Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Ліндемана — Веєрштрасса

'''Теорема Ліндемана&nbsp;— Веєрштрасса''', яка узагальнює теорему Ліндемана, доводить [[Трансцендентне число|трансцендентність]] великого класу чисел. Теорема стверджує таке<ref name="wolfram">{{MathWorld|Lindemann-WeierstrassTheorem|Lindemann–Weierstrass theorem}}</ref>:{{Рамка}}Якщо <math>\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n</math>&nbsp;— різні [[Алгебраїчні числа|алгебричні числа]], [[лінійна залежність|лінійно незалежні]] над <math>\mathbb{Q}</math>, то <math>e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}</math> є [[Алгебраїчна незалежність|алгебрично незалежними]] над <math>\mathbb{Q}</math>, тобто, [[степінь трансцендентності]] розширення <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n})</math> дорівнює <math>n</math>
{{/рамка}}Часто використовується еквівалентне формулювання<ref>{{Книга
|автор = Alan Baker
|заголовок = Transcendental Number Theory
|видавництво = Cambridge University Press
|рік = 1975
|ISBN = 052139791X
}}. Chapter 1, Theorem 1.4.</ref>:{{Рамка}}Для будь-яких різних алгебричних чисел <math>\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n</math> числа <math>e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}</math> є лінійно незалежними над полем алгебричних чисел <math>\overline{\mathbb{Q}}</math>.
{{/рамка}}

== Історія ==
1882 року [[Фердинанд фон Ліндеман|Ліндеман]] довів, що <math>e^\alpha</math> трансцендентне для будь-якого ненульового [[Алгебраїчні числа|алгебричного]] <math>\alpha</math><ref>{{Стаття|author=F. Lindemann|title=Über die Zahl π|language=de|видання=Mathematische Annalen|том=20 (1882)|pages=213—225}}
</ref>, а 1885 року [[Карл Веєрштрасс]] довів загальніше твердження, наведене вище.

З теореми Ліндемана&nbsp;— Веєрштрасса легко випливає трансцендентність чисел ''[[E (число)|e]]'' і ''[[Число пі|π]].''

== Доведення трансцендентності π ==
Застосуємо метод [[доведення від супротивного]]. Припустимо, що число <math>\pi</math> є алгебричним. Тоді число <math>i\pi</math>, де <math>i</math>&nbsp;— [[уявна одиниця]], також алгебричне, отже, за теоремою Ліндемана&nbsp;— Веєрштраса <math>e^{i\pi}</math> трансцендентне, проте, згідно з [[Перелік об'єктів, названих на честь Леонарда Ейлера|тотожністю Ейлера]], воно дорівнює алгебричному числу <math>-1</math>, що викликає суперечність. Отже, число <math>\pi</math> трансцендентне.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{Книга|
|автор = [[Серж Ленг|Ленг С.]]
|місце = Москва
|видавництво = [[Мир (видавництво)|Мир]]
|рік = 1968
|сторінок = 564
|назва = Алгебра
}}
* {{Книга
|назва = Диофантовы приближения и трансцендентные числа
|автор = Шидловский А. Б.
|рік = 2007
|ISBN = 978-5-9221-0720-4
|місце = {{М.}}
|видавництво = ФИЗМАТЛИТ
}}
{{Алгебра-доробити}}
{{перекласти|en|Lindemann–Weierstrass theorem}}
[[Категорія:Теореми в теорії чисел]]
[[Категорія:Теорія чисел]]