Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Коші — Адамара

'''Теорема Коші — Адамара''' — важливий результат в дійсному і [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] про радіус збіжності [[степеневий ряд|степеневих рядів]]. Теорема названа на честь [[Огюстен Коші|Огюстена Коші]] і [[Жак Адамар|Жака Адамара]].

== Твердження ==
Нехай маємо деякий [[степеневий ряд]] з комплексними коефіцієнтами:
:<math>\sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}z^{n}</math>
: і <math>R</math> — його радіус збіжності.
Тоді справедлива формула:
:<math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}</math>
:де <math>\varlimsup\limits</math> позначає [[Верхня і нижня границі|верхню границю]].
Зокрема якщо <math>{\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n} = 0</math> то ряд є збіжним для всіх комплексних чисел, якщо ж <math>{\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n} = \infty</math> то ряд є збіжним лише в нулі.

Аналог теореми справедливий і для функцій дійсної змінної.

== Доведення ==
Доведемо, що степеневий ряд <math>\sum a_n z^n</math> збігається для <math>|z|<R</math> і розбігається для <math>|z|>R</math>.
Тут <math>R</math> визначене через границю в твердженні теореми.

Нехай <math>|z|<R</math> і позначимо <math>t=1/R</math> Тоді для довільного <math>\varepsilon > 0</math>, існує лише скінченна підмножина чисел <math>n</math> для яких <math>\sqrt[n]{|a_n|}\geq t+\varepsilon</math>. Отож <math>|a_n|\leq(t+\varepsilon)^n</math> для всіх <math>n</math> окрім деякої скінченної кількості, тому ряд <math>\sum a_n z^n</math> збігається якщо <math>|z| < 1/(t+\varepsilon)</math>. 

Навпаки для <math>\varepsilon > 0</math>, <math>|c_n|\geq (t-\varepsilon)^n</math> для нескінченної кількості <math>c_n</math>, тож якщо <math>|z|=1/(t-\varepsilon) > R</math>, ряд не може збігатися адже його члени не прямують до 0.
Дане доведення справедливе як для додатного скінченного радіуса збіжності, так і для нульового і нескінченного.

== Див. також ==
*[[Верхня і нижня границі]]
*[[Степеневий ряд]]

== Література ==
*{{Фіхтенгольц.укр}}

== Посилання ==
*{{MathWorld|urlname=Cauchy-HadamardTheorem|title=Cauchy-Hadamard theorem}}

[[Категорія:Комплексний аналіз]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Ряди]]