Перегляд вихідного коду сторінки Стала Ейлера — Маскероні

{{unibox}}[[Файл:Gamma-area.svg|thumb|300px|Площа синьої області збігається до сталої Ейлера.]]

''Не плутати з [[e (число)|числом Ейлера]], <math>{\rm e}\approx 2{,}71828</math>, основою натурального логарифма.''

'''Стала Ейлера''' (або '''Ейлера&nbsp;— Маскероні''')&nbsp;— [[математична константа]], яку позначають малою грецькою літерою [[гамма]] <math>\gamma</math>.

Вона визначається як [[Границя функції в точці|границя]] різниці між [[Гармонічний ряд|гармонійним рядом]] і [[Натуральний логарифм|натуральним логарифмом]], що позначається як <math>\ln</math>:
: <math>\begin{align}
\gamma& =\lim_{n \to +\infty}\left(-\ln n+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)\\
& =\int_1^\infty \left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right){\rm d}x.
\end{align}</math>
Тут <math>\lfloor x\rfloor</math>&nbsp;— [[ціла частина числа]].

Числове значення сталої Ейлера з точністю до 50 знаків після коми:<ref name=":1">Sloane, N. J. A.(Decimal expansion of Euler's constant gamma).</ref>
: <math>
0{,}57721\,56649\,01532\,86060\,65120\,90082\,40243\,10421\,59335\,93992\,\dots.
</math>

== Історія ==
Константа вперше з'явилася в 1734 році в роботі [[Швейцарія|швейцарського]] математика [[Леонард Ейлер|Леонарда Ейлера]] «''De Progressionibus harmonicis observationes''» ([[Густав Яльмар Енестром|Eneström]] Index 43). Для константи Ейлер використовував позначення {{math|''C''}} та {{math|''O''}}. У 1790 році [[італія|італійський]] математик {{нп|Лоренцо Маскероні||it|Lorenzo Mascheroni}} використав для константи позначення {{math|''A''}} та {{math|''a''}}. Позначення {{mvar|γ}} ніде не зустрічається в роботах ні Ейлера, ні Маскероні, і було обране<ref>Lagarias, Jeffrey C. (October 2013). «Euler's constant: Euler's work and modern development».</ref> пізніше, можливо, через зв'язок константи з гамма-функцією. Наприклад, [[Німеччина|німецький]] математик {{нп|Карл Антон Бретшнайдер||de|Carl Anton Bretschneider}} використовував позначення {{mvar|γ}} у 1835 році, {{sfn|Bretschneider|1837|loc="{{mvar|γ}} = {{math|''c''}} = {{nowrap|0,577215 664901 532860 618112 090082 3..}}" on [https://books.google.com/books?hl=fi&id=OAoPAAAAIAAJ&pg=PA260 p. 260]}} а [[Аугустус де Морган|Август де Морган]] використовував його в підручнику, опублікованому частинами з 1836 по 1842 роки.<ref>De Morgan, Augustus (1836—1842). The differential and integral calculus.</ref>

== Застосування ==
Стала Ейлера, серед іншого, зустрічається ('*' означає, що відповідний елемент містить рівняння у явному вигляді), зокрема, в таких поняттях:
* співвідношення з [[Інтегральна показникова функція|експоненційним інтегралом]]*;
* [[перетворення Лапласа]]* для [[натуральний логарифм|натурального логарифма]];
* перший член розкладу в [[Ряд Лорана]] для [[Дзета-функція Рімана|Дзета-функції Рімана]]*, де вона є першою з [[Інтеграл Стілтьєса|констант Стілтьєса]]*;
* обчислення [[Дигамма-функція|дигамма-функції]];
* формула добутку для [[гамма-функція|гамма-функції]];
* [[асимптотичний розклад]] гамма-функції для малих аргументів;
* нерівність для [[функція Ейлера|функції Ейлера]];
* швидкість зростання [[Функція дільників|функції дільників]];
* у регуляризації розмірності [[Діаграма Фейнмана|Діаграм Фейнмана]] в [[квантова теорія поля|квантовій теорії поля]];
* обчислення [[Константа Майсселя — Мертенса|сталої Мейселя&nbsp;— Мертенса]];
* третя [[теорема Мертенса]]*;
* розв'язок [[Функції Бесселя|рівняння Бесселя]] другого роду;
* у регуляризації/[[Перенормування|перенормуванні]] [[Гармонічний ряд|гармонічного ряду]] як скінченне значення;
* [[Середнє значення|математичне сподівання]] {{Не перекладено|розподіл Гамбеля|розподілу Гамбеля|en|Gumbel distribution}};
* [[інформаційна ентропія]] розподілів [[Розподіл Вейбула|Вейбулла]] і Леві і, неявно, розподілу [[Розподіл хі-квадрат|хі-квадрат]] для одного або двох степенів вільності;
* розв'язок [[Задача комівояжера|задачі про збирача купонів]]*;
* у деяких формулюваннях [[Закон Ципфа|закону Ципфа]];
* означення [[Інтегральні тригонометричні функції|інтегрального косинуса]]*;
* нижня межа [[Інтервали між простими числами|щілини простих чисел]];
* верхня межа [[Інформаційна ентропія|ентропії Шеннона]] в [[Квантова інформатика|квантовій теорії інформації]];<ref>Caves, Carlton M.; Fuchs, Christopher A. (1996). «Quantum information: How much information in a state vector?»</ref>.
* модель Фішера—Орра для генетики адаптації в еволюційній біології;<ref>Connallon, T., Hodgins, K.A., 2021. Allen Orr and the genetics of adaptation. Evolution 75, 2624—2640. https://doi.org/10.1111/evo.14372</ref>

== Властивості ==
Не доведено чи є число <math>\gamma</math> [[Алгебраїчні числа|алгебраїчним]] або [[Трансцендентне число|трансцендентним]]. Насправді навіть невідомо, чи є <math>\gamma</math> [[Ірраціональні числа|ірраціональним]]. Використовуючи [[Ланцюговий дріб|ланцюгові дроби]], Папаніколау показав у 1997 році, що якщо <math>\gamma</math> є раціональним, його знаменник повинен бути більшим за 10<sup>244663</sup>.<ref>Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). Buhler, Joe P. (ed.). «Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers». Algorithmic Number Theory.</ref><ref>{Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek fur algorithmische Zahlentheorie</ref> Універсальність числа <math>\gamma</math> підтверджується великою кількістю рівнянь нижче, що робить питання ірраціональності <math>\gamma</math> є головним відкритим питанням у математиці.<ref>See also Sondow, Jonathan (2003). «Criteria for irrationality of Euler's constant». Proceedings of the American Mathematical Society.</ref>

Проте певний прогрес все ж досягнуто.
[[Курт Малер]] показав у 1968&nbsp;р., що число <math>\dfrac{\pi Y_0(2)}{2 J_0(2)}-\gamma</math> є трансцендентним (тут <math>J_\alpha(x)</math> і <math>Y_\alpha(x)</math> є [[Функції Бесселя|функціями Бесселя]]<ref>Mahler, Kurt; Mordell, Louis Joel (4 June 1968). «Applications of a theorem by A.B.Shidlovski»</ref>. У 2009 році Олександр Аптекарев довів, що принаймні одна з констант Ейлера <math>\gamma</math> або {{Не перекладено|стала Ейлера — Гомперца|Ейлера — Гомперца|en|Gompertz constant}} <math>\delta</math> є ірраціональною<ref>Aptekarev, A. I. (28 February 2009). «On linear forms containing the Euler constan»</ref>. Тангі Рівоаль довів у 2012 році, що принаймні одна з них є трансцендентною.<ref>Rivoal, Tanguy (2012). «On the arithmetic nature of the values of the gamma function, Euler's constant, and Gompertz's constant».</ref> У 2010&nbsp;р. {{Не перекладено|М. Рам Мурті||en|M. Ram Murty}} та Н.Сарадха показали, що принаймі одне з чисел вигляду
: <math>\gamma(a, q)=\lim_{n \to +\infty}\left(\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{a+kq}\right)-\frac{\log(a+nq)}{q}\right),</math>
де <math>q \geq 2</math> і <math>1 \leq a < q</math>, є алгебраїчним; це сімейство включає частинний випадок <math>\gamma(2,4)=\frac{\gamma}{4}</math>.<ref>Ram Murty and Saradha 2010.</ref> У 2013 році М. Рам Мурті та А. Зайцева знайшли іншу сім'ю, що містить <math>\gamma</math>, яке базується на сумах обернених цілих чисел, які не діляться на фіксований список простих чисел з однією і тією ж властивістю.<ref>Murty, M. Ram; Zaytseva, Anastasia (2013). «Transcendence of Generalized Euler Constants». The American Mathematical Monthly.</ref>

=== Зв'язок з гамма-функцією ===
<math>\gamma</math> пов'язана з [[дигамма-функція|дигамма-функцією]] <math>\Psi</math>, а отже із [[Похідна|похідною]] від [[гамма-функція|гамма-функції]], якщо обидві функції обчислювати в 1. Таким чином,
: <math>-\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1). </math>

Це дорівнює границям:
: <math>\begin{align}-\gamma &= \lim_{z\to 0}\left(\Gamma(z) - \frac1{z}\right) = \lim_{z\to 0}\left(\Psi(z) + \frac1{z}\right).\end{align}</math>

Подальші обчислення границь:<ref>Kramer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante <math>\gamma</math> und verwandte Zahlen.</ref>

: <math>\begin{align} \lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)}\right) &= 2\gamma \\
\lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)}\right) &= \frac{\pi^2}{3\gamma^2}. \end{align}</math>

Границя пов'язана з [[бета-функція|бета-функцією]] (записана за допомогою [[гамма-функція|гамма-функції]]):
: <math>\begin{align} \gamma &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{ \Gamma\left(\frac1{n}\right) \Gamma(n+1)\, n^{1+\frac1{n}}}{\Gamma\left(2+n+\frac1{n}\right)} - \frac{n^2}{n+1}\right) = \lim\limits_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\log\big(\Gamma(k+1)\big). \end{align}</math>

=== Зв'язок з дзета-функцією ===
<math>\gamma</math> також можна виразити як [[Ряд (математика)|нескінченну суму]], члени якої включають [[Дзета-функція Рімана|дзета-функцію Рімана]], яка обчислюється для цілих додатних числах:
: <math>\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} = \log\frac4{\pi} + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m}.\end{align} </math>
Інші ряди, пов'язані з дзета-функцією, включають:
: <math>\begin{align} \gamma &= \tfrac3{2}- \log 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m}\big(\zeta(m)-1\big) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{2n} - \log n + \sum_{k=2}^n \left(\frac1{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k}\right)\right) = \\
 &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{mn}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac1{t+1} - n \log 2+ O \left (\frac1{2^{n}\, e^{2^n}}\right)\right).\end{align}</math>
Похибка в останньому рівнянні є швидкоспадною функцією змінної <math>n</math>.
У результаті формула добре підходить для ефективного обчислення константи з високою точністю.

Іншими цікавими границями, що дорівнюють сталій Ейлера, є антисиметрична границя:<ref>{Sondow, Jonathan (1998). «An antisymmetric formula for Euler's constant».</ref>
: <math>\begin{align} \gamma &= \lim_{s\to 1^+}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{n^s}-\frac1{s^n}\right) = \lim_{s\to 1}\left(\zeta(s) - \frac{1}{s-1}\right) = \lim_{s\to 0}\frac{\zeta(1+s)+\zeta(1-s)}{2} \end{align}</math>
і наступна формула, отримана в 1898 році [[Шарль Жан де ла Валле-Пуссен|де ла Валле-Пуссеном]]:
: <math>\gamma = \lim_{n\to\infty}\frac1{n}\, \sum_{k=1}^n \left(\left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil - \frac{n}{k}\right)</math>
де <math>\lceil\, \rceil</math> [[Ціла частина числа|функція стелі]]
Ця формула вказує, що коли беремо будь-яке натуральне число <math>n</math> і ділимо його на будь—яке натуральне число <math>k</math> менше за <math>n</math>, то середня частка до якої спадає частка <math>\frac{n}{k}</math> менша наступного цілого числа, прямує до <math>\gamma</math> (ніж до <math>0{,}5</math>), якщо <math>n</math> прямує до нескінченності.

З цим тісно пов'язане представлення у вигляді [[Дзета-функція Гурвіца|раціонального дзета-ряду]].
Взявши окремо декілька перших членів ряду наведеного вище, можна отримати оцінку для класичної границі ряду:
: <math>\gamma = \sum_{k=1}^n \frac1{k} - \log n -\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta(m,n+1)}{m},</math>

де <math>\zeta(s,k)</math> [[дзета-функція Гурвіца]].
Сума в цьому рівнянні включає [[Гармонічне число|гармонічні числа]] <math>H_n</math>.
Розписавши деякі члени дзета-функції Гурвіца отримуємо:
: <math>H_n = \log(n) + \gamma + \frac1{2n} - \frac1{12n^2} + \frac1{120n^4} - \varepsilon,</math>
де <math>0<\varepsilon<\dfrac{1}{252n^6}</math>.
<math>\gamma</math> також можна представити наступним чином:
: <math>\gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi)+\frac{6}{\pi^2}\,\zeta'(2)</math>
де <math>A</math> [[стала Глейшера — Кінкеліна]].
<math>\gamma</math> також можна представити у вигляді:
: <math>\gamma=\lim_{n\to\infty}\biggl(-n+\zeta\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)\biggr)</math>
який отримується з розкладу [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції]] у [[ряд Лорана]].

=== Інтеграли ===
<math>\gamma</math> дорівнює таким значенням [[Інтеграл|визначених інтегралів]]:
: <math>\begin{align}
\gamma &= - \int_0^\infty e^{-x} \log x \,dx \quad = -\int_0^1 \log\left(\log\frac 1 x \right) dx \quad = \int_0^\infty \left(\frac1{e^x-1}-\frac1{x\cdot e^x} \right)dx = \\
 &= \int_0^1\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx -\int_1^\infty \frac{e^{-x}}{x}\, dx \quad = \int_0^1\left(\frac1{\log x} + \frac1{1-x}\right)dx = \\
 &= \int_0^\infty \left(\frac1{1+x^k}-e^{-x}\right)\frac{dx}{x},\quad k>0\\
 &= 2\int_0^\infty \frac{e^{-x^2}-e^{-x}}{x} \, dx \quad = \int_0^1 H_x \, dx, \end{align} </math>
де <math>H_x</math> дробове [[Гармонічне число]].
Третю формулу в інтегральному списку можна довести наступним чином:
: <math>\begin{align}
&\int_0^{\infty} \left(\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{x e^x} \right) dx
 = \int_0^{\infty} \frac{e^{-x} + x - 1}{x[e^x -1]} dx
 = \int_0^{\infty} \frac{1}{x[e^x - 1]} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!} dx \\[2pt]
&= \int_0^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}x^m}{(m+1)![e^x -1]} dx
 = \sum_{m = 1}^{\infty} \int_0^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}x^m}{(m+1)![e^x -1]} dx
 = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{(m+1)!} \int_0^{\infty} \frac{x^m}{e^x - 1} dx \\[2pt]
&= \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{(m+1)!} m!\zeta(m+1)
 = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{m+1}\zeta(m+1)
 = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{m+1} \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{m+1}}
 = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{m+1}\frac{1}{n^{m+1}} \\[2pt]
&= \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{m+1}\frac{1}{n^{m+1}}
 = \sum_{n = 1}^{\infty} \left[\frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]
 = \gamma
\end{align}</math>
Інтеграл у третьому рядку— значення [[Модель Дебая|функції Дебая]] в <math>+\infty</math>, яке в свою чергу дорівнює <math>m!\zeta(m+1)</math>.

Визначені інтеграли, у яких зустрічається <math>\gamma</math> :
: <math>\begin{align}
\int_0^\infty e^{-x^2} \log x \,dx &= -\frac{(\gamma+2\log 2)\sqrt{\pi}}{4} \\
\int_0^\infty e^{-x} \log^2 x \,dx &= \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}\\
\int_{-\infty}^\infty  \frac{ 
 e^{-|x|} \log|x|}{2} \,dx &= \gamma 
\end{align}</math>

Можна виразити <math>\gamma</math>, використовуючи частинний випадок формули Хаджикостаса<ref>Sondow, Jonathan (2005), «Double integrals for Euler's constant and <math>\log {\frac {4}{\pi }}</math> and an analog of Hadjicostas's formula», American Mathematical Monthly, 112 (1): 61—65, arXiv: math.CA/0211148, doi:10.2307/30037385, JSTOR 30037385</ref> як [[Багатократний інтеграл|подвійний інтеграл]] з еквівалентним рядом:
: <math>\begin{align}
\gamma &= \int_0^1 \int_0^1 \frac{x-1}{(1-xy)\log xy}\,dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac 1 n -\log\frac{n+1} n \right).
\end{align}</math>

Цікавим є порівняння Сондоу:
: <math>\begin{align}
\log\frac{4}{\pi}& =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x-1}{(1+xy)\log xy}\,{\rm d}x\,{\rm d}y\\
& =\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n}\right)\right).
\end{align}</math>

Це показує, що <math>\log\frac{4}{\pi}</math> можна розглядати як «знакозмінну сталу Ейлера».
Ці дві сталі також пов'язані за допомогою пари рядів<ref>Sondow, Jonathan (1 August 2005a). New Vacca-type rational series for Euler's constant and its alternating analog <math>\log \frac {4}{\pi }</math>. arXiv: math.NT/0508042.</ref>
: <math>\begin{align}
\gamma &= \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} \\
\log\frac4{\pi} &= \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)} ,
\end{align}</math>
де <math>N_1(n)</math> і <math>N_0(n)</math>— відповідно кількість одиниць і нулів у розкладі <math>n</math> за основою 2.
Також <math>\gamma</math> можна записати за допомогою інтеграла<ref>Sondow, Jonathan; Zudilin, Wadim (2006). «Euler's constant, <math>q</math>—logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper».</ref> [[Число Каталана|Каталана]]
: <math>\gamma = \int_0^1 \left(\frac1{1+x}\sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1}\right)\,dx.</math>

=== Розклад в ряд ===
У загальному випадку
: <math>
\gamma = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} - \log(n+\alpha) \right) \equiv \lim_{n \to \infty} \gamma_n(\alpha)
</math>
для будь-якого <math>\alpha>-n</math>.
Однак швидкість збіжності цього розкладу значною мірою залежить від <math>\alpha</math>.
Зокрема, <math>\gamma_n\left(\frac{1}{2}\right)</math> демонструє набагато швидшу збіжність, ніж стандартний розклад <math>\gamma_n(0)</math>.<ref>DeTemple, Duane W. (May 1993). «A Quicker Convergence to Euler's Constant».</ref><ref>Havil 2003, pp. 75—78.</ref> Це тому, що
: <math>
\frac{1}{2(n+1)} < \gamma_n(0) - \gamma < \frac{1}{2n},
</math>
коли
: <math>
\frac{1}{24(n+1)^2} < \gamma_n(1/2) - \gamma < \frac{1}{24n^2}.
</math>

Тим не менш, існують інші розклади рядів, які збігаються швидше, ніж цей; деякі з них розглянуті нижче.

Ейлер показав, що наступний [[Ряд (математика)|нескінченний ряд]] збігається до <math>\gamma</math>:
: <math>\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac 1 k - \log\left(1+\frac 1 k \right)\right).</math>

Цей ряд для <math>\gamma</math> еквівалентний ряду [[Карл Нільсен|Нільсена]], знайденому в 1897 році:<ref>Blagouchine 2016.</ref><ref>Krämer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante</ref>
: <math>\gamma = 1 - \sum_{k=2}^\infty (-1)^k\frac{\left\lfloor\log_2 k\right\rfloor}{k+1}.</math>

У 1810 році Вакка знайшов тісно пов'язаний ряд<ref>Vacca, G. (1910). «A new analytical expression for the number <math>\pi</math> and some historical considerations». Bulletin of the American Mathematical Society. 16: 368—369. doi:10.1090/S0002-9904-1910-01919-4</ref><ref>Glaisher, James Whitbread Lee (1910). «On Dr. Vacca's series for <math>\gamma</math>». Q. J. Pure Appl. Math. 41: 365—368.</ref><ref>Hardy, G.H. (1912). «Note on Dr. Vacca's series for <math>\gamma</math>». Q. J. Pure Appl. Math. 43: 215—216.</ref><ref>Vacca, G. (1926). "Nuova serie per la costante di Eulero, <math>C=0{,}577\dots</math></ref><ref>Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche. Matematiche e Naturali (in Italian). 6 (3): 19—20.</ref><ref>Kluyver, J.C. (1927). «On certain series of Mr. Hardy». Q. J. Pure Appl. Math. 50: 185—192.</ref><ref>Blagouchine, Iaroslav V. (2016), «Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in <math>\pi^{-2}</math> and into the formal enveloping series with rational coefficients only», J. Number Theory, 158: 365—396, arXiv:1501.00740, doi:10.1016/j.jnt.2015.06.012.</ref>
: <math>\begin{align}
\gamma & = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k\frac{\left\lfloor\log_2 k\right\rfloor} k \\[5pt]
& = \tfrac12-\tfrac13 + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right) + 3\left(\tfrac18 - \tfrac19 + \tfrac1{10} - \tfrac1{11} + \cdots - \tfrac1{15}\right) + \cdots,
\end{align}</math>

де <math>\log_2</math>&nbsp;— це [[Двійковий логарифм|логарифм за основою 2]], <math>\lfloor~\rfloor</math>&nbsp;— [[Ціла частина числа|функція підлоги]].

У 1926 році він знайшов інший ряд:
: <math>\begin{align}
\gamma + \zeta(2) & = \sum_{k=2}^\infty \left( \frac1{\left\lfloor\sqrt{k}\right\rfloor^2} - \frac1{k}\right) \\[5pt]
& = \sum_{k=2}^\infty \frac{k - \left\lfloor\sqrt{k}\right\rfloor^2}{k \left\lfloor \sqrt{k} \right\rfloor^2} \\[5pt]
&= \frac12 + \frac23 + \frac1{2^2}\sum_{k=1}^{2\cdot 2} \frac{k}{k+2^2} + \frac1{3^2}\sum_{k=1}^{3\cdot 2} \frac{k}{k+3^2} + \cdots
\end{align}</math>

Із розкладу в ряд {{Не перекладено|Мальстена||en|Carl Johan Malmsten}}—Куммера для логарифма гамма-функції<ref>Blagouchine, Iaroslav V. (2014). «Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results»</ref>отримуємо
: <math>\gamma = \log\pi - 4\log\left(\Gamma(\tfrac34)\right) + \frac 4 \pi \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{\log(2k+1)}{2k+1}.</math>

Важливий розклад у ряд сталої Ейлера отримали {{Не перекладено|Фонтаною||en|Felice Fontana}} і Маскероні:
: <math>\gamma = \sum_{n=1}^\infty \frac{|G_n|}{n} = \frac12 + \frac1{24} + \frac1{72} + \frac{19}{2880} + \frac3{800} + \cdots,</math>
де <math>G_n</math>— коефіцієнти [[Джеймс Грегорі|Грегорі]].
<ref>Krämer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante <math>\gamma</math> und verwandte Zahlen.</ref>
<ref>Blagouchine, Iaroslav V. (2016), «Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in <math>\pi^{-2}</math> and into the formal enveloping series with rational coefficients only»</ref><ref name=":4">Blagouchine, Iaroslav V. (2018), «Three notes on Ser's and Hasse's representations for the zeta-functions»</ref>
Цей ряд є частинним випадком (при <math>k=1</math>) наступного розкладів:
: <math>\begin{align}
 \gamma &= H_{k-1}  - \log k + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!|G_n|}{k(k+1) \cdots (k+n-1)} && \\
     &= H_{k-1} - \log k + \frac1{2k} + \frac1{12k(k+1)} + \frac1{12k(k+1)(k+2)} + \frac{19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)} + \cdots &&
\end{align}</math>
які є збіжними при<ref>k=1,2,\dots</ref>.

Аналогічний ряд записаний з використанням чисел Коші другого роду <math>C_n</math> має вигляд:<ref name=":0">Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). Summability Calculus. A Comprehensive Theory of Fractional Finite Sums.</ref>
: <math>\gamma = 1 -  \sum_{n=1}^\infty \frac{C_{n}}{n \, (n+1)!} =1- \frac{1}{4} -\frac{5}{72} - \frac{1}{32} - \frac{251}{14400} - \frac{19}{1728} - \ldots</math>

Благоучин (2018) знайшов цікаве узагальнення ряду Фонтана—Машероні
: <math>\gamma=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2n}\Big\{\psi_{n}(a)+ \psi_{n}\Big(-\frac{a}{1+a}\Big)\Big\},
\quad a>-1</math>
де <math>\psi_n (a)</math>&nbsp;— {{Не перекладено|многочлени Бернуллі другого роду||en|Bernoulli polynomials of the second kind}}, які визначаються твірною функцією
: <math>
\frac{z(1+z)^s}{\log(1+z)}= \sum_{n=0}^\infty z^n \psi_n(s) ,\qquad |z|<1,
</math>
Для будь-якого раціонального <math>a</math> цей ряд містить лише раціональні доданки.
Наприклад, при <math>a=1</math> маємо<ref>Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequence A302120 (Absolute value of the numerators of a series converging to Euler's constant)»</ref><ref> Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequence A302121 (Denominators of a series converging to Euler's constant)»</ref>
: <math>\gamma=\frac{3}{4} - \frac{11}{96} - \frac{1}{72} - \frac{311}{46080} - \frac{5}{1152} - \frac{7291}{2322432}  - \frac{243}{100352} - \ldots</math>
Інші ряди з такими ж [[многочлен]]ами включають такі приклади:
: <math>\gamma= -\log(a+1) - \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n \psi_{n}(a)}{n},\qquad \Re(a)>-1 </math>
та
: <math>\gamma= -\frac{2}{1+2a} \left\{\log\Gamma(a+1) -\frac{1}{2}\log(2\pi) + \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n \psi_{n+1}(a)}{n}\right\},\qquad \Re(a)>-1 </math>
де <math>\Gamma(a)</math>&nbsp;— [[гамма-функція]].
Ряд, пов'язаний з алгоритмом Акіяма—Танігави, має вигляд
: <math>\gamma= \log(2\pi) - 2 - 2 \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n G_{n}(2)}{n}=
\log(2\pi) - 2 + \frac{2}{3} + \frac{1}{24}+ \frac{7}{540} + \frac{17}{2880}+ \frac{41}{12600} + \ldots  </math>
де <math>G_n(2)</math>&nbsp;— коефіцієнти [[Джеймс Грегорі|Грегорі]] другого порядку
<ref name=":4"/>

Ряд [[прості числа|простих чисел]]:
: <math>\gamma = \lim_{n\to\infty}\left(\log n - \sum_{p\le n}\frac{\log p}{p-1}\right).</math>

=== Асимптотичні розклади ===
<math>\gamma</math> можна визначити за допомогою наступних асимптотичних формул (де <math>H_n</math>—<math>n</math>-е [[гармонічне число]]):
: <math>\gamma \sim H_n - \log n - \frac1{2n} + \frac1{12n^2} - \frac1{120n^4} + \cdots</math> (''Ейлер'')
: <math>\gamma \sim H_n - \log\left({n + \frac1{2} + \frac1{24n} - \frac1{48n^2} + \cdots}\right)</math> (''Негой'')
: <math>\gamma \sim H_n - \frac{\log n + \log(n+1)}{2} - \frac1{6n(n+1)} + \frac1{30n^2(n+1)^2} - \cdots</math> (''Ернесто'')
Третя формула також називається розкладом [[Срініваса Рамануджан|Рамануджана]].

Алабдулмохсін отримав у замкненій формі співвідношення для сум похибок цих наближень.<ref name=":0"/>
Він показав, що (теорема A.1):
<math display="block"> \sum_{n=1}^\infty \log n +\gamma - H_n + \frac{1}{2n} = \frac{\log (2\pi)-1-\gamma}{2}</math>
<math display="block"> \sum_{n=1}^\infty \log \sqrt{n(n+1)} +\gamma - H_n = \frac{\log (2\pi)-1}{2}-\gamma</math>
<math display="block"> \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\Big(\log n +\gamma - H_n\Big) = \frac{\log \pi-\gamma}{2}</math>

=== Експонента ===
Стала <math>\rm {e}^{\gamma}</math> є важливою в теорії чисел.
Деякі автори позначають цю величину просто як <math>\gamma'</math>.
<math>\rm {e}^{\gamma}</math> дорівнює наступній [[Границя|границі]], де <math>p_n</math>— <math>n</math>-е [[прості числа|просте число]]:
: <math>e^\gamma = \lim_{n\to\infty}\frac1{\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac{p_i}{p_i-1}.</math>
Це підтверджує [[Теореми Мертенса|третю теорему Мертенса]].<ref>Weisstein, Eric W. «Mertens Constant»</ref>.
Числове значення <math>\rm {e}^{\gamma}</math>:<ref>Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A073004 (Decimal expansion of exp(gamma))</ref>
: {{gaps|1.78107|24179|90197|98523|65041|03107|17954|91696|45214|30343|...}}.
Інші [[Нескінченний добуток|нескінченні добутки]], що пов'язані з <math>{\rm e}^{\gamma}</math>, включають:
: <math>\begin{align}
\frac{e^{1+\frac{\gamma}{2}}}{\sqrt{2\pi}} &= \prod_{n=1}^\infty e^{-1+\frac1{2n}}\left(1+\frac1{n}\right)^n \\
\frac{e^{3+2\gamma}}{2\pi} &= \prod_{n=1}^\infty e^{-2+\frac2{n}}\left(1+\frac2{n}\right)^n. \end{align}</math>
Ці доданки є результатом {{Не перекладено|G-функції Барнса||en|Barnes G-function}}.

Додатково
: <math>e^{\gamma} = \sqrt{\frac2{1}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2^2}{1\cdot 3}} \cdot \sqrt[4]{\frac{2^3\cdot 4}{1\cdot 3^3}} \cdot \sqrt[5]{\frac{2^4\cdot 4^4}{1\cdot 3^6\cdot 5}} \cdots</math>
де <math>n</math>-й множник — це <math>(n+1)</math>-й [[корінь]] з
: <math>\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.</math>
Цей нескінченний добуток, вперше відкритий Сером у 1926 році, був перевідкритий Сонду за допомогою [[Гіпергеометрична функція|гіпергеометричних функцій]].<ref>Sondow, Jonathan (2003). «An infinite product for <math>{\rm e}^{\gamma}</math> via hypergeometric formulas for Euler's constant, <math>\gamma</math>»</ref>
Також справедлива наступна [[формула]]:<ref>hoi, Junesang; Srivastava, H.M. (1 September 2010). «Integral Representations for the Euler—Mascheroni Constant <math>\gamma</math>». Integral Transforms and Special Functions.</ref>
: <math>\frac{e^\frac{\pi}{2}+e^{-\frac{\pi}{2}}}{\pi e^\gamma}=\prod_{n=1}^\infty\left(e^{-\frac{1}{n}}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}\right)\right).</math>

=== Ланцюговий дріб ===
Розклад [[ланцюговий дріб|ланцюгового дробу]] для сталої <math>\gamma</math> починається з <math>[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, \dots]</math><ref name=":1"/>,
і немає видимої закономірності.
Відомо, що цей ланцюговий дріб має щонайменше 475 006 доданків і має нескінченно багато доданків [[тоді й лише тоді]],
<ref>Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek fur algorithmische Zahlentheorie</ref>
коли стала<ref>\gamma</ref> є ірраціональним числом.

== Узагальнення ==
[[Файл:Generalisation of Euler–Mascheroni constant.jpg|thumb|upright=2|right|{{math|abm(''x'') {{=}} ''γ''<sub>−''x''</sub>}}]]
Узагальнені сталі Ейлера визначаються як
: <math>\gamma_\alpha = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n \frac1{k^\alpha} - \int_1^n \frac1{x^\alpha}\,dx\right),</math>
для <math>0<\alpha<1</math>, де <math>\gamma</math> є особливим випадком при <math>\alpha=1</math>.<ref>Havil 2003, pp. 117—118.</ref>
Подальші узагальнення мають вигляд
: <math>c_f = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x)\,dx\right)</math>
для деякої довільної спадної функції <math>f</math>.
Наприклад,
: <math>f_n(x) = \frac{(\log x)^n}{x}</math>
приводить до [[Інтеграл Стілтьєса|констант Стілтьєса]], а
: <math>f_a(x) = x^{-a}</math>
дає
: <math>\gamma_{f_a} = \frac{(a-1)\zeta(a)-1}{a-1}</math>
де знову з'являється [[границя]]
: <math>\gamma = \lim_{a\to 1}\left(\zeta(a) - \frac1{a-1}\right)</math>

Двовимірним граничним узагальненням є [[константа]] Массера&nbsp;— Гремена.

Сталі Ейлера&nbsp;— Лемера визначаються шляхом підсумовування [[Обернене число|обернених чисел]] у загальному класі за модулем:
: <math>\gamma(a,q) = \lim_{x\to \infty}\left (\sum_{0<n\le x \atop n\equiv a \pmod q} \frac1{n}-\frac{\log x}{q}\right).</math>
Основними властивостями яких є
: <math>\begin{align}
\gamma(0,q) &= \frac{\gamma -\log q}{q}, \\
\sum_{a=0}^{q-1} \gamma(a,q)&=\gamma, \\
q\gamma(a,q) &= \gamma-\sum_{j=1}^{q-1}e^{-\frac{2\pi aij}{q}}\log\left(1-e^{\frac{2\pi ij}{q}}\right),
\end{align}</math>
і якщо<ref>\gcd(a, q)=d</ref>, то
: <math>q\gamma(a,q) = \frac{q}{d}\gamma\left(\frac{a}{d},\frac{q}{d}\right)-\log d.</math>

== Опубліковані десяткові розклади для <math>\gamma</math> ==
Спочатку Ейлер обчислив значення константи з точністю до 6 знаків після коми.
У 1781 році він обчислив його до 16 знаків після коми.
Маскероні спробував обчислити константу з точністю до 32 знаків після коми, але допустив помилку в 20-22 і 31-32 знаках після коми; починаючи з 20-ї цифри, він обчислив <math>\dots1811209008239</math>, хоча правильне значення дорівнює <math>\dots0651209008240</math>.
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ '''Published Decimal Expansions of {{mvar|γ}}'''
! Date || Decimal digits || Author || Sources
|-
| 1734 || style="text-align:right;"| 5 || [[Леонард Ейлер]] ||
|-
| 1735 || style="text-align:right;"| 15 || [[Леонард Ейлер]] ||
|-
| 1781 || style="text-align:right;"| 16 || [[Леонард Ейлер]] ||
|-
| 1790 || style="text-align:right;"| 32 || Лоренцо Маскероні, 20-22 і 31-32 неправильні||
|-
| 1809 || style="text-align:right;"| 22 || Йоганн Георг фон Зольднер ||
|-
| 1811 || style="text-align:right;"| 22 || [[Карл Фрідріх Гаусс]] ||
|-
| 1812 || style="text-align:right;"| 40 || Фрідріх Бернхард Готфрід Ніколай ||
|-
| 1857 || style="text-align:right;"| 34 ||  Крістіан Фредрік Ліндман ||
|-
| 1861 || style="text-align:right;"| 41 ||  Людвіг Оттінгер ||
|-
| 1867 || style="text-align:right;"| 49 || Вільям Шенкс ||
|-
| 1871 || style="text-align:right;"| 99 || [[Джон Кауч Адамс]] ||
|-
| 1871 || style="text-align:right;"| 101 || Вільям Шенкс ||
|-
| 1877 || style="text-align:right;"| 262 || [[Джон Кауч Адамс]] ||
|-
| 1952 || style="text-align:right;"| 328 || Джон Ренч ||
|-
| 1961 || style="text-align:right;"| {{val|1050|fmt=gaps}} ||  Гельмут Фішер і Карл Целлер ||
|-
| 1962 || style="text-align:right;"| {{val|1271|fmt=gaps}} || [[Дональд Кнут]] ||<ref>Knuth, Donald E. (July 1962). «Euler's Constant to 1271 Places»</ref>
|-
| 1962 || style="text-align:right;"| {{val|3566|fmt=gaps}} || Дура В. Суїні ||
|-
| 1973 || style="text-align:right;"| {{val|4879|fmt=gaps}} || Вільям А. Бейєр і Майкл С. Уотерман ||
|-
| 1977 || style="text-align:right;"| {{val|20700}} || Річард П. Брент ||
|-
| 1980 || style="text-align:right;"| {{val|30100}} || Річард П. Брент і Едвін М. Макміллан||
|-
| 1993 || style="text-align:right;"| {{val|172000}} || [[Джонатан Борвейн]] ||
|-
| 1999 || style="text-align:right;"| {{val|108000000}} || Патрік Демішель і Ксав'є Гурдон ||
|-
| March 13, 2009 || style="text-align:right;"| {{val|29844489545}} || Олександр Дж. Йі та Реймонд Чан ||<ref name=":2">Yee, Alexander J. (7 March 2011). «Large Computations»</ref><ref name=":3">Yee, Alexander J. «Records Set by y-cruncher». www.numberworld.org. Retrieved 30 April 2018. Yee, Alexander J.</ref>
|-
| December 22, 2013 || style="text-align:right;"| {{val|119,377,958,182}} ||  Олександр Дж. ||<ref name=":2"/><ref name=":3"/>
|-
| March 15, 2016 || style="text-align:right;"| {{val|160,000,000,000}} || Пітер Труб ||<ref name=":2"/><ref name=":3"/>
|-
| May 18, 2016 || style="text-align:right;"| {{val|250,000,000,000}} || Рон Уоткінс ||<ref name=":2"/><ref name=":3"/>
|-
| August 23, 2017 || style="text-align:right;"| {{val|477,511,832,674}} || Рон Уоткінс ||<ref name=":2"/><ref name=":3"/>
|-
| May 26, 2020 || style="text-align:right;"| {{val|600,000,000,100}} || Кім Синмін і Ян Катресс ||<ref name=":2"/><ref name=":3"/><ref>«Euler-Mascheroni Constant»</ref>
|}

== Примітки ==
{{примітки}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. «Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova». Crelle's Journal (in Latin). 17: 257—285.
* Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010). «Euler—Lehmer constants and a conjecture of Erdos». Journal of Number Theory. 130 (12): 2671—2681. doi:10.1016/j.jnt.2010.07.004. ISSN 0022-314X.

== Додаткова література ==
* {{cite journal |author1=Borwein, Jonathan M. |author2=David M. Bradley |author3=Richard E. Crandall |title=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function |journal=Journal of Computational and Applied Mathematics |date=2000 |volume=121 |issue=1–2 |pages=11 |url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf |doi=10.1016/s0377-0427(00)00336-8 |bibcode=2000JCoAM.121..247B |ref=none|doi-access=free }} Derives {{mvar|γ}} as sums over Riemann zeta functions.
* {{cite journal |first1=I. |last1=Gerst |title=Some series for Euler's constant |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1969-03_76_3/page/237 |date=1969 |journal=Amer. Math. Monthly |doi=10.2307/2316370 |volume=76 |issue=3 |pages=237–275 |jstor=2316370 |ref=none}}
* {{cite journal |last=Glaisher |first=James Whitbread Lee |author-link=James Whitbread Lee Glaisher |date=1872 |title=On the history of Euler's constant |journal=Messenger of Mathematics |volume=1 |pages=25–30 |jfm=03.0130.01 |ref=none}}
* {{cite web |last1=Gourdon|first1=Xavier|last2=Sebah|first2=P. |date=2002 |title=Collection of formulae for Euler's constant, {{mvar|γ}} |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gammaFormulas.html |ref=none}}
* {{cite web |last1=Gourdon|first1=Xavier|last2=Sebah|first2=P. |date=2004 |title=The Euler constant: {{mvar|γ}} |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html |ref=none}}
* {{cite journal |first1=E. A. |last1= Karatsuba |title=Fast evaluation of transcendental functions |journal=Probl. Inf. Transm. |volume =27 |number=44 |pages=339–360 |date=1991 |ref=none}}
* {{cite journal |last1=Karatsuba |first1=E.A. |date=2000 |title=On the computation of the Euler constant {{mvar|γ|}} |journal=Journal of Numerical Algorithms |volume=24 |issue=1–2 |pages=83–97 |doi=10.1023/A:1019137125281 |s2cid=21545868 |ref=none}}
* {{cite book |last=Knuth |first=Donald |author-link=Donald Knuth |date=1997 |title=[[The Art of Computer Programming|The Art of Computer Programming, Vol. 1]] |edition=3rd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-89683-4 |pages=75, 107, 114, 619–620 |ref=none}}
* {{cite journal |first1=D. H. |last1=Lehmer |date=1975 |title=Euler constants for arithmetical progressions |journal=Acta Arith. |volume=27 |number=1 |pages=125–142 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa27/aa27121.pdf |doi=10.4064/aa-27-1-125-142 |ref=none|doi-access=free }}
* {{cite journal |last1=Lerch |first1=M. |date=1897 |title=Expressions nouvelles de la constante d'Euler |journal=Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften |volume=42 |page=5 |ref=none}}
* {{citation |last=Mascheroni |first=Lorenzo |author-link=Lorenzo Mascheroni |date=1790 |title=Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur |publisher=Galeati, Ticini |ref=none}}
* {{cite journal |last1=Sondow |first1=Jonathan |date=2002 |title=A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant |arxiv=math.NT/0211075 |journal=Mathematica Slovaca |volume=59 |pages=307–314 |doi=10.2478/s12175-009-0127-2 |bibcode=2002math.....11075S |s2cid=16340929 |ref=none}} with an Appendix by [https://web.archive.org/web/20130523085959/http://wain.mi.ras.ru/zlobin/ Sergey Zlobin]

== Зовнішні лінки ==
* {{springer|title=Euler constant|id=p/e036420}}
* {{MathWorld|urlname=Euler-MascheroniConstant|title=Euler–Mascheroni constant|ref=none}}
* [https://jonathansondow.github.io/ Jonathan Sondow.]
* [http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/algen.htm Fast Algorithms and the FEE Method], E.A. Karatsuba (2005)
* Further formulae which make use of the constant: [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gammaFormulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

== Див. також ==
* [[Формула сумування Абеля]]

{{math-stub}}

[[Категорія:Математичні константи]]
[[Категорія:Числа з власними іменами]]
[[Категорія:Нерозв'язані проблеми математики]]
[[Категорія:Об'єкти, названі на честь Леонарда Ейлера]]