Перегляд вихідного коду сторінки Стійкість (динамічні системи)

{{Диференціальні рівняння|Загальні теми}}
В [[Математика|математиці]], розв'язок [[Диференціальні рівняння|диференціального рівняння]]&nbsp;(або, ширше, траєкторія в [[Фазовий простір|фазовому просторі]] точки стану [[Динамічна система|динамічної системи]]) називається '''стійким''', якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за [[Ляпунов Олександр Михайлович|Ляпуновим]], асимптотичну стійкість і т.&nbsp;д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

== Постановка завдання стійкості динамічних систем ==
Нехай <math>\Omega</math>&nbsp;— область простору <math>\mathbb{R}^n</math>, що містить початок координат, <math>I = [\tau; \infty)</math>, де&nbsp;<math>\tau \in \mathbb{R}^1</math>. Розглянемо систему (1) виду:{{Рівняння|1=	\left\{
	\begin{matrix}
		\dot x = f(t, x), x \in \mathbb{R}^n, f: I \times \Omega \to \mathbb{R}^n\\
		f(t, 0) = 0.
\end{matrix}
	\right.
|2=1}}

При будь-яких <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> існує єдиний розв'язок ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системи (1), задовольняюче початковим умовам ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' Будемо припускати, що розв'язок ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' визначено на інтервалі <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причому <math>J^+ \subset I</math>.

Нехай дані також дві динамічні системи:

<math>\dot{X}(t)=F(X(t-\tau)),\quad\quad \tau=\mathrm{const}>0;</math> (2)

<math>\dot{X}(t)=F(X(t-\tau))+\mathfrak{F}(t,X_{t}).</math> (3)

Кожен розв'язок <math>X(t,t_{0},\varphi)</math> системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом <math>t_{0}</math> та початковою [[Вектор-функція|вектор-функцією]] <math>\varphi(\xi),</math> де <math>X(t_{0}+\xi,t_{0},\varphi)=\varphi(\xi)</math> за <math>\xi\in[-\tau,0].</math> Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції <math>\varphi(\xi)</math> належать простору <math>PC[-\tau,0]</math> шматково-неперервних за <math>\xi\in[-\tau,0]</math> функцій із [[Простір неперервних функцій|рівномірною нормою]] <math>||\varphi||_{\tau}=\underset{\xi\in[-\tau,0]}{\sup}||\varphi(\xi)||,</math> де <math>||\cdot||</math>&nbsp;— [[евклідова норма]] вектора.

Функціонал <math>\mathfrak{F}(t,\varphi)</math> заданий й є неперервним у області

<math>\{t\in\mathbb{E}:t\geq0\}\times\Omega_{H},</math>

де <math>\Omega_{H}</math>&nbsp;— множина функцій <math>\varphi(\xi)\in PC[-\tau,0],</math> які задовільняють умові <math>||\varphi||_{\tau}<H,\,\,(H=\mathrm{const}>0).</math> Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

<math>||R(t,\varphi)||\leq\beta(||\varphi||_{\tau}^{\sigma}),\quad\quad\beta>0,\,\,\sigma>0.</math>

Відтак система (3) має розв'язок <math>X(t)\equiv0.</math>

== Стійкість за Ляпуновим ==
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається стійким за [[Ляпунов Олександр Михайлович|Ляпуновим]], якщо для будь-яких <math>t_0 \in I</math> і <math>\varepsilon > 0</math> існує <math>\delta > 0</math>, залежне тільки від ''ε'' і ''t<sub>0</sub>'' і не залежне від ''t'', таке, що для будь-якого ''x<sub>0</sub>'', для котрого <math>\|x_0\| < \delta</math>, розв'язок ''x'' системи з початковими умовами x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> триває на всю піввісь t > t<sub>0</sub> і задовольняє нерівності <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>.

<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>.

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

<math>\dot{X}(t)=F(X(t)),</math> (4)

де <math>X(t)</math>&nbsp;— n-вимірний вектор, компоненти векторної функції <math>F(X)</math> визначені й неперервно диференційовані за усіх <math>X\in\mathbb{E}^{n}</math> та є однорідними функціями порядку <math>\mu\geq1.</math> Відтак система (4) має розв'язок <math>X(t)\equiv0.</math>

Розгляньмо функцію Ляпунова <math>V(X),</math> яка має наступні властивості:

* <math>V(X)</math> неперервно диференційована;
* <math>V(X)</math> додатно визначена;
* <math>V(X)</math>&nbsp;— однорідна функція порядку <math>\gamma>1</math>;
* справедлива рівність <math>(\frac{\partial V(X)}{\partial X})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma+\mu-1}.</math>

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) <math>t\geq0,\,\,||X_{t}||_{\tau}<H</math> маємо

<math>\dot{V}|_{(3)}=(\frac{\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}F(X(t))+(\frac{\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}(F(X(t))+R(t,X_{t}))\leq -||X(t)||^{\gamma+\mu-1}+b_{1}||X(t)||^{\gamma-1}(||F(X(t-\tau))-F(X(t))||+\beta(||X_{t}||_{\tau})^{\sigma}),</math>

де <math>b_{1}=\mathrm{const}>0.</math> Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність <math>\sigma>\mu>1,</math> то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення <math>\tau>0.</math>

=== Рівномірна стійкість за Ляпуновим ===
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>

=== Нестійкість за Ляпуновим ===
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:

<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math>

== Асимптотична стійкість ==
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова<math>\lim_{t \to \infty} \|x(t_*, t_0, x_0)\| = 0</math> для всякого ''x'' з початковою умовою ''x<sub>0</sub>'', що лежить у досить малому околі нуля.

=== Еквіасимптотична стійкість ===
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.

=== Рівномірна асимптотична стійкість ===
Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.

=== Асимптотична стійкість в цілому ===
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.

=== Рівномірна асимптотична стійкість в цілому ===
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.

== Див. також ==
* [[Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги]]
* [[Критерій Андронова — Понтрягіна]]

== Література ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{книга-ру |автор={{автор|Річард Беллман|Беллман, Р.}} |заглавие=Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений |издательство=[[Издательство иностранной литературы]] |год=1954 |место=М. |язык=ru }}
* {{книга-ру |автор={{автор|Четаев Микола Гурійович|Четаев, Н. Г.}} |заглавие=Устойчивость движения |издание=4-е изд., испр. |место=М. |издательство=[[Наука (видавництво)|Наука]] |год=1990 |страниц=176 |язык=ru |isbn=5-02-014018-X }}
* {{книга-ру |автор={{автор|Красовський Микола Миколайович|Красовский, Н. Н.}} |заглавие=Некоторые задачи теории устойчивости движения |место=М. |издательство=[[Физматгиз]] |год=1959 |язык=ru }}
* {{книга-ру |автор={{автор|Малкін Іоель Гільович|Малкин И. Г.}} |заглавие=Теория устойчивости движения |издание=2-е изд., испр. |место=М. |издательство=[[Наука (видавництво)|Наука]] |год=1966 |язык=ru }}
* {{книга-ру |автор={{автор|Демидович Борис Павлович|Демидович, Б. П.}} |заглавие=Лекции по математической теории устойчивости |место=М. |издательство=[[Наука (видавництво)|Наука]] |год=1967 |страниц=472 |язык=ru }}
* {{книга-ру |автор=Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. |издание=3-е изд., испр. и доп. |заглавие=Математическая теория конструирования систем управления |место=М. |издательство=[[Высшая школа]] |год=2003 |страниц=614 |isbn=5-06-004162-X |язык=ru |ref=Афанасьев и др. }}
* {{книга-ру|автор={{автор|Філіпов Олексій Федорович (математик)|Филиппов, А. Ф.}}|заглавие =Введение в теорию дифференциальных уравнений |ссылка = http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=47764&list=6 |издание = Изд. 2-е|место = |издательство = Эдиториал УРСС |год = 2007 |страниц = 240 |серия = |isbn = 978-5-484-00786-8}}
* {{книга-ру |автор=Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. |заглавие=Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости |ref=Руш и др. |год=1980 |место=М. |издательство=[[Мир (видавництво)|Мир]] }}

[[Категорія:Теорія динамічних систем]]
[[Категорія:Математичне моделювання]]
[[Категорія:Стійкість]]