Перегляд вихідного коду сторінки Струмінь (математика)

{{Інші значення}}
{{вичитати}}
'''Струмінь [[відображення]]''' <math>f</math> на [[многовид]]і <math>M</math>&nbsp;— це операція, що співставляє кожній точці <math>x</math> із <math>M</math> деякий поліном (обрізаний [[поліном Тейлора]] <math>f</math> в точці <math>x</math>). З точки зору теорії струменів ці поліноми розглядаються не як поліноміальні функції, а як абстрактні алгебричні [[багаточлен]]и, що залежать від точки многовиду.

Два відображення <math>f,\tilde{f}:\mathbb{R}\rightarrow M</math> мають однаковий <math>k</math>-струмінь у точці <math>x\in\mathbb{R},</math> якщо <math>f(x)=\tilde{f}(x)</math> та якщо у будь-якій локальній карті у окілі точки <math>f(x)</math> розклади у ряд Тейлора функцій <math>f(x)</math> та <math>\tilde{f}(x)</math> збігаються до порядку <math>k</math> включно. Клас еквівалентності, який визначається відображенням <math>f</math>, позначається <math>(j^{k}f)(x).</math> Сукупність усіх <math>k</math>-струменів утворює многовид струменів <math>J^{k}(M,\mathbb{R})</math>, де координата на <math>\mathbb{R}</math> й довільна локальна карта <math>y^{\alpha}</math> на <math>M</math> визначають деяку систему координат на <math>J^{k}(M,\mathbb{R}).</math>

Многовидом 1-струменів <math>J^{1}(B^{n},\mathbb{R})</math> функцій на <math>B^{n}</math> називається многовид <math>M^{2n+1}=T^{*}B^{n}\times\mathbb{R}</math> із контактною 1-формою <math>dz-p\,dq</math> (де <math>p\,dq</math>&nbsp;— форма дії на фазовому просторі <math>T^{*}B^{n},</math> a <math>z</math>&nbsp;— координата). Наприклад, якщо <math>B^{n}=S^{1}</math> є окружністю, то многовид <math>J^{1}(B^{n},\mathbb{R})</math> є дифеоморфним [[Повний тор|повноторію]] (внутрішності <math>S^{1}\times\mathbb{R}</math> двохвимірного тору). На цьому многовиді визначені координати (<math>q(\mathrm{mod}\,\,2\pi),p,z</math>).Лежандровим підмноговидом <math>\mathfrak{M}^{n}\subset M^{2n+1}</math> є підмноговид, на якому контактна 1-форма перетворюється на нуль. Наприклад, будь-якій функції <math>g:B^{n}\rightarrow\mathbb{R}</math> відповідає лежандровий переріз <math>\mathfrak{M}^{n}</math> розшарування <math>J^{1}(B_{n},\mathbb{R})\rightarrow B^{n}</math>, задане формулами

<math>p=\frac{\partial g}{\partial q},\quad\quad z=g(q).</math>

Многовид <math>\mathfrak{M}</math> залежить лише від функції <math>g,</math> а не від вибору локальної карти; ця формула зіставляє точці <math>q\in B^{n}</math> кодотичний вектор <math>dg</math> та число <math>g(q).</math> Вкладений лежандровий підмноговид <math>\mathfrak{M}^{n}\subset J^{1}(B^{n},\mathbb{R})</math> є квазіфункцією на <math>B^{n}</math> якщо він належить компоненті зв'язності нульового перерізу (<math>p=0,z=0</math>) у просторі вкладених лежандрових підмноговидів многовиду 1-струменів функцій на <math>B^{n}.</math> Проєкція квазіфункції з простору 1-струменів у фазовий простір (при натуральному відображенні забування значення функції) є точним лагранжевим підмноговидом у <math>T^{*}B^{n}.</math> Цей підмноговид може виявитися не вкладеним, а лише зануреним у <math>T^{*}B^{n}</math> (самопересічним). Усілякий точний лагренжевий підмноговид <math>L^{n}</math>, занурений до <math>T^{*}B^{n},</math> отримується цим способом з деякого лежандрового многовиду <math>\mathfrak{M}^{n}\in J^{1}(B^{n},\mathbb{R})</math> (який є визначеним із точністю до зсувів осі <math>z,</math> якщо <math>L^{n}</math> є зв'язним). Однак, <math>\mathfrak{M}^{n}</math> може бути лише зануреним (самопересічним у (2n+1)-вимірному многовиді струменів <math>J^{1}(B^{n},\mathbb{R})</math>).<ref>{{Cite book|title=Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref>

== Теорема Чеканова ==
Нехай <math>E=M\times W,\mathfrak{M}</math>&nbsp;— <math>E</math>-квазіфункція. Тоді число точок самоперетину проєкції <math>\mathfrak{M}</math> у <math>T^{*}M</math> загального положення не менше, ніж <math>\frac{1}{2}[\sum b_{i}(M)(\sum b_{i}(W))^{2}-\sum b_{i}(\mathfrak{M})].</math>

Квазіфункція на окружності <math>B^{n}=S^{1}</math> має не менше двох квазікритичних точок. Проєкції усіх лежандрових вузлів із компоненти, яка містить <math>\mathfrak{M}</math> у <math>T^{*}S^{1},</math> мають принаймні три точки самоперетину із врахуванням кратності. Достатньо у процесі гомотопії припустити один самоперетин, і можна отримати лежандровий многовид <math>\mathfrak{M}_{1},</math> гомотопний у класі лежандрових вкладень многовиду <math>\mathfrak{M}_{2},</math> у якого одна точка самоперетину проєкції у <math>T^{*}S^{1}.</math><ref>{{Cite book|title=П. Е. Пушкарь, Обобщение теоремы Чеканова. Диаметры иммерсированных многообразий и волновых фронтов, Тр. МИАН, 1998, том 221, 289–304.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref>

== Струмені на еклідовому просторі ==

=== Аналітичне означення ===
Струмені і простори струменів можуть бути означені, використовуючи принципи математичного аналізу. Означення можна узагальнити на гладкі відображення між [[банахів простір|банаховими просторами]], [[аналітична функція|аналітичними]] функціями у [[дійсне число|дійсній]] або [[комплексне число|комплексній]] області, на [[p-адичні числа|<math>p</math>-адичний]] аналіз тощо.

Нехай <math>X,Y</math>&nbsp;— гладкі многовиди. Гладкі відображення <math>f,g:X\rightarrow Y</math> є [[p-адичні числа|<math>p</math>]]-еквівалентними у точці [[p-адичні числа|<math>x\in X,</math>]] якщо [[p-адичні числа|<math>f(x)=g(x),</math>]] та у цій точці частинні похідні до порядку [[p-адичні числа|<math>p</math>]] включно є однаковими. Це визначення є інваріантним відносно вибору локальних координат як у [[p-адичні числа|<math>X,</math>]] так й у [[p-адичні числа|<math>Y,</math>]] тому воно визначає геометричний об'єкт&nbsp;— струмінь відображення. Конкретніше, струмінь порядку [[p-адичні числа|<math>p</math>]], який задається відображенням [[p-адичні числа|<math>f,</math>]] є класом еквівалентності відображень по відношенню [[p-адичні числа|<math>j^{p}_{x}f.</math>]] Точка [[p-адичні числа|<math>x</math>]] є початком струменя, а її образ [[p-адичні числа|<math>f(x)</math>]]&nbsp;— кінцем струменя. Множина [[p-адичні числа|<math>p</math>]]-струменів, імерсійованих до [[p-адичні числа|<math>Y</math>]] з початком [[p-адичні числа|<math>x</math>]] та кінцем [[p-адичні числа|<math>y</math>]] позначається [[p-адичні числа|<math>J^{p}_{x,y}(X,Y).</math>]]

Множина [[p-адичні числа|<math>p</math>]]-струменів утворює диференціальну групу порядку [[p-адичні числа|<math>p</math>]] у точці [[p-адичні числа|<math>0\in\mathbb{R}^{n}</math>]] усеможливих дифеоморфізмів окілів цієї точки, залишаючих її [[Теорема Брауера про нерухому точку|нерухомою]]. Таким чином, [[p-адичні числа|<math>D^{p}_{n}</math>]] є групою із добутком, який визначається композицією струменів:

[[p-адичні числа|<math>j^{p}_{0}(g)\circ j^{p}_{0}(h)\overset{def}{=}j^{p}_{0}(g\circ h).</math>]]

Ідемпотент цієї групи є струменем тотожного відображення. Зворотним елементом до [[p-адичні числа|<math>j^{p}_{0}(g)</math>]] є [[p-адичні числа|<math>0\in\mathbb{R}^{n}</math>]]-струмінь дифеоморфізму, зворотного до [[p-адичні числа|<math>g.</math>]] Репером [[p-адичні числа|<math>e^{p}_{x}</math>]] порядку [[p-адичні числа|<math>p</math>]] у точці [[p-адичні числа|<math>x</math>]] многовиду [[p-адичні числа|<math>M</math>]] є [[p-адичні числа|<math>p</math>]]-струмінь [[p-адичні числа|<math>j^{p}_{0}(f)</math>]] дифеоморфізму [[p-адичні числа|<math>f:(\mathbb{R}^{n},0)\rightarrow (M,x),</math>]] де [[p-адичні числа|<math>(\mathbb{R}^{n},0)</math>]] та [[p-адичні числа|<math>(M,x)</math>]]&nbsp;— окіли точок [[p-адичні числа|<math>0</math>]] та [[p-адичні числа|<math>x</math>]] відповідно.

Многовид [[p-адичні числа|<math>H^{p}(M)</math>]] усіх [[p-адичні числа|<math>p</math>]]-реперів наділений структурою головного розшарування над базою [[p-адичні числа|<math>M</math>]] із канонічною проєкцією [[p-адичні числа|<math>\pi_{p}:H^{p}(M)\rightarrow M,</math>]] де [[p-адичні числа|<math>\pi_{p}(e^{p}_{x})=x,</math>]] та праводіючою диференціальною групою [[p-адичні числа|<math>D^{p}_{n}</math>]] порядку [[p-адичні числа|<math>p</math>]]. Стандартні координати у [[p-адичні числа|<math>\mathbb{R}^{n}</math>]] породжують глобальну карту на [[p-адичні числа|<math>D^{p}_{n}</math>]] із координатами

[[p-адичні числа|<math>(u^{i}_{j}(l^{p})),u^{i}_{jk},...,u^{i}_{j_{1}...j_{p}}(l^{p}),\quad\quad l^{p}\in D^{p}_{n},</math>]]

симетричними по нижнім індексам.

Нехай [[p-адичні числа|<math>T^{2}\mathbb{R}^{n}=J^{2}_{0,0}(\mathbb{R},\mathbb{R}^{n}).</math>]] На асоційованому розшаруванні визначена лівостороння дія групи [[p-адичні числа|<math>D^{2}_{n}</math>]] за законом композиції 2-струменів:

[[p-адичні числа|<math>d^{2}\cdot\xi:\xi\mapsto d^{2}\circ\xi,\quad\quad \xi\in T^{2}\mathbb{R}^{n},\quad d^{2}\in D^{2}_{n}.</math>]]

На декартовому добутку [[p-адичні числа|<math>P^{2}M\times T^{2}\mathbb{R}^{n}</math>]] визначена правостороння дія цієї групи:

[[p-адичні числа|<math>(e^{2}_{x},\xi)\cdot d^{2}=(e^{2}_{x}\cdot d^{2},\,(d^{2})^{-1}\cdot \xi).</math>]]

Многовид [[p-адичні числа|<math>E</math>]] орбіт відносно даної дії є розшаруванням над [[p-адичні числа|<math>M,</math>]] асоційованим із [[p-адичні числа|<math>P^{2}M,</math>]] канонічна проєкція [[p-адичні числа|<math>\lambda</math>]] з [[p-адичні числа|<math>P^{2}M\times T^{2}\mathbb{R}^{n}</math>]] на [[p-адичні числа|<math>E</math>]] визначається за законом

[[p-адичні числа|<math>\lambda:(e^{2}_{x},\xi)\mapsto (e^{2}_{x},\xi)\cdot D^{2}_{n}\overset{def}{=}\langle e^{2}_{x},\xi\rangle,</math>]]

а дія групи [[p-адичні числа|<math>D^{2}_{n}</math>]] на розшаруванні [[p-адичні числа|<math>E</math>]] визначається як

[[p-адичні числа|<math>\langle e^{2}_{x},\xi\rangle\cdot l^{2}=\langle e^{2}_{x}\cdot l^{2},\xi\rangle. </math>]]

Простір [[p-адичні числа|<math>E</math>]] ототожнюється із многовидом 2-швидкостей на [[p-адичні числа|<math>M</math>]]

[[p-адичні числа|<math>T^{2}M=\bigcup_{x\in M}J^{2}_{0,x}(\mathbb{R},M)</math>]]

посередництвом дифеоморфізму [[p-адичні числа|<math>\mu:E\rightarrow T^{2}M,\,\,\,\langle e^{2}_{x},\xi\rangle\mapsto e^{2}_{x}\circ\xi.</math>]]<ref>{{Cite book|title=А.В.Кулешов - Конструкция пункторов Веблена-Томаса в терминах струй Эресмана.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{книга
|автор        = Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В.
|заголовок     = Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений
|місце        = М
|видавництво = Наука
|рік = 1986
}}
* {{нп|Сарданашвілі Геннадій Олександрович|Sardanashvily, G.||Gennadi Sardanashvily}}, Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, [http://xxx.lanl.gov/abs/0908.1886 arXiv: 0908.1886]

{{geometry-stub}}

[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
[[Категорія:Функції та відображення]]
[[Категорія:Алгебрична геометрія]]
[[Категорія:Многочлени]]
[[Категорія:Теорія сингулярностей]]