Перегляд вихідного коду сторінки Спільний розподіл

{{Annotated image|caption=Показано багато випадкових спостережень (чорні) зі спільного розподілу ймовірності. Також показано й відособлені густини.
| image=Multivariate normal sample.svg
| image-width = 300
| annotations = 
{{Annotation|60|190|<math>X</math>}}
{{Annotation|240|190|<math>Y</math>}}
{{Annotation|240|20|<math>p(X)</math>}}
{{Annotation|60|20|<math>p(Y)</math>}}
}}
{{Основи теорії ймовірностей}}
У дослідженнях [[Імовірність|імовірності]] для заданих щонайменше двох [[Випадкова змінна|випадкових змінних]] ''X'', ''Y'', …, що визначені на [[Ймовірнісний простір|ймовірнісному просторі]], '''спі́льний розпо́діл імові́рності''' для ''X'', ''Y'', … є [[Розподіл ймовірностей|розподілом імовірності]], що дає ймовірності того, що кожна з ''X'', ''Y'', … влучає в певний діапазон або дискретний набір значень, визначених для цієї змінної. У випадку лише двох випадкових змінних це називається '''двови́мірним розпо́ділом''', але це поняття узагальнюється на будь-яке число випадкових змінних, даючи '''багатови́мірний розпо́діл'''.

Спільний розподіл ймовірності може бути виражено або в термінах спільної [[Кумулятивна функція розподілу ймовірностей|кумулятивної функції розподілу]], або в термінах спільної [[Густина імовірності|функції густини ймовірності]] (у випадку {{нп|Неперервна змінна|неперервних змінних||Continuous variable}}) чи спільної [[Функція маси імовірності|функції маси ймовірності]] (у випадку [[Дискретний розподіл|дискретних]] змінних). Їх у свою чергу може бути застосовано для знаходження двох інших типів розподілів: [[Відособлений розподіл|відособленого розподілу]], що дає ймовірності для будь-якої однієї зі змінних без посилання на жодні конкретні діапазони значень інших змінних, та [[Умовний розподіл|умовного розподілу ймовірності]], що дає ймовірності будь-якої підмножини змінних за умови конкретних значень решти змінних.

== Приклади ==

=== Підкидання монет ===
Розгляньмо підкидання двох {{нп|Правдива монета|правдивих монет||Fair coin}}; нехай ''A'' та ''B'' є дискретними випадковими змінними, пов'язаними з результатами підкидань першої та другої монети відповідно. Якщо монета показує [[аверс]], то пов'язана випадкова змінна є 1, інакше 0. Спільна функція маси ймовірності ''A'' та ''B'' визначає ймовірності для кожної з пар результатів. Усіма можливими результатами є
: <math>
(A=0,B=0),
(A=0,B=1),
(A=1,B=0),
(A=1,B=1)
</math>
Оскільки кожен з результатів є однаково правдоподібним, то спільною функцією маси ймовірності стає
: <math>P(A,B)=1/4</math>
де <math>A,B\in\{0,1\}</math>. Оскільки підкидання монет є незалежними, спільна функція маси ймовірності є добутком
відособлених:
: <math>P(A,B)=P(A)P(B)</math>.
Загалом, кожне підкидання монети є [[Схема Бернуллі|пробою Бернуллі]], й послідовність підкидань слідує [[Розподіл Бернуллі|розподілові Бернуллі]].

=== Кидання грального кубика ===
Розгляньмо кидання правдивого [[Гральні кубики|грального кубика]], і нехай ''A'' = 1, якщо число є парним (тобто, 2, 4, або 6), а інакше ''A'' = 0. До того ж, нехай ''B'' = 1, якщо число є [[Просте число|простим]] (тобто, 2, 3, або 5), а інакше ''B'' = 0.
{| class="wikitable"
|-
! !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6
|-
| A || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1
|-
| B || 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0
|}

Тоді спільним розподілом ''A'' та ''B'', вираженим як функція маси ймовірності, є
: <math>
  \mathrm{P}(A=0,B=0)=P\{1\}=\frac{1}{6},\; \mathrm{P}(A=1,B=0)=P\{4,6\}=\frac{2}{6},
</math>
::: <math>
  \mathrm{P}(A=0,B=1)=P\{3,5\}=\frac{2}{6},\; \mathrm{P}(A=1,B=1)=P\{2\}=\frac{1}{6}.
</math>

Ці ймовірності обов'язково дають в сумі 1, оскільки ймовірністю того, що трапиться ''якась'' комбінація ''A'' та ''B'', є 1.

== Функція густини чи функція маси ==

=== Дискретний випадок ===

'''Спільною [[Функція маси імовірності|функцією маси ймовірності]]''' двох [[Дискретна випадкова величина|дискретних випадкових змінних]] <math>X, Y</math> є
: <math>
\begin{align}

\mathrm{P}(X=x,Y=y) = \mathrm{P}(Y=y \mid X=x) \cdot \mathrm{P}(X=x) = \mathrm{P}(X=x \mid Y=y) \cdot \mathrm{P}(Y=y)
\end{align}.
</math>

Узагальненням попереднього випадку для двох змінних є спільний розподіл імовірності <math>n\,</math> дискретних випадкових змінних <math>X_1, X_2, \dots,X_n</math>, яким є

: <math>

\begin{align}

\mathrm{P}(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n) & =  \mathrm{P}(X_1=x_1)  \\ & \qquad \times \mathrm{P}(X_2=x_2\mid X_1=x_1) \\ & \quad \qquad \times \mathrm{P}(X_3=x_3\mid X_1=x_1,X_2=x_2) \times  \dots \times P(X_n=x_n\mid X_1=x_1,X_2=x_2,\dots,X_{n-1}=x_{n-1})

\end{align}
</math>

Ця тотожність відома як [[Ланцюгове правило (ймовірності)|ланцюгове правило ймовірності]].

Оскільки це є ймовірностями, у випадку для двох змінних ми маємо

: <math>\sum_i \sum_j \mathrm{P}(X=x_i,Y=y_j) = 1,\,</math>
що узагальнюється для <math>n\,</math> дискретних випадкових змінних <math>X_1, X_2, \dots , X_n</math> як

: <math>\sum_{i} \sum_{j} \dots \sum_{k} \mathrm{P}(X_1=x_{1i},X_2=x_{2j}, \dots, X_n=x_{nk}) = 1.\;</math>

=== Неперервний випадок ===

'''Спільна [[Густина імовірності|функція густини ймовірності]]''' ''f''<sub>''X'',''Y''</sub>(''x'',&nbsp;''y'') для [[Неперервна випадкова змінна|неперервних випадкових змінних]] дорівнює

: <math>f_{X,Y}(x,y) = f_{Y\mid X}(y\mid x)f_X(x) = f_{X\mid Y}(x\mid y)f_Y(y)\;</math>

…де ''f''<sub>''Y''|''X''</sub>(''y''|''x'') та ''f''<sub>''X''|''Y''</sub>(''x''|''y'') дають [[Умовний розподіл|умовні розподіли]] ''Y'' коли ''X''&nbsp;=&nbsp;''x'' та ''X'' коли ''Y''&nbsp;=&nbsp;''y'' відповідно, а ''f''<sub>''X''</sub>(''x'') та ''f''<sub>''Y''</sub>(''y'') дають [[Відособлений розподіл|відособлені розподіли]] ''X'' та ''Y'' відповідно.

Знов-таки, оскільки вони є розподілами ймовірності, маємо
: <math>\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y) \; dy \; dx= 1.</math>

=== Змішаний випадок ===
'''Змішану спільну густину''' може бути визначено, коли одна випадкова змінна ''X'' є неперервною, а інша випадкова змінна ''Y'' є дискретною, або навпаки, як
: <math>
\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) = f_{X \mid Y}(x \mid y)\mathrm{P}(Y=y)= \mathrm{P}(Y=y \mid X=x) f_X(x)
\end{align}
</math>
Один з прикладів ситуації, в якій ми можемо хотіти знаходити сукупний розподіл однієї випадкової змінної, що є неперервною, та іншої випадкової змінної, що є дискретною, виникає, коли ми хочемо використовувати [[Логістична регресія|логістичну регресію]] в передбаченні ймовірності двійкового результату ''Y'' в залежності від неперервно розподіленого результату ''X''. Ми ''змушені'' використовувати «змішану» спільну густину при знаходженні сукупного розподілу цього двійкового результату, оскільки вхідні змінні (''X'', ''Y'') початково було визначено таким чином, що неможливо одночасно призначити їм або функцію густини ймовірності, або функцію маси ймовірності. Формально ''f''<sub>''X'',''Y''</sub>(''x'', ''y'') є функцією густини ймовірності (''X'', ''Y'') з урахуванням [[Добуток мір|добутку мір]] відповідних {{нп|Носій (теорія мір)|носіїв||Support (measure theory)}} ''X'' та ''Y''. Будь-який з цих двох розкладів може потім бути використано для відновлення спільної кумулятивної функції розподілу:
: <math>
\begin{align}
F_{X,Y}(x,y)&=\sum\limits_{t\le y}\int_{s=-\infty}^x f_{X,Y}(s,t)\;ds
\end{align}
</math>
Це визначення узагальнюється до суміші довільного числа дискретних та неперервних випадкових змінних.

== Додаткові властивості ==

=== Спільний розподіл незалежних змінних ===
Дві дискретні випадкові змінні <math>X</math> та <math>Y</math> є [[Статистична незалежність|незалежними]], якщо спільна функція маси ймовірності задовольняє
: <math>\ P(X = x, Y = y ) = P( X = x) \cdot P( Y = y) </math>
для всіх ''x'' та ''y''.

Аналогічно, дві абсолютно неперервні випадкові змінні є незалежними, якщо
: <math>\ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) </math>
для всіх ''x'' та ''y''. Це означає, що отримання будь-якої інформації про значення однієї або більше випадкових змінних веде до такого умовного розподілу будь-якої іншої змінної, що є тотожним її безумовному (відособленому) розподілові; таким чином, жодна змінна не надає жодної інформації про будь-яку іншу змінну.

=== Спільний розподіл для умовно залежних змінних ===
Якщо підмножина <math>A</math> змінних <math>X_1,\cdots,X_n</math> є {{нп|Умовна залежність|умовно залежною||Conditional dependence}} від іншої підмножини <math>B</math> цих змінних, то спільний розподіл <math>\mathrm{P}(X_1,\ldots,X_n)</math> дорівнює <math>P(B)\cdot P(A\mid B)</math>. Таким чином, його може бути ефективно представлено розподілами нижчої розмірності <math>P(B)</math> та <math>P(A\mid B)</math>. Такі відносини умовної незалежності може бути представлено [[Баєсова мережа|баєсовою мережею]].

=== Кумулятивний розподіл ===

Спільний розподіл імовірності для пари випадкових змінних може бути виражено в термінах [[Кумулятивна функція розподілу ймовірностей|кумулятивної функції розподілу]] <math>F(x,y)=P(X \le x, Y \le y).</math>

== Важливі розподіли з власними назвами ==

Спільні розподіли з власними назвами, що часто виникають у статистиці, включають [[багатовимірний нормальний розподіл]], {{нп|багатовимірний стійкий розподіл|||Multivariate stable distribution}}, [[поліноміальний розподіл]], {{нп|від'ємний поліноміальний розподіл|||Negative multinomial distribution}}, {{нп|багатовимірний гіпергеометричний розподіл|||Multivariate hypergeometric distribution}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Multivariate hypergeometric distribution]] (→ [[:en:Hypergeometric distribution#Multivariate hypergeometric distribution]]) перекладена як [[Гіпергеометричний розподіл]], хоча хотіли [[багатовимірний гіпергеометричний розподіл]] (SashkoR0B0T)--> та [[еліптичний розподіл]].

== Див. також ==
* [[Баєсове програмування]]
* {{нп|Дерево Чоу — Лю|Дерево Чоу&nbsp;— Лю||Chow–Liu tree}}
* [[Умовна ймовірність]]
* [[Копула]]
* {{нп|Теорема дезінтеграції|||Disintegration theorem}}
* [[Багатовимірна статистика]]
* {{нп|Статистична інтерференція|||Statistical interference}}

== Посилання ==
* {{Гнєденко.Курс теорії ймовірностей}}
* {{springer|title=Joint distribution|id=p/j054260}} {{ref-en}}
* {{springer|title=Multi-dimensional distribution|id=p/m065120}} {{ref-en}}
* {{planetmath reference|id=576|title=Joint continuous density function}} {{ref-en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/JointDistributionFunction.html Mathworld: Joint Distribution Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160527085944/http://mathworld.wolfram.com/JointDistributionFunction.html |date=27 травня 2016 }} {{ref-en}}

[[Категорія:Теорія розподілів імовірності]]
[[Категорія:Типи розподілів імовірності]]