Перегляд вихідного коду сторінки Степеневий розподіл

[[Файл:Long tail.svg|thumb|300px|right|Приклад графіку степеневого розподілу, який використовується для демонстрації ранжування по популярності. Праворуч [[довгий хвіст]], ліворуч невелика група тих, що домінують (дивіться [[Принцип Парето|Принцип 80-20]]).]]

В [[Статистика|статистиці]] '''степеневий розподіл''' ({{lang-en|power law}})&nbsp;— це така функціональна залежність між двома величинами, при котрій відносна зміна однієї величини призводить до пропорційної відносної зміни іншої величини, незалежно від початкових значень цих величин: залежність однієї величини від іншої являє собою [[Піднесення до степеня|степеневу функцію]]. Наприклад, площа квадрата має степеневу залежність від довжини його сторони: якщо довжина буде збільшена удвічі, то площа збільшиться вчетверо.<ref>{{cite web | url=http://www.necsi.edu/guide/concepts/powerlaw.html | title=Concepts: Power Law | publisher=New England Complex Systems Institute | accessdate=18 August 2015 | author=Yaneer Bar-Yam}}</ref>

== Приклади з практики ==
В багатьох фізичних, біологічних та штучних явищах спостерігаються розподіли, відповідні степеневому закону в різних масштабах: наприклад, розміри [[Місячний кратер|місячних кратерів]] і [[Сонячний спалах|сонячних спалахів]],<ref name= Newman/> закономірності харчування різних видів,<ref name=Humphries>{{cite journal |vauthors=Humphries NE, Queiroz N, Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW | year = 2010| title = Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators | url = | journal = Nature | volume = 465 | issue = 7301| pages = 1066–1069| doi = 10.1038/nature09116 | pmid = 20531470 |bibcode = 2010Natur.465.1066H }}</ref> активність популяцій нейронів,<ref name=Klaus>{{cite journal | author = Klaus A, Yu S, Plenz D | year = 2011 | title = Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches | journal = PLoS ONE | volume = 6 | issue = 5| pages = e19779 | doi = 10.1371/journal.pone.0019779 | editor1-last = Zochowski | editor1-first = Michal | pmid = 21720544 | pmc = 3102672|bibcode = 2011PLoSO...619779K }}</ref> частота вживання [[слово|слів]] в більшості мов, розповсюдженість [[прізвище|прізвищ]], {{Нп|Багатство видів|кількість видів||Species richness}} в [[клада]]х організмів,<ref>{{cite book
|editor1-last=Albert|editor1-first=J. S.
|editor2-first=R. E.|editor2-last=Reis
|year=2011
|title=Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes
|publisher=University of California Press
|location=Berkeley
|url=http://www.ucpress.edu/book.php?isbn=9780520268685
}}</ref> масштаби [[Аварія в енергосистемі|аварій в енергосистемах]], число карних звинувачень на одного злочинця, кількість вивержень вулканів,<ref>{{Cite journal|last=Cannavo|first=Flavio|last2=Nunnari|first2=Giuseppe|date=2016-03-01|title=On a Possible Unified Scaling Law for Volcanic Eruption Durations|url=http://www.nature.com/articles/srep22289|journal=[[Scientific Reports]]|language=en|volume=6|doi=10.1038/srep22289|issn=2045-2322|pmc=4772095|pmid=26926425|page=22289|bibcode=2016NatSR...622289C}}</ref> людські оцінки інтенсивності стимулів<ref>Stevens, S. S. (1957). On the psychophysical law. Psychological Review, 64, 153—181</ref><ref>Staddon, J. E. R. (1978). Theory of behavioral power functions. Psychological Review, 85, 305—320.</ref> і багато інших величин.{{sfn|Clauset|Shalizi|Newman|2009}} [[Емпірика|Емпіричні]] розподіли можуть відповідати степеневому закону на всьому діапазоні своїх значень, або, наприклад, в хвості. {{Нп|Затухання звукових коливань|||Acoustic attenuation}} проходить за степеневим законом у широких смугах частот у багатьох складних середовищах. [[Аллометрія|Аллометричні]] закономірності для відношень між біологічними змінними є одними з самих відомих прикладів степеневих законів в природі.

== Властивості ==

=== Масштабна інваріантність ===
{{Докладніше|Інваріантність щодо масштабу}}
Для степеневого закону характерна [[Інваріантність щодо масштабу|масштабна інваріантність]]. Якщо виконується <math>f(x) = ax^{-k}</math>, то масштабування аргументу <math>x</math> на постійний коефіцієнт <math>c</math> призведе до пропорційного масштабування самої функції. Тобто:

: <math>f(c x) = a(c x)^{-k} = c^{-k} f(x) \propto f(x),\!</math>

де <math>\propto</math> означає [[Пропорційність|пряму пропорційність]]. Іншими словами, Множення аргументу на сталу величину <math>c</math> призводить просто до множення значень функції на сталу величину <math>c^{-k}</math>. Таким чином, всі степеневі закони з заданим показником ступеню еквівалентні з точністю до множення на константу, оскільки всі вони являють собою лише масштабування версії один одного. Це породжує лінійну залежність між логарифмами величин <math>f(x)</math> та <math>x</math>, і пряму лінію на графіку у подвійному [[Логарифмічний масштаб|логарифмічному масштабі]] (log–log), яку часто вважають характерною ознакою степеневого закону. В реальних даних ця ознака є необхідною, але не достатньою, щоб зробити висновок щодо наявності степеневого закону. Існує багато способів згенерувати скінченні об'єми даних, що імітують відповідність степеневому закону, але відхиляються від нього в [[Асимптота|асимптотичній]] межі (наприклад, якщо процес генерації даних підпорядковується [[Логнормальний розподіл|логнормальному розподілу]]). Перевірка моделей на [[#Перевірка на відповідність степеневому закону|відповідність степеневому закону]] є актуальною областю досліджень в статистиці, див. нижче.

=== Відсутність строго визначеного середнього значення ===
Степеневий закон <math>x^{-k}</math> має строго визначене [[середнє значення]] при <math>x \in [1,\infty)</math>, тільки якщо <math> k > 2 </math>, і має скінченну [[Дисперсія випадкової величини|дисперсію]], тільки якщо <math>k >3</math>. Для більшості відомих степеневих законів в природі значення показника ступеню такі, що середнє значення є строго визначеним, а дисперсія ні, тому для них існує можливість виникнення подій типу [[Чорний лебідь (теорія)|«чорний лебідь»]].<ref>{{Cite journal|arxiv=cond-mat/0412004|title=Power laws, Pareto distributions and Zipf's law|journal=Cities|volume=30|issue=2005|pages=323–351|last1= Newman|first1=M. E. J.|last2=Reggiani|first2=Aura|last3=Nijkamp|first3=Peter|year=2005|doi=10.1016/j.cities.2012.03.001}}</ref> Це можна показати на прикладі наступного [[Уявний експеримент|уявного експерименту]]:<ref name="CCSSCS9">9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI</ref> уявіть себе в кімнаті з друзями і оцініть середньомісячний прибуток у цій кімнаті. Тепер уявіть, що в цю кімнату увійшла [[Найзаможніші люди світу|сама заможна людина у світі]] з місячним прибутком близько 1 [[мільярд]]а US$. Як зміниться значення середньомісячного доходу в кімнаті? Розподіл доходів підпорядковується степеневому закону, відомому як [[розподіл Парето]] (наприклад, капітали американців, розподіленні за степеневим законом з показником ступеню 2).

З одного боку, це не дозволяє коректно застосовувати традиційну статистику, засновану на [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]] і [[Середньоквадратичне відхилення|середньоквадратичному відхиленні]] (наприклад, [[регресійний аналіз]]). З іншого, це дозволяє здійснювати ефективне за витратами втручання.<ref name="CCSSCS9"/> Наприклад, нехай шкідливі викиди автомобілів розподіленні по степеневому закону серед автомобілів (тобто більшість забруднень здійснюється дуже невеликим числом автомобілів). Тоді буде достатньо прибрати з доріг цю невелику кількість автомобілів, щоб суттєво знизити цю кількість викидів.<ref>Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; {{cite web |url=http://gladwell.com/million-dollar-murray/ |title=Archived copy |accessdate=2015-06-14 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150318142026/http://gladwell.com/million-dollar-murray/ |archivedate=2015-03-18 }}</ref>

[[Медіана (статистика)|Медіана]] існує: для степеневого закону ''x''<sup> –''k''</sup> с показником ступеню <math>k > 1</math> вона приймає значення 2<sup>1/(''k''&nbsp;— 1)</sup>''x''<sub>min</sub>, де ''x''<sub>min</sub>&nbsp;— це мінімальне значення, для якого виконується степеневий закон.<ref>[https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0412004.pdf Newman, Mark EJ. «Power laws, Pareto distributions and Zipf's law.» Contemporary physics 46.5 (2005): 323—351.]</ref>

=== Універсальність ===
Еквівалентність степеневого розподілу з особливою масштабною експонентою може скоріше мати пояснення в теорії динамічних процесів, ніж виводитися з відношень степеневого розподілу. У фізиці, наприклад, [[фазовий перехід]] в термодинамічних системах асоціюється з появою степеневого розподілу деяких величин, експоненти відносяться до [[Критичні індекси|критичних індексів]] системи. Різні системи з однаковими критичними індексами&nbsp;— це ті, що демонструють ідентичну поведінку при наближенні до [[критична точка|критичного значення]]&nbsp;— може буди продемонстрована за допомогою теорії [[Ренормгрупа|ренормалізаційних груп]], поділяти однакову фундаментальну динаміку. Наприклад, поведінка води та CO<sub>2</sub> в їх точках кипіння потрапляє в однакові класи універсальності, тому, що вони мають однакові критичні індекси.{{citation needed|date=July 2015}}{{clarify|date=July 2015}} По факту, майже вся суть фазових переходів описана невеличкою множиною класів універсальності. Подібні спостереження були зроблені, хоча й не так всеосяжно, для різних [[Самозорганізована критичність|самоорганізованих критичних]] систем, де критичні точки систем&nbsp;— це [[атрактор]]. Формально, цей динамічний обмін відноситься до {{Нп|Універсальність|універсальності||universality (dynamical systems)}}, і системи з точно такими ж критичними індексами називаються тими, що належать [[Ренормгрупа#Релевантні та іррелевантні оператори й класи універсальності|класу універсальності]].

== Функції степеневого розподілу ==
Науковий інтерес до відношень степеневого розподілу частково випливає з легкості, з якою деякі поширені класи механізмів їх породжують.{{sfn|Sornette|2006}} Наявність степеневого розподілу на деяких даних може вказати на специфіку поведінки механізмів, які можуть лежати в основі природного феномену в цьому питанні, та може визначати глибокі зв'язки з іншими, здавалося ніяк не пов'язаними, системами;{{sfn|Simon|1955}} див. також [[#Універсальність|універсальність]] вище. Поширеність степеневого розподілу в фізиці частково походить з [[Метод аналізу розмірностей|обмежень на розмірності]], у той час як в [[Складна система|складних системах]], степеневий розподіл несе відбиток ієрархій або специфічних [[Випадковий процес|випадкових процесів]]. У доволі рідких випадках степеневий розподіл є [[Принцип Парето|розподілом Парето]], структурною подібністю [[фрактал]]ів або [[Аллометрія|законів масштабування в біологічних системах]]. Пошук причин виникнення степеневого розподілу та зусилля по його виявленню та доведенню їх в реальному житті є актуальною темою у багатьох галузях науки, включаючи [[Фізика|фізику]], [[Інформатика|комп'ютерні науки]], [[мовознавство]], [[Геофізика|геофізику]], [[Нейронаука|нейронауку]] та інші.

Однак, найбільший інтерес до степеневого розподілу походить з [[Розподіл ймовірностей|розподілу ймовірностей]]: розподіл великої кількості різноманітних величин здається виводиться з формул степеневого розподілу, принаймні в верхній частині(значні події). Поведінка цих значних подій прив'язує ці величини до вивчення {{Нп|Теорія екстремальних значень|теорії екстремальних значень||extreme value theory}}, яка розглядає частоти вкрай рідкісних подій як [[біржовий крах]] та великі [[Стихійне лихо|стихійні лиха]]. Це головним чином вивчення статистичних процесів, названих «степеневим розподілом».

В емпіричному контексті, апроксимація в степеневому розподілі <math>o(x^k)</math> зазвичай включає відхилення моменту <math>\varepsilon</math>, яка може представлятися невизначеністю в спостережених даних (можливість виміру або помилки вибірки) або прокладає простий шлях до спостереження відхилень з функцією степеневого розподілу (можливо для [[Випадковий процес|випадкових процесів]]):

: <math>y = ax^k + \varepsilon.\!</math>

Математично, строгий степеневий розподіл не може бути розподілом ймовірностей, але розподіл представлений усіченою [[Степенева функція|степеневою функцією]] можливий: <math>p(x) = C x^{-\alpha}</math> for <math>x > x_\text{min}</math> де експонента <math>\alpha</math> більше ніж 1, мінімальне значення <math>x_\text{min}</math> потребує іншого розподілу, що має нескінченну площу ''x'' наближаючись до 0, та константа ''C''&nbsp;— це вимірювальний фактор для забезпечення того, що вся площа буде рівнятися 1, як необхідна умова розподілу ймовірностей. Частіше використовується асимптотичний степеневий розподіл&nbsp;— який вірний тільки в межі; дивіться [[#Power-law probability distributions|розподіл ймовірностей степеневого розподілу]] для більших деталей. Типова експонента спадає в межах <math>2 < \alpha < 3</math>, хоча не завжди.{{sfn|Clauset|Shalizi|Newman|2009}}

== Посилання ==
'''Примітки'''
{{reflist|3|refs=

<ref name=Newman>{{Cite journal
 | author = Newman, M. E. J.
 | year = 2005
 | title = Power laws, Pareto distributions and Zipf's law
 | journal = [[Contemporary Physics]]
 | volume = 46  | issue = 5 | pages = 323–351
 | arxiv =cond-mat/0412004  | doi = 10.1080/00107510500052444
 |bibcode = 2005ConPh..46..323N }}</ref>

}}

'''Бібліографія'''

* Bak, Per (1997) ''How nature works'', Oxford University Press {{isbn|0-19-850164-1}}
* {{Cite journal | last1 = Clauset | first1 = A. | last2 = Shalizi | first2 = C. R. | last3 = Newman | first3 = M. E. J. | doi = 10.1137/070710111 | title = Power-Law Distributions in Empirical Data | journal = SIAM Review | volume = 51 | issue = 4 | pages = 661–703 | year = 2009 | arxiv = 0706.1062 | pmid =  | pmc = | ref = harv |bibcode = 2009SIAMR..51..661C }}
* {{Cite journal | last1 = Laherrère | first1 = J. | last2 = Sornette | first2 = D. | doi = 10.1007/s100510050276 | title = Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tails" with characteristic scales | journal = The European Physical Journal B | volume = 2 | issue = 4 | pages = 525–539 | year = 1998 | arxiv = cond-mat/9801293 | ref = harv | pmid =  | pmc = |bibcode = 1998EPJB....2..525L }}
* {{Cite journal | last1 = Mitzenmacher | first1 = M. | title = A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions | doi = 10.1080/15427951.2004.10129088 | url = http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/postscripts/im2004a.pdf| journal = Internet Mathematics | volume = 1 | issue = 2 | pages = 226–251 | year = 2004 | ref = harv | pmid =  | pmc = }}
* Alexander Saichev, Yannick Malevergne and Didier Sornette (2009) ''Theory of Zipf's law and beyond'', Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Volume 632, Springer (November 2009), {{isbn|978-3-642-02945-5}}
* {{Cite journal| last = Simon | first = H. A. | title = On a Class of Skew Distribution Functions | doi = 10.2307/2333389 | year = 1955 | journal = [[Biometrika]] | volume = 42 | pages = 425–440 | issue = 3/4 | jstor = 2333389 | ref = harv }}
* {{cite book |title=Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools |url=https://archive.org/details/criticalphenomen0000sorn |last=Sornette |first=Didier |authorlink=Didier Sornette |year=2006 |edition=2nd |publisher=Springer |location=Heidelberg |series=Springer Series in Synergetics |isbn=978-3-540-30882-9 |ref=harv }}
* Mark Buchanan (2000) ''Ubiquity'', Weidenfeld & Nicolson {{isbn|0-297-64376-2}}
* {{cite journal | last1 = Stumpf | first1 = M.P.H. | last2 = Porter | first2 = M.A. | year = 2012 | title = Critical Truths about Power Laws| journal = Science | volume = 335 | issue = 6069 | pages = 665–6 | doi=10.1126/science.1216142| pmid = 22323807 | bibcode = 2012Sci...335..665S }}

{{ВП-портали|Статистика}}

[[Категорія:Статистичні закони]]
[[Категорія:Степеневі закони]]
[[Категорія:Теорія розподілів імовірності]]