Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Піка

[[Файл:Pick_theorem_simple.svg|right|thumb|{{color|red|{{math|''i'' {{=}} 7}}}}, {{color|green|{{math|''b'' {{=}} 8}}}}, {{math|''S'' {{=}} {{color|red|''i''}} + {{sfrac|{{color|green|''b''}}|2}} − 1 {{=}} 10}}]]
[[Файл:coprime-lattice.svg|thumb|right|300px| Трикутник з вершинами в нижній лівій, нижній правій, та верхній правій точках {{math|''i'' {{=}} 12}} та {{math|''b'' {{=}} 14}}, відповідно до теореми Піка {{math|''S'' {{=}} ''i'' + {{sfrac|''b''|2}} − 1 {{=}} 18}}; це підтверджує формулі площі для трикутника {{nowrap|{{sfrac|1|2}} × основа × висота}} = {{nowrap|{{sfrac|1|2}} × 9 × 4}} = 18.]]

''Щодо відповідної теореми в комплексномі аналізі див. [[Теорема Піка (комплексний аналіз)]].''

Якщо розглянути [[простий многокутник]], побудований на сітці рівновіддалених точок (тобто точок з [[Цілі числа|цілими]] координатами), так, що всі вершини многокутника є точками сітки, '''теорема Піка''' дає просту формулу для обчислення [[площі]] <math>S</math> цього многокутника, за кількістю <math>i</math> (точок решітки усередині фігури) і кількістю <math>b</math> (точок решітки), розміщених по периметру многокутника:<ref>{{cite journal |last=Trainin |first=J. |title=An elementary proof of Pick's theorem |volume=91 |issue=522 |date=November 2007 |pages=536–540|doi=10.1017/S0025557200182270 }}</ref>

: <math>S = i + \frac{b}{2} - 1.</math>

У наведеному прикладі маємо {{math|''i'' {{=}} 7}} (внутрішніх точок) і {{math|''b'' {{=}} 8}} (граничних точок), так що площа <math>A</math>&nbsp;=&nbsp;7&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|8|2}}&nbsp;−&nbsp;1 =&nbsp;7&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;−&nbsp;1 =&nbsp;10 квадратних одиниць.

Вищенаведена теорема справедлива лише для простих многокутників, тобто для тих, які складаються з єдиної межі, без перетинів і дірок. Для загального многокутника ''формула Піка'' має такий вигляд:<ref name=":0">{{Cite web|url=https://documents.kenyon.edu/math/GarbettJSenEx2011.pdf|title=Lattice Point Geometry: Pick's Theorem and Minkowski's Theorem, Senior Exercise in Mathematics|last=Garbett|first=Jennifer|date=18 листопада 2010|archive-url=https://web.archive.org/web/20170829044759/http://documents.kenyon.edu/math/GarbettJSenEx2011.pdf|archive-date=29 серпня 2017|url-status=}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Belyaev|first=Alexander|last2=Fayolle|first2=Pierre-Alain|date=2019-08-08|title=Counting Parallel Segments: New Variants of Pick's Area Theorem|volume=41|issue=4|pages=1–7|language=en|doi=10.1007/s00283-019-09921-8|issn=0343-6993}}</ref>

: <math>S = v - \frac 1 2 e_b + h - 1</math>,

де <math>v</math>&nbsp;— кількість вершин всередині і на межі многокутника, <math>e_b</math>&nbsp;— кількість точок решітки на межі многокутника, і <math>h</math>&nbsp;— кількість дірок у многокутнику.

Як приклад розглянемо ''многокутник'', побудований за допомогою точок <math>(0, 0), (2, 0)</math>. Він має 3 вершини, 0 отворів і 0 область. Щоб формула працювала, повинно бути 4 ребра. Таким чином, треба просто порахувати кожен край двічі, ''один раз на кожній стороні''.{{Джерело}}


Результат вперше описав [[Георг Александр Пік]] в [[1899]].<ref>{{cite journal |last=Pick |first=Georg |title=Geometrisches zur Zahlenlehre |journal=Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag |series=(Neue Folge) |year=1899 |volume=19 |pages=311–319 |url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/50207#page/327 |accessdate=26 травня 2020 |archive-date=1 березня 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170301180244/http://www.biodiversitylibrary.org/item/50207#page/327 }} [http://citebank.org/node/47270 CiteBank:47270] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141006103254/http://citebank.org/node/47270 |date=6 жовтня 2014 }}</ref> [[Тетраедр Ріва]] демонструє, що немає аналогу теореми Піка в розмірності три, яка виражає об'єм многогранника через кількість внутрішніх і граничних точок. Однак є узагальнення для вищих розмірностей через [[Многочлен Ергарта|многочлен Ергарта]].

== Доведення ==
Розглянемо многокутник <math>P</math> і трикутник <math>T</math>, що має з <math>P</math> одне спільне ребро. Припустимо, що теорема Піка справедлива як для <math>P</math>, так і для <math>T</math> незалежно один від одного; ми хочемо показати, що це також справедливо для многокутника <math>PT</math>, отриманого шляхом додавання <math>T</math> до <math>P</math>. Оскільки <math>P</math> і <math>T</math> маю одне спільне ребро, всі граничні точки уздовж цього ребра стають внутрішніми точками, за винятком двох кінцевих точок, які об'єднуються з граничними точками. Отже, якщо <math>C</math> кількість спільних граничних точок, то маємо:<ref>{{cite book|last1=Beck|first1=Matthias|last2=Robins|first2=Sinai|date=2007|title=Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra|location=New York|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-29139-0}}</ref>

: <math>i_{PT} = i_P + i_T + (c - 2)</math>

і
: <math>b_{PT} = b_P + b_T - 2(c - 2) - 2.</math>

З вищезазначеного випливає:

: <math>i_P + i_T = i_{PT} - (c - 2)</math>

і

: <math>b_P + b_T = b_{PT} + 2(c - 2) + 2.</math>

Оскільки ми припускаємо виконання теореми і для <math>P</math> і для <math>T</math>, то:

: <math>\begin{align}
S_{PT} &= S_P + S_T\\
&= \left(i_P + \frac{b_P}{2} - 1\right) + \left(i_T + \frac{b_T}{2} - 1\right)\\
&= i_P + i_T + \frac{b_P + b_T}{2} - 2\\
&= i_{PT} - (c - 2) + \frac{b_{PT} + 2(c - 2) + 2}{2} - 2\\
&= i_{PT} + \frac{b_{PT}}{2} - 1.
\end{align}</math>

Тому, якщо теорема справедлива для многокутників побудованих з <math>n</math> трикутників, вона справедлива і для многокутників, що побудовані з {{math|''n'' + 1}}трикутника. Добре відомо, що довільний [[многокутник]] можна розбити на симплекси [[Тріангуляція (геометрія)|тріангуляція]].
Це тривіальний факт у випадку площини.
Для завершення доведення методом [[Математична індукція|математичної індукції]] достатньо довести її у випадку трикутників.
Перевірку цього випадку здійснюється за допомогою наступних коротких кроків:

* припускаємо, що формула справедлива для будь-якого [[Одиничний квадрат|одиничного квадрата]] (з вершинами, що мають цілі координати);
* на основі цього виводимо, що формула є справедливою для будь-якого [[прямокутник]]а зі сторонами парелельними осям;
* отримуємо формулу для прямокутних трикутників, отриманих шляхом розрізання таких прямокутників по [[Діагональ|діагоналі]];
* тепер будь-який трикутник можна перетворити на прямокутник, приєднавши такі прямокутні трикутники; оскільки формула виконується для прямокутних трикутників і для прямокутника, вона також буде виконуватися для початкового трикутника.

На останньому кроці застосовується той факт, що якщо теорема справедлива для многокутника <math>PT</math> і для трикутника <math>T</math>, то це також має місце для многокутника <math>P</math>; це можна побачити на основі обчислень, які подібні до наведених вище.

== Нерівність для опуклих множин ==
Нехай <math>C</math>&nbsp;— обмежена, опукла область в <math>\mathbb R^2</math>, не обов'язково замкнена. Тоді:

<math>|L(C)| \le \text{площа}(C) + \frac 1 2 \text{периметр}(C) + 1</math>,<ref name=":0" />

де <math>L(C)</math>&nbsp;— це набір точок решітки в <math>C</math>, і <math>|L(C)|</math>&nbsp;— їх кількість. Рівність має місце тоді і лише тоді, коли <math>C</math>&nbsp;— замкнений многокутник решітки.
Для доведення розглянемо опуклий оболонку <math>\bar{C}</math> для <math>L(C)</math>, яку слід розуміти як наближення решітки для області <math>C</math>, а потім застосуємо до неї '''теорему Піка''':

: <math>\begin{align}
|L(C)| = |L(\bar C)| &= \text{площа}(\bar C) + \frac 1 2 B(\bar C) + 1 \\
&\le \text{площа}(\bar C) + \frac 1 2 \text{периметр}(\bar C) + 1 
\\
&\le \text{площа}(C) + \frac 1 2 \text{периметр}(C) + 1,
\end{align} </math>

де <math>B(\bar C)</math>&nbsp;— кількість граничних точок <math>\bar{C}</math>, що дорівнює кількості його ребер, і оскільки кожне ребро має мінімальну довжину 1, то:

<math>B(\bar C)\le \text{периметр}(\bar C)</math>.

Перехід ''<math>\text{периметр}(\bar C) \le \text{периметр}(C)</math>'' використовує властивість, що між двома вкладеними, опуклими, замкнутими кривими, внутрішня крива буде коротшою на основі прямого застосування [[Формула Крофтона|формули Крофтона]].

Формула залишається справедливою і у виродженому випадку, коли <math>L(C)</math> знаходиться на одній лінії. Потрібно просто порахувати кожен ребро двічі (по одному разу з кожної сторони).

== Див. також ==
* {{не перекладено|Цілі точки в опуклих многогранниках||en|Integer points in convex polyhedra}}
* {{не перекладено|Довгомір Штайнгауза||en|Steinhaus longimeter}}
* [[Ряд Фарея|Послідовність Фарі]]
* [[Многочлен Ергарта]]

== Література ==


[[Категорія:Цифрова геометрія]]
[[Категорія:Точки ґратки]]
[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Теореми планіметрії|Піка]]
[[Категорія:Площа]]
[[Категорія:Многокутники]]
[[Категорія:Аналітична геометрія]]
[[Категорія:1899 у науці]]