Перегляд вихідного коду сторінки Таблиця похідних

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
Знаходження [[похідна|похідної]] є найважливішою операцією у [[Диференціальне числення|диференціальному численні]].

У цій статті наведені правила диференціювання та список похідних основних [[функція (математика)|функцій]], яких достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

У нижчеподаних формулах
: <math>x</math>&nbsp;— змінна,
: <math>f</math>&nbsp;— функція цієї змінної,
: <math>u</math> і <math>v</math>&nbsp;— довільні функції, що диференціюються,
: <math>c</math>&nbsp;— константа.

== Загальні правила ==

=== Константа ===
: <math>\left({c \cdot f}\right)^\prime = c \cdot f^\prime </math>, де <math>c = \text{const} \,</math>

=== Похідна суми й різниці функцій ===
{{якір|Похідна суми}}
: <math>\left({u + v}\right)' = u' + v'</math>
{{якір|Похідна різниці}}
: <math>\left({u - v}\right)' = u' - v'</math>

=== Похідна добутку й частки функцій ===
{{main|Правило добутку|Правило частки при диференціюванні|l2=Правило частки}}
: <math>\left({u \cdot v}\right)' = {u'v+uv'}</math>
: <math>\left({u \over v}\right)' = {{u'v-uv'} \over {v^2}}\,, \qquad v \ne 0</math>

=== Похідна складеної функції ===
{{Докладніше|Диференціювання складеної функції}}

: <math>\Big({u\big(v(x)\big)}\Big)' = {u_v'(v) \cdot v_x'(x)}</math>

=== Похідна оберненої функції ===
{{Докладніше|[[Теорема про обернену функцію|Диференціювання оберненої функції]]}}

: <math>(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}</math>

== Список ==

=== Похідні простих функцій ===

: <math> \left (c\right )' = 0</math>

: <math> \left (x\right )' = 1</math>

: <math> \left (cx\right)' = c</math>

: <math> |x|' = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0</math>

: <math> \left(x^c\right)' = cx^{c-1}</math>, де <math>\left(x^c\right)</math> та <math>\left(x^{c-1}\right)</math>&nbsp;— визначені

Зокрема:
:: <math> \left({1 \over x^c}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}</math>

:: <math> \left({1 \over x}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -{1 \over x^2}</math>

:: <math> \left(\sqrt{x}\right)' = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0</math>

=== Похідні від показникових і логарифмічних функцій ===
{{Див. також|Показникова функція|Логарифм}}
{| cellpadding="5"
|-
|width="50%" |<math> \left (e^x\right)' = e^x</math>
|<math> \left (\ln x\right)' = {1 \over x}</math>
|-
|<math> \left (a^x\right)' = {a^x \ln a},\quad a > 0</math>
|<math> \left (\log_a x\right)' = {1 \over x \ln a},\quad a > 0, a \ne 1</math>
|-
|<math> \left (e^{ax}\right)' = ae^{ax}</math>
|
|}

=== Похідні від тригонометричних функцій ===
{{Див. також|Тригонометричні функції}}
{| cellpadding="5"
|-
!width="60%" | Прямих
!Обернених
|-
|<math> \left (\sin x\right)' = \cos x</math>
|<math> \left (\operatorname{arcsin}x\right)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math> \left (\cos x\right)' = -\sin x</math>
|<math> \left (\operatorname{arccos}x\right)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math> \left (\operatorname{tg}x\right)' = { 1 \over \cos^2 x}</math>
|<math> \left (\operatorname{arctg}x\right)' = { 1 \over 1 + x^2}</math>
|-
| <math> \left (\sec x\right)' = {\sin x \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}x \sec x</math>
|<math> \left (\operatorname{arcsec}x\right)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>
|-
|<math> \left (\operatorname{ctg}x\right)' = { -1 \over \sin^2 x}</math>
|<math> \left (\operatorname{arcctg}x\right)' = {-1 \over 1 + x^2}</math>
|-
|<math> \left (\operatorname{cosec}x\right)' = - {\cos x \over \sin^2 x} = -\operatorname{ctg}x \operatorname{cosec}x</math>
|<math> \left (\operatorname{arccosec}x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>
|}

=== Похідні від гіперболічних функцій ===
{{Див. також|Гіперболічні функції}}
{| cellpadding="5"
|-
!width="60%" | Прямих
!Обернених
|-
|<math> \left (\operatorname{sh} x\right)' = \operatorname{ch} x</math>
|<math> \left (\operatorname{arsh} x\right)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math>
|-
|<math> \left (\operatorname{ch} x\right)' = \operatorname{sh} x</math>
|<math> \left (\operatorname{arch} x\right)' = {-1 \over \sqrt{x^2 - 1}}</math>
|-
|<math> \left (\operatorname{th} x\right)' = \operatorname{sch}^2 x</math>
|<math> \left (\operatorname{arth} x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}</math>
|-
|<math> \left (\operatorname{sech} x\right)' = - \operatorname{th} x\, \operatorname{sech} x</math>
|<math> \left (\operatorname{arsech} x\right)' = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math> \left (\operatorname{cth} x\right)' = - \operatorname{csch}^2 x</math>
|<math> \left (\operatorname{arcth} x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}</math>
|-
|<math> \left (\operatorname{csch} x\right)' = - \operatorname{cth} x\, \operatorname{csch} x</math>
|<math> \left (\operatorname{arcsch} x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math>
|}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
{{clear}}

== Джерела ==
* {{Двайт-таблиці}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Основні правила та формули диференціювання |сторінки=240-242}}
* {{Бронштейн-Семендяєв-1986}}

{{Математичний аналіз}}

[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Математичні списки]]
[[Категорія:Математичні таблиці|Похідних]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]