Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Больцано — Веєрштрасса

'''Теоре́ма Больцано&nbsp;— Веєрштра́сса'''&nbsp;— твердження в [[Математичний аналіз|математичному аналізі]], згідно з яким, із будь-якої [[Обмежена послідовність|обмеженої послідовності]] можна виділити [[Границя послідовності|збіжну підпослідовність]].

== Історія ==
Ця теорема доведена в 1817 році<ref>The Bolzano–Weierstrass theorem ... was actually first proved by Bolzano in 1817 as a lemma in the proof of the intermediate value theorem: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, das zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation) / Bernard Bolzano, [https://books.google.com.ua/books?id=5KdeAAAAcAAJ&hl=uk&source=gbs_similarbooks gedruckt] bei [[Богумил Гаазе|Gottlieb Haase]], 1817. – 60 S.</ref><ref>Bolzano В., [[s:de:Königliche böhmische Gesellschaft der Wissenschaften#Abhandlungen| «Abhandl. Böhmischen Ges. Wiss.»]], 1817 / [[Кудрявцев Лев Дмитрович|Л. Д. Кудрявцев]] // [[Математическая энциклопедия]]. Том '''1''' {{nobr|(А – Г)}}. Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.</ref> чеським математиком [[Бернард Больцано|Бернардом Больцано]] (1781–1848), на півстоліття пізніше була незалежно отримана [[Карл Веєрштрасс|Карлом Веєрштрассом]] (1815–1897).

== Узагальнення в топології ==
Про узагальнення цієї теореми в [[Топологія|топології]]. Нехай <math>(X,\Tau)</math>&nbsp;— [[топологічний простір]], <math>A</math>&nbsp;— [[підмножина]] <math>X</math>. Тоді:

* ''Якщо <math>A</math>&nbsp;— [[Компактний простір#Пов'язані визначення|компакт]], то для будь-якої [[Послідовність|послідовності]] <math> \{x_n \}</math> з <math>A</math> будь-яка [[гранична точка]] цієї послідовності також належить&nbsp;<math>A</math>.
* І навпаки, ''якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього <math>(X,\Tau)</math> задовільняє [[Друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]], то <math>A</math> є компактною підмножиною.

Зокрема якщо <math>(X,\Tau)</math> задовільняє другу аксіому зліченності, то <math>A</math> буде компактною тоді і лише тоді коли для кожної послідовності з <math>A</math> гранична точка належить їй<ref>{{Cite book
|title=Математичний аналіз
|last=Заболоцький
|first=М.В.
|last2=Сторож
|first2=О.Г.
|last3=Тарасюк
|first3=С.І.
|year=2008
|publisher="Знання"
|location=Київ
|pages=
|language=укр
|isbn=978-966-346-323-0
}}</ref><ref>{{Cite book
|title=Практикум з математичного аналізу
|last=Заболоцький
|first=М.В.
|last2=Фединяк
|first2=С.І.
|last3=Філевич
|first3=П.В.
|year=2005
|publisher=Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка
|location=Львів
|pages=80
|language=укр
|isbn=
}}</ref>.

== Класична теорема  ==

''Нехай <math>\{ x_n\}</math> — будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел, тобто
:<math> \bigl(\exists a\in \R \bigr)\bigl(\exists b\in \R \bigr)\bigl(\forall n\in \N \bigr)\{a \leqslant x_n \leqslant b\} </math>
''З неї завжди можна виділити [[Границя послідовності|збіжну підпослідовність]].

; Доведення
Розділимо відрізок <math> [a , b] </math> точкою <math> \frac{a+b}{2} </math> навпіл. Тоді хоча б один із відрізків
:<math> \left [ a , \frac{a+b}{2}\right ] </math> чи <math> \left [ \frac{a+b}{2} , b \right] </math>&nbsp;— 
містить нескінченну кількість членів послідовності <code><math> \{x_n\} </math></code>. Позначимо такий відрізок <code><math> [ a_1 ,b_1 ] </math></code>. Аналогічно утворимо відрізки
:<math> \left [ a_1 , \frac{a_1+b_1}{2}\right ] </math> та <math> \left [ \frac{a_1+ b_1}{2} , b_1 \right] </math>,
хоча б один з яких теж містить нескінченну кількість членів послідовності <code><math>\{x_n\}</math></code>.

Позначимо його <code><math> [ a_2 ,b_2 ] </math></code> . Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність вкладених відрізків
:<math> [ a_1 ,b_1 ]\supset[ a_2 ,b_2 ]\supset[ a_3 ,b_3 ]\supset[ a_4 ,b_4 ]\supset \ldots [ a_k ,b_k ]\supset \ldots </math> ,

довжина яких
:<math> d_k\ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ b_k - a_k = \frac{b-a}{2^{k}} </math>.

Оскільки
:<math> \lim_{k \to \infty} d_k = \lim_{k \to \infty} \tfrac{b-a}{2^{k}}=0 </math>,

то, згідно з теоремою про принцип вкладених відрізків

:<math>\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty}b_k\  \overset{\underset{\mathrm{def}}{}} {= }\ c</math>,

Виберемо послідовність <math>\{x_{n_k}\}</math> так. Нехай <math> x_{n_1} </math>&nbsp;— будь-який із членів послідовності <math> \{x_n\} </math>, що належить відрізку <math> [ a_1 ,b_1 ] </math>;

:<math> x_{n_2} </math>&nbsp;— будь-який із членів послідовності <math> \{x_n\} </math>, що належить відрізку <math> [ a_2 ,b_2 ] </math> і такий, що <math> n_2>n_1 </math>.

Такий член завжди існує, оскільки відрізок <math> [ a_2 ,b_2 ] </math> містить нескінченно багато членів послідовності <math> \{x_n\} </math>.

І взагалі, <math> x_{n_k} </math>&nbsp;— будь-який із членів послідовності <math> \{x_n\} </math>, що належить відрізку <math> [ a_k ,b_k ] </math> і такий, що <math> n_k> n_{k-1} </math>.

Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність <math> \{x_{n_k}\} </math>, причому

:<math> n_1< n_2 < \ldots<n_k< \ldots </math>

і виконують нерівності

:<math> a_k\leqslant x_{n_k}\leqslant b_k </math>

Враховуючи, згідно з теоремою про три послідовності, маємо

:<math> \lim_{k \to \infty} x_{n_k} =c </math>.

== Наслідок ==

''З будь-якої послідовності дійсних чисел можна виділити підпослідовність, збіжну в <math>\mathbb R \cup\{\infty\}</math>.

; Доведення
Нехай <math> \{x_n\} </math>&nbsp;— довільна послідовність. Якщо <math> \{x_n\} </math>&nbsp;— обмежена, то за теоремою Больцано&nbsp;— Веєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність.

Якщо <math> \{x_n\} </math>&nbsp;— необмежена зверху, то

:<math> \bigl(\forall k\in \N \bigr)\bigl(\exists n_k \in \N \bigr)\{x_{n_k} > k\} </math>.

Доведемо, що

:<math> \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = +\infty </math> .

Справді, оскільки

:<math> \bigl(\forall M \in \R\bigr)\bigl(\exists K \in \N \bigr)\{ K>M\} </math>,

то

:<math> \bigl(\forall M \in \R\bigr)\bigl(\exists K \in \N\bigr)\bigl(\forall k> K\bigr)\{ x_{n_k}>M\} </math>,

що й означає виконання співвідношення.

== Див. також ==
* [[Часткова границя послідовності]]
* [[Верхня границя|Верхня границя послідовності]]
* [[Нижня границя|Нижня границя послідовності]]
* [[Фундаментальна послідовність]]
* [[Критерій Коші]]
* [[Стискна теорема|Три послідовності]]
* [[Лема про вкладені відрізки|Послідовність вкладених відрізків]]

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* [http://matan.kpi.ua/public/files/bakun_vm2.pdf Вища математика&nbsp;— 2]. Навчальний посібник для студентів технічних напрямків підготовки / Укладач: {{nobr|В. В. Бакун}}.&nbsp;— К.: [[Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»|НТУУ «КПІ»]], 2013.&nbsp;— 270&nbsp;с.

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Границі]]
[[Категорія:Теореми компактності]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі|Больцано—Веєрштрасса]]