Перегляд вихідного коду сторінки Структурна теорема для скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів

'''Структурна теорема для скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів''' є узагальненням теореми про [[Скінченнопороджена абелева група|класифікацію скінченнопороджених абелевих груп]]. Ця теорема надає загальний спосіб розуміння деяких результатів про канонічні форми матриць.

== Теорема ==
Якщо векторний простір над полем ''k'' має скінченну породжувальну множину, з нього завжди можна вибрати [[Базис (математика)|базис]], так що векторний простір буде ізоморфним ''k<sup>n</sup>''. Для [[Скінченнопороджений модуль|скінченнопороджених модулів]] це вже неправильно (контрприклад&nbsp;— <math>\mathbb Z_2</math>, який породжується одним елементом як '''Z'''-модуль), однак такий модуль можна подати як [[фактормодуль]] виду ''R<sup>n</sup>/A'' (щоб побачити це, досить відобразити базис ''R<sup>n</sup>'' у породжувальну множину і скористатися [[Теореми про ізоморфізми|теоремою про гомоморфізм]]). Змінюючи вибір базису в ''R<sup>n</sup>'' і породжувальної множини в модулі, можна звести цей фактор до простого вигляду, і це дає структурну теорему.

Формулювання структурної теореми зазвичай наводять у двох різних виглядах.

=== Розкладання на інваріантні фактори ===
Кожен скінченнопороджений модуль ''M'' над [[Область головних ідеалів|областю головних ідеалів]] ''R'' ізоморфний єдиному модулу виду

: <math>\bigoplus_i R/(d_i) = R/(d_1)\oplus R/(d_2)\oplus\cdots\oplus R/(d_n),</math>

де <math>(d_i) \neq R</math> і <math>d_i \vert d_{i+1}</math> (тобто <math>d_{i+1}</math> ділиться на <math>d_i</math>). Порядок ненульових <math>(d_i)</math> визначений однозначно, як і число <math>(d_i)=0</math>.

Таким чином, для вказання скінченнопородженого модуля ''M'' достатньо вказати ненульові <math>(d_i)</math> (що задовольняють двом умовам) і число рівних нулю <math>(d_i)</math>. Елементи <math>d_i</math> визначені однозначно з точністю до множення на оборотні елементи кільця і називаються інваріантними факторами.

=== Розкладання на примарні фактори ===
Кожен скінченнопороджений модуль ''M'' над [[Область головних ідеалів|областю головних ідеалів]] ''R'' ізоморфний єдиному модулю виду

: <math>\bigoplus_i R/(q_i),</math>

де <math>(q_i) \neq R</math> і всі <math>(q_i)</math>&nbsp;— [[Примарний ідеал|примарні ідеали]]. При цьому самі <math>q_i</math> визначено однозначно (з точністю до множення на оборотні елементи).

У випадку, коли кільце ''R'' є [[Евклідове кільце|евклідовим]], усі примарні ідеали&nbsp;— це степені [[Простий ідеал|простих]], тобто <math>(q_i)=(p_i^{r_i})</math>.

=== Начерк доведення для евклідових кілець ===
Багато областей головних ідеалів є також [[Евклідове кільце|евклідовими кільцями]]. До того ж, доведення для евклідових кілець дещо простіше; тут наведено його основні кроки.

''Лема. '' Нехай ''A''&nbsp;— евклідова кільце, ''M''&nbsp;— [[Вільний модуль|вільний]] ''A''-модуль, а ''N''&nbsp;— його підмодуль. Тоді ''N'' також вільний, його [[Вільний модуль#Властивості|ранг]] не перевершує рангу ''M'', причому існує такий базис {e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, … e<sub>m</sub>} модуля ''M'' і такі ненульові елементи {u<sub>1</sub>, … u<sub>k</sub>} кільця ''A'', що {u<sub>1</sub>e<sub>1</sub>, … u<sub>k</sub>e<sub>k</sub>}&nbsp;— базис ''N'' і u<sub>i+1</sub> ділиться на u<sub>i</sub>.

: Доведення того, що ''N'' вільний, проводиться індукцією за ''m''. База ''m'' = 0 очевидна, доведемо крок індукції. Нехай ''M''<sub>1</sub> породжено елементами {e<sub>1</sub>, e … <sub>m-1</sub>}, ''N''<sub>1</sub>&nbsp;— перетин ''M''<sub>1</sub> і ''N''&nbsp;— за припущенням індукції вільний. Останні координати елементів ''N'' у базисі {e<sub>1</sub>, e … <sub>m</sub>} утворюють підмодуль кільця ''A'' (тобто ідеал), ''A''&nbsp;— кільце головних ідеалів, тому цей ідеал породжений одним елементом; якщо ідеал нульовий&nbsp;— ''N'' збігається з ''N''<sub>1</sub>, якщо ж він породжений елементом ''k'', досить додати в базис ''N''<sub>1</sub> один вектор, остання координата якого дорівнює ''k''.
: Тепер ми можемо написати матрицю з елементами з ''A'', відповідну вкладенню ''N'' в ''M'': у стовпцях матриці запишемо координати базисних векторів ''N'' у деякому базисі ''M''. Опишемо алгоритм зведення цієї матриці до діагонального вигляду [[Елементарні перетворення матриці|елементарними перетвореннями]]. Міняючи місцями рядки і стовпці, перемістимо у верхній лівий кут ненульовий елемент ''a'' з найменшою [[Евклідове кільце|нормою]]. Якщо всі елементи матриці на нього діляться&nbsp;— віднімаємо перший рядок від інших з таким коефіцієнтом, щоб усі елементи першого стовпця (крім першого елемента) стали нульовими; потім аналогічно віднімаємо перший стовпець і переходимо до перетворень квадрата, що залишився в правому нижньому куті, розмірність якого на одиницю менша. Якщо ж є елемент ''b'', що не ділиться на ''a''&nbsp;— можна зменшити мінімум норми за ненульовими елементами матриці, застосувавши до пари (''a'', ''b'') алгоритм Евкліда (елементарні перетворення дозволяють це зробити). Оскільки норма&nbsp;— натуральне число, ми рано чи пізно прийдемо до ситуації, коли всі елементи матриці діляться на ''a''. Легко бачити, що по закінченню роботи цього алгоритму базиси ''M'' і ''N'' задовольняють усім умовам леми.

''Закінчення доведення. '' Розглянемо скінченнопороджений модуль ''T'' з системою твірних {e<sub>1</sub>, e … <sub>m</sub>}. Існує гомоморфізм з вільного модуля <math>A^m</math> у цей модуль, який відображає базис <math> A^m</math> у систему породжувальних. Застосувавши до цього відображення [[Теореми про ізоморфізми|теорему про гомоморфізм]], отримаємо, що ''T'' изоморфний фактору <math>A^m / \text{ker}f</math>. Зведемо базиси <math>A^m</math> і <math>\text{ker}f</math> до вигляду базисів у лемі. Легко бачити, що

: <math> A^m / (u_1e_1, u_2e_2, \ldots u_ke_k) \cong A/(u_1) \oplus \ldots \oplus A/(u_k) \oplus A^{n-k}</math>

Кожен скінченний доданок тут можна розкласти в добуток примарних, оскільки кільце ''A'' [[Факторіальне кільце|факторіальне]] (див. статтю [[Китайська теорема про остачі]]). Щоб довести єдиність цього розкладу, потрібно розглянути [[Скрут (алгебра)|підмодуль скруту]] (тоді розмірність вільної частини описується в інваріантних термінах як розмірність фактора за крученням), а також підмодуль ''p''-кручення для кожного простого елемента ''p'' кільця ''A''. Число доданків вигляду <math>A/(p^n)</math> (для всіх ''n'') інваріантно описується як розмірність підмодуля елементів, які анулюються множенням на ''p'', як векторного простору над полем <math>A/(p)</math>.

== Наслідки ==
Випадок <math>R=\mathbb{Z}</math> дає [[Скінченнопороджена абелева група|класифікацію скінченнопороджених абелевих груп]].

Нехай ''T''&nbsp;— лінійний оператор на [[Скінченновимірний простір|скінченновимірному]] векторному просторі ''V'' над полем ''K''. ''V'' можна розглядати як модуль над <math>K[T]</math> (дійсно, його елементи можна множити на скаляри та на ''T''), зі скінченновимірності випливає скінченнопородженість і відсутність вільної частини. Останній інваріантний фактор&nbsp;— [[Мінімальний многочлен матриці|мінімальний многочлен]], а добуток усіх інваріантних факторів&nbsp;— [[Характеристичний поліном|характеристичний многочлен]]. Вибравши стандартну форму матриці оператора ''T'', що діє на просторі <math>K[T]/p(T)</math>, отримуємо такі форми матриці ''T'' на просторі ''V'':

* інваріантні фактори + [[супутня матриця]] дає [[Фробеніусова нормальна форма|фробеніусову нормальну форму]]
* примарні фактори + [[Жорданова матриця|жорданів блок]] дає [[Жорданова нормальна форма|жорданову нормальну форму]] (у випадку, коли поле ''K'' [[Алгебрично замкнуте поле|алгебрично замкнуте]]).

== Див. також ==
* [[Нормальна форма Сміта]]

== Примітки ==
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Бурбаки.Алгебра.ч3}}
* ''P. Aluffi.'' Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics)&nbsp;— American Mathematical Society, 2009&nbsp;— ISBN 0-82184-781-3.
* {{Citation|last=Hungerford|first1=Thomas W.|title=Algebra|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-0-387-90518-1|year=1980|pages=218–226, Section IV.6: Modules over a Principal Ideal Domain}}

[[Категорія:Теорія модулів]]