Перегляд вихідного коду сторінки Стійкий розподіл

{{unibox}}'''Стійкий розподіл''' у [[Теорія ймовірностей|теорії імовірностей]]&nbsp;— це такий розподіл, який може бути отриманий як границя за розподілом сум незалежних випадкових величин.

== Визначення ==

Розподіл <math>\mathbb{P}^X</math> випадкової величини <math>X</math> називається стійким, якщо для будь-якого <math>n\in \mathbb{N}</math> існують такі константи <math>a_n,b_n \in \mathbb{R}</math>, що розподіл випадкової величини <math>a_n+b_n</math> збігається з розподілом суми:
: <math>a_n X + b_n =^{\!\!\!\!\! \mathcal{D}} \sum\limits_{i=1}^n Y_{n,i}</math>,
де рівність розуміється в змісті рівності розподілів, а випадкові величини <math>Y_{n,i}</math> розподілені як <math>X</math>, тобто <math>Y_{n,i} \sim \mathbb{P}^X,\; i=,\ldots,n</math>.

== Зауваження ==

* Якщо <math>F_X</math>&nbsp;— функція стійкого розподілу, те <math>\forall n \in \mathbb{N},\; \exists a_n,b_n \in \mathbb{R}</math>, такі що
: <math>F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = F_X * \cdots * F(x),\quad \forall x \in \mathbb{R}</math>,
де <math>*</math> позначає згортку.

* Якщо <math>\phi_X</math>&nbsp;— характеристична функція стійкого розподілу, те <math>\forall n \in \mathbb{N},\; \exists a_n,b_n \in \mathbb{R}</math>, такі що
: <math>\phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t}</math>.

== Властивості стійких розподілів ==

* Випадкова величина має стійкий розподіл [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли вона є межею по розподілі лінійних комбінацій сум [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежних однаково розподілених]] випадкових величин. Більш точно, випадкова величина <math>X</math> може бути межею по розподілі випадкових величин виду <math>\frac{S_n - b_n}{a_n}</math>, де
: <math>S_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i,\; \{Y_i\}_{i=1}^{\infty}</math>&nbsp;— незалежні однаково розподілені випадкові величини, тоді і тільки тоді, коли розподіл <math>X</math> стійкий.

* '''(Представлення Леви&nbsp;— Хинчина)''' Логарифм характеристичної функції випадкової величини зі стійким розподілом має вид:
: <math>\ln \phi(t) = \left\{
\begin{matrix}
it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0 \\
0, & t = 0.
\end{matrix}
\right.,
</math>
де <math>0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1,</math> і
: <math>
G(t,\alpha) = \left\{
\begin{matrix}
\mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1 \\
\frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1
\end{matrix}
\right..
</math>

== Див. також ==

* [[Безмежно подільний розподіл]]

{{Розподіли ймовірності}}

[[Категорія:Неперервні розподіли]]
[[Категорія:Розподіли ймовірності не зі скінченною дисперсією]]
[[Категорія:Степеневі закони]]
[[Категорія:Стійкі розподіли| ]]
[[Категорія:Ймовірнісні розподіли]]
[[Категорія:Стійкість (теорія ймовірності)]]