Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Міттаг-Лефлера

'''Теорема Міттаг-Лефлера''' — в [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]] твердження про властивості [[Мероморфна функція|мероморфних функцій]], що визначає існування мероморфних функцій із заданими [[Полюс (комплексний аналіз)|полюсами]] і головними частинами [[Ряд Лорана|ряду Лорана]], а також стверджує для довільних мероморфних функцій існування аналогу розкладу [[Раціональна функція|раціональної функції]] на прості дроби.

== Твердження теореми ==
Нехай задана [[Скінченна множина|скінченна]] або [[Зліченна множина|зліченна]] послідовність різних комплексних чисел <math>z_{k}</math> для яких <math>|z_{1}| \leqslant |z_{2}| \leqslant ... \leqslant |z_{k}| \leqslant ... </math> і <math>\lim_{k \to \infty} z_k = \infty.</math> Нехай також задані функції:
:<math>g_n(z) = \sum_{i = 1}^{p_n} \frac{c_{-i}^{(n)}}{(z - z_n)^i},</math>
які можна інтерпретувати як головні частини рядів Лорана деяких мероморфних функцій в точках <math>z_{k}.</math>

Тоді існує мероморфна функція <math>f(z)</math> для якої <math>z_{k}</math> є множиною всіх полюсів і головна частина функції <math>f(z)</math> в точці <math>z_n</math> є рівною <math>g_n(z).</math>

Якщо ж деяка мероморфна функція <math>f(z)</math> має своїми полюсами множину <math>z_{k}</math> (з властивостей мероморфних функцій випливає, що ця множина є не більш, ніж зліченною) і головна частина функції <math>f(z)</math> в точці <math>z_n</math> є рівною <math>g_n(z),</math> то для цієї функції справедливий '''розклад Міттаг-Лефлера''':
:<math>f(z)=h(z)+\sum_{n=1}^\infty\left(g_n(z)-P_n(z)\right),</math>
: де <math>h</math>&nbsp;— деяка [[ціла функція]], а  <math>P_n</math>&nbsp;— деякі многочлени і ряд в правій стороні рівності [[Рівномірна збіжність|збігається рівномірно]] на [[Компактний простір|компактних множинах]]. В даному випадку ряд називається збіжним (рівномірно збіжним) на компактній множині, якщо лише скінченна кількість його доданків має полюси на цій множині і після видалення цих доданків інші збігаються (рівномірно збігаються) на множині.

== Доведення ==
Без обмеження загальності можна вважати, що <math>z_1 \neq 0.</math> В іншому разі замість функції <math>f(z)</math> можна розглядати функцію <math>f(z) - g_1(z).</math>

Зафіксуємо дійсне число  <math>0 < q < 1,</math>  і позначимо <math>K_n :=\{z \in \Complex :  |z| < q|z_n|\}.</math> Оскільки функція <math>g_n(z)</math> є голоморфною в крузі <math>\{|z| < |z_n|\}</math> і <math>K_n </math>  є підмножиною цього круга то <math>g_n(z)</math> можна рівномірно на в <math>K_n </math> наблизити многочленом Тейлора:

<math>P_n(z) = \sum_{i=0}^{m_n}\frac{g_n^{(i)}(0)}{k!}z^k,</math>

де степінь многочлена ми виберемо так, щоб для всіх <math>z \in K_n </math> було <math>|g_n(z) - P_n(z)| < \frac{1}{2^n}.</math>

При такому виборі <math>P_n(z)</math> розглянемо ряд <math>\sum_{n=1}^\infty\left(g_n(z)-P_n(z)\right) = f(z)</math>.

Для довільної компактної множини <math>K </math> існує натуральне число <math>N, </math> таке що <math>K \subset K_n, \; \forall n > N. </math>

Тоді всі члени ряду <math>\sum_{n=N}^\infty\left(g_n(z)-P_n(z)\right) = f_N(z)</math> є голоморфними на <math>K </math>, і цей ряд мажорується збіжною геометричною прогресією <math>\frac{1}{2^n}.</math>

Отже даний ряд збігається на рівномірно на <math>K </math> і за теоремою Вейєрштраса його сума є голоморфною функцією в <math>K </math>.

Функція <math>f(z)</math> відрізняється від <math>f_N(z)</math> на раціональну функцію

<math>\sum_{n=1}^{N-1}\left(g_n(z)-P_n(z)\right)</math>

що має полюси в точках <math>z_1(z), \ldots,  z_{N - 1}(z)</math>  і відповідні головні частини рівні <math>g_1(z), \ldots,  g_{N - 1}(z).</math>

Тобто на множині <math>K </math> функція <math>f(z)</math> має задані полюси і головні частини. Так як <math>K </math> — довільна компактна множина то <math>f(z)</math> — мероморфнамфункція і має в <math>\Complex</math> задані полюси і головні частини.

Якщо тепер <math>f(z)</math> — довільна мероморфна функція, що немає полюса в нулі (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію <math>f(z) - g_1(z)</math>) то позначивши її полюси так що  <math>|z_{1}| \leqslant |z_{2}| \leqslant ... \leqslant |z_{k}| \leqslant ... </math> і побудувавши, як і вище суму ряду <math>\sum_{n=1}^\infty\left(g_n(z)-P_n(z)\right) = f_0(z)</math> отримуємо, що різниця <math>f(z) - f_0(z)</math> є цілою функцією, що завершує доведення.

== Приклади розкладу Міттаг-Лефлера ==
Нижче подні приклади розкладу Міттаг-Лефлера для деяких мероморфних функцій:
*<math>
 \frac{1}{\sin(z)}
		= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{(-1)^n}{z-n\pi}
		= \frac{1}{z}+ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2z}{z^2 - n^2 \pi^2}
</math>

*<math>
 \cot(z) \equiv \frac{\cos (z)}{\sin (z)}
		= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{z-n\pi}
		= \frac{1}{z} + \sum_{k=1}^\infty \frac{2z}{z^2 - k^2\pi^2}
</math>

*<math>
  \frac{1}{\sin^2(z)} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n\pi)^2}
</math>

*<math>
\frac{1}{z \sin(z)}
		= \frac{1}{z^2} + \sum_{n \neq 0}  \frac{(-1)^n}{\pi n(z-\pi n)}
		= \frac{1}{z^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n\pi} \frac{2z}{z^2 - \pi^2 n^2}
</math>

== Див. також ==
* [[Мероморфна функція]]
* [[Ряд Лорана]]
*[[Теорема Вейєрштраса про цілі функції]]

== Посилання ==
* {{springer|title=Mittag-Leffler theorem|id=p/m064170}}

== Джерела ==
* {{citation|first=Б. В. |last=Шабат|title= Введение в комплексный анализ, ч. I|publisher= «Наука»|year=1976}}
* {{citation|first=Robert E. |last=Greene |first2= Steven G.|last2= Krantz|title=Function Theory of One Complex Variable|publisher= American Mathematical Society|edition =2nd|year=2002|isbn= 0-8218-2905-X}}


[[Категорія:Комплексний аналіз]]