Перегляд вихідного коду сторінки Стичне коло

[[Файл:Osculating circle.svg|thumb|Стичне коло]]
У [[Диференціальна геометрія кривих|диференціальній геометрії кривих]], '''стичним колом''' достатньо гладкої плоскої [[Крива|кривої]] в даній точці ''р'', на кривій, традиційно визначається як коло, що проходить через ''р'' і пару додаткових точок на цій кривій, які розташовані [[Нескінченно мала величина|нескінченно близько]] до ''р''. Центр кола знаходиться на внутрішній [[Нормаль (геометрія)|нормалі]], а її [[Кривина (математика)|кривина]] та ж сама, що і у даної кривої в цій точці. Тим самим радіус стичного кола визначається через кривину кривої: радіус дорівнює 1/k².

Одне з [[Дотична|дотичних]] кіл, яке в заданій точці наближається до кривої найбільш щільно, було названо [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніцом]] «цілуючим колом» ({{lang-la|circulus osculans}}).

Центр і радіус стичного кола в даній точці називають '''центром кривини''' і '''радіусом кривини''' кривої в цій точці. Геометрична побудова була описана [[Ісаак Ньютон|Ісааком Ньютоном]] у його ''[[Математичні начала натуральної філософії|Началах]]''.

== Опис у простих термінах ==
Уявіть собі автомобіль, що рухається по вигнутій дорозі по величезній плоскій площині. Раптом, в один прекрасний момент вздовж дороги, рульове колесо блокується в поточному положенні. Після цього автомобіль рухається по колу, яке «цілує» шлях авто в точці блокування. [[Кривина (математика)|Кривина]] кола дорівнює, кривині дороги в цій точці. Це коло є стичним колом до кривої дороги в цій точці.

== Математичний опис ==
Нехай ''γ''(''s'') буде [[Диференціальна геометрія кривих#Визначення|регулярною параметричною плоскою кривою]], де ''s''&nbsp;— [[довжина кривої]], або натуральний параметр. Тоді можна визначити дотичний вектор ''T'', одиничний вектор нормалі ''N'', [[Кривина (математика)|кривину]] ''k''(''s'') і радіус кривини ''R''(''s'') в кожній точці:

: <math> T(s)=\gamma'(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)=\frac{1}{\left|k(s)\right|}.</math>

Припустимо, що ''P''&nbsp;— точка на ''γ'', де ''k'' ≠ 0. Відповідний центр кривини точки ''Q'' на відстані ''R'' уздовж ''N'' в тому ж напрямку, якщо ''k'' є додатною, і в протилежному напрямку, якщо ''k'' від'ємна. Коло з центром у точці ''Q'' і радіусом ''R'' називається '''стичним колом''' до кривої ''γ'' в точці ''P''.

Якщо ''C'' є регулярною просторовою кривою, то стичне коло визначається аналогічним чином, використовуючи [[Тригранник Френе|одиничний вектор нормалі]] ''N''. Він лежить у [[Стична площина|стичній площині]], яка натягнута на дотичний та головний нормальний вектор ''T'' і ''N'' в точці ''P''.

Плоска крива також може бути надана в іншій регулярній параметризації
<math> \gamma(t)\,= \, \begin{pmatrix} x_1(t) \\
x_2(t) \end{pmatrix}\, </math>
де регулярність означає, що <math>\gamma'(t)\ne 0</math> для усіх <math>t</math>. Тоді формули для кривини ''k''(''t''), одиничний вектор нормалі ''N''(''t''), радіуса кривини ''R''(''t''), і центру ''Q''(''t'') дотичного кола будуть
: <math>k(t) = \frac{x_1'(t) \cdot x_2''(t) - x_1''(t) \cdot x_2'(t)}{\Big( x_1'(t)^2+x_2'(t)^2 \Big)^{\frac{3}{2}}} \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad N(t)\,=\,\frac{1}{|| \gamma'(t)||}\cdot\begin{pmatrix} -x_2'(t)  \\ x_1'(t) \end{pmatrix}</math>,
: <math>R(t) = \left| \frac{\Big( x_1'(t)^2+x_2'(t)^2 \Big)^{\frac{3}{2}}}{x_1'(t) \cdot x_2''(t) - x_1''(t) \cdot x_2'(t)} \right|\qquad\qquad \mathrm{} \qquad\qquad Q(t)\,=\,\gamma(t)\,+ \, \frac{1}{k(t)\cdot|| \gamma'(t)||}\cdot\begin{pmatrix} -x_2'(t)  \\ x_1'(t) \end{pmatrix}\,. </math>

== Властивості ==
Для кривої ''C'', заданої достатньо гладкими [[Параметричне рівняння|параметричними рівняннями]] (двічі неперервно диференційованими), стичні кола можуть бути отримані в результаті граничного переходу: це [[межа]] послідовності кіл, що проходить через три різні точки на ''C'', які наближаються до ''P''.<ref name=Lamb>Actually, point ''P'' plus two additional points, one on either side of ''P'' will do. See Lamb (on line): {{cite book |title=An Elementary Course of Infinitesimal Calculus |author=Horace Lamb |page=406 |url=http://books.google.com/books?id=eDM6AAAAMAAJ&pg=PA406&dq=%22osculating+circle%22&lr=&as_brr=0 |publisher=University Press |year=1897}}</ref> Це повністю аналогічно побудові [[Дотична|дотичної]] до кривої, як межі січних ліній через пари різних точок ''C'', які наближаються до ''P''.

Стичне коло ''S'' до плоскої кривої ''C'' в регулярній точці ''P'' може бути охарактеризоване такими властивостями:
* Коло ''S'' проходить через точку ''P''.
* Коло ''S'' і крива ''C'' мають спільну дотичну в точці ''P'', і тому у них спільна нормаль.
* У [[Окіл|околі]] точки ''P'', відстань між точками кривої ''C'' та кола ''S'' в напрямку нормалі зменшується з кубічним або з більш високим ступенем відстані до ''P'' в дотичному напрямку.

Про це зазвичай кажуть, що «крива та її дотичне коло мають [[Дотик (математика)|дотик]] третього або більш високого порядку» у точці ''P''. Грубо кажучи, [[Вектор-функція|вектор-функції]], що представляють ''C'' і ''S'' мають однакові значення разом зі своїми першими і другими похідними в точці ''P''.

Якщо [[похідна]] кривини від ''s'' не дорівнює нулю в точці ''P'', то тоді стичне коло перетинає криву ''C'' в точці ''P''. Точки ''P'', в яких похідна кривини дорівнює нулю, називаються [[Вершина кривої|вершинами]]. Якщо ''P'' є вершиною, то ''C'' та стичне коло мають [[Дотик (математика)|дотик]] порядку, як мінімум, чотири. Якщо, крім того, кривина має ненульовий локальний [[Екстремум|максимум або мінімум]] в точці ''P'', тоді стичне коло торкається кривої ''C'' в точці ''P'', але не перетинає її.

Крива ''C'' може бути отримана як [[Обгортка (геометрія)|обгортка]] однопараметричного сімейства її стичних кіл. Їх центри, тобто центри кривини, утворюють іншу криву яка називається [[Еволюта|еволютою]] ''C''. Вершини ''C'' відповідають особливим точкам на його еволюті.

== Приклади ==

=== Парабола ===
[[Файл:Parabola circle.svg|thumb|250px|Стичне коло параболи у вершині має радіус 0.5 і дотик четвертого порядку.]]
Для параболи
: <math>\gamma(t) = \begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix}</math>
радіус кривини
: <math>R(t)= \left| \frac{ \left(1+4\cdot t^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{2} \right| </math>
У вершині <math>\gamma(0) = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}</math> радіус кривини дорівнює ''R(0)=0.5'' (див. малюнок). Парабола зі своїм стичним колом має дотик четвертого порядку . Для великих ''t'' радіус кривини збільшується ~ ''t<sup>3</sup>'', тобто крива випрямляється все більше і більше.

=== Фігури Ліссажу ===
[[Файл:Lissajous-Curve+OsculatingCircle+3vectors animated.gif|right|Animation of the osculating circle to a Lissajous curve]]
[[Фігури Ліссажу]] із співвідношенням частот (3:2) можуть бути параметризрвані таким чином
: <math> \gamma(t)\,= \, \begin{pmatrix} \cos(3t) \\
\sin(2t) \end{pmatrix}\,. </math>
 
Її знаковизначена кривина ''k''(''t''), одиничний вектор нормалі ''N''(''t'') і радіус кривини ''R''(''t''), будуть

: <math>k(t) = \frac{6\cos(t)(8\cos(t)^4-10\cos(t)^2+5)}{(232\cos(t)^4-97\cos(t)^2+13-144\cos(t)^6)^{3/2}}\,, </math>
: <math>N(t)\,=\,\frac{1}{|| \gamma'(t)||}\cdot\begin{pmatrix} -2\cos(2t) \\ -3\sin(3t) \end{pmatrix}</math>
: <math>R(t) = \left| \frac{(232\cos(t)^4-97\cos(t)^2+13-144\cos(t)^6)^{3/2}}{6\cos(t)(8\cos(t)^4-10\cos(t)^2+5)} \right|\,.</math>
Дивіться малюнок анімації. «Вектор прискорення» буде другою похідною <math>\frac{\mathrm{d}^2\gamma(s)}{\mathrm{d}s^2}</math>
від [[Довжина кривої|довжини кривої]] <math>s</math>.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
Деякі історичні нотатки по дослідженню кривих дивись
* {{cite book |title=From the Calculus to Set Theory 1630-1910: An Introductory History |author=Grattan-Guinness & H. J. M. Bos |url=http://books.google.com/books?id=OLNeNIbD3jUC&pg=PA72&vq=curvature&dq=Leibniz+Calculus+Bos&lr=&source=gbs_search_s&sig=ACfU3U1ksyW8pE2DkRUdMQ6-Dw5jo4WdJA
|page=72 |isbn=0-691-07082-2 |year=2000 |publisher=Princeton University Press}}
* {{cite book |url=http://books.google.com/books?id=KDSqLsOHc9UC&pg=PA313&dq=motion+%22center+of+curvature%22&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U1xXmwMgWfk0Is_CToKzTbY591kXQ#PPA313,M1
|page=313 |author=Roy Porter, editor  |isbn=0-521-57243-6 |year=2003 |publisher=Cambridge University Press   |title=The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science}}
Щодо застосування до їзди транспортних засобів дивись
* JC Alexander and JH Maddocks: [https://drum.umd.edu/dspace/bitstream/1903/4630/1/TR_87-122.pdf  ''On the maneuvering of vehicles'']{{Недоступне посилання|date=травень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{cite book |title= Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review |author=Murray S. Klamkin |page=1
|url=http://books.google.com/books?id=-b2hQ7_ARocC&pg=PA1&dq=motion+%22center+of+curvature%22&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U0e0jN1k65IAWtXyKbYwYxtdeGlRw#PPA1,M1
|isbn=0-89871-259-9 |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |year=1990}}

== Посилання ==
{{Commons category|Illustrations for curvature and torsion of curves|Graphical illustrations of curvature and osculating circles}}
* [http://www.math.uni-muenster.de/u/urs.hartl/gifs/CurvatureAndTorsionOfCurves.mw Створіть власну анімацію стичних кіл] ([[Maple]]-Worksheet)
* {{MathWorld | urlname= OsculatingCircle | title= Стичне коло}}
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/CurvatureMod.html Модуль по кривині]

[[Категорія:Диференціальна геометрія кривих]]
[[Категорія:Кола]]
[[Категорія:Криві]]