Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Лакса — Мільграма

'''Теорема Лакса — Мільграма''' — твердження у [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]], що має широке застосування у [[теорії рівнянь]] в частинних похідних та [[числовий аналіз|числовому аналізі]], зокрема при теоретичному обґрунтуванні [[метод скінченних елементів|методу скінченних елементів]].

== Твердження ==

Нехай:

* <math>\mathcal{H}</math> є [[гільбертів простір|гільбертовим простором]] зі [[скалярний добуток|скалярним добутком]] <math>\left(\cdot, \cdot \right)</math> і асоційованою нормою <math>\|\cdot\|;</math>
* <math>a(\cdot,\cdot)</math> є [[білінійна форма|білінійною формою]], що є 
:* неперервною в <math>\mathcal{H}\times\mathcal{H}:</math> <math display="block">\exists M > 0: \quad \forall (u,v)\in \mathcal{H}^2 \quad |a(u,v)|\le M \cdot \|u\| \cdot \|v\|;</math>
:* коерцивною в <math>\mathcal{H}</math> (іноді використовується термін <math>\mathcal{H}</math>-еліптичність): <math display="block">\exists m > 0: \quad \forall u \in \mathcal{H} \quad a(u,u) \ge m \cdot \|u\|^2;</math>
* <math>\ell</math> є неперервною [[лінійна форма|лінійною формою]] у <math>\mathcal{H}.</math>

Тоді існує єдиний елемент  <math>x \in \mathcal{H}</math> такий що рівність <math>a(x,y) = \ell(y)</math> виконується для всіх  <math>y \in \mathcal{H}:</math>
<math display="block">\exists! x \in \mathcal{H}: \quad \forall y\in\mathcal{H} \quad a(x,y)=\ell(y).</math> 
причому <math>\|x\| \le \frac{1}{m} \cdot \|\ell\|_\star</math>.

== Доведення ==

Для довільного <math>x \in \mathcal{H}</math> відображення <math>y \mapsto a(x, y)</math> — обмежений лінійний функціонал на <math>\mathcal{H}.</math>.

Тоді, за [[Теорема Ріса|теоремою Ріса]], існує єдиний <math>z</math> з <math>\mathcal{H}</math> такий, що <math>a(x, y) = (z, y)</math>. Будемо писати <math>z = A x.</math>

<math>A</math> — обмежений лінійний оператор. Справді, лінійність:
<math display="block">
\begin{aligned}
(A(\lambda_1 \cdot x_1 + \lambda_2 \cdot x_2), y) &= a(\lambda_1 \cdot x_1 + \lambda_2 \cdot x_2, y) = \\
&= \lambda_1 \cdot a(x_1, y) + \lambda_2 \cdot a(x_2, y) = \\
&= \lambda_1 \cdot (A x_1, y) + \lambda_2 \cdot (A x_2, y) = \\
&= (\lambda_1 \cdot A x_1 + \lambda_2 \cdot A x_2, y),
\end{aligned}
</math>
і обмеженість:
<math display="block">\|A x\| = \frac{\|A x\|^2}{\|A x\|} = \frac{(A x, A x)}{\|A x\|} = \frac{a(x, A x)}{\|A x\|} \le \frac{M \cdot \|x\| \cdot \|A x\|}{\|A x\|} = M \cdot \|x\|.</math>

Із умови коерцивності випливає, що:
<math display="block">\|x\| = \frac{m \cdot \|x\|^2}{m \cdot \|x\|} \le \frac{a(x, x)}{m \cdot \|x\|} = \frac{(A x, x)}{m \cdot \|x\|} \le \frac{\|A x\| \cdot \|x\|}{m \cdot \|x\|} = \frac1m \cdot \|A x\|.</math>

На основі цієї нерівності і лінійності випливає:
<math display="block">\|A x - A y\| = \|A (x - y)\| \ge m \cdot \|x - y\|,</math>
зокрема <math>A x \ne A y</math> при <math>x \ne y.</math> Відповідно <math>A</math> є [[ін'єкція (математика)|ін'єктивним відображенням]]. Також із цієї нерівності випливає, що образ оператора <math>A</math> є [[замкнута множина|замкнутим]]. Справді, якщо ''y'' належить замиканню образу оператора, то існує [[послідовність]] <math>x_n \in \mathcal{H}</math> для якої <math>y = \lim_{n \to \infty} x_n</math> у нормі гільбертового простору. Тоді <math>Ax_n</math> є [[фундаментальна послідовність|фундаментальною послідовністю]] і оскільки <math>\|A x_k - A x_n\| \ge m \cdot \|x_k - y_n\|,</math> то <math>x_n</math> теж є фундаментальною послідовністю. Із повноти гільбертового простору випливає, що <math>x_n</math> збігається до деякого <math>x \in \mathcal{H}</math> і тоді <math>y = Ax,</math> тобто <math>y \in \mathcal{H}</math>.

Ба більше, <math>A</math> — [[сюр'єкція]], бо інакше існував би елемент <math>z</math> з ортогонального доповнення до (замкненого) образу <math>A.</math> Щоб знайти такий елемент потрібно взяти довільний <math>y \not \in Ax</math> і знайти <math>y_0 \in Ax,</math> що є найкращим наближенням до ''y'' на образі оператора ''A''. Згідно теорії гільбертових просторів такий <math>y_0</math> існує і єдиний, а <math>z = y - y_0</math> є ортогональним до образу оператора ''A''. Але тоді 
<math display="block">m \cdot \|z\| \le a(z, z) = (A z, z) = 0,</math>
протиріччя з <math>m > 0.</math>

Нарешті, знову-ж таки з [[Теорема Ріса|теореми Ріса]], 
<math display="block">\forall \ell \in \mathcal{H}^*: \quad \exists ! z \in \mathcal{H}: \quad \forall y \in \mathcal{H}: \quad \ell(y) = (z, y),</math>
але, завдяки бієктивності <math>A</math>, ми можемо знайти єдиний елемент <math>x \in \mathcal{H}</math> такий, що <math>A x = z</math>, а тоді 
<math display="block">a(x, y) = (A x, y) = (z, y) = \ell(y).</math>

Також згідно теореми Ріса при цьому <math>\|\ell\|_\star = \|Ax\|</math> і також <math>\|A x\| \ge m \cdot \|x\|,</math> тому <math>\|x\| \le \frac{1}{m} \cdot \|\ell\|_\star</math>.

== Див. також ==
* [[Теорема Ріса]]

== Література ==
* ''Савула Я.Г.'' [https://ami.lnu.edu.ua/wp-content/uploads/2013/10/Savula_Chyslovyy-analiz-zadach-matematychnoji-fizyky.pdf Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. ] - Львів: видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 221 с. ISBN 966-613-017-3 


[[Категорія:Теореми функціонального аналізу]]