Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Дарбу в математичному аналізі

{{значення|Теорема Дарбу}}
'''Теорема Дарбу'''&nbsp;— теорема в [[математичний аналіз|математичному аналізі]], що стверджує&nbsp;— якщо деяка функція на замкнутому відрізку є [[похідна|похідною]] іншої функції, то на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між значеннями на краях відрізка. Теорема названа на честь французького математика [[Жан Гастон Дарбу|Жана Гастона Дарбу]]<ref>G. Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues, [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1875_2_4_/ASENS_1875_2_4__57_0/ASENS_1875_2_4__57_0.pdf Ann. Sci. E.N.S. '''4''' (1875) 57-112]</ref>.

У випадку, якщо похідна є [[неперервна функція|неперервною]], дане твердження є наслідком [[Теорема Больцано-Коші|теореми Больцано-Коші]]. Проте теорема Дарбу справедлива навіть якщо похідна не є неперервною.

== Твердження теореми ==
Нехай <math>I</math>&nbsp;— відкритий [[інтервал]], <math>f\colon I\to \R</math>&nbsp;— дійсна [[диференційована функція]]. Тоді <math>f'</math> володіє '''властивістю середнього значення''': якщо <math>a</math> і <math>b</math>&nbsp;— точки, що належать <math>I</math> і <math>a\leq b</math>, для кожного [[дійсні числа|дійсного числа]] <math>k,</math> такого що <math>f'(a) \leqslant k \leqslant f'(b), \,</math> існує <math>c \in [a,b]</math> для якого <math>f'(c)= k. </math>

== Доведення ==

Розглянемо функцію <math>g:[a,b] \rightarrow \R</math> визначену як
: <math>\forall x \in [a,b],\ g(x) = f(x) - xk</math>
де <math>k</math> є [[дійсні числа|дійсним числом]], що знаходиться строго між <math>\scriptstyle f'(a)</math> і <math>\scriptstyle f'(b)</math>.

Функція <math>g</math> є [[диференційована функція|диференційованою]] на відрізку <math>[a,b]</math> і
: <math>\forall x \in [a,b],\ g'(x) = f'(x) - k</math>

Зокрема, <math>\scriptstyle g'(a) = f'(a) - k</math> і <math>\scriptstyle g'(b) = f'(b) - k</math>, тому <math>\scriptstyle g'(a) <0</math> і <math>\scriptstyle g'(b) >0</math> згідно з визначенням <math>k</math>.

Функція <math>g</math> є неперервною на <math>[a,b]</math> отже досягає на ньому мінімуму ([[друга теорема Вейєрштрасса]]).

Функція <math>g</math> не досягає мінімуму в точці <math>a</math>, оскільки тоді для всіх <math>x \in (a,b]</math> :
: <math>\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \ge 0</math>
і взявши границю коли <math>x</math> прямує до <math>a</math>, одержуємо <math>\scriptstyle g'(a) \geqslant 0</math>, що неможливо. Так само мінімум неможливий у точці <math>b</math> оскільки звідси випливало б <math>\scriptstyle g'(b) \leqslant 0</math>.

Отже мінімум досягається в точці, що є внутрішньою у відрізку <math>c \in (a,b)</math> . Тоді згідно з [[теорема Ферма|теоремою Ферма]] <math> g'(c)=0 \,</math>, звідки <math> f'(c)=k \,</math>.

== Див. також ==
* [[Теорема Больцано-Коші]]
* [[Теорема Ролля]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}

{{Математичний аналіз}}

[[Категорія:Теореми в математичному аналізі]]