Перегляд вихідного коду сторінки Стала Ердеша — Борвейна

{{unibox}}'''Стала Ердеша&nbsp;— Борвейна'''&nbsp;— [[Математична константа|математична стала]], що дорівнює сумі обернених величин [[Число Мерсенна|чисел Мерсенна]]. Названа за іменами [[Пал Ердеш|Пала Ердеша]] і {{Iw|Пітер Борвейн|Пітера Борвейна|en|Peter Borwein}}, які з'ясували її ключові властивості.

За визначенням стала дорівнює:

: <math>E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}</math>,

що приблизно становить 1, 606 695 152 415 291 763 783 301 523 190 924 580 480 579 671 505 756 435 778 079 553 691 418 420 743 486 690 565 711 801 670 155 576…<ref>{{OEIS|A065442}}</ref>.

== Еквівалентні форми ==
Можна показати, що такі суми дають ту саму сталу:

: <math>
E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}
</math>,

: <math>
E=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}}
</math>,

: <math>
E=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(2^n-1)}
</math>,

: <math>
E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_0(n)}{2^n}
</math>,

де <math>\sigma_0(n) = d(n)</math>&nbsp;— [[Мультиплікативна функція|мультиплікативна]] [[функція дільників]], рівна числу додатних дільників числа <math>n</math>. Для доведення еквівалентності цих формул використовується той факт, що всі вони представляють [[ряд Ламберта]]<ref>Першу з цих формул надав [[Дональд Кнут|Кнут]] 1998 року; він при цьому посилається на роботу 1828 року {{Нп|Томас Клаузен|Томаса Клаузена|ru|Клаузен, Томас}}.</ref>.

== Ірраціональність ==
Ердеш [[1948 у науці|1948 року]] показав, що стала є [[Ірраціональні числа|ірраціональним числом]]<ref>{{Citation|last=Erdős|first=Pal|author-link=Пал Ердеш|journal=J. Indian Math. Soc. (N.S.)|mr=0029405|pages=63–66|title=On arithmetical properties of Lambert series|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1948-04.pdf|volume=12|year=1948}}</ref>. Пізніше Борвейн надав альтернативне доведення<ref>{{Citation|last=Borwein|first=Peter B.|author-link=Пітер Борвейн|doi=10.1017/S030500410007081X|issue=1|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|mr=1162938|pages=141–146|title=On the irrationality of certain series|volume=112|year=1992}}</ref>.

Попри ірраціональність, двійкове подання сталої ефективно обчислюється: [[Дональд Кнут|Кнут]] у виданні «<nowiki/>[[Мистецтво програмування|Мистецтва програмування]]<nowiki/>» 1998 року зауважив, що обчислення можна здійснити з використанням ряду Клаузена, який збігається дуже швидко<ref>{{Citation|last=Крендалл|first=Річард|author-link=Річард Крендалл|doi=10.1515/integers-2012-0007|journal=Integers|page=A23|title=The googol-th bit of the Erdős–Borwein constant|volume=12|year=2012}}</ref>.

== Застосування ==
Стала Ердеша&nbsp;— Борвейна виникає під час аналізу поведінки алгоритму [[Пірамідальне сортування|пірамідального сортування]]<ref>{{Citation|last=Кнут|first=Дональд|author-link=Кнут, Дональд Эрвин|edition=2nd|location=Reading, MA|pages=153–155|publisher=Addison-Wesley|title=[[Мистецтво програмування|The Art of Computer Programming]], Vol. 3: Sorting and Searching|year=1998}}.</ref>.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{MathWorld|title=Erdos-Borwein Constant}}
{{Ірраціональні числа}}
[[Категорія:Математичні константи]]
[[Категорія:1948 у науці]]