Перегляд вихідного коду сторінки Спектр атома водню

:''Ця стаття присвячена енергетичному спектру атома водню. Якщо вас цікавлять інші властивості хімічного елемента, дивіться статтю [[водень]]''.

[[Зображення:Hydrogen.svg|thumb|180px|Протон оточений електронною хмарою]]

'''А́том во́дню'''&nbsp;— найпростіший з [[атом]]ів [[хімічний елемент|хімічних елементів]].

Він складається з позитивно зарядженого [[ядро атома|ядра]], яке для основного [[ізотоп]]а є просто [[протон]]ом, й одного [[електрон]]а.

Квантовомеханічна задача про дозволені енергетичні стани атома водню розв'язується точно. Зважаючи на цю обставину, [[хвильова функція|хвильові функції]], отримані як [[власна функція|власні функції]] цієї задачі, є базовими для розгляду решти елементів [[Періодична система хімічних елементів|періодичної таблиці]]. Тому спектр атома водню має велике значення для [[фізика|фізики]] й [[хімія|хімії]].

== Гамільтоніан ==

До складу атома водню входить ядро з [[маса|масою]] M і [[Електричний заряд|зарядом]] +e та електрон із зарядом -e. Взаємодія між ними&nbsp;— [[закон Кулона|кулонівське притягання]].

[[Гамільтоніан]] атома водню має вигляд <ref group="Прим.">{{Gauss system}}</ref>
: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2M} \nabla_R^2 - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla_r^2 - \frac{e^2}{| \mathbf{R} - \mathbf{r}|} </math>,

де <math>  \mathbf{R} </math>&nbsp;— [[радіус-вектор]] ядра, а <math>  \mathbf{r} </math>&nbsp;— радіус-вектор електрона.

При переході до системи координат, пов'язаної з [[центр інерції|центром мас]], гамільтоніан розбивається на два незалежні доданки.

: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2M_C} \nabla_{R_C}^2 + \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_\rho^2 - \frac{e^2}{\rho} </math>,

де <math> M_c = M +m </math>&nbsp;— сумарна маса електрона й ядра, <math> \mu = \frac{Mm}{M+m} </math>&nbsp;— приведена маса електрона,
<math> \mathbf{R}_C </math>&nbsp;— радіус-вектор центра мас, <math> \mathbf{\rho} = \mathbf{r} - \mathbf{R} </math>&nbsp;— вектор, який сполучає
ядро з електроном.

Перший член у гамільтоніані описує [[поступальний рух]] атома водню, як цілого. Надалі його не розглядатимемо.

У [[сферична система координат|сферичній системі координат]] гамільтоніан відносного руху електрона навколо ядра записується у вигляді:
: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho^2 \frac{\partial }{\partial \rho} \right) -
\frac{\hat{L}^2}{2\mu\rho^2} - \frac{e^2}{\rho} </math> ,

де <math> \hat{L}^2 </math>&nbsp;— [[оператор кутового моменту|оператор квадрата кутового моменту]].

Гамільтоніан [[комутатор (математика)|комутує]] з оператором квадрата кутового моменту, а тому має спільні з ним [[власна функція|власні функції]].

== Власні функції й дозволені значення енергії ==
[[Зображення:Electron orbitals.svg|thumb|300px|Тривимірна візуалізація атомних орбіталей]]
Власні функції гамільтоніана мають вигляд:
: <math> \psi_{nlm} = \tilde{\rho}^l e^{-\tilde{\rho}/2} L_{n+l}^{2l+1}(\tilde{\rho}) Y_{lm}(\theta, \varphi) </math>,

де <math> \tilde{\rho} = \frac{2\rho}{na_0} </math>, <math> a_0 </math>&nbsp;— [[радіус Бора]], <math> L_i^j</math>&nbsp;— [[поліноми Лаґерра]], <math> Y_{lm}(\theta, \varphi) </math>&nbsp;— [[сферичні гармоніки]].

Функції характеризуються трьома цілими [[квантове число|квантовими числами]]
* n = 1,2,3…&nbsp;— '''основне квантове число'''.
* l = 0..n-1&nbsp;— '''орбітальне квантове число'''.
* m = -l..l&nbsp;— '''магнітне квантове число'''.

Крім того, електронні хвильові функції характеризуються ще одним квантовим числом&nbsp;— [[спін]]ом, який з'являється при врахуванні
релятивістських ефектів. Спінове квантове число набуває значення <math> s_z = \pm 1/2</math>.

Власні значення гамільтоніана дорівнюють
: <math> E_n = - R \frac{1}{n^2} </math>,

де <math> R = \frac{\mu\alpha^2}{2\hbar^2} = \approx 13.6 </math> [[еВ]]&nbsp;— константа (α&nbsp;— [[стала тонкої структури]]).

Власні значення гамільтоніана відповідають можливим значення енергії атома водню. Вони залежать тільки від основного
квантового числа n. Кожен з енергетичних рівнів атома водню, крім першого, [[виродження (фізика)|вироджений]]. Одному значенню енергії відповідає
n<sup>2</sup> можливих функцій, а з урахуванням спіну — 2n<sup>2</sup>.
<ref group="Прим.">Це виродження є характерною особливістю атома водню. Для інших атомів рівні енергії
залежать як від основного кватового числа n, так і від орбітального квантового числа l. Залишається лише виродження
відносно магнітного квантового числа m і спіну. Це виродження знімається зовнішнім магнітним полем.</ref>

== Хвильова функція основного стану ==

В [[основний стан квантовомеханічної системи|основному стані]] хвильова функція атома водню має вигляд:
: <math> \psi_{1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} e^{-Z\rho/a_0} </math>,

де Z = 1&nbsp;— [[атомний номер|зарядове число]] для ядра атома водню.

== Неперервний спектр ==
Окрім дискретних рівнів із від'ємною енергією атом водню має нескінченну кількість станів з додатною енергією, в яких хвильові функції нелокалізовані. Ці стани відповідають [[Іонізація|іонізації]] атому (або його [[Рекомбінація (хімія)|рекомбінації]]).

== Оптичні переходи ==
[[Зображення:Spectral lines of the hydrogen atom.svg|thumb|180px|Спектральні лінії атома водню]]

Згідно з положеннями квантової механіки (див. [[Золоте правило Фермі]]) при випромінюванні чи поглинанні світла квантовомеханічною
системою має виконуватися [[закон збереження енергії]]. Наприклад, при випромінюванні кванта світла, енергія атома водню
змінюється на величину <math> \hbar \omega </math>, де ω&nbsp;— [[циклічна частота]] світла. Але енергія атома водню може мати
лише конкретні значення, визначені вище. Таким чином, атом водню в найнижчому основному стані не може випромінювати світло, бо
не може зменшити своєї енергії. Якщо атом водню перебуває в першому збудженому стані, то при випромінюванні він може перейти лише
в основний стан. При цьому енергія випроміненого [[фотон]]а дорівнює різниці <math> E_1 - E_0 </math>. І так далі, атом у другому збудженому
стані може перейти лише в основний стан і перший збуджений тощо.

При поглинанні світла атомом водню відбуваються схожі процеси. Атом в основному стані має енергію <math> E_0 </math> і може перейти
в стани з енергією <math> E_n </math>. При цьому поглинаються виключно лише ті фонони, які мають енергії <math> \hbar\omega = E_n - E_0 </math>.

Таким чином спектр поглинання й [[атомний спектр|спектр випромінювання]] атома водню складається із [[Спектральні серії водню|серії]] тонких ліній, які згущуються до певної частоти (межі серії),
а на вищих частотах перетворюється на неперервний спектр, оскільки високоенергетичні збудження відповідають іонізації атома, коли електрон,
який відривається від ядра, може мати довільну енергію.

[[Лінійчастий спектр]] атома водню складається з ліній поглинання з частотами, які визначаються за [[Формула Рідберґа|формулою Рідберґа]]:
: <math> \hbar\omega = R\left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right) </math>,

де m і n>m&nbsp;— цілі числа, m — головне квантове число. У спектрі виділяють:
* [[Серія Лаймана|серію Лаймана]] (m = 1). Ця серія розташована в [[ультрафіолет]]овій області [[спектр]]у й була підтверджена експериментально вже після того, як [[Нільс Бор]] передбачив її існування.
* [[Серія Бальмера|серію Бальмера]]  (m = 2). Перші лінії цієї серії лежать в оптичному діапазоні, а [[Бальмерівський стрибок|її межа]] (λ=364,6 нм) розташована в ближньому ультрафіолеті.
* [[серія Пашена]] (m = 3). Серія Пашена (як і всі наступні серії) лежить на [[інфрачервоне випромінювання|інфрачервоній ділянці]] спектру.
* [[серія Брекета]] (m = 4).
* [[серія Пфунда]] (m = 5).

== Тонка структура ==
[[Зображення:Fine structure of Ly-alpha.svg|thumb|180px|Тонка структура рівнів з n =2. Ліворуч&nbsp;— нерозщеплений рівень, який виникає в нерелятивістській теорії]]

Приведений розрахунок енергетичного спектру атома водню ґрунтувався на рівнянні Шредінгера, яке не є
Лоренц-інваріантним, а, отже, узгоджується з теорією відносності лише наближено. Релятивістським аналогом рівняння Шредінгера є [[рівняння Дірака]].
Суттєва відмінність рівняння Дірака від рівняння Шредінгера в тому, що рівняння Дірака вводить поняття [[спін]]а. Таким чином, крім наведених вище квантових чисел n, l, m, електрон атома водню характеризується ще й спіном. 
Кількісні поправки, які вносить у енергетичний спектр атома водню релятивістський розгляд, невеликі, бо середня швидкість електрона в атомі водню мала порівняно зі [[швидкість світла|швидкістю світла]].
Однак, у спектрах є суттєва якісна відмінність. Ретельне вивчення спектрів показало, що лінії спектру розщеплюються на невеличкі серії. Це розщеплення отримало назву [[тонка структура|тонкої структури]].

Як відомо, при врахуванні спіна, власні стани квантовомеханічних систем краще характеризувати не орбітальним квантовим числом l, а квантовим числом повного моменту j. Енергія власних станів атома водню приблизно дорівнює
: <math> E_{n,j} = -\frac{R}{n^2} \left( 1 + \frac{\alpha^2}{n(j+1/2)} - \frac{3\alpha^2}{4n^2} + \dots \right) </math>,

де <math> \alpha = e^2/\hbar c</math>&nbsp;— універсальна стала, яка отримала назву [[стала тонкої структури|сталої тонкої структури]].
Стала тонкої структури — мала величина (<math> \alpha \approx 1/137 </math>), а отже релятивістські поправки, які пропорційні квадрату сталої тонкої структури, є дуже малими. Однак, енергетичні рівні з певним n розщеплюються на кілька рівнів із різними j.
Кожен такий рівень усе ще 2(2j+1) разів вироджений.

Наприклад, основний стан має l = 0, j = s = 1/2. Цей стан позначається 1S<sub>1/2</sub> <ref group="Прим.">Про те, як позначаються стани див. статтю [[Електронні терми атомів]]</ref>. Він двократно вироджений і два можливі стани відповідають різним проєкціям спіна <math> s_z = \pm 1/2 </math>.

Перший збуджений стан розщеплюється на два:
* Стан 2P<sub>3/2</sub>, для якого j = 3/2, l = 1. Цей стан чотирикратно вироджений.
* Стани 2S<sub>1/2</sub> (j= 1/2, l = 0) і 2P<sub>1/2</sub> (j = 1/2, l=1), кожен із яких теж двократно вироджений.

== Надтонка структура ==
Надтонка структура виникає, якщо врахувати взаємодію спіна електрона зі спіном ядра ([[Протон|протона]]).
{{Main|Надтонка структура}}
Основний енергетичний стан нейтрального атома водню розщеплюється на два близькі підрівні: верхній (збуджений) рівень відповідає паралельним [[спін]]ам ядра та електрона, а нижній (основний)&nbsp;— антипаралельним. Перехід між ними пов'язаний із випромінюванням (або поглинанням) кванта з енергією ~&nbsp;5,874 33 µ[[Електронвольт|eV]]<ref name="Hyperphysics">{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/h21.html|title=The Hydrogen 21-cm Line|date=2004-10-30|publisher=Georgia State University|accessdate=2008-09-20|work=Hyperphysics|archive-date=29 липня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180729045857/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/h21.html}}</ref>, що відповідає частоті {{nobr|1 420 405 751,7667 ± 0,0009 Hz}}<ref name=PhysRevA_68_052503/> ([[довжина хвилі|довжині хвилі]]  у [[вакуум]]і — {{nobr|21,106 114 542 см}}). Цей перехід є [[Заборонені лінії|забороненим]] (в електродипольному наближенні), однак він дозволений у магнітодипольному наближенні, щоправда, із надзвичайно малим коефіцієнтом&nbsp;— 2,9{{e|−15}} с<sup>−1</sup>, тобто, середній час існування збудженого стану становить близько 11&nbsp;мільйонів років<ref name="shkl_1949"/>. 

Спонтанний перехід у лабораторних умовах має дуже низьку інтенсивність. Але в астрономічних масштабах, завдяки поширеності атомарного водню, лінія досить інтенсивна. Вона лежить у мікрохвильовому діапазоні, в якому [[Атмосфера Землі|земна атмосфера]] майже прозора, тому її можна спостерігати безпосередньо з поверхні Землі. Дослідження лінії в [[Радіоастрономія|радіоастрономії]] дає надзвичайно важливу інформацію про розподіл нейтрального водню в [[Міжзоряне середовище|міжзоряному середовищі]] та [[галактика]]х<ref name="aes_392"/>.
{{Докладніше1|[[Радіолінія водню 21 см]]}}

Вимушене випромінювання на лінії 21&nbsp;см застосовується для побудови {{нп|Гідрогеновий мазер|гідрогенового мазера||Hydrogen maser}} (квантового генератора частоти), що має досить високу точність (~10<sup>−13</sup>)<ref name="Гайгеров_1972"/>.

== Лембів зсув ==
Наведений вище опис оптичних переходів у атомі водню не враховує квантової природи світла. При квантовомеханічному розгляді [[фотон]]и описуються рівняннями, аналогічними рівнянню [[гармонічний осцилятор|квантового гармонічного осцилятора]]. Важливим фізичним наслідком квантового розгляду світла є існування [[нульові коливання|нульових коливань]] навіть у тому випадку, коли кількість фотонів дорівнює нулю. Взаємодія квантовомеханічних систем із нульовими коливаннями призводить до [[спонтанне випромінювання|спонтанного випромінювання]], до невеличкого зсуву положення енергетичних рівнів і є причиною того, що лінії спектру не є нескінченно тонкими.

Для атома водню це має такі наслідки:
* Атом не може існувати в збудженому стані нескінченно довго. Рано чи пізно відбувається спонтанний перехід до основного стану з випромінюванням [[фотон]]а.
* Кожна спектральна лінія природно [[ширина лінії|уширена]].
* Рівні атома водню дещо змішуються з положення, передбаченого формулами вище. Цей зсув, який отримав назву [[Лембів зсув|Лембового]], різний для різних станів. Так, наприклад, навіть із врахуванням тонкого розщеплення рівні 2S<sub>1/2</sub> і 2P<sub>1/2</sub> мають однакову енергію. Однак, врахування взаємодії з нульовими коливаннями [[електромагнітне поле|електромагнітного поля]] призводить до дуже малого розщеплення. Величина розщеплення дорівнює 1057,77(1) МГц. Таким чином, атом водню, збуджений у стан із головним квантовим числом n = 2, поглинає [[радіохвилі|радіочастотне випромінювання]] завдяки переходам між 2S<sub>1/2</sub> і 2P<sub>1/2</sub> рівнями.

{{main|Лембів зсув}}

== Атом водню в магнітному полі ==
У зовнішньому [[магнітне поле|магнітному полі]] вироджені енергетичні рівні з різними магнітними квантовими числами m розщеплюються. Це розщеплення пропорційне прикладеному полю. Відповідним чином розщеплюються лінії у спектрах випромінювання та поглинання.
{{Докладніше1|[[ефект Зеемана]]}}

== Атом водню в електричному полі ==
Атом водню&nbsp;— єдина квантовомеханічна система, в якій в слабких [[Електричне поле|електричних полях]] спостерігається лінійний ефект Штарка, тобто спектральні терми розщеплюються на компоненти, й величина розщеплення пропорційна [[електричне поле|електричному полю]]. Цей факт зумовлений виродженням ліній із різним значенням орбітального квантового числа l. Зовнішнє електричне поле частково знімає таке виродження.
{{Докладніше1|[[ефект Штарка]]}}

== Воднеподібні серії рівнів ==
{{Докладніше1|[[Водневоподібний атом]]}}
Воднеподібні серії рівнів виникають в інших задачах квантової механіки. Серед них:
* Ізотопи водню: [[дейтерій]] та [[тритій]] мають енергетичні спектри, які відрізняються від спектра водню лише значенням [[зведена маса|зведеної маси]]. Ретельне вивчення оптичних переходів дозволяє перевірити справедливість основних формул.
* Йон [[гелій|гелію]] He<sup>+</sup> та йон [[літій|літію]] Li<sup>2+</sup> теж мають по одному електрону, але більший заряд ядра. Вивчаючи оптичні спектри цих йонів можна перевірити залежність положення енергетичних рівнів від величини заряду.
* Зв'язані з протоном [[мюон]]и. Мюони загалом схожі на електрони, але мають набагато більшу масу. Зв'язавшись із протонами вони утворюють воднеподібні атоми.
* Воднеподібні домішкові рівні в [[напівпровідник]]ах. [[Донор (домішка)|Донори]] й [[Акцептор (домішка)|акцептори]] в напівпровідниках мають заряд, який відрізняється на одииницю від заряду сусідніх атомів. Проте завдяки великому значенню діелектричної проникності, [[електрон]]и чи [[дірка (квазічастинка)|дірки]] слабо притягаються до цих атомів. Радіуси електронних орбіт в напівпровідниках загалом простягаються на десятки періодів [[кристалічна ґратка|кристалічної ґратки]].
* [[Екситон Ваньє-Мотта|Екситони Ваньє-Мотта]]&nbsp;— зв'язані стани електрона й дірки в напівпровідниках. Мають воднеподібну серію енергетичних станів.

== Див. також ==
* [[Молекула водню]]
* [[Атом]]

== Примітки ==
{{reflist|group="Прим."}}

== Джерела ==
{{reflist|

<ref name=PhysRevA_68_052503>{{cite journal|title=Proton Zemach radius from measurements of the hyperfine splitting of hydrogen and muonic hydrogen|first1=Arnaud|last1=Dupays|first2=Alberto|last2=Beswick|first3=Bruno|last3=Lepetit|first4=Carlo|last4=Rizzo|journal=Physical Review A|volume=68|issue=5|date=August 2003|doi=10.1103/PhysRevA.68.052503|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/561/filename/hfspra.pdf|arxiv=quant-ph/0308136|bibcode=2003PhRvA..68e2503D|accessdate=22 травня 2019|archive-date=14 січня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190114100511/https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/561/filename/hfspra.pdf}}</ref>

<ref name="Гайгеров_1972">{{cite journal|last=Гайгеров Б. А. и др.|title=Квантовая мера частоты на водородном генераторе|journal=Измерительная техника|date=1972|issue=11|url=http://femto.com.ua/articles/part_1/0535.html|accessdate=2017-09-22|archive-date=16 липня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190716034516/http://femto.com.ua/articles/part_1/0535.html}}</ref>

<ref name="shkl_1949">{{cite journal|last=Шкловский|first=И.С.|journal=Астрономический журнал|date=1949|volume=26|issue=10}}</ref>

<ref name="aes_392">{{А-Е-С|Радіолінія водню 21 см|392|r}}</ref>

}}

== Посилання ==
*  {{книга
|автор       = [[Білий Михайло Улянович|Білий М. У.]], Охріменко Б. А.
|заголовок   = Атомна фізика
|рік         = 2009
|видавництво = Знання
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 559
}}
* {{книга
|автор       = [[Юхновський Ігор Рафаїлович|Юхновський І. Р.]]
|назва       = Основи квантової механіки
|рік         = 2002
|видавництво = Либідь
|місто       = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 392
}}
* {{книга
|автор        = [[Ландау Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Ліфшиць Євген Михайлович|Лифшиц Е. М.]]
|заголовок    = Теоретическая физика
|частина      = Квантовая механика. Нерелятивистская теория
|том          = 3
|рік          = 2008
|видавництво  = Физматлит
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 800
}}

{{Спектральні серії водню}}
{{добра стаття}}

[[Категорія:Водень]]
[[Категорія:Спектроскопія]]