Перегляд вихідного коду сторінки Телескопічний ряд

'''Телескопічний ряд''' в математиці&nbsp;— нескінченний [[Ряд (математика)|ряд]], суму якого можна легко знайти, виходячи з того, що при розкритті дужок майже всі доданки взаємознищуються. Назва була дана по аналогії зі стволом [[телескоп]]а, який може зменшувати свою довжину, склавшись кілька разів.

Найвідоміший приклад такого ряду&nbsp;— сума <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}</math>, яка спрощується
наступним чином:
: <math>
\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) =\\
& {} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots= \\
& {} =  1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)
+ \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots = 1.
\end{align}
</math>

Суть телескопічних сум полягає в тому, що кожен доданок ряду представдяється у вигляді різниці і тому часткова сума ряду спрощується:
: <math>\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}</math>.

Аналогічно можна уявити собі «телескопічний» добуток, тобто нескінченний добуток вигляду:
: <math>\prod_{i=1}^n \frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot\frac{a_4}{a_3}\cdots
\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math>.

При сумуванні [[Умовна збіжність|умовно збіжних]] нескінченних рядів потрібно звертати увагу на те, що перегрупування доданків може призвести до зміни результату (див. [[Теорема Рімана про умовно збіжний ряд]]). Наприклад, «парадокс» з [[Ряд Гранді|рядом Гранді]]:
: <math>0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,</math>
Цього можна уникнути, якщо завжди розглядати суму перших n членів, а потім знаходити [[Границя числової послідовності|границю]] при <math>n\to\infty</math>.

== Приклади ==
Багато [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]] дозволяють представлення у вигляді різниці, що дозволяє організувати взаємознищення відповідних доданків

:: <math>
\begin{align}
\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) & {} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \operatorname{cosec}\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right)= \\
& {} =\frac{1}{2} \operatorname{cosec}\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) =\\
& {} =\frac{1}{2} \operatorname{cosec}\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).
\end{align}
</math>

* часткова сума [[Геометрична прогресія|геометричної прогресії]]:
:: <math>(x-1)\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n(x^{k+1}-x^k)=x^{n+1} - 1.</math>

* іноді доводиться застосовувати «телескопічне» перетворення два рази:
:: <math>
\begin{align}
(x-1)^2\sum_{k=1}^n kx^{k-1} &= \sum_{k=1}^n(kx^{k+1} - 2kx^k + kx^{k-1}) = \\
&=\sum_{k=1}^n [kx^{k+1}-(k-1)x^k] - \sum_{k=1}^n [(k+1)x^k-kx^{k-1}] = nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1
\end{align}
</math>.
Другий метод обчислення цієї суми&nbsp;— представити доданки у вигляді [[Похідна функції|похідної]] від геометричної прогресії:
:: <math>\sum_{k=1}^n kx^{k-1}
 = \frac{\rm d}{{\rm d}x}\sum_{k=0}^n x^k
 = \frac{\rm d}{{\rm d}x}\frac{x^{n+1}-1}{x-1}
 = \frac{(n+1)x^n(x-1) - (x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}
 = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}
</math>.

== Див. також ==
* [[Порядкова статистика]]
* [[Пуассонівський процес]]
* [[Розподіл Пуассона]]
* [[Функція маси імовірності]]

[[Категорія:Ряди]]
[[Категорія:Числення]]
[[Категорія:Дискретні перетворення]]