Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Еренфеста

{{Квантова механіка}}
'''Теоре́ма Еренфе́ста''' ('''Рівняння Еренфеста''')&nbsp;— твердження про вид рівнянь [[Квантова механіка|квантової механіки]] для [[Середнє значення|середніх значень]] [[квантова спостережувана|спостережуваних величин]] [[гамільтонова система|гамільтонових систем]]. Ці рівняння вперше отримані [[Пауль Еренфест|П. Еренфестом]] у [[1927]] році.

Для випадку операторів координати та імпульсу теорема може бути записана у наступній формі<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Section 3.7.5</ref>:
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>m\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \langle p\rangle,\;\; \frac{d}{dt}\langle p\rangle =  -\left\langle V'(x)\right\rangle  ~.</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}У більш загальному випадку таке ж співвідношення виконується для очікуваного середнього значення будь-якого іншого оператора в квантовій механіці та [[Комутатор (математика)|комутації]] цього оператора із гамільтоніаном системи<ref>{{Cite journal | last1 = Ehrenfest | first1 = P. | title = Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik | doi = 10.1007/BF01329203 | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 45 | issue = 7–8 | pages = 455–457 | year = 1927 |bibcode = 1927ZPhy...45..455E | s2cid = 123011242 }}</ref><ref name="Smith">{{cite book | last=Smith | first=Henrik | year=1991 | title=Introduction to Quantum Mechanics | url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000smit | publisher=World Scientific Pub Co Inc |isbn=978-9810204754| pages=[https://archive.org/details/introductiontoqu0000smit/page/108 108]–109}}</ref>{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle+ \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle  ~,</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

тут A&nbsp;— деякий квантовомеханічний оператор (наприклад, оператор імпульсу) а <math>\langle A\rangle</math>&nbsp;— середнє значення відповідної фізичної величини. Теорема Еренфеста є обов'язкова в представленні Гейзенберга [[Квантова механіка|квантової механіки]]. Вона вказує на відповідність квантовомеханічних співвідношень та законів&nbsp;— їх класичним аналогам для середніх значень фізичних величин.

Теорема Еренфеста тісно пов'язана з [[Теорема Ліувіля|теоремою Ліувіля]] із [[Механіка Гамільтона|механіки Гамільтона]], що містить [[дужки Пуассона]] замість [[комутатор (математика)|комутатора]]. В загальному випадку можна сформулювати наступне правило: кожна теорема квантової механіки, що містить комутатор, може бути приведена до її класичного аналога шляхом заміни комутатора на «дужки Пуассона», помноживши їх на коефіцієнт <math>i\hbar</math>.

== Виведення ==
Нехай деяка система знаходиться в [[Квантовий стан|квантовому стані]] <math>\Phi</math>. Якщо ми знаємо похідну по часу від очікуваної величини A, тоді за визначенням будемо мати:

: <math> \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx^3 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx^3 +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3 </math>

: <math> = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3, </math>

де інтегрування проводиться по всьому просторі. Якщо використати при цьому [[рівняння Шредінгера]], тоді знайдемо:

: <math>\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi</math>

та

: <math>\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}\Phi^*H^* = \frac{i}{\hbar}\Phi^*H.</math>{{ref|adjoint}}

Слід відзначити, що <math>H=H^*</math> оскільки [[гамільтоніан]] є [[Ермітів оператор|ермітовий]]. Підставляючи це у приведене вище рівняння, знаходимо

: <math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.</math>

Досить часто (проте не завжди) оператор A не залежить від часу, так що його похідна по часу рівна нулю і ми можемо знехтувати останнім членом.

== Приклад використання ==
В загальному випадку для руху масивної частки в певному потенціалі, гамільтоніан системи можна подати у вигляді:

<math> H(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t) </math>

де ''x'' координата частки. Якщо ми хочемо узнати моментальну зміну імпульсу ''p'', тоді теорема Еренфеста дає:

: <math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle </math>

оскільки ''p'' комутує із самим собою в координатному просторі так, що [[оператор імпульсу]] є <math>p = -i\hbar\nabla</math>, тоді <math> \frac{\partial p}{\partial t} = 0</math>. Також

: <math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3. </math>

Використовуючи стандартне правило диференціювання добутку, знаходимо

: <math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,</math>

що за формою збігається з [[Другий закон Ньютона|другим законом Ньютона]]. Це є типовий приклад т.з. [[Принцип відповідності|принципу відповідності]], який стверджує, що у випадку багатьох часток другий закон Ньютона формулюється у формі очікуваної величини для руху однієї частки.

== Виноски ==

# {{note|adjoint}} Для [[бра-кет нотація|«бра-кет» представлення]]

:: <math> \frac{\partial}{\partial t}\langle \phi |x\rangle =\frac{i}{\hbar}\langle \phi |\hat{H}|x\rangle =\frac{i}{\hbar}\langle \phi |x \rangle H=\frac{i}{\hbar}\Phi^*H </math>

: де <math>\hat{H}</math> оператор Гамільтона, а ''H'' є представлення гамільтоніану в координатному просторі (так само, як і у випадку для похідної вище). Іншими словами, ми використали приєднаний оператор для всього рівняння Шредінгера, котрий змінив порядок операцій ''H'' та <math>\Phi</math>.
== Примітки ==
{{reflist}}
== Література ==
* {{книга
|автор        = Шпольский Э. В.
|назва        = Атомная физика (в 2-х томах)
|том          = 2
 |місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|видавництво  = Наука
|рік          = 1974
|сторінок     = 448
 }}
* {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=267 |publisher=Springer|year=2013| isbn=978-1461471158}}

[[Категорія:Квантова фізика]]
[[Категорія:Фізичні теореми|Еренфеста]]
[[Категорія:1927 у науці]]