Перегляд вихідного коду сторінки Теорема про довільну зупинку

{{Сирий переклад|дата=грудень 2024}}
{{distinguish|Оптимальна зупинка}}
{{refimprove|date=February 2012}}
У [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] '''теорема про необов'язкову зупинку''' (іноді також '''теорема Дуба про необов'язкове вибіркове спостереження''', на честь американського ймовірнісника {{li|Джозеф Леонард Дуб|text=Джозефа Дуба|Q=Q1384876}}) стверджує, що, за певних умов, [[математичне сподівання]] [[Мартингал Дуба|мартингала]] в момент [[Марковський момент часу|зупинки]] дорівнює його початковому математичному сподіванню. Оскільки мартингали можуть використовуватись для моделювання статку гравця в чесній грі, теорема про необов'язкову зупинку стверджує, що в середньому нічого не можна виграти, зупиняючи гру на основі інформації, доступної до цього моменту (тобто без погляду в майбутнє). Для правильності цього результату необхідні певні умови. Зокрема, теорема застосовується до {{li|Мартингал (система ставок)|text=стратегій подвоєння|Q=Q581601}}.

Теорема про необов'язкову зупинку є важливим інструментом [[Фінансова математика|математичних фінансів]] у контексті {{li|Фундаментальна теорема оцінки активів|text=фундаментальної теореми ціноутворення активів|Q=Q5508973}}.

== Твердження ==
Нижче наведено версію теореми для дискретного часу, де {{math|<math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub>}} позначає множину натуральних чисел, включаючи нуль.

Нехай {{math|''X'' {{=}} (''X<sub>t</sub>'')<sub>''t''∈<math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub></sub>}} є дискретним [[Мартингал|мартингал]], а {{math|''τ''}} — [[Марковський момент часу|час зупинки]] з значеннями у {{math|<math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub> ∪ {∞}}}, обидва відносно [[Фільтрація (випадкові процеси)|фільтрації]] {{math|({{math|F}}<sub>''t''</sub>)<sub>''t''∈<math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub></sub>}}. Припустимо, що виконується одна з наступних трьох умов:
:({{EquationRef|a}}) Час зупинки {{math|''τ''}} є [[майже напевно]] обмеженим, тобто існує [[математична константа|константа]] {{math|''c'' ∈ <math>\mathbb{N}</math>}}, така що {{math|''τ'' ≤ ''c''}} майже напевно.
:({{EquationRef|b}}) Час зупинки {{math|''τ''}} має скінченне математичне сподівання, і умовні математичні сподівання абсолютної величини приростів мартингала майже напевно обмежені, а саме <math>\mathbb{E}[\tau]<\infty</math> і існує константа {{math|''c''}}, така що <math>\mathbb{E}\bigl[|X_{t+1}-X_t|\,\big\vert\,{\mathcal F}_t\bigr]\le c</math> майже напевно на події {{math|{''τ'' > ''t''}}} для всіх {{math|''t'' ∈ <math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub>}}.
:({{EquationRef|c}}) Існує константа {{math|''c''}}, така що {{math|{{!}}''X''<sub>''t''∧''τ''</sub>{{!}} ≤ ''c''}} майже напевно для всіх {{math|''t'' ∈ <math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub>}} де {{math|∧}} позначає [[інфімум|оператор мінімуму]].
Тоді {{math|''X<sub>τ</sub>''}} є майже напевно добре визначеною випадковою величиною, і <math>\mathbb{E}[X_{\tau}]=\mathbb{E}[X_0].</math>

Аналогічно, якщо стохастичний процес {{math|''X'' {{=}} (''X<sub>t</sub>'')<sub>''t''∈<math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub></sub>}} є [[Мартингал|субмартингалом]] або [[Мартингал|супермартингалом]] і виконується одна з наведених умов, то
:<math>\mathbb{E}[X_\tau]\ge\mathbb{E}[X_0],</math>
для субмартингала, і
:<math>\mathbb{E}[X_\tau]\le\mathbb{E}[X_0],</math>
для супермартингала.

=== Примітка ===
За умови&nbsp;({{EquationNote|c}}) можливо, що {{math|''τ'' {{=}} ∞}} відбувається з позитивною ймовірністю. У цьому випадку {{math|''X<sub>τ</sub>''}} визначається як майже напевно існуюча точкова границя {{math|(''X<sub>t</sub>'')<sub>''t''∈<math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub></sub>}}, див. докази нижче для деталей.

==Застосування==
* Теорему про необов'язкову зупинку можна використати для доведення неможливості успішних стратегій ставок для гравця з обмеженим часом життя (що дає умову&nbsp;({{EquationNote|a}})) або обмеженням на ставки (умова&nbsp;({{EquationNote|b}})). Припустимо, що гравець може ставити до ''c'' доларів на чесне підкидання монети на часах 1, 2, 3 і т.д., виграючи свою ставку, якщо монета випаде орлом, і програючи її, якщо монета випаде решкою. Припустимо також, що він може припинити гру коли завгодно, але не може передбачити результат ще не зіграних підкидань. Тоді статок гравця з часом є мартингалом, а час {{math|''τ''}}, коли він вирішує припинити гру (або йому доводиться припинити через банкрутство), є часом зупинки. Таким чином, теорема стверджує, що {{math|E[''X<sub>τ</sub>''] {{=}} E[''X''<sub>0</sub>]}}. Іншими словами, гравець залишає гру з такою ж кількістю грошей ''в середньому'', як і при початку. (Той самий результат діє, якщо у гравця замість обмеження на окремі ставки є обмеження на його кредитну лінію або на те, наскільки далеко він може зайти в борг, хоча це легше показати за допомогою іншої версії теореми.)
* Припустимо, що [[Випадкове блукання|випадковий блукач]] починається в {{math|''a'' ≥ 0}} і рухається вгору або вниз на одиницю з рівною ймовірністю на кожному кроці. Припустимо також, що блукання зупиняється, якщо воно досягає {{math|0}} або {{math|''m'' ≥ ''a''}}; час, коли це вперше відбувається, є часом зупинки. Якщо відомо, що очікуваний час закінчення блукання є скінченним (скажімо, з теорії [[ланцюг Маркова|ланцюгів Маркова]]), теорема про необов'язкову зупинку передбачає, що очікувана кінцева позиція дорівнює початковій позиції {{math|''a''}}. Розв'язуючи {{math|''a'' {{=}} ''pm'' + (1 – ''p'')0}} для ймовірності {{math|''p''}} того, що блукання досягне {{math|''m''}} до {{math|0}}, отримуємо {{math|''p'' {{=}} ''a''/''m''}}.
* Тепер розглянемо випадковий блукач {{math|''X''}}, що починається з {{math|0}} і зупиняється, якщо він досягає {{math|–''m''}} або {{math|+''m''}}, і використаємо мартингал {{math|''Y<sub>n</sub>'' {{=}} ''X''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> – ''n''}} з [[Мартингал#Приклади|розділу прикладів]]. Якщо {{math|''τ''}} — це час, коли {{math|''X''}} вперше досягає {{math|±''m''}}, то {{math|0 {{=}} E[''Y''<sub>0</sub>] {{=}} E[''Y<sub>τ</sub>''] {{=}} ''m''<sup>2</sup> – E[τ]}}. Це дає {{math|E[''τ''] {{=}} ''m''<sup>2</sup>}}.
* Однак, слід бути обережним, щоб забезпечити виконання хоча б однієї з умов теореми. Наприклад, припустимо, що в останньому прикладі було використано 'однобічний' час зупинки, так що зупинка відбувається лише при {{math|+''m''}}, а не при {{math|–''m''}}. Тоді значення {{math|''X''}} в цей час зупинки буде {{math|''m''}}. Тому очікуване значення {{math|E[''X<sub>τ</sub>'']}} повинно також дорівнювати {{math|''m''}}, що, здається, суперечить теоремі, яка дає {{math|E[''X<sub>τ</sub>''] {{=}} 0}}. Невиконання теореми про необов'язкову зупинку показує, що всі три умови не виконуються.

==Доведення==
Нехай {{math|''X<sup>τ</sup>''}} позначає {{li|Зупинений процес|text= зупинений процес|Q=Q7619859}}, який також є мартингалом (або субмартингалом чи супермартингалом відповідно). За умовами&nbsp;({{EquationNote|a}}) або&nbsp;({{EquationNote|b}}) випадкова величина {{math|''X<sub>τ</sub>''}} є добре визначеною. За умовою&nbsp;({{EquationNote|c}}) зупинений процес {{math|''X<sup>τ</sup>''}} обмежений, отже, за теоремою {{li|Збіжність мартингалів|text=збіжності мартингала|Q=Q1765521}} він сходиться майже напевно до випадкової величини, яку ми позначаємо як {{math|''X<sub>τ</sub>''}}.

Якщо виконано умову&nbsp;({{EquationNote|c}}), то зупинений процес {{math|''X<sup>τ</sup>''}} обмежений сталою випадковою величиною {{math|''M'' :{{=}} ''c''}}. В іншому випадку, розглядаючи зупинений процес як

:<math>X_t^\tau=X_0+\sum_{s=0}^{\tau-1 \land t-1}(X_{s+1}-X_s),\quad t\in{\mathbb N}_0,</math>

отримуємо {{math|{{!}}''X''<sub>''t''</sub><sup>''τ''</sup>{{!}} ≤ ''M''}} для всіх {{math|''t'' ∈ <math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub>}}, де

:<math>M:=|X_0|+\sum_{s=0}^{\tau-1}|X_{s+1}-X_s|=|X_0|+\sum_{s=0}^\infty|X_{s+1}-X_s|\cdot\mathbf{1}_{\{\tau>s\}}</math>.

За допомогою [[Теорема Леві про монотонну збіжність|теорема монотонної збіжності]]

:<math>\mathbb{E}[M]=\mathbb{E}[|X_0|]+\sum_{s=0}^\infty \mathbb{E}\bigl[|X_{s+1}-X_s|\cdot\mathbf{1}_{\{\tau>s\}}\bigr]</math>.

Якщо виконано умову&nbsp;({{EquationNote|a}}), то ця сума має лише кінчену кількість ненульових членів, тому {{math|''M''}} є інтегрованим.

Якщо виконано умову&nbsp;({{EquationNote|b}}), то продовжуємо, вставляючи [[умовне математичне сподівання]] та використовуючи, що подія {{math|{''τ'' > ''s''}}} відома в час {{math|''s''}} (зауважте, що {{math|''τ''}} є часом зупинки щодо фільтрації), отже

:<math>\begin{align}\mathbb{E}[M]
&=\mathbb{E}[|X_0|]+\sum_{s=0}^\infty \mathbb{E}\bigl[\underbrace{\mathbb{E}\bigl[|X_{s+1}-X_s|\big|{\mathcal F}_s\bigr]\cdot\mathbf{1}_{\{\tau>s\}}}_{\le\,c\,\mathbf{1}_{\{\tau>s\}}\text{ a.s. by (b)}}\bigr]\\
&\le\mathbb{E}[|X_0|]+c\sum_{s=0}^\infty\mathbb{P}(\tau>s)\\
&=\mathbb{E}[|X_0|]+c\,\mathbb{E}[\tau]<\infty,

\\
\end{align}</math>

де використано [[Математичне сподівання#Дискретний розподіл, що набуває тільки невід'ємних цілих значень|представлення математичного сподівання для випадкових величин, що набувають ненегативних цілих значень]] для останнього рівняння.

Отже, за будь-якою з трьох умов теореми зупинений процес домінує інтегрованою випадковою величиною {{math|''M''}}. Оскільки зупинений процес {{math|''X<sup>τ</sup>''}} сходиться майже напевно до {{math|''X<sub>τ</sub>''}}, теорема [[Теорема Лебега про мажоровану збіжність|теорема домінованої збіжності]] дає

:<math>\mathbb{E}[X_\tau]=\lim_{t\to\infty}\mathbb{E}[X_t^\tau].</math>

За властивістю мартингала зупиненого процесу

:<math>\mathbb{E}[X_t^\tau]=\mathbb{E}[X_0],\quad t\in{\mathbb N}_0,</math>

отже

:<math>\mathbb{E}[X_\tau]=\mathbb{E}[X_0].</math>

Аналогічно, якщо {{math|''X''}} є субмартингалом або супермартингалом, відповідно, змінюється рівність у останніх двох формулах на відповідну нерівність.

==Посилання==
{{Reflist}}
# {{cite book | last1=Grimmett | first1=Geoffrey R. | last2=Stirzaker | first2=David R. | title=Probability and Random Processes | url=https://archive.org/details/probabilityrando00grgr | url-access=limited | publisher=Oxford University Press | edition=3rd | year=2001 | pages=[https://archive.org/details/probabilityrando00grgr/page/n501 491]–495 | isbn=9780198572220}}
# {{cite book | last1=Bhattacharya | first1=Rabi | last2=Waymire | first2=Edward C. | title=A Basic Course in Probability Theory | publisher=Springer | year=2007 | pages=43–45 | isbn=978-0-387-71939-9|url=https://books.google.com/books?id=clQQVdUNBmcC&q=%22Optional+stopping%22}}

==Зовнішні посилання==
* [http://math.mit.edu/~sheffield/martingalenote.pdf Doob's Optional Stopping Theorem]

[[Категорія:Теореми теорії ймовірностей]]
[[Категорія:Теореми статистики]]
[[Категорія:Теорія мартингалів]]