Перегляд вихідного коду сторінки Стала функція

[[Файл:Wiki_constant_function_175_200.png|400px|thumb|Стала  функція ''y'' = 4.]]
{{Сирий переклад|en|дата=серпень 2021}}
У [[Математика|математиці]] '''стала функція'''&nbsp;— це [[Функція (математика)|функція,]] у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення.<ref>{{Cite book
|title=Encyclopedia of Mathematics
|url=https://archive.org/details/encyclopediamath00tant_807
|last=Tanton
|first=James
|year=2005
|publisher=Facts on File, New York
|page=[https://archive.org/details/encyclopediamath00tant_807/page/n102 94]
|isbn=0-8160-5124-0}}</ref><ref>{{Cite web
|url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf
|title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function
|last=C.Clapham, J.Nicholson
|publisher=Addison-Wesley
|year=2009
|page=175
|accessdate=12 січня 2014}}</ref><ref>{{Cite book
|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
|url=https://archive.org/details/crcconciseencycl0000weis
|last=Weisstein|first=Eric
|year=1999
|publisher=CRC Press, London
|page=[https://archive.org/details/crcconciseencycl0000weis/page/313 313]|isbn=0-8493-9640-9}}</ref> Наприклад, функція <math>y(x) = 4</math> є сталою функцією, тому що значення <math>y(x)</math> дорівнює 4 незалежно від вхідного значення <math>x</math> (див. зображення).

== Основні властивості ==
Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму <math>y(x)=c</math> або просто <math>y=c</math>.

: '''Приклад:''' Функція <math>y(x)=2</math> або просто <math>y=2</math> є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є <math>c=2</math>. [[Область визначення]] цієї функції&nbsp;— множина всіх дійсних чисел ℝ. [[Область значень]] цієї функції&nbsp;— тільки {2}. Незалежна змінна ''x'' не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме ''y''(0)=2, ''y''(−2.7)=2, ''y''(π)=2,… . Незалежно від того, яке значення ''x'' є на вході, вихідним буде «2».

: '''Приклад з реального життя:''' Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.

Графік сталої функції <math>y=c</math>&nbsp;— '''горизонтальна лінія''' на [[Площина|площині]], яка проходить через точку <math>(0,c)</math>.<ref>{{Cite web
|title=College Algebra
|last=Dawkins
|first=Paul
|year=2007
|publisher=Lamar University
|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Alg.aspx
|page=224
|accessdate=12 січня 2014}}</ref>

Як [[многочлен]] від одної змінної ''x'', '''ненульова стала функція''' є поліномом степеня 0 і її загальна форма <math>f(x) = c, c \neq 0</math>. Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має [[Нуль функції|кореня (нуля)]]. З іншого боку, поліном <math>f(x)=0</math> є '''тотожно нульовою функцією'''. Це (тривіальна) стала функція, і кожен ''x'' є коренем. Її графік&nbsp;— це вісь x на площині.<ref>{{Cite book
|title=Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition
|last=Carter
|first=John A.
|last2=Cuevas
|first2=Gilbert J.
|last3=Holliday
|first3=Berchie
|last4=Marks
|first4=Daniel
|last5=McClure
|first5=Melissa S.
|year=2005
|publisher=Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co
|edition=1
|page=22
|chapter=1
|isbn=978-0078682278}}</ref>

Стала функція є [[Парна функція|парною функцією]], тобто графік сталої функції симетричний відносно осі ''y''.

У контексті, де вона визначена, [[похідна]] функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0.<ref>{{Cite web
|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeProofs.aspx
|title=Derivative Proofs
|year=2007
|last=Dawkins
|first=Paul
|publisher=Lamar University
|accessdate=12 січня 2014}}</ref> Часто це пишеться: <math>(c)'=0</math>. Зворотне також вірно. А саме, якщо ''y'''(''x'')=0 для всіх дійсних чисел ''x'', то ''y''(''x'') є сталою функцією.<ref>{{Cite web
|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Zero_Derivative_implies_Constant_Function
|title=Zero Derivative implies Constant Function
|accessdate=12 січня 2014
|archive-date=2014-01-12
|archive-url=https://web.archive.org/web/20140112125930/http://www.proofwiki.org/wiki/Zero_Derivative_implies_Constant_Function
|url-status=dead
}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140112125930/http://www.proofwiki.org/wiki/Zero_Derivative_implies_Constant_Function |date=2014-01-12 }}</ref>

: '''Приклад:''' Дано сталу функцію <math>y(x)=-\sqrt{2}</math>. Похідна від ''y''&nbsp;— тотожно нульова функція <math>y\,'(x)=(-\sqrt{2})'=0</math>.

== Інші властивості ==
Для функцій між [[Передпорядок|попередньо впорядкованими множинами]], сталі функції є такими, що [[Монотонна функція|зберігають порядок]] і роблять [[Монотонна функція|зворотний порядок]]; і навпаки, якщо ''f'' одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо [[Область визначення|область]] ''f''&nbsp;— [[Ґратка (порядок)|решітка]], то ''f'' повинна бути сталою.

* Кожна стала функція, у якої [[область визначення]] і [[область значень]] є однакові, є [[Ідемпотентність|ідемпотентною]].
* Кожна стала функція між [[Топологічний простір|топологічними просторами]] є [[Неперервна функція|неперервною]].
* Стала функція проходить через [[Синґлетон (математика)|одноточкову множину]], [[Початковий та термінальний об'єкти|термінальний об'єкт]] у [[Категорія множин|категорії множин]]. Це спостереження є визначальним для аксіоматизації теорії множин {{Нп|Ловер, Вільям|Ф. Вільяма Ловера||F. William Lawvere}}, елементарної теорії категорії множин (ETCS).<ref>{{cite arXiv
|last1=Leinster
|first1=Tom
|title=An informal introduction to topos theory
|date=27 червня 2011
|eprint=1012.5647
|class=math.CT}}</ref>
* Кожна множина X [[Ізоморфізм|ізоморфна]] множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція <math>\tilde{x}: Y \rightarrow X</math> така, що <math>\tilde{x}(y) = x</math> для всіх <math>y \in Y</math>. І навпаки, якщо функція <math>f: Y \rightarrow X</math> задовольняє <math>f(y) = f(y')</math> для всіх <math>y, y' \in Y</math>, <math>f</math> за визначенням є сталою функцією.
** Як наслідок, одноточкова множина є {{Нп|Генератор (теорія категорій)|генератором||Generator (category theory)}} в категорії множин.
** Кожна множина <math>X</math> канонічно ізоморфна множині функцій <math>X^1</math>, або [[Морфізм|множині Hom]] <math>\operatorname{hom}(1,X)</math> у категорії множин, де 1&nbsp;— це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, <math>\operatorname{hom}(X \times Y,Z) \cong \operatorname{hom}(X(\operatorname{hom}(Y,Z))</math>) категорія множин є {{Нп|Замкнута моноїдна категорія|замкнутою моноїдною категорією||Closed monoidal category}} з [[Декартів добуток множин|декартовим добутком множин]] як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах <math>\lambda :1\times X \cong X\cong X\times1:\rho</math> [[Натуральне перетворення|натуральних в X]], ліві та праві одиниці являють собою проєкції <math>p_1</math> і <math>p_2</math> [[Впорядкована пара|впорядкованих пар]] <math>(*,x)</math> і <math>(x,*)</math> відповідно до елемента <math>x</math>, де <math>*</math> є унікальною [[Точка|точкою]] в одноточковій множині.

Функція на [[Зв'язаний простір|зв'язаній множині]] є {{Нп|Локально стала функція|локально стала||Locally constant function}} тоді і тільки тоді, коли вона стала.

== Примітки ==
{{reflist}}

* Herrlich, Horst and Strecker, George E., ''Category Theory'', Heldermann Verlag (2007).

== Посилання ==
{{commons category|Constant functions}}
* {{MathWorld |title=Constant Function |urlname=ConstantFunction}}
* {{planetmath reference|id=4727|title=Constant function}}

{{Алгебраїчні рівняння (список)}}
[[Категорія:Елементарні функції]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Многочлени]]