Перегляд вихідного коду сторінки Сума

{{Otheruses}}

{{Результати обчислення}}
'''Су́ма''' ({{lang-lat|summa}})&nbsp;— результат операції [[додавання]].

Наприклад, у виразі

: 4 + 5 = 9

9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються [[доданок|доданками]].

Сума позначається знаком + ([[плюс]]).

Для позначення суми членів послідовності використовується символ <math> \sum </math> (велика грецька літера [[сигма]]), наприклад

: <math> \sum_{i=1}^N a_i = a_1 + a_2 + \ldots a_N </math>.

Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається [[числовий ряд|числовим рядом]] і позначається

: <math> \sum_{i=1}^\infty a_i </math>.

В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших&nbsp;— віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають '''алгебраїчною сумою'''. Наприклад,

: <math>5 - 4 = 5 + (-4) </math>
: <math>a-b = a + (-b) </math>

== Визначена сума ==

Часто для скорочення суму з n доданків ''a''<sub>k</sub>, ''a''<sub>k+1</sub>, …, ''a''<sub>N</sub> позначають великою [[грецький алфавіт|грецькою буквою]] [[Сигма (буква)|Σ]] (сигма):

<math>a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i</math>

Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою ''a''<sub>i</sub> по ''i'' від ''k'' до ''N''.<br/>
Для зручності замість <math>\sum_{i=k}^Na_i</math> інколи пишуть <math>\sum_{P(i)}^{}a_i</math>, де <math>P(i)\ </math>&nbsp;— деяке відношення для <math>i\ </math>, таким чином <math>\sum_{P(i)}^{}a_i</math> це скінченна сума всіх <math>a_i\ </math>, де <math>i\in Z : P(i)\ </math><br/>
Властивості визначеної суми:
# <math>\left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i</math>

== Приклади ==

# Сума [[Арифметична прогресія|арифметичної прогресії]]:
#: <math>\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}</math>
# Сума [[геометрична прогресія|геометричної прогресії]]:
#: <math>\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}</math>
# <math>\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0</math>
{{Hider|
  title = Чому це так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
:<math>\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)</math>}}
# <math>\sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1</math>
{{Hider|
  title = Чому це так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Доведення:
: <math>\sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = 
p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow</math>
: <math>\Rightarrow (1-p)\sum_{i=0}^nip^i = \frac{-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = 
\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}</math>}}
# <math>\sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1</math>
{{Hider|
  title = Чому це так,бо так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Доведення:
:<math>(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =</math>
:<math>=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =</math>
:<math>=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=</math>
:<math>=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i</math>}}
#* При <math>p = 10\ </math> отримуємо <math>\sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1</math>, а це послідовність рівнянь наступного вигляду:<br/><math>1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5</math>

== Невизначена сума ==

Невизначеною сумою ''a''<sub>i</sub> по ''i'' називається така функція ''f(i)'', яка позначається
<math>\sum_{i}^{} a_i</math>,
що <math>\forall i f(i+1) - f(i) = a_{i+1}</math>.

== Формула Ньютона-Лейбніца ==

{{main|Теорема Ньютона-Лейбніца}}
Якщо знайдена невизначена сума
<math>\sum_{i}^{} a_i = f(i)</math>,
тоді
<math>\sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)</math>.&nbsp;

== Етимологія ==

Латинське слово ''summa'' перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З [[XV століття]] слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» ([[1489]] рік){{Джерело?}}.

Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.

Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів [[Леонард Ейлер|Ейлер]] в [[1755]] році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції [[Інтеграл|інтегрування]].

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Добуток]]
* [[Контрольна сума]]

{{math-stub}}

{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Арифметика]]
[[Категорія:Додавання]]