Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Тейлора

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
[[Файл:Taylorspolynomial.svg|thumb|right|300px|Експоненціальна функція ''y'' = ''e''<sup>''x''</sup> (суцільна червона лінія) та відповідний многочлен Тейлора четвертого порядку (штрих-пунктирна зелена лінія) поблизу початку координат]]

: '' Ця стаття про многочлени Тейлора [[Диференційовна функція|диференційовних функцій]]. Про [[Ряд Тейлора|ряди Тейлора]] [[Аналітична функція|аналітичних функцій]] див. відповідну статтю.''

'''Теорема Тейлора''' дає наближення до функції, що диференціюється ''k'' раз, поблизу даної точки за допомогою ''' [[многочлен]]а Тейлора''' ''k''-го порядку. Для [[Аналітична функція|аналітичних функцій]] многочлен Тейлора в даній точці є кінцевою послідовністю їх неповного [[Ряд Тейлора|ряду Тейлора]], який, у свою чергу, повністю визначає функцію в деякому околі точки. Точний зміст теореми Тейлора до теперішнього часу не узгоджено. Звичайно, існує кілька версій теореми, що застосовуються в різних ситуаціях, і деякі з цих версій містять оцінки помилки, що виникає при наближенні функції за допомогою многочлена Тейлора.

Ця теорема названа на честь математика [[Брук Тейлор|Брука Тейлора]], який сформулював одну з її версій в 1712 році. Явний вираз для помилки наближення було дано набагато пізніше [[Жозеф-Луї Лагранж|Жозефом Лагранжем]]. Раніше, в 1671 році, [[Джеймс Грегорі|Джеймсом Грегорі]] вже було згадано наслідок з теореми.

Теорема Тейлора дозволяє опанувати прийомами обчислень початкового рівня, і вона є одним з центральних елементарних інструментів у [[Математичний аналіз|математичному аналізі]]. При вивченні математики вона є початковою точкою для вивчення [[асимптотичний аналіз|асимптотичного аналізу]]. Теорема також використовується в [[Математична фізика|математичній фізиці]]. Вона також узагальнює [[Аналіз функцій багатьох змінних|аналіз функцій декількох змінних]] і [[Вектор (математика)|векторні]] функції {{nowrap|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} для будь-яких вимірів n і m. Це узагальнення теореми Тейлора є базовим для визначення так званих [[Струмінь (математика)|струменів]], які з'являються в [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] й в [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними]].

== Передумови для введення теореми ==
[[Файл:E^x with linear approximation.png|thumb|right|Графік {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''e<sup>x</sup>''}} (блакитного кольору) з його лінійним наближенням {{nowrap|''P''<sub>1</sub>(''x'') {{=}} 1 + ''x''}} (червоного кольору) в точці ''a'' = 0.]]

Якщо дійснозначна функція ''f(х)'' є диференційованою в точці ''a'', то вона має [[лінійне наближення]] в точці ''a''. Це означає, що існує функція ''h''<sub>1</sub> така, що

: <math> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + h_1(x)(x-a), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.</math>

Тут

: <math>P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a) </math>

це лінійне наближення функції ''f'' в точці ''a''. Графік функції {{nowrap|''y'' {{=}} ''P''<sub>1</sub>(''x'')}} є [[Дотична|дотичною]] до графіку функції ''f'' в точці {{nowrap|''x'' {{=}} ''a''}}. Помилка наближення є такою

: <math>R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(x-a).</math>

Помітимо, що помилка наближається до нуля трохи скоріше, ніж різниця {{nowrap|''x'' − ''a''}} наближається до нуля відповідно до того як ''x'' прагне до ''a''.

[[Файл:E^x with quadratic approximation corrected.png|thumb|right|Графік {{nowrap|''f''(''x''){{=}}''e<sup>x</sup>''}} (блакитного кольору) з квадратичним наближенням {{nowrap|''P''<sub>2</sub>(''x'') {{=}} 1 + ''x'' + ''x''<sup>2</sup>/2}} (червоного кольору) в точці ''a'' = 0. Помітні значні поліпшення наближення.]]

Якщо ми шукаємо краще наближення ''f'', ми можемо використовувати многочлен другого ступеня замість лінійної функції. Замість знаходження [[Похідна|похідної]] від ''f'' в точці ''a'', ми можемо знайти дві похідні, отримавши таким чином многочлен, який так само як і ''f'' зростає (або убуває), і так само як і ''f'' має опуклість (або увігнутість) в точці ''a''. Многочлен другого ступеня (квадратний многочлен) в цьому випадку буде виглядати наступним чином:

: <math>P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2. \, </math>

Теорема Тейлора дозволяє переконатися, що квадратичне наближення, в досить малому околі точки ''a'', є кращим наближенням, ніж лінійне. Зокрема,

: <math>f(x) = P_2(x) + h_2(x)(x-a)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0.</math>

Тут помилка наближення така

: <math>R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(x-a)^2</math>

що, за умови обмеженості ''h''<sub>2</sub>, наближається до нуля швидше, ніж наближається до нуля {{nowrap|(''x'' − ''a'')<sup>2</sup>}} відповідно до того як ''x'' прагне до ''a''.

[[Файл:Tayloranimation.gif|thumb|360px|right|Наближення функції ''f''(''x'') = 1/(1 + ''x''<sup>2</sup>) за допомогою многочленів ''P<sub>k</sub>'' порядку ''k'' = 1, …, 16 відносно точки ''x'' = 0 (червоний) та точки ''x'' = 1 (салатовий колір). Наближення взагалі не поліпшується за межами (-1,1) і (1-√2,1+√2) відповідно.]]

Таким чином, якщо використовувати [[многочлен]]и все вищого ступеня, то будуть отримані все кращі наближення до ''f''. Загалом, помилка в наближенні функції за допомогою поліномів порядку ''k'' буде наближатися до нуля трохи швидше, ніж наближається до нуля {{nowrap|(''x'' − ''a'')<sup>''k''</sup>}} відповідно до того як ''x'' прагне до ''a''.

Цей наслідок має асимптотичну природу: він лише повідомляє, що помилка ''R<sub>k</sub>'' [[Апроксимація|наближення]] за допомогою многочленів Тейлора ''k''-го порядку ''P<sub>k</sub>'' наближається до нуля швидше, ніж ненульовий многочлен ''k''-го порядку відповідно до того як ''x'' → ''a''. Він '''не''' повідомляє, наскільки великою є помилка в будь-якому околі центру наближення, але для цього існує формула для залишку (наведена нижче).

Найбільш повні версії теореми Тейлора, як правило, призводять до [[Рівномірна збіжність|рівномірних оцінок]] помилки наближення в малому околі центра наближення, але ці оцінки не є адекватними для околів, які занадто великі, навіть якщо функція ''f'' є [[Аналітична функція|аналітичною]]. У цій ситуації слід вибирати кілька многочленів Тейлора з різними центрами наближення, щоб мати надійне Тейлорове наближення до вихідної функції (див. анімований малюнок вище). Можлива також ситуація, коли зростання порядку многочлена не збільшує якість наближення взагалі, навіть якщо функція ''f'' диференціюється нескінченну кількість разів. Такий приклад наведено нижче.

== Теорема Тейлора для функцій від однієї дійсної змінної ==

=== Формулювання теореми ===
Точне формулювання більшості базових версій теореми наступне.

{{quotation|'''Теорема Тейлора'''<ref>{{springer|Taylor's formula|id=t/t092300}}</ref> Нехай ''k''&nbsp;≥&nbsp;1&nbsp;— [[Цілі числа|ціле]], і нехай функція {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}}&nbsp;— ''k'' раз [[Диференційовна функція|диференційовна]] в точці {{nowrap|''a'' ∈ '''R'''}}. Тоді існує функція {{nowrap|''h<sub>k</sub>'' : '''R''' → '''R'''}} така, що

: <math> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k, \qquad \lim_{x\to a}h_k(x)=0.</math>}}

Многочлен, що виникає в теоремі Тейлора, є многочленом Тейлора ''k''-го порядку

: <math>P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k </math>

функції ''f'' в точці ''a''.

Теорема Тейлора описує асимптотичну поведінку '''залишкового члену'''

: <math> \ R_k(x) = f(x) - P_k(x),</math>

який є помилкою при знаходженні наближення функції ''f'' за допомогою многочленів Тейлора. Використовуючи [[Нотація Ландау|«O» велике та «o» маленьке]], теорему Тейлора можна сформулювати так

: <math>R_k(x) = o(|x-a|^k), \qquad x\to a.</math>

=== Формули для залишку ===

Існує декілька точних формул для залишкового члена ''R<sub>k</sub>'' многочлена Тейлора, найбільш загальна з яких наступна.

{{quotation|'''Залишок у формі середнього значення.''' Нехай функція {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}}&nbsp;— ''k+1'' раз [[Диференційовна функція|диференційовна]] на [[Проміжок#Класифікація|інтервалі]] <math>(a,x)</math> та [[Неперервна функція|неперервна]] на [[Проміжок#Класифікація|відрізку]] <math>[a,x]</math>. Тоді

: <math>\exist\, \xi_L \in (a,x): R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_L)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1}.</math>

Це залишковий член у формі '''[[Жозеф-Луї Лагранж|Лагранжа]]'''<ref>{{harvnb|Klein|1998|loc=§20.3}}; {{harvnb|Apostol|1967|loc=§7.7}}.</ref>. За тих же умов

: <math>\exist\, \xi_C \in (a,x):  R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_C)}{k!}(x-\xi_C)^k(x-a).</math>

Це залишковий член у формі '''[[Оґюстен-Луї Коші|Коші]]'''<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§7.7}}.</ref>.
}}

Ці уточнення теореми Тейлора зазвичай виводяться за допомогою [[Теорема Лагранжа|формули про скінченні прирости]].

Можна також знайти й інші вирази для залишку. Наприклад, якщо ''G''(''t'') є неперервною на закритому інтервалі та диференційовною з похідною, що не прагне до нуля на відкритому інтервалі між ''a'' і ''x'', то

: <math> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G'(\xi)} </math>

для деякого числа ''ξ'' між ''a'' і ''x''. Ця версія охоплює форми Лагранжа та Коші як окремі випадки, і виводиться за допомогою [[Теорема Коші про середнє значення|теореми Коші про среднє значення]] (розширеної версії [[Теорема Лагранжа|теореми Лагранжа про среднє значення]]).

Запис формули для залишку в інтегральної формі є більш загальним, ніж попередні формули, і вимагає розуміння [[Інтеграл Лебега|інтегральної теорії Лебега]]. Однак вона зберігається також для [[Інтеграл Рімана|інтегралу Рімана]] за умови, що похідна порядку (''k''+1) від ''f'' є неперервною на закритому інтервалі [''a'',''x''].

{{quotation|'''Інтегральна форма<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§7.5}}.</ref> запису формули для залишку''' Нехай ''f''<sup>(''k'')</sup>&nbsp;— [[Абсолютна неперервність|абсолютно неперервна]] на закритому інтервалі між ''a'' і ''x''. Тоді

: <math> R_k(x) = \int_a^x \frac{f^{(k+1)} (t)}{k!} (x - t)^k \, dt. </math>}}

Внаслідок абсолютної неперервності ''f''<sup>(''k'')</sup> на закритому інтервалі між ''a'' і ''x'', її похідна ''f''<sup>(''k''+1)</sup> існує як ''L''<sup>1</sup>-функція, і цей наслідок може бути отриманий за допомогою формальних обчислень з використанням [[Формула Ньютона — Лейбніца|теореми Ньютона&nbsp;— Лейбніца]] та [[інтегрування частинами]].

=== Оцінки залишку ===
На практиці часто буває корисно чисельно оцінити величину залишкового члена наближення Тейлора.

Будемо вважати, що ''f''&nbsp;— (''k''+1)-раз неперервно диференційовна на інтервалі ''I'', що містить ''a''. Будемо вважати, що існує [[Дійсні числа|дійсні постійні числа]] ''q'' і ''Q'' такі, що
: <math>q\leqslant f^{(k+1)}(x)\leqslant Q</math>
на всьому протязі ''I''. Тоді залишковий член задовольняє нерівності<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§7.6}}</ref>

: <math>q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}\leqslant R_k(x)\leqslant Q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!},</math>

якщо {{nowrap|''x'' > ''a''}}, і подібна оцінка, якщо {{nowrap|''x'' < ''a''}}. Це простий наслідок з формули залишку в формі Лагранжа. Зокрема, якщо
: <math>|f^{(k+1)}(x)|\leqslant M</math>
на інтервалі {{nowrap|''I'' {{=}} (''a''−''r'',''a''+''r'')}} з деяким ''r''>0, то

: <math>|R_k(x)| \leqslant M\frac{|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}\leqslant M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}</math>

для всіх {{nowrap|''x''∈(''a''−''r'',''a''+''r'').}} Друга нерівність називається [[Рівномірна збіжність|рівномірною оцінкою]], тому що вона зберігає рівномірність для всіх ''x'' на інтервалі {{nowrap|(''a''−''r'',''a''+''r'').}}

=== Приклад ===

[[Файл:Expanimation.gif|thumb|400px|right| Наближення ''e''<sup>''x''</sup> (блакитний) за допомогою многочленів Тейлора ''P<sub>k</sub>'' порядку ''k''=1,…,7 з центром в точці ''x''=0 (червоний).]]

Припустимо, ми хочемо знайти [[Апроксимація|наближення]] функції {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>}} на інтервалі {{nowrap|[−1,1]}} й переконатися, що помилка не перевищує значення 10<sup>−5</sup>. У цьому прикладі вважаємо, що нам відомі такі властивості [[Показникова функція|експоненційної функції]]:

: <math>(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.</math>

З цих властивостей випливає, що {{nowrap|''f''<sup>(''k'')</sup>(''x'') {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>}} для всіх ''k'', і зокрема, {{nowrap|''f''<sup>(''k'')</sup>(0) {{=}} 1}}. Звідси випливає, що многочлен Тейлора ''k''-го порядку функції ''f'' в точці 0 та його залишковий член у формі Лагранжа записується за допомогою формули

: <math> P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{(k+1)!}x^{k+1},</math>

де ''ξ''&nbsp;— це деяке число між 0 і ''x''.
Оскільки ''e''<sup>''x''</sup> зростає згідно (*), ми можемо використовувати ''e<sup>x</sup>'' ≤ 1 для ''x'' ∈ [−1, 0], щоб оцінити залишок на підінтервалі [−1, 0]. Для знаходження верхньої межі значення залишку на інтервалі [0,1], можемо використовувати властивість {{nowrap|''e<sup>ξ</sup>''<<''e<sup>x</sup>''}} для 0<''ξ<x'', щоб оцінити

: <math> e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leqslant 1 </math>

використовуючи многочлен Тейлора другого порядку. Висловлюючи з цієї нерівності ''e<sup>x</sup>'', приходимо до висновку, що

: <math> e^x \leqslant \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leqslant 4, \qquad 0 \leqslant x\leqslant 1 </math>

прийнявши, що чисельник приймає максимальне з усіх своїх можливих значень, а знаменник приймає мінімальне з усіх своїх можливих значень. Використовуючи ці оцінки значень ''e<sup>x</sup>'', ми бачимо, що

: <math> |R_k(x)| \leqslant \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leqslant \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leqslant x \leqslant 1, </math>

і необхідна точність досягається в тому випадку, коли

: <math> \frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)!  \quad \Leftrightarrow \quad k \geq 7. </math>

(де [[факторіал]] 7!=5 040 и 8!=40 320.) Зрештою, теорема Тейлора призводить до наближення

: <math> e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leqslant x \leqslant 1. </math>

Відзначимо, що це наближення дозволяє обчислити значення ''e''≈2.71828 з точністю до п'ятого знака після коми.

== Аналітичність ==

=== Розкладання Тейлора для дійсних аналітичних функцій ===
Нехай ''I''⊂'''R'''&nbsp;— [[Проміжок#Класифікація|відкритий інтервал]]. За означенням, функція ''f'':''I''→'''R'''&nbsp;— [[Аналітична функція|дійсна аналітична]], якщо вона на даній ділянці визначена збіжністю [[Степеневий ряд|степеневого ряду]]. Це означає, що для кожного ''a'' ∈ ''I'' існує деяке ''r'' > 0 і послідовність коефіцієнтів ''c<sub>k''</sub> ∈ '''R''' така, що {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'') ⊂ ''I''}} і

: <math> f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(x-a)^k = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots, \qquad |x-a|<r. </math>

Загалом, [[Степеневий ряд#Збіжність степеневих рядів|радіус збіжності]] степеневого ряду може бути обчислено за [[Теорема Коші — Адамара|формулою Коші–Адамара]]

: <math> \frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}. </math>

Цей результат базується на порівнянні з нескінченно спадною геометричною прогресією, і той же самий метод показує, що якщо степеневий ряд, розкладений по ''a'', збігається для деякого ''b''∈'''R''', він повинен збігатися [[Рівномірна збіжність|рівномірно]] на закритому інтервалі {{nowrap|[''a'' − ''r''<sub>''b''</sub>, ''a'' + ''r''<sub>''b''</sub>]}}, де ''r<sub>b</sub>'' = |''b'' − ''a''|. Тут ми тільки розглянули збіжність степеневого ряду, і не виключено, що область {{nowrap|(''a'' − ''R'',''a'' + ''R'')}} розширюється за межі області визначення ''I'' функції ''f''.

Многочлен Тейлора від дійсної аналітичної функції ''f'' в точці ''a''

: <math> P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(x-a)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}</math>

це просте усіканням визначеного на деякому інтервалі [[Ряд Тейлора|відповідного степеневого ряду]] цієї функції, і залишковий член на даному інтервалі подається як аналітична функція

: <math> R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(x-a)^j = (x-a)^k h_k(x), \qquad |x-a|<r. </math>

Тут функція

: <math> h_k:(a-r,a+r)\to \R; \qquad  h_k(x) = (x-a)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(x-a)^j </math>

також є аналітичною, оскільки її степеневий ряд має той же радіус збіжності, що й вихідний ряд. За умови, що {{nowrap|[''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'']}} ⊂ ''I'' і ''r'' < ''R'', всі ці ряди збігаються рівномірно на інтервалі {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'')}}. Авжеж, у випадку аналітичних функцій можна оцінити залишковий член ''R<sub>k</sub>''(''x'') шляхом «обрізання» послідовності похідних ''f′''(''a'') у центрі наближення, але при використанні [[Комплексний аналіз|комплексного аналізу]] з'являються й інші можливості, які описані нижче.

=== Теорема Тейлора та збіжність ряду Тейлора ===
Існує розбіжність між '''многочленами Тейлора''' диференційовних функцій і [[Ряд Тейлора|рядами Тейлора]] аналітичних функцій. Можна розглядати (справедливо) ряд Тейлора

: <math> f(x) \approx \sum_{k=0}^\infty c_k(x-a)^k = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \ldots </math>

нескінченну кількість разів диференційовної функції ''f'':'''R'''→'''R''' як її «многочлен Тейлора нескінченно великого порядку» в точці ''a''. Тепер оцінка залишку многочлена Тейлора має на увазі, що для будь-якого порядку ''k'' й для будь-якого ''r''>0 існує постійна {{nowrap|''M<sub>k,r</sub>''>0}} така, що

: <math>(*) \quad |R_k(x)|\leqslant M_{k,r}\frac{|x-a|^{k+1}}{(k+1)!} </math>

для кожного ''x''∈(''a-r, a+r''). Іноді ці постійні можуть бути обрані таким чином, що {{nowrap|''M<sub>k,r</sub>'' → 0}}, коли {{nowrap|''k'' → ∞}} і {{nowrap|''r''}} залишається незмінною. Тоді ряд Тейлора функції ''f'' [[Рівномірна збіжність|збігається рівномірно]] до деякої аналітичної функції

: <math> T_f:(a-r,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. </math>

'''Тут необхідно згадати важливий момент'''. Можлива ситуація, коли нескінченну кількість разів диференційовна функція ''f'' має ряд Тейлора в точці ''a'', який збігається в деякому околі точки ''a'', але гранична функція ''T<sub>f</sub>'' відрізняється від ''f''. Важливим прикладом цього феномену є такий

: <math> f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x>0, \\ 0 &, x\leqslant 0.\end{cases} </math>

Використовуючи [[Диференціювання складної функції|ланцюгове правило]] можна показати [[Математична індукція|індуктивно]], що для будь-якого порядку ''k'',

: <math> f^{(k)}(x) = \begin{cases} \frac{p_k(x)}{x^{2k}}e^{-\frac{1}{x^2}}  &, x>0 \\ 0 &, x\leqslant 0\end{cases}</math>

для деякого многочлену ''p<sub>k</sub>''. Функція <math>e^{-\frac{1}{x^2}}</math> прагне до нуля швидше, ніж будь-який поліном, відповідно до того, як {{nowrap|''x'' → 0}}, тоді ''f'' є нескінченну кількість разів диференційовною й {{nowrap|''f''<sup>(''k'')</sup>(0) {{=}} 0}} для кожного додатного цілого ''k''. Тепер оцінки для залишку многочлена Тейлора функції ''f'' показують, що ряд Тейлора збігається рівномірно до нульової функції на всій дійсній [[Числова вісь|числовій осі]]. Не буде помилки в наступних твердженнях:

* Ряд Тейлора функції ''f'' збігається рівномірно до нульової функції ''T<sub>f</sub>''(''x'')=0.
* Нульова функція є аналітичною, і кожний коефіцієнт її ряду Тейлора дорівнює нулю.
* Функція ''f'' є нескінченну кількість разів диференційовною, але не аналітичною.
* Для будь-якого ''k''∈''N'' и ''r''>0 існує ''M<sub>k, r</sub>''>0 таке, що залишковий член многочлена Тейлора ''k''-го порядку функції ''f'' задовільняє умові (*).

=== Теорема Тейлора в комплексному аналізі ===
Теорема Тейлора узагальнює функції <math>f:\mathbb C\to\mathbb C</math>, які є [[Голоморфна функція|комплексно диференційовними]] на відкритій підмножині ''U'' ⊂ '''C''' [[Комплексна площина|комплексної площини]]. Однак її корисність знижена іншими теоремами [[Комплексний аналіз|комплексного аналізу]], а саме: більш повні версії подібних результатів можуть бути виведені для комплексно диференційовних функцій ''f'' : ''U'' → '''C''' з використанням [[Інтегральна формула Коші|інтегральної формули Коші]] як показано нижче.

Нехай ''r'' > 0 таке, що замкнене коло ''B''(''z'', ''r'') ∪ ''S''(''z'', ''r'') міститься в ''U''. Тоді інтегральна формула Коші з додатною параметризацією {{nowrap|''γ''(''t''){{=}}''re<sup>it</sup>''}} околу ''S''(''z, r'') с {{nowrap|''t'' ∈ [0,2''π'']}} дає

: <math> f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{w-z}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{k+1}}dw. </math>

Тут всі підінтегральні вирази є неперервними на околі ''S''(''z'', ''r''), що обґрунтовує [[диференціювання під знаком інтеграла]]. Зокрема, якщо ''f''&nbsp;— один раз комплексно диференційовна на відкритій множині ''U'', то вона фактично нескінченну кількість разів комплексно диференційовна на ''U''. Маємо оцінку Коші<ref>Rudin, 1987, §&nbsp;10.26.</ref>

: <math>  |f^{(k)}(z)| \leqslant \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|w-z|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k},
\qquad M_r = \max_{|w-c|=r}|f(w)| </math>

для будь-якого ''z'' ∈ ''U'' и ''r'' > 0 таку, що ''B''(''z'', ''r'') ∪ ''S''(''c'', ''r'') ⊂ ''U''. Ці оцінки означають, що [[Комплексне число|комплексний]] [[ряд Тейлора]]

: <math> f(z) \approx \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c)^k </math>

функції ''f'' збігається рівномірно в будь-якому колі ''B''(''c'', ''r'') ⊂ ''U'' з ''S''(''c'', ''r'') ⊂ ''U'' в деякій функції ''T<sub>f</sub>''. Крім того, використовуючи формулу інтегрування по контуру для похідних ''f''<sup>(''k'')</sup>(''c''),

: <math>
\begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty  \frac{(z-c)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-c)^{k+1}}dw
=  \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-c} \sum_{k=0}^\infty  \Big(\frac{z-c}{w-c}\Big)^k dw
\\
= \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-c}\Big( \frac{1}{1-\frac{z-c}{w-c}} \Big) dw
= \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-z} dw = f(z),
\end{align}</math>

таким чином, будь-яка [[Голоморфна функція|комплексно диференційовна]] функція ''f'' на відкритій множині ''U'' ⊂ '''C''' є [[Комплексний аналіз|комплексно аналітичною]]. Все те, що було написано [[Теорема Тейлора#Розкладання Тейлора для дійсних аналітичних функцій|вище]] для дійсних аналітичних функцій справедливо також й для комплексних аналітичних функцій, де відкритий інтервал ''I'' змінено на відкриту підмножину ''U'' ∈ '''C''' 1 ''a''&nbsp;— центровані інтервали (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'') змінено на ''c''&nbsp;— центровані кола ''B''(''c'', ''r''). Зокрема, розкладання Тейлора зберігається у вигляді

: <math> f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c)^k, </math>

де залишковий член ''R<sub>k</sub>''&nbsp;— комплексно аналітичний. При розгляданні рядів Тейлора методи комплексного аналізу дозволяють отримати кілька більш потужних результатів. Наприклад, використовуючи інтегральну формулу для будь-якої додатно орієнтованої [[Теорема Жордана|жорданової кривої]] ''γ'', яка параметризує границю ∂''W'' ⊂ ''U'' області ''W'' ⊂ ''U'', можна отримати вираз для похідних {{nowrap|''f''<sup>(''j'')</sup>(''c'')}} як показано вище, і злегка змінивши розрахунки для {{nowrap|''T<sub>f</sub>''(''z'') {{=}} ''f''(''z'')}}, прийти до точної формули

: <math> R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty  \frac{(z-c)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-c)^{j+1}}dw
= \frac{(z-c)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)} , \qquad z\in W. </math>

Важлива особливість тут в тому, що якість наближення за допомогою многочлена Тейлора в області ''W'' ⊂ ''U'' є мажоріруємим значенням функції ''f'' на границі ∂''W'' ⊂ ''U''. Також, застосовуючи оцінки Коші до виразу [[Залишок ряду|залишку ряду]], отримуємо рівномірні оцінки

: <math> |R_k(z)| \leqslant \sum_{j=k+1}^\infty  \frac{M_r |z-c|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|z-c|^{k+1}}{1-\frac{|z-c|}{r}} \leqslant
\frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} 
, \qquad \frac{|z-c|}{r}\leqslant \beta < 1. </math>

=== Приклад ===
[[Файл:Function with two poles.png|thumb|right|Графік комплексної функції ''f''(''z'') = 1/(1 + ''z''<sup>2</sup>). Модуль показано висотою підйому та аргумент показано кольором: ціан=0, синій=''π''/3, фіолетовий=2''π''/3, червоний=''π'', жовтий=4''π''/3, зелений=5''π''/3.]]
Функція ''f'':'''R'''→'''R''', що визначається рівнянням

: <math> f(x) = \frac{1}{1+x^2} </math>

[[Аналітична функція|дійсна аналітична]], тобто в даній області визначається своїм рядом Тейлора. Один з малюнків, наведених [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tayloranimation.gif вище] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150919150850/https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tayloranimation.gif |date=19 вересня 2015 }}, показує, що деякі функції, що задаються дуже просто, не можуть бути виражені за допомогою наближення Тейлора в околі центру наближення, якщо цей окіл занадто великий. Цю властивість легко зрозуміти в рамках комплексного аналізу. Більш конкретно, функція ''f'' розширюється до [[Мероморфна функція|мероморфної функції]]

: <math> f:\mathbb C\cup\{\infty\} \to \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2}</math>

на компактифіцированій комплексній площині. Вона має прості осі в точках ''z''=''i'' и ''z''=−''i'', і вона всюди аналітична. ЇЇ ряд Тейлора, що має центр в ''z''<sub>0</sub>, збігається на будь-якому колі ''B''(''z''<sub>0</sub>,''r'') с ''r''<|''z-z''<sub>0</sub>|, де той же ряд Тейлора збігається при ''z''∈'''C'''. Внаслідок цього ряд Тейлора функції ''f'', що має центр в точці 0, збігається на ''B''(0,1) і він не збігається для будь-якого ''z''∈'''C''' с |''z''|>1 внаслідок наявних осей в точках ''i'' и −''i''. За тих же причин ряд Тейлора функції ''f'', що має центр в точці 1, збігається на ''B''(1,√2) і не збігається для будь-якого ''z''∈'''C''' с |''z''-1|>√2.

== Узагальнення теореми Тейлора ==

=== Вищі порядки диференційовності ===
Функція ''f'':'''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''&nbsp;— диференційовна в точці '''''a''''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> тоді й тільки тоді, коли існує [[лінійна форма]] ''L'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' і функція ''h'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' така, що

: <math>f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}),
\qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0. </math>

Якщо цей випадок має місце, то ''L'' = ''df''('''''a''''') є [[Диференціал (математика)|диференціал]] функції ''f'' в точці '''''a'''''. Крім того, коли [[Часткова похідна|частинні похідні]] функції ''f'' існують в точці '''''a''''', то диференціал ''f'' в точці '''''a''''' визначено формулою

: <math> df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})v_n. </math>

Вводячи [[мультиіндекс]], запишемо

: <math> |\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} </math>

для ''α'' ∈ '''N'''<sup>''n''</sup> і '''''x''''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>. Якщо всі [[Часткова похідна|частинні похідні]] ''k''-го порядку функції {{nowrap|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''}}&nbsp;— неперервні в {{nowrap|'''''a''''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, то згідно з {{нп|Теорема Клеро|теоремою Клеро||Clairaut's theorem}}, можна змінити порядок змішаних похідних в точці '''''a''''', тоді запис

: <math> D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n}}, \qquad |\alpha|\leqslant k </math>

для [[Часткова похідна|частинних похідних]] вищих порядків є правомірним у цій ситуації. Теж саме є правильним, якщо всі частинні похідні (''k'' − 1)-го порядку функції ''f'' існують в деякому околі точки '''''a''''' і диференційовні в точці '''''a'''''. Тоді можна сказати, що функція ''f''&nbsp;— ''k'' '''разів диференційовна в точці ''a'' '''.

=== Теорема Тейлора для функцій багатьох змінних ===
{{quotation|Теорема Тейлора для функцій багатьох змінних. Нехай {{nowrap|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''}}&nbsp;— ''k'' разів диференційовна функція в точці {{nowrap|'''''a'''''∈'''R'''<sup>''n''</sup>}}. Тоді існує {{nowrap|''h''<sub>''α''</sub> : '''R'''<sup>n</sup>→'''R'''}} така, що

: <math> f(\boldsymbol{x}) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\alpha  + \sum_{|\alpha|=k} h_\alpha(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\alpha, \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to \boldsymbol{a}}h_\alpha(\boldsymbol{x})=0.</math>}}

Якщо функція {{nowrap|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''}}&nbsp;— ''k''+1 разів [[Гладка функція|неперервно диференційовна]] в [[Куля|замкненій кулі]] ''B'', то можна отримати точну формулу для залишку розкладання Тейлора до частинних похідних {{nowrap|(''k''+1)-го}} порядку від ''f'' в цьому околі. А саме

: <math> f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\alpha  + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad
R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big(\boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt.
</math>

У цьому випадку, внаслідок [[Неперервна функція|неперервності]] частинних похідних (''k''+1)-го порядку на [[Компактний простір|компактній множині]] ''B'', безпосередньо отримуємо

: <math>\big|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leqslant \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{y})|, \qquad \boldsymbol{x}\in B. </math>

== Докази ==

=== Доказ теореми Тейлора для однієї дійсної змінної ===
Нехай<ref>{{harvnb|Stromberg|1981}}</ref>

: <math>h_k(x) = \begin{cases}
\frac{f(x) - P(x)}{(x-a)^k} & x\not=a\\
0&x=a
\end{cases}
</math>

де, як вказано в формулюванні теореми Тейлора,

: <math>P(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.</math>

Достатньо показати, що

: <math>\lim_{x\to a} h_k(x) =0. \, </math>

Доказ засновано на повторюваному застосуванні [[Правило Лопіталя|правила Лопіталя]]. Помітимо, що кожне {{nowrap|''j'' {{=}} 0,1,…,''k''−1}}, <math>f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)</math>. Звідси кожна наступна похідна чисельника функції <math>h_k(x)</math> прагне до нуля в точці <math>x=a</math>, і теж саме справедливо для знаменника. Тоді

: <math>\begin{align}
\lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(x-a)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d}{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(x-a)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}(x-a)^k}\\
&=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1)}(x)}{x-a}\\
&=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0
\end{align}</math>

де перехід від передостаннього виразу до останнього випливає з визначення похідної в точці ''x'' = ''a''.

== Примітки ==
{{примітки}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Формула Тейлора|сторінки=277}}
* {{Rudin.Real and complex analysis}}.
* {{citation|title = Calculus|authorlink = Tom Apostol|first = Tom|last = Apostol|publisher = Jon Wiley & Sons, Inc.|year = 1967|isbn = 0-471-00005-1|url-access = registration|url = https://archive.org/details/calculus01apos}}.
* {{citation|last1=Bartle|last2=Sherbert|year=2000|title=Introduction to Real Analysis|edition=3rd|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-32148-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontore00bart_1}}.
* {{citation|first=L.|last=Hörmander|authorlink=Lars Hörmander|title=Linear Partial Differential Operators, Volume 1|publisher=Springer-Verlag|year=1976|isbn=978-3540006626}}.
* {{citation|title = Calculus: An Intuitive and Physical Approach|first = Morris | last = Klein| publisher = Dover | year = 1998 | isbn = 0-486-40453-6}}.
* {{citation|last=Pedrick|first=George|year=1994|title=A First Course in Analysis|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-94108-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/firstcourseinana0000pedr}}.
* {{citation|last=Stromberg|first=Karl|title=Introduction to classical real analysis|publisher=Wadsworth, Inc.|year=1981|isbn=978-0534980122}}.

== Посилання ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/TaylorSeries.shtml Taylor Series Approximation to Cosine] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100104180448/http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/TaylorSeries.shtml |date=4 січня 2010 }}
* [http://cinderella.de/files/HTMLDemos/2C02_Taylor.html Trigonometric Taylor Expansion] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071110055856/http://cinderella.de/files/HTMLDemos/2C02_Taylor.html |date=10 листопада 2007 }} interactive demonstrative applet
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html Taylor Series Revisited] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090605193943/http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html |date=5 червня 2009 }} at [http://numericalmethods.eng.usf.edu Holistic Numerical Methods Institute] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060906070428/http://numericalmethods.eng.usf.edu/ |date=6 вересня 2006 }}

[[Категорія:Теореми в математичному аналізі]]
[[Категорія:Диференціальне числення]]