Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Піфагора

[[Файл:Pythagorean.svg|thumb|Теорема Піфагора: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>]]
[[Файл:Pythagoras-2a.gif|thumb|Анімаційне доведення теореми Піфагора]]

'''Теоре́ма [[Піфагор|Піфаго́ра]]''' ('''Пітаго́ра'''<ref>{{Cite book
|url=https://mon.gov.ua/storage/app/media/zagalna%20serednya/05062019-onovl-pravo.pdf
|title=Український правопис 2019 року
|last=
|first=
|year=2019
|publisher=
|location=
|pages=
|chapter=§ 123. Буквосполучення th у словах грецького походження
|language=uk
|isbn=
|accessdate=21 січня 2021
|archive-date=17 вересня 2019
|archive-url=https://web.archive.org/web/20190917112449/https://mon.gov.ua/storage/app/media/zagalna%20serednya/05062019-onovl-pravo.pdf
}}</ref>) — одна із засадничих теорем [[Евклідова геометрія|евклідової геометрії]], яка встановлює співвідношення між сторонами [[прямокутний трикутник|прямокутного трикутника]]. Уважається, що її довів грецький математик [[Піфагор]], на чию честь її й названо (є й інші версії, зокрема думка, що цю теорему в загальному вигляді було сформульовано математиком-піфагорійцем [[Гіппас Метапонтський|Гіппасом]]).

== Теорема ==
Теорема звучить так:
{{Теорема|1=У прямокутному трикутнику [[площа]] [[квадрат]]а, побудованого на [[гіпотенуза|гіпотенузі]], дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на [[катет]]ах.}}
Позначивши довжину гіпотенузи трикутника як <math>c</math>, а довжини катетів як <math>a</math> та <math>b</math>, отримаємо такі формули:
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>,

: <math>\sqrt{a^2 + b^2} = c</math>.

Отже, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дає змогу визначити довжину сторони прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Відповідно, в алгебраїчній інтерпретації теорему можна сформулювати так:
{{Теорема|1=У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.}}
Теорема Піфагора є окремим випадком [[Теорема косинусів|теореми косинусів]], яка визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.

Доведено також зворотне твердження (називають також зворотною до теореми Піфагора):
{{Теорема|1=Для будь-яких трьох додатних чисел a, b і c, для яких виконується рівняння a² + b² = c², існує прямокутний трикутник з катетами a та b і гіпотенузою c.}}

== Історія ==

[[Файл:Chinese pythagoras.jpg|thumb|300px|Візуальне доведення для трикутника (3, 4, 5) з книги «[[Чу Пей]]» 500—200 до н.&nbsp;е.]]
Історію теореми можна розділити на чотири частини: знання про [[Числа Піфагора|Піфагорові числа]], знання про відношення сторін у прямокутному трикутнику, знання про відношення [[суміжні кути|суміжних кутів]] і доведення теореми.

[[Мегаліти|Мегалітичні споруди]] близько 2500 до н.&nbsp;е. в [[Єгипет|Єгипті]] та [[Північна Європа|Північній Європі]] містять прямокутні трикутники зі сторонами з цілих чисел.<ref>{{cite web|url=http://hyperion.cc.uregina.ca/~astro/Mega_circ.html|title=Megalithic Monuments.|archiveurl=https://www.webcitation.org/6HXaHVG8w?url=http://hyperion.cc.uregina.ca/~astro/Mega_circ.html|archivedate=2013-06-21|accessdate=2008-10-29|deadurl=yes}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110706211316/http://hyperion.cc.uregina.ca/%7Eastro/Mega_circ.html |date=2011-07-06 }}</ref> [[Бартель ван дер Варден]] висловив гіпотезу, що в ті часи Піфагорові числа були знайдені алгебраїчно.<ref>Van der Waerden 1983.</ref>

Написаний між 2000 та 1876 до н.&nbsp;е. [[папірус]] часів [[Середнє царство (Стародавній Єгипет)|Середнього Єгипетського царства]] ''[[Berlin 6619]]'' містить задачу, розв'язком якої є [[числа Піфагора]].

Написана під час правління [[Хамурапі]] Великого (між 1790 і 1750 до н.е) [[вавилон]]ська табличка ''[[Plimpton 322]]'' містить багато записів, тісно пов'язаних з числами Піфагора.

У сутрах {{нп|Будхаяна|Будхаяни||Baudhayana sutras}}, які датуються за різними версіями 8-им чи 2-им століттям до н.&nbsp;е. в [[Індія|Індії]], містяться Піфагорові числа, виведені алгебраїчно, формулювання теореми Піфагора та геометричне доведення для [[Рівнобедрений прямокутний трикутник|рівнобедреного прямокутного трикутника]].

У сутрах [[Апастамба|Апастамби]] (близько 600 до н.&nbsp;е.) міститься числове доведення теореми Піфагора з використанням обчислення площі. [[Ван дер Варден]] уважає, що воно було засноване на традиціях попередників. Згідно з Альбертом Бурком, це оригінальне доведення теореми, і він припускає, що Піфагор відвідав [[Араконам]] і скопіював його.

[[Піфагор]], роки життя якого зазвичай приймають за 569&nbsp;— 475 до н.&nbsp;е., використовує алгебраїчні методи розрахунку піфагорових трійок, згідно з Прокловими коментарями до Евкліда. [[Прокл Діадох|Прокл]], однак, жив між 410 і 485 роками н.&nbsp;е. Згідно з Томасом Гізом, немає ніяких вказівок на авторство теореми протягом п'яти століть після Піфагора. Однак такі автори, як [[Плутарх]] або [[Цицерон]], приписали теорему Піфагору у такий спосіб, ніби авторство було широко відоме і безсумнівне.<ref>Heath, Vol I, p. 144</ref>

Близько 400 до н.&nbsp;е. згідно з Проклом, [[Платон]] дав метод розрахунку піфагорових трійок, що поєднував алгебру та геометрію. Близько 300 до н.&nbsp;е., в [[Начала Евкліда|«Началах»]] [[Евклід]]а маємо найдавніше аксіоматичне [[доведення]], яке збереглося до наших днів.

Написана десь між 500 до н.&nbsp;е. і 200 до н.&nbsp;е., китайська математична книга «[[Чу Пей]]» ({{Lang-zh|周髀算经}}) дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в [[Китай|Китаї]] називається теорема Гугу ({{Lang-zh|勾股定理}}), для трикутника із сторонами (3, 4, 5). Під час правління [[Династія Хань|династії Хань]], з 202 до н.&nbsp;е. до 220 н.&nbsp;е. Піфагорові трійки з'являються в книзі «[[Математика в дев'яти книгах]]» разом із згадкою про прямокутні трикутники.<ref>Swetz</ref>

Вперше зафіксовано використання теореми в Китаї, де вона відома як теорема Гугу ({{Lang-zh|勾股定理}}), та в [[Індія|Індії]], де вона відома як теорема Баскара.

Багато дискутується, чи була теорема Піфагора відкрита один раз чи багато разів. Боєр ([[1991]] р.) уважає, що знання, виявлені в Шульба Сутрах, можуть бути [[Межиріччя|месопотамського]] походження.<ref>Boyer (1991). «China and India»</ref>

== Доведення ==

=== Алгебраїчне доведення ===

[[Файл:PifagorSqr340.png|thumb|Квадрати утворюються з чотирьох прямокутних трикутників]]
Відомо понад сто доведень теореми Піфагора.

Тут представлено доведення, засноване на теоремі існування площі фігури:

# Розташуємо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на рисунку.
# Чотирикутник зі сторонами <math>c</math> є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів <math>90^\circ</math>, а розгорнутий кут&nbsp;— <math>180^\circ</math>.
# Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною <math>a+b</math>, а з іншої&nbsp;— сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

: <math>(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2</math>;

: <math>a^2+2ab+b^2=2ab+c^2</math>;

: <math>c^2=a^2+b^2</math>;

[[Q.E.D.|Що і необхідно було довести]].

=== За подібністю трикутників ===

[[Файл:Proof-Pythagorean-Theorem.svg|thumb|right|Використання подібних трикутників]]
Нехай <math>ABC</math>&nbsp;— прямокутний трикутник, в якому кут <math>C</math> прямий, як показано на рисунку. Проведемо [[висота трикутника|висоту]] з точки ''<math>C</math>'' і назвемо ''<math>H</math>'' точку перетину зі стороною ''<math>AB</math>''. Утворений трикутник ''<math>ACH</math>'' [[подібність (геометрія)|подібний]] до трикутника ''<math>ABC</math>'', оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти) і в них спільний кут ''<math>A</math>'', очевидно, третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно, трикутник ''<math>CBH</math>'' також подібний до трикутника ''<math>ABC</math>''. З подібності трикутників: Якщо
: <math>BC=a,\ AC=b,\ AB=c</math>,
тоді
: <math>\frac{a}{c}=\frac{HB}{a}</math> та <math>\frac{b}{c}=\frac{AH}{b}</math>.
Це можна записати у вигляді
: <math>a^2=c\times HB</math> та <math>b^2=c\times AH</math>.
Якщо додати ці дві рівності, отримаємо
: <math>a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2</math>.
Іншими словами, теорема Піфагора:
: <math>a^2+b^2=c^2</math>.

=== Доведення Евкліда ===

[[Файл:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|thumb|200px|Доведення Евкліда]]
В [[Евклід]]ових [[Начала Евкліда|«Началах»]] теорема Піфагора доведена методом [[паралелограм]]ів. Нехай ''<math>A</math>'', ''<math>B</math>'', ''<math>C</math>''&nbsp;— вершини прямокутного трикутника з прямим кутом ''<math>A</math>''. Опустимо перпендикуляр з точки ''<math>A</math>'' на сторону, протилежну до гіпотенузи в [[квадрат]]і, побудованому на ній. Лінія ділить квадрат на два [[прямокутник]]и, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Для формального доведення нам необхідні чотири елементарні [[лема|леми]]:
# Якщо дві сторони одного трикутника і кут між ними дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ним іншого трикутника, то такі трикутники рівні (сторона-кут-сторона).
# Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, що має таку саму основу і таку саму висоту.
# Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін.
# Площа квадрата дорівнює добутку двох його сторін (випливає з третьої леми).
Тоді кожен верхній квадрат пов'язаний з трикутником, [[Конгруентність (геометрія)|конгруентним]] з іншим трикутником, який пов'язаний поворотом з одним із двох прямокутників, що утворюють нижній квадрат.<ref>See for example Mike May S.J., [http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html Pythagorean theorem by shear mapping] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161014165156/http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html |date=14 жовтня 2016 }}, Saint Louis University website Java applet</ref>

Перейдемо до доведення:
# Нехай <math>ACB</math>&nbsp;— прямокутний трикутник з прямим кутом ''<math>CAB</math>''.
# На кожній стороні <math>BC</math>, ''<math>AB</math>'', і ''<math>CA</math>'' побудуємо квадрати <math>CBDE</math>, <math>BAGF</math> та <math>ACIH</math> в такому ж порядку. Побудова квадратів тут же вимагає попередньої теореми Евкліда і залежить від постулату паралельності.<ref name=Gullberg>{{cite book |title=Mathematics: from the birth of numbers |author=Jan Gullberg |page=435 |url=http://books.google.com/books?id=E09fBi9StpQC&pg=PA435 |isbn=039304002X |year=1997 |publisher=W. W. Norton & Company |accessdate=1 квітня 2011 |archive-date=3 липня 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140703112629/http://books.google.com/books?id=E09fBi9StpQC&pg=PA435 }}</ref>
# З точки ''<math>A</math>'' проводимо пряму, паралельну до ''<math>BD</math>'' і ''<math>CE</math>''. Вона перпендикулярно перетне відрізки ''<math>BC</math>'' та ''<math>DE</math>'' в точках <math>K</math> та ''<math>L</math>'', відповідно.
# Проведемо відрізки ''<math>CF</math>'' і ''<math>AD</math>'', отримаємо трикутники ''<math>BCF</math>'' і ''<math>BDA</math>''.
# Кути ''<math>CAB</math>'' і ''<math>BAG</math>''&nbsp;— прямі; відповідно точки ''<math>C</math>'', ''<math>A</math>'' і ''<math>G</math>''&nbsp;— колінеарні. Так само ''<math>B</math>'', ''<math>A</math>'' і ''<math>H</math>''.
# Кути ''<math>CBD</math>'' і ''<math>FBA</math>''&nbsp;— обидва прямі; тоді кут ''<math>ABD</math>'' дорівнює куту ''<math>FBC</math>'', оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ''<math>ABC</math>''.
# Трикутники <math>ABD</math> та <math>FBC</math> рівні за двома сторонами та кутом між ними.
# Оскільки точки <math>A</math>, <math>K</math> і <math>L</math>&nbsp;— [[Колінеарність|колінеарні]], площа прямокутника <math>BDLK</math> дорівнює двом площам трикутника <math>ABD</math> (<math>BDLK = BAGF = AB^2</math>).
# Аналогічно міркуючи, отримаємо <math>CKLE = ACIH = AC^2</math>.
# З одного боку, площа <math>CBDE</math> дорівнює сумі площ прямокутників <math>BDLK</math> та <math>CKLE</math>, а з іншого боку, це площа квадрата <math>BC^2</math>, або <math>AB^2 + AC^2 = BC^2</math>.

{{Джерело|«Піфагорові штани» — жартівлива назва цього доказу.}}

=== Використовуючи диференціали ===

[[Файл:PythagoreanDerivation.svg|thumb|right|Використання диференціалів]]
До теореми Піфагора можна прийти розглядом залежності величини гіпотенузи від приросту сторони (див. малюнок праворуч), застосувавши невелике обчислення.

У результаті приросту сторони <math>a</math> з подібних трикутників для нескінченно малих приростів:
: <math>\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}</math>.
Застосуємо [[розділення змінних]].
: <math>c\, dc = a\,da</math>
[[Інтеграл|Інтегруючи]], отримаємо:
: <math>c^2 = a^2 + \mathrm{const}</math>.
Якщо <math>a=0</math> тоді <math>c=b</math>, тож «константа»&nbsp;— <math>b^2</math>. Тоді
: <math>a^2+b^2=c^2</math>.
Як можна побачити, квадрати отримано завдяки [[пропорція|пропорції]] між приростами та сторонами, тоді як сума є результатом незалежного внеску приростів сторін, що не очевидно з геометричних доведень. У цих рівняннях <math display="inline">\operatorname{d}\!a</math> і <math>\operatorname{d}\!c</math>,&nbsp;відповідно,&nbsp;— нескінченно малі прирости сторін <math>a</math> і <math>c</math>. Але замість них ми використовуємо <math>\Delta a</math> і <math>\Delta c</math>, тоді [[границя]] їхнього відношення, якщо вони прямують до нуля, дорівнює <math display="inline">{\operatorname{d}\!a\over\operatorname{d}\!c}</math> (похідній) і також дорівнює <math display="inline">{c/a}</math> (відношенню довжин сторін трикутників), в результаті чого отримуємо [[Диференціальні рівняння|диференціальне рівняння]].

== Застосування і наслідки теореми ==

=== Піфагорові трійки ===
{{Main|Числа Піфагора}}
Піфагорові трійки&nbsp;— це три натуральні числа <math>a</math>, <math>b</math> та <math>c</math> такі, що виконується рівність <math>a^2+b^2=c^2</math>. Іншими словами, Піфагорові трійки&nbsp;— це сторони прямокутного трикутника, якщо всі вони є [[Цілі числа|цілими]]. На мегалітичних спорудах в північній Європі є свідчення, що відомості про такі трійки були відомі до винайдення писемності. Такі трійки зазвичай записують у вигляді <math>(a,\ b, \ c)</math> Деякі найвідоміші приклади: {{nowrap|(3, 4, 5)}} та {{nowrap|(5, 12, 13).}}

Примітивними Піфагоровими числами називають такі ''<math>a</math>'', ''<math>b</math>'' та ''<math>c</math>'', які є [[Взаємно прості числа|взаємно простими]] ([[найбільший спільний дільник]] ''<math>a</math>'', ''<math>b</math>'' та ''<math>c</math>'' дорівнює 1)

Нижче наведено перелік примітивних Піфагорових чисел менших від 100:
<!-- Будь ласка не додавайте НЕ ПРИМІТИВНІ Піфагорові трійки до цього списку, наприклад (6,8,10) чи (15,20,25) чи (10,24,26). -->

: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).
: Найкраще запам'ятовуються такі Піфагорові числа (менші від 100):
: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (18, 24, 30), (21, 28, 35), (24, 32, 40), (27, 36, 45), (30, 40, 50), (33, 44, 55), (36, 48, 60), (39, 52, 65), (42, 56, 70), (45, 60, 75), (48, 64, 80), (51, 68, 85), (54, 72, 90), (57, 76, 95), (60, 80, 100).
: Ці трійки утворюються множенням першої трійки чисел (3, 4, 5) на числа 2, 3, 4, 5 тощо.

=== Неспівмірні довжини ===
[[Файл:Euclid Corollary 5.svg|thumb|Побудова відрізків з довжинами, відношення між якими дорівнює квадратному кореню з додатного цілого числа]]
Одним з наслідків теореми Піфагора є те, що відрізки на лінії, довжина яких є неспівмірною (тобто, співвідношення між якими дає [[Ірраціональні числа|ірраціональне число]]), можуть бути побудовані за допомогою [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|лінійки та циркуля]]. Теорема Піфагора дає змогу побудувати неспівмірні довжини через те, що гіпотенуза трикутника пов'язана з його сторонам через корінь квадратний.

Малюнок справа демонструє, як побудувати відрізки, довжина яких у співвідношенні дає корінь квадратний будь-якого цілого числа. Кожен трикутник має сторону (позначену «1»), довжина якої є вибрана одиниця вимірювання. На кожному прямокутному трикутнику завдяки теоремі Піфагора отримуємо довжину гіпотенузи, виражену у вибраних одиницях. Якщо гіпотенуза пов'язана з одиницею вимірювання через квадратний корінь з додатним цілим числом, що не є піднесенням до квадрата, тоді ми отримуємо реалізацію неспівмірності для цієї одиниці. Наприклад, <math>\sqrt 2</math>, <math>\sqrt 3</math>, <math>\sqrt 5</math>.

Неспівмірні величини конфліктують з концепцією школи Піфагора про те, що всі числа є цілими. Школа Піфагора давала собі раду з дробами, порівнюючи кратні числа, які мали спільний дільник.<ref name=Lavine0>{{cite book |title=Understanding the infinite |author=Shaughan Lavine |page=13 |url=http://books.google.com/books?id=GvGqRYifGpMC&pg=PA13 |isbn=0674920961 |year=1994 |publisher=Harvard University Press |accessdate=1 квітня 2011 |archive-date=28 березня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160328230227/https://books.google.com/books?id=GvGqRYifGpMC&pg=PA13 }}</ref> Згідно з однією легендою, [[Гіппас Метапонтський|Гіппаса з Метапонту]] (близько 470 до н.&nbsp;е.) втопили в морі через те, що він розказував про існування ірраціональних чи неспівмірних величин.<ref name=drown>

Heath 1921, Vol I, pp. 65; Див. {{cite journal |author= James R. Choike |title= The pentagram and the discovery of an irrational number |url= https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_1980-11_11_5/page/312 |journal=The College Mathematics Journal |volume=11 |pages=312–316 |year=1980 |ref= harv}}

</ref><ref name=Fritz>
A careful discussion of Hippasus' contributions is found in
{{cite journal |title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum  |author=Kurt Von Fritz |journal=The Annals of Mathematics, Second Series|volume=  46 |date=Apr., 1945|pages= 242–264 |jstor=1969021 |issue=  2 |publisher=Annals of Mathematics |ref=harv}}

</ref>

=== Евклідова відстань у різних координатних системах ===

[[Файл:Law of cosines2.svg|thumb|Відстань між двома точками <math>s</math> <math>(r_1, \theta_1)</math> та <math>(r_2, \theta_2)</math> в [[Полярна система координат|полярних координатах]] обчислюємо за [[Теорема косинусів|теоремою косинусів]]. Внутрішній кут <math>\Delta \theta = \theta_1 - \theta_2</math>]]
Формулу відстані між точками в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] отримуємо з теореми Піфагора.<ref name=Macdonald>{{cite book |title=Mastering algorithms with Perl |author=Jon Orwant, Jarkko Hietaniemi, John Macdonald |url=http://books.google.com/books?id=z9xMfXGoWd0C&pg=PA426 |page=426 |chapter=Euclidean distance |isbn=1565923987 |year=1999 |publisher=O'Reilly Media, Inc |accessdate=2 квітня 2011 |archive-date=28 березня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160328230225/https://books.google.com/books?id=z9xMfXGoWd0C&pg=PA426 }}</ref> Якщо маємо точки на площині <math>(x_1,\ y_1)</math> і <math>(x_2,\ y_2)</math>, то відстань між ними, яка також називається [[Евклідова відстань]], можна обчислити так:

: <math>\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}</math>.

Або, узагальнюючи для ''n''-вимірного [[Евклідів простір|Евклідового простору]], для відстані між двома точками <math>A\,=\,(a_1,\ a_2,\dots,\ a_n)</math> та <math>B\,=\,(b_1,\ b_2,\dots,\ b_n)</math> можна сформулювати загальніший випадок теореми Піфагора:

: <math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>

Якщо не можна використати Декартові координати, наприклад, у випадку [[Полярна система координат|полярних координат]], або в загальнішому випадку, якщо треба використати [[криволінійні координати]], формули для розрахунку Евклідової відстані складніші, ніж теорема Піфагора, але можуть бути виведені з її допомогою. Типовий приклад, коли формула відстані між двома точками приведена до криволінійних координат, можна побачити при застосуванні [[Поліноми Лежандра#Застосування|полінома Лежандра у фізиці]]. Ці формули можна знайти, використовуючи Теорему Піфагора разом із формулами зв'язку криволінійних координат з декартовими. Наприклад, полярні координати <math>(r,\ \theta)</math> можна записати так:

: <math>x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta</math>.

Тоді відстань <math>s</math> між двома точками <math>(r_1,\ \theta_1)</math> та <math>(r_2,\ \theta_2)</math> дорівнює

: <math>s^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (r_1 \cos \theta_1 -r_2 \cos \theta_2 )^2 + (r_1 \sin \theta_1 -r_2 \sin \theta_2)^2</math>.

Якщо піднести до степеня й об'єднати змінні, отримаємо формулу для визначення відстані між точками у полярних координатах:
: <math>\begin{align}s^2 &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \left( \cos \theta_1 \cos \theta_2 +\sin \theta_1 \sin \theta_2 \right)\\
 &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \left( \theta_1 - \theta_2\right)\\
 &=r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \Delta \theta \end{align}</math>,
використовуючи формули [[Список тригонометричних тотожностей#Формули перетворення добутків функцій|перетворення добутків функцій]]. Цю формулу, що є [[Теорема косинусів|теоремою косинусів]], іноді називають узагальненою теоремою Піфагора.<ref>{{Cite book
|title=Plane Trigonometry and Tables
|first1=George
|last1=Wentworth
|publisher=BiblioBazaar, LLC
|year=2009
|isbn=1-103-07998-0
|page=116
|url=http://books.google.com/?id=Z-O57gUYmIgC
|postscript=<!--None-->
}}, [http://books.google.com/books?id=Z-O57gUYmIgC&pg=PA116 Exercises, page 116] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160328230224/https://books.google.com/books?id=Z-O57gUYmIgC&pg=PA116 |date=28 березня 2016 }}</ref>

Якщо результатну формулу використати для випадку, коли радіуси знаходяться під прямим кутом, кут між ними дорівнює <math>\Delta \theta = \pi/2</math>, тоді знову отримаємо теорему Піфагора: <math>s^2 = r_1^2 + r_2^2</math>. Теорема Піфагора справедлива для прямокутних трикутників, проте є частковим випадком загальнішої теореми косинусів, яка справедлива для будь-якого трикутника.

=== Тригонометрична тотожність Піфагора ===
{{Main|Тригонометрична тотожність Піфагора}}
[[Файл:Trig functions.svg|thumb|Подібні прямокутні трикутники показують синус і косинус кута θ]]
Для прямокутного трикутника із сторонами ''a'', ''b'' та гіпотенузою ''c'', запишемо [[Тригонометрія|тригонометричні]] визначення [[синус]]а і [[косинус]]а кута <math>\theta</math> між стороною <math>a</math> та гіпотенузою:
: <math>\sin \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}</math>,

звідси випливає, що

: <math>{\cos}^2 \theta + {\sin}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1</math>,

де в останньому кроці доведення застосовуємо теорему Піфагора. Цю залежність між синусом і косинусом іноді називають фундаментальною тригонометричною тотожністю Піфагора.<ref name=Leff>{{cite book |title=PreCalculus the Easy Way |author=Lawrence S. Leff |url=http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296 |page=296 |isbn=0764128922 |edition=7th |publisher=Barron's Educational Series |year=2005}}</ref> У подібних трикутників, співвідношення між сторонами рівне незалежно від розмірів трикутника, а залежить тільки від кутів. Відповідно, на рисунку зображено трикутник з гіпотенузою, яка дорівнює одиниці, сторона протилежна до кута дорівнює <math>\sin \theta</math> і прилегла сторона&nbsp;— <math>\cos \theta</math> в одиницях гіпотенузи.

== Узагальнення ==

=== Подібні геометричні фігури на трьох сторонах ===
[[Файл:Pythagoras applied to similar triangles.svg|thumb|Узагальнення для подібних трикутників, площа зелених фігур A + B дорівнює площі синіх C]]
[[Файл:Pythagoras by similar triangles.svg|thumb|Теорема Піфагора з використанням подібних прямокутних трикутників]]
Узагальнення теореми Піфагора робив [[Евклід]] у своїй праці [[Начала Евкліда|«Начала»]], розширивши площі квадратів на сторонах до площ подібних геометричних фігур:<ref name=Euclid_VI>Euclid's ''Elements'': Book VI, Proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.»</ref><blockquote>Якщо побудувати подібні геометричні фігури (див. [[Евклідова геометрія]]) на сторонах прямокутного трикутника, тоді сума двох менших фігур буде дорівнювати площі більшої фігури.</blockquote>Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури [[Пропорційність (математика)|пропорційна]] до квадрата будь-якого свого лінійного розміру і зокрема до квадрата довжини будь-якої сторони. Отже, для подібних фігур з площами ''A'', ''B'' і ''C'', що побудовані на сторонах з довжиною <math>a</math>, <math>b</math> і <math>c</math>, маємо

: <math>\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}</math>,
: <math>\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C</math>.

Але, за теоремою Піфагора, <math>a^2+b^2=c^2</math>, тоді ''A'' + ''B'' = ''C''.

І навпаки, якщо ми зможемо довести, що <math>A + B = C</math> для трьох подібних геометричних фігур без використання теореми Піфагора, тоді ми зможемо довести саму теорему, рухаючись у зворотному напрямку. Наприклад, стартовий центральний трикутник може бути повторно використаний як трикутник <math>C</math> на гіпотенузі, і два подібні прямокутні трикутники (''<math>A</math>'' і ''<math>B</math>''), побудовані на двох інших сторонах, які утворюються в результаті поділу центрального трикутника його [[Висота трикутника|висотою]]. Сума площ двох менших трикутників тоді очевидно дорівнює площі третього, отже, <math>A + B = C</math> і, виконуючи попереднє доведення в зворотному порядку, отримаємо теорему Піфагора <math>a^2+b^2=c^2</math>.

=== Теорема косинусів ===
{{main|Теорема косинусів}}
Теорема Піфагора&nbsp;— це окремий випадок загальнішої теореми косинусів, яка пов'язує довжини сторін в довільному трикутнику:<ref name= Leff1>
{{cite book |title=''cited work'' |author=Lawrence S. Leff |url=http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA326 |page=326 |isbn=0764128922 |publisher=Barron's Educational Series |date=2005-05-01}}</ref>
:: <math>a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2</math>,
де <math>\theta</math>&nbsp;— кут між сторонами <math>a</math> і <math>b</math>.

Якщо <math>\theta</math> дорівнює <math>90^\circ</math>, то <math>\cos \theta = 0</math> і формула спрощується до звичайної теореми Піфагора.

=== Довільний трикутник ===
[[Файл:Tâbit ibn Qorra.svg|thumb|Узагальнення теореми Піфагора від Сабіта ібн Курра.<ref name=Eves>{{cite book |title=Great moments in mathematics (before 1650) |author=Howard Whitley Eves |url=http://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41 |chapter=§4.8:...generalization of Pythagorean theorem |isbn=0883853108 |year=1983 |page=41 |publisher=Mathematical Association of America |accessdate=14 квітня 2011 |archive-date=8 липня 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140708084016/http://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41 }}</ref> Нижній рисунок: відбиття трикутника ''ABD'' (верхній) з метою утворити трикутник ''DBA'', подібний до трикутника ''ABC'' (верхній)]]

Для вибраного кута довільного трикутника із сторонами <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> впишемо рівнобедрений трикутник так, щоб рівні кути при його основі <math>\theta</math> дорівнювали вибраному куту. Припустимо, що вибраний кут <math>\theta</math> протилежний до сторони позначеної <math>c</math>. Унаслідок ми отримали трикутник ''ABD'' з кутом <math>\theta</math>, що протилежний стороні <math>a</math> та стороною <math>r</math>. Другий трикутник утворюється кутом <math>\theta</math>, що протилежний до сторони <math>b</math> та стороною з довжиною <math>s</math>, як показано на рисунку. [[Сабіт ібн Курра]]<ref name=Qorra>Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826—901&nbsp;AD) was a physician living in Baghdad who wrote extensively on Euclid's Elements and other mathematical subjects.

</ref> стверджував, що сторони в цих трьох трикутниках пов'язані так:<ref name=Sayii>
{{cite journal |doi=10.1086/348837 |jstor=227603 |author=Aydin Sayili |year= 1960 |title= Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem  |journal= Isis |volume= 51 |issue=1 |pages= 35–37 |month=Mar. |ref=harv |issn=0021-1753}}</ref><ref name=Sally2>{{cite book |title=Cited work |author=Judith D. Sally, Paul Sally |chapter=Exercise 2.10 (ii) |page=62 |url=http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62 |isbn=0821844032 |date=2007-12-21 |accessdate=14 квітня 2011 |archive-date=28 квітня 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150428095509/http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62 }}</ref>
: <math>a^2 +b^2 =c(r+s)</math>.
Коли кут <math>\theta</math> наближається до <math>\pi / 2</math>, основа рівнобедреного трикутника зменшується і дві сторони <math>r</math> і <math>s</math> перекривають одна одну все менше і менше. Коли <math>\theta = \pi/2</math>, ''ADB'' перетворюється в прямокутний трикутник, <math>r + s = c</math>, і отримуємо початкову теорему Піфагора.

Розглянемо одне з доведень. Трикутник <math>ABC</math> має такі самі кути, як і трикутник ''<math>ABD</math>'', але в зворотному порядку. Два трикутники мають спільний кут у вершині <math>B</math>, обидва мають кут <math>\theta</math> і також мають однаковий третій кут, за сумою кутів трикутника. Відповідно, ''<math>ABC</math>''&nbsp;— подібний до відображення ''<math>ABD</math>'' трикутника ''<math>DBA</math>'', як зображено на нижньому рисунку. Запишемо співвідношення між сторонами протилежними і прилеглими до кута <math>\theta</math>,
: <math>\frac{c}{a} = \frac{a}{r}</math>.
Так само відображення іншого трикутника,
: <math>\frac{c}{b} = \frac{b}{s}</math>.
Перемножимо дроби та додамо ці два співвідношення:
: <math>cr +cs = a^2 +b^2</math>,
що і треба було довести.

=== Довільні трикутники через паралелограми ===
[[Файл:Pythagoras for scalene triangle.svg|thumb|Узагальнення для довільних трикутників,<br/>зелена площа дорівнює синій площі]]
[[Файл:Pythagoras construction.svg|thumb|Побудова доведення для узагальнення паралелограмів]]
Зробимо подальше узагальнення для не прямокутних трикутників, використовуючи паралелограми на трьох сторонах замість квадратів.<ref name=Jennings>
For the details of such a construction, see {{cite book |title=Modern geometry with applications: with 150 figures |author=George Jennings |chapter=Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem |page=23 |url=http://books.google.com/?id=6OhcE7YQY8QC&pg=PA23 |isbn=038794222X |year=1997 |edition=3rd |publisher=Springer}}
</ref> (а квадрати&nbsp;— це звичайно частковий випадок.) Верхній рисунок демонструє, що для гострокутного трикутника, площа паралелограма на довшій стороні дорівнює сумі паралелограмів на двох інших сторонах, за умови що паралелограм на довгій стороні побудовано як зображено на рисунку(розміри відзначені стрілками однакові і визначають сторони нижнього паралелограма). Ця заміна квадратів паралелограмами несе чітку схожість з початковою теоремою Піфагора, вважається, що це сформулював [[Папп Александрійський|Папп з Александрії]] в 4 р. н.&nbsp;е.<ref name=Jennings/>

Нижній рисунок показує хід доведення. Подивимось на ліву сторону трикутника. Лівий зелений паралелограм має таку саму площу, як ліва частина синього паралелограма, тому що вони мають таку саму основу <math>b</math> і висоту <math>h</math>. Крім того, лівий зелений паралелограм має таку саму площу, як лівий зелений паралелограм на верхньому рисунку, тому що вони мають таку саму основу (верхня ліва сторона трикутника) і таку саму висоту перпендикулярну до цієї сторони трикутника. Аналогічно розмірковуючи для правої сторони трикутника, доведемо, що нижній паралелограм має таку саму площу, як два зелені паралелограми.

=== Комплексні числа ===
{{main|Комплексне число}}

Формулу Піфагора використовують, щоб знайти відстань між двома точками в [[Декартова система координат|декартовій координатній системі]] і ця формула справедлива для всіх дійсних координат: відстань <math>s</math> між двома точками <math>(a,b)</math> і <math>(c,d)</math> дорівнює
: <math>s = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}</math>.

Не виникає проблем з формулою, якщо до [[Комплексне число|комплексних чисел]] ставитись як до векторів з дійсними компонентами <math>x + iy = (x,\ y)</math>. Відстань між комплексними числами <math>z_1 = x_1+y_1i</math> та <math>z_2 = x_2+y_2i</math> представляється у формі теореми Піфагора<ref name=Gray>{{cite book |title=Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica |author=[[Альфред Грей|Alfred Gray]], Elsa Abbena, Simon Salamon |page=194 |url=http://books.google.com/?id=TGw98Z6Cv-EC&pg=PA194 |isbn=1584884487 |year=2006 |publisher=CRC Press |edition =3rd}}</ref>:
: <math>|z_1 - z_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}</math>.

Наприклад, відстань ''s'' між <math>0+1\cdot i</math> та <math>1+0\cdot i</math> розраховуємо як модуль вектора <math>(0,\ 1) - (1,\ 0) = (-1,\ 1)</math>, або
: <math>s = \sqrt{ (-1)^2 +1^2} = \sqrt{2}</math>.

Однак, для операцій з векторами з комплексними координатами необхідно провести певне вдосконалення формули Піфагора. Відстань між точками з комплексними координатами <math>(a,b)</math> і <math>(c,d)</math> <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> і <math>d</math> всі комплексні, сформулюємо використовуючи абсолютні величини. Відстань <math>s</math> заснована на векторній різниці <math>(a - c,\ b - d)</math> в такому вигляді:<ref name=Brown>{{cite book |title=An introduction to analysis |author=Arlen Brown, Carl M. Pearcy |url=http://books.google.com/books?id=Y2Mwck8Q9A4C&pg=PA124 |page=124 |chapter=Item ''C'': Norm for an arbitrary ''n''-tuple... |isbn=0387943692 |publisher=Springer |year=1995 |accessdate=14 квітня 2011 |archive-date=28 квітня 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150428174624/http://books.google.com/books?id=Y2Mwck8Q9A4C&pg=PA124 }} See also pages 47-50.</ref> нехай різниця <math>a-c=p+iq</math>, де <math>p</math>&nbsp;— дійсна частина різниці, <math>iq</math>&nbsp;— уявна частина, де <math>i=\sqrt{-1}</math>. Аналогічно, нехай <math>b-d=r+is</math>. Тоді:

: <math>
\begin{align}
s &= \sqrt{(p+iq)\overline{(p+iq)} + (r+is)\overline{(r+is)}} \\
  &= \sqrt{(p+iq)(p-iq) + (r+is)(r-is)} \\
  &= \sqrt{p^2 + q^2 + r^2 + s^2}
\end{align}
</math>,

де <math>\overline{\mathit z}</math>&nbsp;— це [[Спряжені числа|комплексне спряжене]] число для <math>\mathit z</math>. Наприклад, відстань між точками <math>(a, b) = (0, 1)</math> та <math>(c, d) = (i, 0)</math>, розрахуємо різницю <math>(a - c, b - d) = (-i, 1)</math> і в результаті ми б отримали <math>0</math>, якби не були використані комплексні спряжені. Отже, використовуючи вдосконалену формулу, отримаємо

: <math>s = \sqrt{(-i)\cdot(\overline{-i}) + 1 \cdot\overline{1}}= \sqrt{(-i)\cdot{i} + 1 \cdot{1}} = \sqrt{2}</math>.
Модуль визначений так:
: <math>\|\mathbf p \| = \sqrt{\mathbf {p \cdot \overline{p}}} = \sqrt{|p_1|^2 + |p_2|^2 + \dots +|p_n|^2}</math>,
це є [[Ермітів скалярний добуток]].<ref name=Gray />

=== Стереометрія ===
{{main|Стереометрія}}
[[Файл:Pythagoras 3D.svg|thumb|Теорема Піфагора в тривимірному просторі пов'язує діагональ ''AD'' з трьома сторонами.]]
Теорема Піфагора може бути застосована для стереометрії в такому вигляді. Розглянемо прямокутний паралелепіпед, як показано на рисунку. Знайдемо довжину діагоналі <math>BD</math> за теоремою Піфагора:

: <math>\overline{BD}^{\,2} = \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ ,</math>

де три сторони утворюють прямокутний трикутник. Використаємо горизонтальну діагональ ''<math>BD</math>'' і вертикальне ребро ''<math>AB</math>'', щоб знайти довжину діагоналі ''<math>AD</math>'', для цього знову використаємо теорему Піфагора:

: <math>\overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BD}^{\,2} \ ,</math>
або, якщо все записати одним рівнянням:
: <math>\overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2}  \ .</math>

Цей результат&nbsp;— це тривимірний вираз для визначення величини вектора <math>\mathbf{v}</math> (діагональ ''<math>AD</math>'') виражений через його перпендикулярні складові <math>\{\mathbf{v}_k\}</math> (три взаємно перпендикулярні сторони):

: <math>\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{k=1}^3 \|\mathbf{v}_k\|^2</math>.

Це рівняння можна розглядати як узагальнення теореми Піфагора для багатовимірного простору. Проте, результат насправді просто кількаразове застосування теореми Піфагора до послідовності прямокутних трикутників у послідовно перпендикулярних площинах.

Значним узагальненням теореми Піфагора для тривимірного простору є [[теорема де Гуа]], названа на честь [[Жан Поль де Гуа|Жана Поля де Гуа]]: якщо [[Чотиригранник|тетраедр]] має прямий кут (як у [[куб]]а), тоді квадрат площі грані протилежної до прямого кута дорівнює сумі квадратів площ інших трьох граней. Цей висновок може бути узагальнений для «''n''-вимірної теореми Піфагора»:<ref name=Bhatia>
{{cite book |title=Matrix analysis |author=Rajendra Bhatia |url=http://books.google.com/?id=eay3HALl620C&pg=PA21 |page=21 |isbn=0387948465 |year=1997 |publisher=Springer}}
</ref>

=== Векторний простір ===
У випадку ортогональної системи векторів <math>\{v_k\}</math> має місце рівність, яку теж називають теоремою Піфагора:
: <math>\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2</math>.

Якщо <math>\{v_k\}</math>&nbsp;— це проєкції вектора на координатні осі, то ця формула збігається з [[Евклідова відстань|відстанню Евкліда]]&nbsp;— і означає, що довжина вектора рівна кореню квадратному суми квадратів його компонентів.

Аналог цієї рівності у випадку нескінченної системи векторів має назву [[Рівність Парсеваля|рівності Парсеваля]].

=== Неевклідова геометрія ===
{{main|Неевклідова геометрія}}
Теорема Піфагора виводиться з аксіом [[Евклідова геометрія|евклідової геометрії]] і, фактично, не справджується для [[неевклідова геометрія|неевклідової геометрії]], в тому вигляді, в якому записана вище.<ref name=false>{{cite book |title=''cited work'' |author=Stephen W. Hawking |page=4 |url=http://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 |isbn=0762419229 |year=2005 |accessdate=15 квітня 2011 |archive-date=2 вересня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200902212935/https://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 }}</ref> (Тобто теорема Піфагора виявляється своєрідним еквівалентом до [[Аксіома паралельності Евкліда|аксіоми паралельності Евкліда]]).<ref name=Parallel>{{cite book |title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author=Eric W. Weisstein |url=http://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1584883472 |year=2003 |accessdate=15 квітня 2011 |archive-date=18 серпня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200818215417/https://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 }}</ref><ref name= Pruss>{{cite book |title=The principle of sufficient reason: a reassessment |author=Alexander R. Pruss |quote=We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. |isbn=052185959X |year=2006 |publisher=Cambridge University Press |page=11 |url=http://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11 |accessdate=15 квітня 2011 |archive-date=25 вересня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200925035209/https://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11 }}</ref> Іншими словами, в неевклідовій геометрії співвідношення між сторонами трикутника обов'язково буде у формі відмінній від Піфагора. Наприклад, в [[Сферична геометрія|сферичній геометрії]] всі три сторони прямокутного трикутника (скажімо <math>a</math>, <math>b</math> і <math>c</math>), що обмежує собою октант (восьму частину) одиничної сфери мають довжину <math>\pi/2</math>, що суперечить теоремі Піфагора, тому що <math>a^2 + b^2 \neq c^2</math>.

Розглянемо тут два випадки неевклідової геометрії&nbsp;— [[Сферична геометрія|сферичну]] та [[гіперболічна геометрія|гіперболічну]]; в обох випадках, як і для евклідового простору, для не прямокутних трикутників, результат, що замінює теорему Піфагора, випливає з теореми косинусів.

Проте, теорема Піфагора залишається справедливою для гіперболічної та еліптичної геометрії, якщо вимогу про прямокутність трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника має дорівнювати третьому, скажімо <math>A+B = C</math>. Тоді співвідношення між сторонами виглядає так: сума площ кіл з діаметрами <math>a</math> і <math>b</math> дорівнює площі кола з діаметром <math>c</math>.<ref>{{cite journal|author=Victor Pambuccian|title=
Maria Teresa Calapso's Hyperbolic Pythagorean Theorem|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=32|number=4|date=December 2010|page =2|doi=10.1007/s00283-010-9169-0}}</ref>

==== Сферична геометрія ====
{{main|Сферична теорема Піфагора}}
[[Файл:Triangle sphérique.svg|thumb|Сферичний трикутник]]
Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом <math>R</math> (наприклад, якщо кут γ в трикутнику прямий) із сторонами <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> співвідношення між сторонами буде мати такий вигляд:<ref name="O'Neill">{{cite book |title=Elementary differential geometry |author=Barrett O'Neill |url=http://books.google.com/?id=OtbNXAIve_AC&pg=PA441 |chapter=Exercise 4 |page=441 |isbn=0120887355 |year=2006 |edition=2nd |publisher=Academic Press}}</ref>

: <math>\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right)</math>.

Ця рівність може бути виведена як особливий випадок [[Теорема косинусів (сферична геометрія)|сферичної теореми косинусів]], яка справедлива для всіх сферичних трикутників:

: <math>\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right) +\sin\left(\frac{a}{R}\right) \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cos \gamma</math>.

Застосуємо [[ряд Тейлора]] до функції косинуса <math>\cos x \approx 1 - \tfrac{x^2}{2}</math>, можна показати, що якщо радіус <math>R</math> наближається до нескінченості, а аргументи <math>\tfrac{a}{R}</math>, <math>\tfrac{b}{R}</math> і <math>\tfrac{c}{R}</math> наближаються до нуля, сферичне співвідношення між сторонами в прямокутному трикутнику наближається до теореми Піфагора. Підставимо наближені значення для кожного косинуса:
: <math>1-\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left[1-\left(\frac{a}{R}\right)^2 \right]\left[1-\left(\frac{b}{R}\right)^2 \right] + \ \mathrm{higher\ order\ terms}</math>,
де <math>\mathrm{higher\ order\ terms}</math>&nbsp;— доданки вищого порядку, якими можна знехтувати при великих значеннях <math>R</math>.

Перемножимо вирази в дужках, отримаємо теорему Піфагора для великих радіусів <math>R</math>:
: <math>\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 + \ \mathrm{higher\ order\ terms}</math>.

==== Гіперболічна геометрія ====
{{main|Гіперболічна геометрія}}
{{See also|Кривина Гауса}}
[[Файл:Hyperbolic triangle.svg|thumb|[[Гіперболічний трикутник]]]]
Для прямокутного [[Гіперболічний трикутник|трикутника]] в гіперболічній геометрії із сторонами <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, якщо сторона <math>c</math> протилежна до прямого кута, співвідношення між сторонами буде таке:<ref name=Stahl>
{{cite book |title=The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry |author=Saul Stahl |page=122 |url=http://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122 |chapter=Theorem 8.3| isbn=086720298X |year=1993 |publisher=Jones & Bartlett Learning}}
</ref>

: <math>\operatorname{ch} c=\operatorname{ch} a \operatorname{ch} b</math>,

де <math>\operatorname{ch}</math>&nbsp;— це [[гіперболічний косинус]]. Ця формула є частковим випадком гіперболічної теореми косинусів, яка справедлива для всіх трикутників:<ref name=Gilman>
{{cite book |title=Two-generator discrete subgroups of PSL(2,R) |author=Jane Gilman |url=http://books.google.com/?id=YRFz9Zj_vAAC&pg=PA74 |chapter=Hyperbolic triangles |isbn=0821803611 |year=1995 |publisher=American Mathematical Society Bookstore}}
</ref>

: <math>\operatorname{ch} c = \operatorname{ch} a \operatorname{ch} b - \operatorname{sh} a \ \operatorname{sh} b \ \cos \gamma</math>,

де <math>\gamma</math>&nbsp;— це кут, вершина якого протилежна до сторони <math>c</math>.

Використаємо [[Ряд Тейлора|ряди Тейлора]] для гіперболічного косинуса <math>\operatorname{ch} x \approx 1 + \tfrac{x^2}{2}</math>, можна довести що, якщо гіперболічний трикутник зменшується (тобто, коли <math>a</math>, <math>b</math> і <math>c</math> наближаються до нуля), то гіперболічні співвідношення в прямокутному трикутнику наближаються до теореми Піфагора.

=== Диференціальна геометрія ===
{{main|Диференціальна геометрія}}
[[Файл:Line elements2.svg|thumb|Відстань між точками, що віддалені одна від одної на нескінченно малу величину в [[Декартова система координат|декартових]] (угорі) [[Полярна система координат|полярних координатах]] (унизу), згідно з теоремою Піфагора]]
У тривимірному просторі для двох точок, що віддалені одна від одної на нескінченно малу віддаль запишемо теорему Піфагора:

: <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2</math>,

де <math>ds</math>&nbsp;— це відстань між точками, а (<math>dx</math>, <math>dy</math>, <math>dz</math>)&nbsp;— компоненти вектора, що з'єднує ці дві точки. Такий простір називається [[Евклідів простір|евклідовим]]. Проте, узагальнення цього виразу придатне для загальних координат (не тільки Декартових) і загальних просторів (не тільки Евклідових) має вигляд:<ref name=Chow>{{cite book |title=Mathematical methods for physicists: a concise introduction |author=Tai L. Chow |page=52 |url=http://books.google.com/?id=MpRXPOYZzfUC&pg=PA52 |isbn=0521655447 |year=2000 |publisher=Cambridge University Press |url-status=dead }}</ref>

: <math>ds^2 = \sum_{i,j}^n g_{ij}\, dx_i\, dx_j</math>,

де {{nowrap|''g''<sub>''ij''</sub>}} називається [[Метричний тензор|метричним тензором]]. Це може бути функція позиції. Такі [[криволінійний простір|криволінійні простори]] включають [[Ріманова геометрія|Ріманову геометрію]] як загальний приклад. Це формулювання також підходить для Евклідового простору при застосуванні [[Криволінійні координати|криволінійних координат]]. Наприклад, для [[Полярна система координат|полярних координат]]:

: <math>ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2</math>.

=== Векторний добуток ===
{{Main|Векторний добуток}}
[[Файл:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|Площа паралелограма як модуль векторного добутку; вектори <math>\mathbf {a}</math> й <math>\mathbf {b}</math> задають площину, а вектор <math>\mathbf {a} \times \mathbf {b}</math> перпендикулярний до цієї площини.]]
Теорема Піфагора пов'язує два вирази величини векторного добутку.

Один з підходів до визначення [[Векторний добуток|векторного добутку]] вимагає, щоб він задовольняв рівняння:<ref name=Massey>
{{cite journal |doi=10.2307/2323537 |title=Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1983-12_90_10/page/697 |author=WS Massey |journal=The American Mathematical Monthly |volume=90 |month=Dec. |year=1983 |pages=697–701 |jstor=2323537 |issue=10 |publisher=Mathematical Association of America |ref=harv}}
</ref>

: <math>\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2  = \|\mathbf{a}\|^2  \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \,</math>.

У цій формулі використовується [[скалярний добуток]]. Права сторона рівняння називається [[Визначник Грама|детермінант Грама]] для <math>\mathbf {a}</math> і <math>\mathbf {b}</math>, що дорівнює площі паралелограма утвореного цими двома векторами. Виходячи з цієї вимоги, а також вимоги про перпендикулярність векторного добутку до його складових <math>\mathbf {a}</math> і <math>\mathbf {b}</math> випливає що, за винятком тривіальних випадків з 0 та 1-вимірного простору, векторний добуток визначений тільки в трьох та семи вимірах.<ref name=n_dimensions>Although a cross-product involving ''n''&nbsp;−&nbsp;1 vectors can be found in ''n''&nbsp;dimensions, a cross-product involving only two vectors can be found only in 3&nbsp;dimensions and in 7&nbsp;dimensions. See {{cite book |title=Clifford algebras and spinors |author=Pertti Lounesto |url=http://books.google.com/?id=kOsybQWDK4oC&pg=PA96 |page=96 |chapter=§7.4 Cross product of two vectors |isbn=0521005515 |year=2001 |publisher=Cambridge University Press |edition=2nd |url-status=dead }}</ref> Використаємо визначення кута в ''n''-вимірному просторі:<ref name=Hildebrand>
{{cite book |title=Methods of applied mathematics |author=Francis Begnaud Hildebrand |page=24 |url=http://books.google.com/?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA24|isbn=0486670023 |edition=Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd|publisher=Courier Dover Publications |year=1992}}
</ref>
: <math>(\mathbf{a \cdot b}) = ab \ \cos \theta</math>,
ця властивість векторного добутку дає його величину в такому вигляді:

: <math>\|\mathbf{ a \times b} \|^2 =a^2 b^2 \left(1 - \cos^2 \theta \right)</math>.

Через фундаментальну [[Тригонометрична тотожність Піфагора|тригонометричну тотожність Піфагора]]<ref name= Leff/> отримуємо іншу форму запису його величини:

: <math>\|\mathbf{ a \times b}\|=  ab \sin \theta</math>.

Альтернативний підхід до визначення векторного добутку використовує вираз для його величини. Тоді, міркуючи у зворотному порядку, отримуємо зв'язок із скалярним добутком:

: <math>\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2  = \|\mathbf{a}\|^2  \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2</math>.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Числа Піфагора]]
* [[Прямокутний трикутник]]
* [[Тригонометрична тотожність Піфагора]]
* [[Теорема косинусів]]
* [[Трикутник]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Література ==
<div class="references">
* Heath, Sir Thomas, ''A History of Greek Mathematics'' (2 Vols.), Clarendon Press, Oxford (1921), Dover Publications, Inc. (1981), ISBN 0-486-24073-8.
* Swetz, Frank, Kao, T. I., ''Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China'', Pennsylvania State University Press. 1977.
* Van der Waerden, B.L., ''Geometry and Algebra in Ancient Civilizations'', Springer, 1983.
*Euclid (1956). ''[https://books.google.com.ua/books?id=HxhEBgAAQBAJ&lpg=PP1&dq=the%20thirteen%20books%20of%20euclid's%20elements&hl=uk&pg=PP1#v=onepage&q&f=false The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201027074243/https://books.google.com.ua/books?id=HxhEBgAAQBAJ&lpg=PP1&dq=the%20thirteen%20books%20of%20euclid's%20elements&hl=uk&pg=PP1#v=onepage&q&f=false |date=27 жовтня 2020 }}''. Vol. 1 (Books I and II).
*Neugebauer, Otto (1969). ''[https://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C&pg=PA36 The exact sciences in antiquity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131102172152/http://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C&pg=PA36 |date=2 листопада 2013 }}. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium''. '''9''' (Republication of 1957 Brown University Press 2nd ed.). Courier Dover Publications. pp.&nbsp;1–191 {{ISBN|0-486-22332-9}}. {{PMID|14884919}}.
</div>
* ''Еленьский Щ.'' По следам Пифагора. М., 1961
* ''Ван-дер-Варден Б. Л.'' Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
* В. Литцман, [http://www.ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm#ch1 «Теорема Пифагора»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100127164932/http://ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm#ch1 |date=27 січня 2010 }} М., 1960.
* [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2 Теорема Пифагора и пифагоровы тройки] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303215944/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2 |date=3 березня 2016 }} глава из книги Д.&nbsp;В.&nbsp;Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»

== Посилання ==
{{Commonscat|Pythagorean theorem}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Теорема Піфагора] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120825143042/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml |date=25 серпня 2012 }} (більш ніж 70 доведень від [[cut-the-knot]]) {{ref-en}}
* {{MathWorld|title=Теорема Піфагора|urlname=PythagoreanTheorem}}
*https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201020203630/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras/ |date=20 жовтня 2020 }}
* Інтерактивні посилання:
** [http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html Інтерактивне доведення] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120712151940/http://sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html |date=12 липня 2012 }} Теореми Піфагора за допомогою [[Java]]{{ref-en}}
** [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Perigal.shtml Ще одне інтерактивне доведення] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120826130543/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Perigal.shtml |date=26 серпня 2012 }} Теореми Піфагора за допомогою [[Java]]{{ref-en}}
**[https://www.mathopenref.com/pythagorastheorem.html Теорема Піфагора] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201027062349/https://www.mathopenref.com/pythagorastheorem.html |date=27 жовтня 2020 }} з інтерактивною анімацією{{ref-en}}
* [https://youtu.be/CAkMUdeB06o Pythagorean theorem water demo] на [[YouTube]]
{{Бібліоінформація}}
{{Трикутник}}
{{добра стаття}}

[[Категорія:Теорема Піфагора| ]]
[[Категорія:Площа]]
[[Категорія:Кути]]
[[Категорія:Рівняння]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]
[[Категорія:Історія геометрії]]
[[Категорія:Геометрія трикутника]]
[[Категорія:Доведення без слів]]