Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Веєрштрасса — Стоуна

'''Теорема Веєрштрасса&nbsp;— Стоуна'''&nbsp;— твердження про можливість подання будь-якої [[Неперервна функція|неперервної функції]] на [[Гаусдорфів простір|гаусдорфовому]] [[Компактний простір|компакті]] границею [[Рівномірна збіжність|рівномірно збіжної]] послідовності неперервних функцій особливого класу&nbsp;— алгебри Стоуна{{Перехід|#Алгебра Стоуна}}.

Спочатку сформулював і довів [[1885]] року [[Карл Веєрштрасс]] для неперервних на [[Відрізок|відрізку]] дійсної прямої функцій, встановивши можливість їх рівномірно наблизити послідовністю [[многочлен]]ів{{Перехід|#Теорема Веєрштрасса}}. [[1937]] року [[Маршалл Гарві Стоун|Маршалл Стоун]] істотно узагальнив результат{{Перехід|#Узагальнення Стоуна}}, поширивши результат на функції, неперервні на довільному T<sub>2</sub>- відокремлюваному компактному просторі, що утворюють [[Кільце (алгебра)|кільце]], а як рівномірно збіжні послідовності функцій замість многочленів&nbsp;— функції зі специфічного підкласу неперервних функцій, що утворює підкільце.

Пізніше знайдено й інші узагальнення результату{{Перехід|#Дальнейшие обобщения}}.

== Теорема Веєрштрасса ==
Нехай <math>f</math>&nbsp;— [[неперервна функція]], визначена на відрізку <math>[a,b]</math>. Тоді для будь-якого <math>\varepsilon > 0</math> існує такий [[многочлен]] <math>p</math> з дійсними коефіцієнтами, що для всіх <math>x</math> із <math>[a,\;b]</math> одночасно виконано умову <math>|f(x)-p(x)|<\varepsilon</math><ref>Фіхтенгольц Г.&nbsp;Курс диференціального та інтегрального числення. Т. 3, п. 734</ref>.

Якщо <math>f(x)</math> неперервна на крузі (періодична), то твердження істинне і для [[Тригонометричний многочлен|тригонометричних многочленів]].

Теорема справедлива і для [[Комплексне число|комплекснозначних]] функцій, але тоді коефіцієнти многочлена <math>p</math> слід вважати комплексними числами.

=== Схема доведення Веєрштрасса ===
Теорему встановив [[Карл Веєрштрасс]] 1885 року<ref>Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.</ref> як наслідок загальнішого твердження: для дійсних усюди визначених неперервних функцій <math>f(x)</math> і <math>\psi(x)</math>, абсолютне значення яких не перевищує деякої межі, притому <math>\psi(x)</math> ніде не змінює свого знака і задовольняє рівності <math>\psi(-x)=\psi(x)</math> і для неї збігається інтеграл:

: <math>\int \limits_{0}^\infty \psi(x)dx = \omega</math>,

виконується:

: <math>f(x) = \lim\limits_{k \to 0} \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy</math>.

З прямого доведення зразу випливає, що границя не тільки існує і дорівнює <math>f(x)</math>, але й що [[Рівномірна збіжність|збіжність рівномірна]] за <math>x</math>, що змінюється на будь-якому скінченному відрізку.

Взявши як <math>\psi(x)=e^{-x^2}</math>, кожна функція з сімейства:

: <math>F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy</math>

цілком визначена за всіх комплексних <math>x</math> і є [[Ціла функція|цілою]]. Тому їх можна рівномірно в крузі будь-якого радіусу наблизити многочленами ([[Теорема Абеля (аналіз)|теорема Абеля]]). Звідси зразу випливає, що будь-яку неперервну функцію <math>f(x)</math> можна рівномірно наблизити многочленами на будь-якому скінченному інтервалі.

Якщо до того ж <math>f(x)</math>&nbsp;— [[періодична функція]] з періодом <math>T</math>, то функції <math>F_k(x)</math> є цілими періодичними функціями. Але тоді:

: <math>F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\right)</math>

є однозначною і голоморфною функцією в області <math>z\not =0</math> і, отже, розкладається в [[ряд Лорана]]:

: <math>F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{T}inx \right)}</math>,

тож <math>F_k(x)</math>, а значить і <math>f(x)</math> можна наблизити тригонометричними многочленами.

=== Значення результату Веєрштрасса ===
У середині XIX століття уявлення про [[Функція (математика)|функцію]] як аналітичний вираз здавалося повністю застарілим, а формований на базі інтегрального і диференціального числення [[Математичний аналіз|аналіз]] оперував довільними функціями, так, {{Нп|Герман Ганкель|3=de|4=Hermann Hankel}} особливо відзначав: ''«про функцію <math>y</math> від <math>x</math> кажуть, коли кожному значенню змінної <math>x</math>, [що лежить] всередині деякого інтервалу, відповідає певне значення <math>y</math>; при цьому не суттєво, чи залежить <math>y</math> від <math>x</math> у всьому інтервалі за одним законом, і чи можна цю залежність виразити за допомогою математичних операцій»''<ref>Цит. за Koenig F. ''Kommentierender Anhang'' // Klein F. ''Funktionentheorie''. Teubner, 1987. S. 261</ref>, підкреслюючи, що не кожну функцію можна подати за допомогою аналітичного виразу. У відповідь на це Веєрштрасс і написав роботу «Про аналітичне подання так званих довільних функцій», в якій показано, що довільна неперервна функція є границею многочленів. Надалі з'ясувалося, що й самі «патологічні» функції, наприклад, [[функція Діріхле]], допускають такого роду подання, але лише з великим числом граничних переходів.

=== Топологічні наслідки ===
Згідно з теоремою Вейєрштрасса простір неперервних дійсно- або комплекснозначних функцій на відрізку з рівномірною нормою [[Сепарабельний простір|сепарабельний]]: простір многочленів з [[Раціональне число|раціональними]] або комплексно-раціональними коефіцієнтами є [[Зліченна множина|зліченним]] [[Щільна множина|усюди щільним підпростором]].

== Узагальнення Стоуна ==
{{Якір|Алгебра Стоуна}}1935 року Стоун довів, що будь-яку функцію з кільця <math>C(K)</math> неперервних на [[Гаусдорфів простір|гаусдорфовому]] компакті <math>K</math> дійснозначних функцій можна рівномірно наблизити функціями спеціального класу&nbsp;— які складають алгебру Стоуна, тобто будь-яка алгебра Стоуна <math>C_0</math> є всюди щільною в [[Простір неперервних функцій|просторі неперервних функцій]] на компакті: <math>\overline{C_0}=C(K)</math>. Як норма рівномірної збіжності на <math>C(K)</math> береться <math>\| f \| = \max\limits_{x \in K} |f(x)|</math>, а алгебра Стоуна визначається як [[Алгебра над полем|підалгебра]] <math>C_0 \subseteq C(K)</math>, елементи якої розділяють точки <math>K</math>.

{{Якір|Алгебра Стоуна}}Точніше, '''алгебра Стоуна''' <math>C_0</math>&nbsp;— це множина функцій із кільця <math>C(K)</math>, що задовольняє таким умовам:

# разом з будь-якими її елементами <math>f, g \in C_0</math> в алгебру Стоуна входять елементи: <math>cf</math> (<math>c \in \mathbb R</math>), <math>f + g</math>, <math>fg</math>;
# алгебра Стоуна містить сталу функцію <math>1</math>;
# для кожної пари різних точок <math>x_{1}, x_{2} \in K</math> знайдеться хоча б одна функція <math>f \in C_0,</math> така, що <math>f(x_{1}) \neq f(x_{2})</math>.

== Подальші узагальнення ==
Існує серія узагальнень теореми Веєрштрасса&nbsp;— Стоуна в різних напрямках. Наприклад, за [[Теорема Мергеляна|теоремою Мергеляна]] будь-яку функцію, неперервну на будь-якому компакті зі зв'язним доповненням на комплексній площині і голоморфну в його внутрішніх точках можна рівномірно наблизити комплексними многочленами. Також знайдено узагальнення, що дозволяють замість гаусдорфового компакта розглядати функції, неперервні на довільному [[Цілком регулярний простір|тихоновському просторі]].

== Див. також ==
* [[Поліноми Бернштейна]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Березанський.Ус.Шефтель}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Із|МЕ|назва=Вейерштрасса — Стоуна теорема|автор=В. І. Пономарьов}}

[[Категорія:Теорія наближення]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі]]
[[Категорія:1885 у науці]]