Перегляд вихідного коду сторінки Сфера

{{Otheruses|Сфера (значення)}}
{{unibox}}
[[Файл:Sphere_and_Ball.png|thumb|Радіус ''r'' сфери]]
'''Сфе́ра''' (від {{lang-el|σφαῖρα}}&nbsp;— куля)&nbsp;— замкнута [[поверхня]], [[геометричне місце точок]] рівновіддалених від даної точки, що є центром сфери. Сфера є окремим випадком [[еліпсоїд]]а, у якого всі три півосі однакові.

== Властивості ==
Відрізок, що сполучає центр сфери з її точкою, а також його довжина, називається ''радіусом''; відрізок, що сполучає дві точки сфери&nbsp;— ''[[хорда (геометрія)|хордою]]''; хорда, що проходить через центр сфери називається її ''[[діаметр]]ом''. Сферу можна розглядати також як поверхню обертання півкола навколо його діаметра. Частина простору, яка обмежена сферою і містить її центр, називається ''[[куля|кулею]]''. Переріз сфери довільною площиною є коло. Воно називається великим, коли площина проходить через центр сфери, всі інші перерізи є малими колами.

У сфери найменша [[площа поверхні]] з-поміж всіх тіл, що замикають даний об'єм, та найбільший замкнений об'єм при даній площі поверхні. З цієї причини, сфера часто зустрічається у [[природа|природі]]: краплі води в [[невагомість|невагомості]], планети, [[Глобула|глобули]] і т.ін.

Площину (пряму), яка має зі сферою тільки одну спільну точку, називають дотичною площиною (прямою) до сфери. Якщо дві сфери мають тільки одну спільну точку, говорять, що вони дотикаються в цій точці.

== Рівняння ==
У [[аналітична геометрія|аналітичній геометрії]] сфера у декартовій системі координат з координатами центру <math>O(x_0,y_0,z_0)</math> і [[радіус]]ом <math>r</math> є геометричним місцем усіх точок <math>(x,y,z)</math>, що описується рівнянням:
: <math>(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z -  z_0 )^2 =  r^2. \,</math>

У [[Сферична система координат|сферичній системі координат]] будь-яку точку сфери можна подати як
: <math> x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi </math>
: <math> y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leqslant \varphi < 2\pi,\ 0 \leqslant \theta \leqslant \pi ) \, </math>
: <math> z = z_0 + r \cos \theta \,</math>

Сфера довільного радіусу з центром у [[Початок координат|початку координат]] задається [[Диференціальне рівняння|диференціальним рівнянням]]:
: <math> x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.</math>

Це рівняння відображає факт, що [[вектор]]и швидкості та координат точки, що рухається по поверхні сфери постійно [[ортогональність|ортогональні]] один до одного.

[[Кривина Гауса]] для сфери постійна і визначається як <math>\frac{1}{r^2}</math>.

Коло, яке лежить на сфері так, що центри кола та сфери збігаються, називається '''великим колом сфери'''. Великі кола є [[Геодезична лінія|геодезичними лініями]] на сфері; будь-які дві з них перетинаються в двох точках. Іншими словами, великі кола сфери є аналогами [[Пряма|прямих]] на площині. Відстань між точками на сфері визначається як довжина дуги великого кола, що проходить через задані точки. Куту між прямими на площині відповідає [[двогранний кут]] між площинами великих кіл. Багато теорем геометрії на площині мають місце і в сферичної геометрії, існують аналоги [[Теорема синусів|теореми синусів]], [[Теорема косинусів|теореми косинусів]] для сферичних трикутників. У той же час, існує чимало відмінностей, наприклад, в сферичному трикутнику сума кутів завжди більше <math>180</math> градусів, до трьох ознак рівності трикутників додається четверта&nbsp;— їх рівність по трьох кутах, у сферичного трикутника може бути два і навіть три прямих кута - наприклад, у сферичного трикутника , утвореного екватором і двома меридіанами <math>0^\circ</math> та <math>90^\circ</math>.

== Замкнений об'єм ==
[[Файл:Esfera Arquímedes0.svg|thumb|[[Циліндр]], описаний навколо сфери]]

В тривимірному просторі, [[об'єм]] всередині сфери (який є об'ємом [[Куля|кулі]]) є:
: <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>
де <math>r</math>&nbsp;— це радіус сфери. [[Архімед]] вперше вивів цю формулу, коли показав, що об'єм всередині сфери в два рази більший за різницю в об'ємах всередині сфери та всередині [[Описане коло|описаного]] [[циліндр]]а (у якого висота та діаметр дорівнюють діаметру сфери).<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 223}}</ref> Це твердження можна отримати з [[Принцип Кавальєрі|принципу Кавал'єрі]]. Ця формула також може бути отримана за допомогою [[Інтегральне числення|інтегрального обчислення]].

При кожному заданому <math>x</math> інкрементний об'єм (<math>\delta V</math>) дорівнює добутку площі поперечного [[Площа круга|перерізу круга]] при <math>x</math> і його товщині (<math>\delta x</math>):
: <math>\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

Повний об'єм дорівнює сумі всіх інкрементних об'ємів:
: <math>V \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

Для границі функції, коли {{mvar|δx}} наближається до нуля<ref name="delta"/> це рівняння набуває вигляду:
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi y^2 dx.</math>

Для будь-якого <math>x</math>, [[прямокутний трикутник]] поєднує <math>x</math>, <math>y</math> та <math>r</math> із початком координат; значить, якщо застосувати [[Теорема Піфагора|теорему Піфагора]], отримаємо:
: <math>y^2 = r^2 - x^2.</math>

Використаємо підстановку:
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2)dx,</math>

Це може бути обчислене, щоб отримати наступний результат:
: <math>V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) = \frac43\pi r^3.</math>

Альтернативно, ця формула може бути знайдена з використанням [[Сферична система координат|сферичних координат]], з {{не перекладено|Елемент об'єму|елементом об'єму|en|Volume element}}
: <math> dV=r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi</math>
і таким чином:
: <math>V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi = \frac43\pi r^3.</math>
Для більшості практичних цілей, об'єм всередині сфери, [[Вписана сфера|вписаної]] в [[куб]], може бути наближене до <math>52.4\%</math>об'єму куба через те, що <math>V=\tfrac{\pi}{6}d^3</math>, де <math>d</math> є діаметром сфери і в той же час довжиною сторони куба і <math>\tfrac{\pi}{6}\approx0.5236</math>. Наприклад, сфера діаметру <math>1</math> [[метр]] має <math>52.4\%</math>об'єму куба з довжиною ребра <math>1</math> метр, або близько <math>0.524</math>&nbsp;м<sup>3</sup>.

== Площа поверхні ==
[[Площа поверхні]] сфери радіусу <math>r</math>
: <math>S = 4\pi r^2.</math>

[[Архімед]] вперше отримав цю формулу<ref name=MathWorld_Sphere>{{MathWorld |title=Sphere |id=Sphere}}</ref> з того факту, що проєкція на бічну поверхню [[Описане коло|описаного]] циліндра зберігає площу.<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 221}}</ref> Інший спосіб отримати цю формулу&nbsp;— це взяти [[Похідна|похідну]] від формули об'єму по <math>r</math>, бо об'єм всередині сфери радіусу <math>r</math> може розглядатись як сума нескінченної кількості сферичних оболонок нескінченно малої товщини, де кожна наступна впритул «обгортає» попередню, від нульового радіусу до радіусу <math>r</math>. Для нескінченно малої товщини різниця між внутрішньою та зовнішньою площами поверхонь для будь-якої оболонки є нескінченно малою, а {{не перекладено|Елемент об'єму|елемент об'єму|en|Volume element}} на радіусі <math>r</math> просто є добутком площі поверхні на радіусі <math>r</math> та нескінченно малою товщиною.

Для будь-якого даного радіусу <math>r</math>,<ref>{{mvar|r}} розглядається як змінна для цього обчислення</ref> приріст об'єму (<math>\delta V</math>) дорівнює добутку площі поверхні на радіусі <math>r</math> (<math>S(r)</math>) та товщиною обгортки (<math>\delta r</math>):
: <math>\delta V \approx S(r) \cdot \delta r. </math>

Повний об'єм сфери дорівнює сумі всіх об'ємів оболонок:
: <math>V \approx \sum S(r) \cdot \delta r.</math>

Для границі функції, коли <math>\delta r</math> наближається до нуля<ref name="delta">Pages 141, 149. {{cite book
|author1=E. J. Borowski |author2=J. M. Borwein |title=Collins Dictionary of Mathematics
|year=1989 |url=https://archive.org/details/dictionaryofmath0000boro |isbn=0-00-434347-6}}</ref> це рівняння набуває вигляду:
: <math>V = \int_0^r S(r) \, dr.</math>

Підставимо <math>V</math>:
: <math>\frac43\pi r^3 = \int_0^r S(r) \, dr.</math>

Якщо взяти похідну по <math>r</math> з обох боків рівняння, то отримаємо <math>S</math> як функцію від <math>r</math>:
: <math>4\pi r^2 = S(r).</math>

Звичайно це записується як:
: <math>S = 4\pi r^2,</math>
де <math>r</math> розглядається як фіксований радіус сфери.

Альтернативно, {{не перекладено|Елемент площі|елемент площі|en|Volume_element#Area_element_of_a_surface}} на сфері заданий в [[Сферична система координат|сферичних координатах]] як <math>dS=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi</math>.
В [[Декартова система координат|прямокутній системі координат]], елемент площі виглядає як:
: <math>dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-{\displaystyle \sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}}\prod_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k.</math>
Для більш детального розгляду, відвідайте {{не перекладено|Елемент площі|елемент площі|en|Volume_element#Area_element_of_a_surface}}.

Повна площа, таким чином, може бути отримана за допомогою [[Інтеграл|інтегрування]]:
: <math>S = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\varphi = 4\pi r^2.</math>

[[Файл:Einstein gyro gravity probe b.jpg|thumb|Картинка однієї з найбільш точних сфер, зроблених людиною, яка [[Заломлення|заломлює]] фото [[Альберт Ейнштейн|Ейнштейна]] на фоні. Сфера виробництва [[НАСА]] з плавленого кварцу для використання в гіроскопі [[Gravity Probe B]]. Це одна з найточніших сфер коли-небудь створених людиною, що відрізняються за формою від ідеальної сфери не більше ніж на 40 атомів товщини(менш ніж 10 [[Нанометр|нанометрів]]). Вважається, що тільки [[Нейтронна зоря|нейтронні зірки]] є гладкішими. 1 липня 2008 року було оголошено, що [[Австралія|австралійські]] вчені створили ще більше ідеальних сфер, з точністю до 0.3 нанометрів, як частина міжнародного пошуку нового глобального стандарту [[кілограм]].<ref>{{Cite web |url=https://www.newscientist.com/article/dn14229-roundest-objects-in-the-world-created.html |title=New Scientist {{!}} Technology {{!}} Roundest objects in the world created |accessdate=6 січня 2018 |archive-date=26 квітня 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150426212426/http://www.newscientist.com/article/dn14229-roundest-objects-in-the-world-created.html }}</ref>]]

Сфера має найменшу площу поверхні з усіх поверхонь, що містять певний об'єм, і містить найбільший об'єм серед усіх закритих поверхонь із заданою площею поверхні. Тому сфера з'являється в природі: наприклад, бульбашки та невеликі краплі води є приблизно сферичними, оскільки [[поверхневий натяг]] локально мінімізує площу поверхні.

Площа поверхні відносно маси кульки називається [[питома поверхня]] і може бути виражена з вищенаведених рівнянь, як:
: <math>\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},</math>
де <math>\rho</math>&nbsp;— це [[щільність]] (відношення маси до об'єму).

== Об'єми деяких фігур, отриманих внаслідок комбінацій зі сферою ==
Нехай маємо сферу з радіусом <math>R</math>. Тоді:

* об'єм куба, вписаного в сферу, дорівнює <math>V_{cube}=\frac{{8\sqrt{3}R^3}}{9}</math>;
* об'єм циліндра, вписаного в сферу (за умови, що осьовий переріз циліндра&nbsp;— квадрат), дорівнює <math>V_{cylinder}=\frac{{\sqrt{2}{\pi}R^3}}{2}</math>;
* об'єм конуса, вписаного в сферу (за умови, що осьовий переріз конуса&nbsp;— рівнобедрений трикутник з кутом <math>2\alpha</math> при вершині), дорівнює <math>V_{cone}=\frac{{{2}{\pi}R^3\sin^22\alpha\cos^2\alpha}}{3}</math>;
* об'єм конуса, вписаного в сферу (за умови, що осьовий переріз конуса&nbsp;— рівнобедрений прямокутний трикутник), дорівнює <math>V_{cone}=\frac{{{\pi}R^3}}{3}</math>;
* об'єм конуса, вписаного в сферу (за умови, що осьовий переріз конуса&nbsp;— [[рівносторонній трикутник]]), дорівнює <math>V_{cone}=\frac{{{3}{\pi}R^3}}{8}</math>;
* об'єм куба, описаного навколо сфери, дорівнює <math>V_{cube}={{8R^3}}</math>;
* об'єм циліндра, описаного навколо сфери, дорівнює <math>V_{cylinder}={2{\pi}R^3}</math>;
* об'єм конуса, описаного навколо сфери (за умови, що осьовий переріз конуса&nbsp;— рівнобедрений трикутник з кутом <math>2\alpha</math> при вершині), дорівнює <math>V_{cone}=\frac{{{8}{\pi}R^3\cos\alpha{(1+\sin\alpha)^3}}}{3\sin\alpha}</math>;
* об'єм конуса, описаного навколо сфери (за умови, що осьовий переріз конуса&nbsp;— рівнобедрений прямокутний трикутник), дорівнює <math>V_{cone}=\frac{{{\pi}R^3{(2+\sqrt2)^3}}}{3}</math>;
* об'єм конуса, описаного навколо сфери (за умови, що осьовий переріз конуса&nbsp;— рівнобедрений трикутник з кутом <math>2\alpha</math> при вершині), дорівнює <math>V_{cone}={{{9\sqrt3}{\pi}R^3}}</math>.

== Тензор Річчі та скалярна кривина сфери ==
Геометрію сфери можна просто описати, представивши її вкладеною в фіктивний чотиривимірний простір:

<math>x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = R^{2},\quad dl^{2} = dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} + dx_{4}^{2} \qquad (1)</math>.

Введенням координат

<math>x_{1} = Rcos(\psi ), \quad x_{2} = Rcos(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ), \quad x_{3} = Rsin(\varphi )sin(\psi )sin (\theta ), x_{4} = Rcos(\theta )sin(\psi )</math>

можна задовольнити <math>(1)</math>, а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

<math>dl^{2} = R^{2}(d\psi^{2} + sin^{2}(\psi )(d\theta^{2} + sin^{2}(\theta )d\varphi^{2})) \qquad (2)</math>.

Як видно, метричний [[тензор]] має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій&nbsp;— від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, певною мірою, відповідає [[Ізотропність простору|ізотропії простору]].

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

<math>\Gamma^{k}_{jl} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mj} + \partial_{j}g_{ml} - \partial_{m}g_{jl})</math>,

де метричний тензор <math>g_{lj}</math> має вигляд

<math>g_{lj} = diag(R^{2}, R^{2}sin^{2}(\psi ), R^{2}sin^{2}(\psi )sin^{2}(\theta )), \quad g^{lj} = diag(R^{-2}, R^{-2}sin^{-2}(\psi ), R^{-2} sin^{-2}(\psi )sin^{-2}(\theta )) \qquad (3)</math>,

для частинних випадків виразів можна отримати

<math>\Gamma^{k}_{ll} = \frac{1}{2}g^{km}(2 \partial_{l}g_{ml} - \partial_{m}g_{ll} ) = g^{km}\partial_{l}g_{ml} - \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll} = -\frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll} \qquad (4)</math>;

<math>\Gamma^{k}_{kk} = \frac{1}{2}g^{km}(2\partial_{k}g_{km} - \partial_{m}g_{kk}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{kk} = 0 \qquad (5)</math>;

оскільки, в силу структури метричних тензорів, <math>\partial_{0}g_{00} = \partial_{h}g_{hh} = 0</math>;

<math>\Gamma^{k}_{lk} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mk} + \partial_{k}g_{ml} - \partial_{m}g_{lk}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{l}g_{kk} \qquad (6)</math>;

<math>{\Gamma^{k}_{lj}}^{(3)} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mj} + \partial_{j}g_{ml} - \partial_{m}g_{lj}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{l}g_{kk}\delta_{kj} + \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{j}g_{kk}\delta_{kl} - \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{jl}\delta_{jl} = \Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} \qquad (7)</math>.

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензору Річчі: маючи загальне визначення,

<math>R_{lj}^{(3)} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{jl} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} + \Gamma^{k}_{jl}\Gamma^{\sigma}_{k \sigma } - \Gamma^{k}_{l \sigma}\Gamma^{\sigma}_{jk} \qquad (8)</math>,

та вирази <math>(4)-(7)</math>,

для тензора можна отримати (сума лише по індексам <math>k, \sigma</math>)

<math>R_{lj}^{(3)} = \partial_{j}\Gamma^{j}_{lj} + \partial_{l}\Gamma^{l}_{jl} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} + \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{j}_{lj} + \Gamma^{k}_{lk}\Gamma^{l}_{jl} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{l}_{jl}\Gamma^{j}_{lj} - 2\Gamma^{l}_{kj}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj} \qquad (9)</math>.
{{Hider|
  title = Доведення. |
  hidden =1 |
  content =
Дійсно, використовуючи вирази <math>(4)-(7)</math>, для доданків <math>(8)</math> можна отримати наступні вирази.

Перший доданок:

<math>\partial_{k}\Gamma^{k}_{jl} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} = \partial_{j}\Gamma^{j}_{lj} + \partial_{l}\Gamma^{l}_{jl} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j}</math>.

Другий доданок залишається без змін.

Третій доданок:

<math>\Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{jl} = \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{jj}\delta^{j}_{l} = \Gamma^{\sigma}_{j \sigma}\Gamma^{j}_{lj} + \Gamma^{\sigma}_{l \sigma }\Gamma^{l}_{jl} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j}</math>.

Четвертий доданок:

<math>-\Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{l \sigma} = -\Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{\sigma} - \Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{\sigma k}\delta^{k}_{l} - \Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{\sigma} = -\Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{\sigma}_{jl}\Gamma^{l}_{\sigma l} - \Gamma^{l}_{jk}\Gamma^{k}_{ll}</math>.

Для двох останніх доданків доведеться повторити цю ж саму процедуру:

<math>- \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{jl} = -\Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{j \sigma}\delta^{\sigma}_{l} - -\Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l \sigma}\delta^{\sigma}_{j} - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l l}\delta^{l}_{j} = -\Gamma^{l}_{l l}\Gamma^{l}_{j l} - \Gamma^{l}_{j l}\Gamma^{j}_{l j} - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l l}\delta^{l}_{j} = |(.8)| = - \Gamma^{l}_{j l}\Gamma^{j}_{l j} - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l l}\delta^{l}_{j}</math>,

<math>-\Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{jk} = -\Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{jl}\delta^{l}_{k} - \Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{jj}\delta^{j}_{k} = -\Gamma^{l}_{ll}\Gamma^{l}_{jl} - \Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj} = |(.8)| = -\Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj}</math>.

Отже,

<math>\Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{l \sigma} = -\Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{l}_{j l}\Gamma^{j}_{l j} - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l l}\delta^{l}_{j} -\Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj}</math>.

Додавши вирази для всіх доданків та замінивши німий індекс <math>\sigma </math> на <math>k</math>, можна отримати <math>(9)</math>.
 |
  title-style = color: black;  font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black;  text-align: left; |
}}
Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензору Річчі до метрики сферичного простору. Треба обчислити компоненти <math>R_{ij}</math>. Спочатку доведеться отримати, користуючись <math>(4)-(7)</math>, явний вигляд для символів Кристоффеля:

<math>\Gamma^{1}_{11} = \Gamma^{2}_{22} = \Gamma^{3}_{33} = \Gamma^{1}_{23} = \Gamma^{3}_{12} = \Gamma^{1}_{21} = \Gamma^{1}_{31} = \Gamma^{2}_{32} = \Gamma^{2}_{11} = \Gamma^{3}_{11} = 0</math>,

<math>\Gamma^{3}_{13} = \frac{1}{2}g^{33}\partial_{1}(g_{33}) = \frac{2sin (\psi )cos(\psi )}{2 sin^{2}(\psi )} = ctg(\psi ), \quad \Gamma^{2}_{12} = \Gamma^{3}_{13}</math>,

<math>\Gamma^{1}_{22} = -\frac{1}{2}g^{11}\partial_{1}(g_{22}) = -sin(\psi )cos(\psi )</math>,

<math>\Gamma^{3}_{23} = \frac{1}{2}g^{33}\partial_{2}(g_{33}) = ctg(\theta )</math>,

<math>\Gamma^{1}_{33} = -\frac{1}{2}g^{11}\partial_{1}(g_{33}) = -sin^{2}(\theta )sin(\psi )cos(\psi )</math>,

<math>\Gamma^{2}_{33} = -\frac{1}{2}g^{22}\partial_{2}(g_{33}) = -sin(\theta )cos(\theta ) </math>.

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та <math>(9)</math>, має вираз

<math>R_{11} = -\partial_{1}\Gamma^{k}_{1k} - \Gamma^{k}_{1k}\Gamma^{k}_{1k} = -\partial_{1}(\Gamma^{2}_{12} + \Gamma^{3}_{13}) - (\Gamma^{2}_{12})^{2} - (\Gamma^{3}_{13})^{2} = -2\partial_{1}ctg(\psi ) - 2ctg^{2}(\psi ) = \frac{2}{sin^{2}(\psi )} - 2ctg^{2}(\psi ) = -2</math>.

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попередній) дають

<math>R_{ij} = 2g_{ij}, i = j, \quad R_{ij} = 0, i \neq j</math>.

Отже, для сфери

<math>R_{ij} = \frac{2}{R^{2}}g_{ij} \qquad (10)</math>.

Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для сфери скалярна кривина рівна

<math>R_{1} = \frac{2}{R^{2}}g_{ij}g^{ij} = \frac{6}{R^{2}}</math>.

Отже, сферичний простір&nbsp;— простір з постійною додатньою скалярною кривиною.

== Формули ==
{|
|----
! align="left" | Площа поверхні
| <math>S_O  \, = \, 4 \pi r^2</math>
|----
! align="left" | Замкнений об'єм
| <math>V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3 </math>
|----
! align="left" | Об'єм сегмента
| <math>V_\mathrm{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)</math>
|----
! align="left" | [[Момент інерції]]
| <math>J \, = \, \frac{2}{5} mr^2</math>
|}

== ''N''-вимірна сфера ==
Сферу в <math>N</math>-вимірному просторі називають [[Гіперсфера|гіперсферою]].

В загальному випадку рівняння гіперсфери в <math>N</math>-вимірному просторі матиме вигляд:

: <math>\sum_{i=1}^N(x_i-x_{0i})^2=r^2</math>, де <math>(x_{01};...;x_{0N})</math>&nbsp;— центр гіперсфери, а <math>r</math>&nbsp;— її радіус.

Перетином двох ''<math>N</math>''-вимірних сфер є <math>(N-1)</math>-вимірна сфера, яка лежить на [[Радикальна вісь двох кіл|радикальній гіперплощині]] цих сфер.

В ''<math>N</math>''-вимірному просторі може попарно дотикатись одна до одної не більше ніж <math>N+1</math> сфера.

Об'єм ''<math>N</math>''-вимірної кулі (об'єм, що обмежує ''<math>N</math>''-вимірна сфера) можливо розрахувати за формулою:

: <math>V_N=\frac{\pi^{N/2}}{\Gamma(\frac{N}{2}+1)}r^N</math>, де <math>\Gamma(x)</math>&nbsp;—  [[гамма-функція]].

Площу поверхні ''<math>N</math>''-вимірної сфера можливо розрахувати за формулою:

: <math>S_N=\frac{N\pi^{N/2}}{\Gamma(\frac{N}{2}+1)}r^{N-1}</math>.

== Див. також ==
* [[Сферична геометрія]]
* [[Сферична тригонометрія]]
* [[Сферична система координат]]
* [[Сферичний сегмент]]
* [[Сферометр]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* ''Корн Г. А., Корн Т. М.'' Справочник по математике для научных работников и инженеров.&nbsp;— 4-е.&nbsp;— М.: Наука, 1978.&nbsp;— 277 с.
* Геометрія. 10-11 класи [Текст] : пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.].&nbsp;— Тернопіль: Навчальна книга-Богдан, 2003.&nbsp;— 264 с.&nbsp;— ISBN 966-692-161-8
== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Сфера та її рівняння|сторінки=155}}

{{Перекласти|en|дата=травень 2024}}

[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
[[Категорія:Диференціальна топологія]]
[[Категорія:Елементарна геометрія]]
[[Категорія:Поверхні]]
[[Категорія:Сфери| ]]
[[Категорія:Однорідні простори]]