Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Ріба про сферу

'''Теорема Ріба про сферу''': ''Нехай на [[Замкнутий многовид|замкнутому]] [[Орієнтація#Многовиди|орієнтованому]] [[Зв'язаний простір|зв'язному]] [[многовид]]і ''M<sup>n</sup>'' існує [[розшарування з особливостями]], всі особливі точки якого ізольовані та є центрами. Тоді ''M<sup>n</sup>'' [[гомеоморфізм|гомеоморфний]] [[сфера|сфері]] ''S<sup>n</sup>'', та розшарування має рівно дві особливі точки.''

Теорема доведена у 1946 році французьким математиком [[Жорж Ріб|Жоржем Рібом]].

== Морсовське шарування ==
Ізольована особлива точка шарування ''F'' називається точкою '''морсовського типу''', якщо в її малому околі всі шари є [[Скалярне поле#Поверхня рівня|рівнями]] деякої [[функція Морса|функції Морса]], а сама вона є [[Критична точка (математика)|критичною точкою]] цієї функції.

Особлива точка морсовського типу називається '''центром''', якщо вона є [[екстремум|локальним екстремумом]] функції; в супротивному випадку вона називається сідловою точкою.

Позначимо ind&nbsp;''p''&nbsp;=&nbsp;min(''k'',&nbsp;''n''&nbsp;−&nbsp;''k''), '''індекс''' особливості <math>p</math>, де ''k''&nbsp;— індекс відповідної критичної точки морсовської функції. Зокрема, центр має індекс 0, индекс сідла принаймні&nbsp;1.

'''Морсовське шарування''' ''F'' на многовиді ''M'' це [[особливе шарування|особливе]] трансверсально [[шарування#Дотичне і нормальне розшарування шарування|орієнтоване]] [[шарування корозмірності 1]] класу ''C''<sup>2</sup> з ізольованими особливостями, причому:
* всі особливості ''F'' морсовського типу,
* кожний особливий шар ''L'' містить лише одну зв'язну особливу точку&nbsp;''p''; при цьому, якщо ind&nbsp;''p''&nbsp;=&nbsp;1 то <math>L\setminus p</math> незв'язно.

Нехай ''c''&nbsp;— число центрів морсовського шарування ''F'', і <math>s</math>&nbsp;— число його сідлових точок, виявляється, що різниця ''c''&nbsp;−&nbsp;''s'' тісно пов'язана з топологією многовиду <math>M</math>.

== Теорема Ріба про сферу ==
Розглянемо випадок ''c''&nbsp;>&nbsp;''s''&nbsp;=&nbsp;0, тобто всі особливості є центрами, сідлових точок немає.

Теорема:<ref>''G. Reeb'', Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement
intégrable ou d'une fonction numérique.&nbsp;— C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp.&nbsp;847—849.[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31740.image.r=comptes+rendus+de+l.f847.pagination.langFR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160309084707/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31740.image.r=comptes+rendus+de+l.f847.pagination.langFR |date=9 березня 2016 }}</ref> ''Нехай на замкнутому орієнтованому зв'язному многовиді <math>M^n</math> розмірності <math>n\ge 2</math> існує <math>C^1</math>-трансверсально орієнтоване шарування <math>F</math> [[шарування ковимірності 1|ковимірності 1]] з непорожньою множиною ізольованих особливих точок, що всі є центрами. Тоді шарування <math>F</math> має рівно дві особливі точки, і многовид''
''<math>M^n</math> гомеоморфний сфері <math>S^n</math>.''

Цей факт є наслідком [[теорема Ріба про стійкість|теореми Ріба про стійкість]].

== Див. також ==
* [[Теорема про сферу (диференціальна геометрія)]]

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Шарування]]
[[Категорія:Теореми топології|Ріба про сферу]]
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]