації показує, що в цих дослідах, порушення локального реалізму не має наслідком того, що можна було б назвати «страхопудним зв'язком на відстані» (за аналогією зі «страхопудною далекодією» [[Альберт Ейнштейн|Ейнштейна]]).

==Неформальний огляд==
Теорема про заборону комунікації стверджує, що  в рамках квантової механіки неможливо передати класичні біти інформації за допомогою ретельно підготовлених [[Змішаний стан|змішаних]] або чистих станів, незалежно від того, чи є вони [[Сплутані квантові стани|сплутаними]]. Теорема забороняє передачу через спільні квантові стани будь-якої інфомації, а не тільки передачу інформації швидше ніж [[швидкість світла]].

Основним припущенням, на якому тримається теорема, є справедливість законів квантової механіки. Аналогічні теореми можуть бути або не бути справедливими в рамках інших теорій<ref>S. Popescu, D. Rohrlich (1997) "Causality and Nonlocality as Axioms for Quantum Mechanics", ''Proceedings of the Symposium on Causality and Locality in Modern Physics and Astronomy'' (York University, Toronto, 1997).</ref>, таких як теорії прихованих параметрів. Теорема про заборону комунікації не накладає обмежень на такі теорії.

Припускається, що в початковому стані квантовомеханічна система перебуває в чистому або змішаному стані в гільбертовому просторі ''H''.  Система далі еволюціонує так, що з часом її можна розбити на дві просторово розділені частини ''A'' та ''B'', де її спостерігають [[Аліса і Боб]], яким дозволено виконувати вимірювання над частиною спільної системи.  Постає питання: чи може Аліса зробити що-небудь таке, що його міг би зареєструвати Боб? І теорема відповідає: «Ні».

Важливим припущенням теореми є те, що ні Алісі, ні Бобу не дозволено жодним чином впливати на приготування початкового стану. Якщо Алісі було б дозволено приготувати початковий стан, то вона могла б з легкістю закласти в нього повідомлення, тож як Алісі, так і Бобу такі дії заборонені. Теорема не вимагає того, щоб початковий стан був якимось конкретним: випадковим, збалансованим чи однорідним: третій учасник експерименту може легко закодувати в підготовлений стан будь-яке послання, і Боб та Аліса його приймуть. Теорема просто стверджує, що як би не був підготовлений початковий стан, Аліса не може зробити з ним нічого такого, що міг би зареєструвати Боб.

Далі в доказі визначається як розбити загальний гільбертів простір ''H'' на дві частини  ''H''<sub>''A''</sub> та ''H''<sub>''B''</sub>, які описують підпростори, доступні Алісі й Бобу. Вважається, що загальний стан системи описується [[Матриця густини|матрицею густини]] σ. Це розумне припущення, оскільки матриця густини може описувати як чисті так і змішані квантовомеханічної стани. Іншим важливим припущенням теореми є те, що вимірювання виконуються застосуванням узагальненого проективного оператора ''P'' до стану  σ. Знову ж, це розумно, оскільки оператор проєкції дає правильний математичний опис квантовомеханічних вимірювань. Вимірювання Аліси призводить до [[Колапс хвильової функції|колапсу]] загального стану системи до стану  ''P''(σ).

Мета теореми&nbsp;— доказати, що Боб жодним чином не може відрізнити стан, який був перед вимірюванням, від стану ''P''(σ), що утворився після вимірювання.  Математично це здійснюється порівнянням сліду стану σ зі слідом стану ''P''(σ) на підпросторі ''H''<sub>''A''</sub>. Оскільки слід береться тільки по підпростору, його називають {{li|Частковий слід|text=частковим слідом|Q=Q7140394}}. Ключовим на цьому кроці є припущення, що частковий слід адекватно відображає точку зору Боба. Тобто все, до чого Боб має  або матиме коли-небудь доступ, що він може виміряти чи детектувати повністю описується частковим слідом по підпростору ''H''<sub>A</sub> системи σ.  Знову ж, ще розумне припущення, бо воно є частиною стандартної квантової механіки. Той факт, що цей слід не змінюється після вимірювань Аліси, дозволяє зробити висновок про неможливість комунікації.

== Формулювання ==
Доведення теореми зазвичай ілюструють в умовах перевірки [[Теорема Белла|теореми Белла]]. Двоє спостерігачів Аліса та Боб виконують локальні вимірювання над спільною для них системою двох частинок. Теорема використовує статистичний апарат квантової механіки: матрицю густини й квантові оператори<ref>{{cite journal |authors=Peres, A. and Terno, D. |title=Quantum Information and Relativity Theory |journal=Rev. Mod. Phys. |volume=76 |pages=93–123 |year=2004 |arxiv=quant-ph/0212023|doi=10.1103/RevModPhys.76.93|bibcode = 2004RvMP...76...93P }}</ref>.

Аліса та Боб виконують вимірювання над системою '''S''', гільбертів простір якої визначений як

:<math>  H = H_A \otimes H_B. </math>

Щоб уникнути проблем із розбіжностями, припускається, що всі розмірності скінченні. Стан спільної системи задається оператором густини на ''H''.  Будь-який оператор густини  σ на ''H'' має вигляд:

:<math> \sigma = \sum_i T_i \otimes S_i </math>

де ''T<sub>i</sub>'' та  ''S<sub>i</sub>'' є операторами на ''H''<sub>''A''</sub> та ''H''<sub>''B''</sub>. Для доведення не обов'язково, щоб  ''T<sub>i</sub>'' та  ''S<sub>i</sub>'' були б проективними операторами стану: ''тобто'' їм не обов'язково буди невід'ємними чи мати одиничний слід. Так σ може бути визначена дещо ширше, ніж матриця густини, теорема залишатиметься справедливою. Для сепарабельних станів теорема взагалі тривіальна. Якщо спільний стан  σ сепарабельний, зрозуміло, що будь-яка локальна дія Аліси не вплине на систему Боба. Сенс теореми в тому, щоб доказати відсутність можливості комунікації у випадку спільного заплутаного стану.

Аліса виконує локальні вимірювання на своїй підсистемі. У загальному випадку це описується квантовою операцією над станом системи на кшталт

:<math> P(\sigma) = \sum_k (V_k \otimes I_{H_B})^* \ \sigma \ (V_k \otimes I_{H_B}), </math>

де ''V''<sub>''k''</sub> називають [[матриця Крауса|матрицями Крауса]]. Вони задовольняють умові

:<math> \sum_k V_k V_k^* = I_{H_A}.</math>

Член

:<math>I_{H_B}</math>

у виразі

:<math>(V_k \otimes I_{H_B})</math>

означає, що вимірювання приладу Аліси не впливають на підсистему Боба.

Припускаючи, що спільна система приготовлення в стані σ, та розглядаючи нерелятивістський випадок, одразу ж (без часової затримки) після Алісиного вимірювання, відносний стан Бобової підсистеми задається частковим слідом загального стану щодо Алісиної підсистеми. Математично, відносний стан Бобової підсистеми після Алісиної дії записується

:<math>\operatorname{tr}_{H_A}(P(\sigma))</math>

де <math>\operatorname{tr}_{H_A}</math> є частковим слідовим відображенням щодо Алісиної підсистеми.

Цей стан можна вирахувати безпосередньо:

:<math> \operatorname{tr}_{H_A}(P(\sigma)) = \operatorname{tr}_{H_A} \left(\sum_k (V_k \otimes I_{H_B})^* \sigma (V_k \otimes I_{H_B} )\right) = \operatorname{tr}_{H_A} \left(\sum_k \sum_i V_k^* T_i V_k \otimes S_i \right) </math>
:::: <math> = \sum_i \sum_k \operatorname{tr}(V_k^* T_i V_k) S_i = \sum_i \sum_k \operatorname{tr}(T_i V_k V_k^*) S_i </math>
::::  <math>  = \sum_i \operatorname{tr}\left(T_i \sum_k V_k V_k^*\right) S_i = \sum_i \operatorname{tr}(T_i)  S_i </math>
:::: <math> =  \operatorname{tr}_{H_A}(\sigma). </math>

Виходячи з цього, можна стверджувати, що статистично Боб не може визначити, що зробила Аліса, і чи робила вона що-небудь взагалі.

== Зауваження ==

*Якщо оператору густини <math>P(\sigma)</math> дозволено еволювати під дією нелогальної взаємодії між підсистемами  A та B, тоді загалом доведення теореми стає несправедливим, якщо лише не припустити певні комутаційні співвідношення<ref>{{cite conference |last1=Peacock |first1=K.A. |last2=Hepburn |first2=B. |title=Begging the Signaling Question: Quantum Signaling and the Dynamics of Multiparticle Systems |booktitle=Proceedings of the Meeting of the Society of Exact Philosophy |year=1999 |url=http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906036 |accessdate=8 вересня 2017 |archive-date=8 жовтня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161008220033/https://arxiv.org/abs/quant-ph/9906036 }}</ref>.
*Теорема про заборону комунікації стверджує, що для передачі інформації простого заплутування недостатньо. Це можна порівняти з теоремою про заборону телепортації, яка стверджує, що класичним інформаційним каналом неможливо передати квантову інформацію. (Під ''передачею'' розуміється повністю достовірний обмін). Проте [[квантова телепортація|схеми квантової телепортації]] використовують обидва ресурси з метою досягнення того, що неможливо для кожного зокрема.
* Теорема про заборону комунікації неявно використовує теорему про заборону клонування, що стверджує неможливість копіювання (досконалого) квантових станів. Тобто, клонування було б достатньою умовою для передачі класичної інформації.  Щоб це зрозуміти, припустимо, що квантовий стан можна клонувати. Нехай частину максимально заплутаного стану в досліді Белла передано Алісі та Бобу. Аліса може переслати свої біти Бобу так: якщо вона бажає передати «0», вона вимірює спін електрона в напрямку  '''z''', змушуючи Бобів стан колапсувати або до <math>|z+\rangle_B</math> або  <math>|z-\rangle_B</math>. Для передачі  "1" Аліса не робить зі своїм кубітом нічого. Боб створює багато копій свого електронного стану й вимірює спін кожної копії в напрямку  '''z'''. Він знає, якщо Аліса передала  "0", усі його вимірювання даватимуть однаковий результат, у іншому випадку  <math>|z+\rangle_B</math> та <math>|z-\rangle_B</math> матимуть однакову ймовірність. Так Аліса й Боб могли б обмінюватися інформацією (можливо навіть при простороподібному інтервалі між собою, порушуючи [[принцип причинності]].
* Описаний тут варіант теореми про заборону комунікації робить припущення, що спільна для Аліси та Боба квантова система є композитною, тобто спільний гільбертів простір є тензорним добутком, перший множник якого відповідає частині системи, з якою може взаємодіяти Аліса, а другий&nbsp;— частині системи, з якою може взаємодіяти Боб. У [[Квантова теорія поля|квантовій теорії поля]] це припущення можна замінити припущенням, що Аліса та Боб розділені [[Просторово-часовий інтервал|простороподібним інтервалом]]<ref>{{citation |last1=Eberhard |first1=Phillippe H. |last2=Ross |first2=Ronald R.|title=Quantum field theory cannot provide faster than light communication |year= 1989 | journal=Foundations of Physics Letters | volume=2 | issue=2}}</ref>. Ця альтернативна версія теореми про заборону комунікації доказує, що спілкування з надсвітловою швидкістю неможливе для систем, для яких справедливі правила квантової теорії поля. 
* Доведення теореми про заборону комунікації робить припущення, що усі вимірні властивості Бобової системи можна обчислити з його зведеної матриці густини.  Це припущення справедливе, якщо виконується правило Борна обчислення ймовірності отримати певний результат вимірювання. Однак, змінюючи правило Борна можна в загальному випадку побудувати теорії, у яких зведена матриця густини не містить інформації про всі фізично вимірні властивості, а тому в рамках таких теорії надсвітлове спілкування можливе<ref>Zurek, Wojciech Hubert. "Environment - Assisted Invariance, Causality, and Probabilities in Quantum Physics." http://arxiv.org/abs/quant-ph/0211037 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160817094329/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0211037 |date=17 серпня 2016 }}</ref>.

== Див. також==
* [[Теорема про заборону клонування]]
* {{li|Теорема про заборону телепортації|Q=Q17142987}}

== Виноски ==
{{Reflist}}

* Hall, M.J.W. ''Imprecise measurements and non-locality in quantum mechanics'', Phys. Lett. A (1987) 89-91
* {{li|Giancarlo Ghirardi|text=Ghirardi, G.C.|Q=Q2381425}} et al. ''Experiments of the EPR Type Involving CP-Violation Do not Allow Faster-than-Light Communication between Distant Observers'', Europhys. Lett. 6 (1988) 95-100
* Florig, M. and Summers, S. J. ''On the statistical independence of algebras of observables'', J. Math. Phys. 38 (1997) 1318- 1328

[[Категорія:Фізичні теореми]]
[[Категорія:Інтерпретації квантової механіки]]