Перегляд вихідного коду сторінки Слабка збіжність

''Ця стаття про слабку толологію на нормованих векторних просторах. Щодо слабкої топології індукованої загальною сім'єю відображень див. {{нп|Початкова топологія|початкова топологія||Initial topology}}. Щодо топології індукованої накриттям простору, див. {{нп|Когерентна топологія|когерентна топологія||Coherent topology}}.''

У [[Математика|математиці]] '''слабка топологія''' є альтернативним поняттям для певних {{нп|Початкова топологія|початкових (індукованих) топологій||Initial topology}}, часто на топологічних векторних просторах або просторах лінійних операторів, наприклад, на
[[Гільбертів простір|гільбертовому просторі]]. Цей термін найчастіше використовується для початкової топології
[[Топологічний векторний простір|топологічного векторного простору]] (наприклад, [[Нормований простір|нормованого векторного простору]]) відносно його
[[Спряжений простір|неперервного спряженого простору]].
Нижче матимемо справу з випадком, який є однією з концепцій [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]].

Назвемо підмножини топологічного векторного простору '''слабо замкнутими''' (відповідно, '''слабо компактними''' тощо), якщо вони [[Замкнута множина|замкнуті]] (відповідно, [[Компактний простір|компактні]] тощо) відносно слабкої топології. Аналогічно, функції іноді називають {{нп|Дуальна система#Слабонеперервні|слабо неперервними||Dual system#Weak continuity}} (відповідно, '''слабо диференційованими''', '''слабо аналітичними''' тощо), якщо вони [[Неперервна функція|неперервними]] є (відповідно [[Похідна|диференційованими]], [[Аналітична функція|аналітичними]] тощо) відносно слабкої топології.

== Історія ==
Починаючи з початку 1900-х років, [[Давид Гільберт]] і {{нп|Марсель Ріс|Марсель Ріс||Marcel Riesz}} широко використовували слабку збіжність. Ранні піонери [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]] не піднімали збіжність за нормою вище слабкої збіжності і часто розглядали слабку збіжність як кращу.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}} У 1929 році [[Стефан Банах]] ввів слабку збіжність для нормованих просторів, а також ввів аналогічну *-слабку збіжність. Слабку топологію називають ''topologie faible'' (фран.) і ''schwache Topologie'' (нім.).

== Слабка і сильна топологія ==
''Основна стаття: {{нп|Топології на просторах лінійних карт|Топології на просторах лінійних відображень||Topologies on spaces of linear maps}}''

Нехай <math>\mathbb{K}</math> — [[Топологічне кільце|топологічне поле (кільце)]], а саме [[Поле (алгебра)|поле]] з такою [[Топологічний простір|топологією]], що операції додавання, множення та ділення є [[Неперервна функція|неперервними]]. У більшості застосувань  поле <math>\mathbb{K}</math> ― це або поле [[Комплексне число|комплексних чисел]], або поле [[Дійсне число|дійсних чисел]] саме із такими топологіями.

=== Слабка топологія відносно утворювання пар (двійкування) ===
''Основна стаття: {{нп|Дуальна система. Слабка топологія|Дуальна система. Слабка топологія||Dual system#Weak topology}}''

Слабка топологія і *-слабка топологія ― це спеціальні випадки більш загальної конструкції для {{нп|Дуальна система|дуальних систем||Dual system}}, яку ми зараз опишемо. Перевага цієї більш загальної конструкції полягає в тому, що будь-яке означення чи результат можна використовувати як для слабкої топології, так і до *-слабкої топології. Отже, не потрібно багато означень, теорем, тверджень і доведень. Це також пояснює, чому *-слабку топологію також нерідко називають "слабкою топологією"; тому що це лише приклад слабкої топології у рамках цієї більш загальної конструкції.

Припустимо, що <math>(X, Y, b)</math> ― це {{нп|Дуальна система|двійкування||Dual system}} векторних просторів над топологічним полем <math>\mathbb{K}</math>  (тобто <math>X</math> і <math>Y</math> є векторними просторами над <math>\mathbb{K}</math> і <math>b</math>: <math>X\times Y \rightarrow \mathbb{K}</math> ― [[Білінійне відображення|білінійне відображення]]).  

:'''Примітка.''' Нехай для всіх <math>x\in X</math>  <math>b(x,\bullet)\colon Y\rightarrow\mathbb{K}</math> ― лінійний функціонал на <math>Y</math>, визначений як <math>y\mapsto b(x,y)</math>. Аналогічно, нехай для всіх <math>y\in Y</math>  <math>b(\bullet,y)\colon X\rightarrow\mathbb{K}</math> визначається як <math>x\mapsto b(x,y)</math>.

:'''Означення.''' '''Слабка топологія на просторі <math>X</math>''' індукована простором <math>Y</math> (та відображенням <math>b</math>) є найслабшою топологією на просторі <math>X</math>, позначається як <math>\sigma(X, Y,b)</math> бо просто як <math>\sigma(X, Y)</math>, якщо всі відображення <math>b(\bullet,y)\colon X\rightarrow\mathbb{K}</math> є неперервними, якщо <math>y</math> пробігає <math>Y</math>.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}

Слабка топологія на <math>Y</math> тепер автоматично визначається, як описано в статті {{нп|Дуальна система|дуальна система||Dual system}}.
Однак для наочності наведемо це тут повторно.

:'''Означення.''' '''Слабка топологія на просторі <math>Y</math>''' індукована на просторі <math>X</math> (та <math>b</math>) є найслабшою топологією на <math>Y</math>, позначається як <math>\sigma(Y,X,b)</math> або просто <math>\sigma(Y,X)</math>, якщо всі відображення <math>b(x, \bullet)\colon Y\rightarrow\mathbb{K}</math> є неперервними для <math>x</math>, що змінюються на <math>X</math>.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}

Якщо над полем <math>\mathbb{K}</math> визначене [[Модуль (математика)|абсолютне значення]], то слабка топологія <math>\sigma(Y,X,b)</math> на <math>X</math> індукується сім'єю [[Напівнорма|напівнорм]], <math>p_{y}(x)\colon X\rightarrow\mathbb{R}</math>, які визначаються як

: <math>\begin{align}
p_{y}(x)\colon=|b(x,y)|
\end{align}</math>

для всіх <math>y\in Y</math> та <math>x\in X</math>. Це показує, що слабкі топології є [[Локально опуклий простір|локально опуклими]].

:'''Припущення.''' Будемо вважати, що поле <math>\mathbb{K}</math> є або полем [[Дійсне число|дійсних чисел]] <math>\mathbb{R}</math> або полем [[Комплексне число|комплексних чисел]] <math>\mathbb{C}</math>.

==== Канонічна дуальність ====

Тепер розглянемо частинний випадок, коли <math>Y</math> — векторний підпростір 
[[Спряжений простір|алгебраїчного дуального простору]] для простору <math>X</math> (тобто векторний простір лінійних функціоналів на <math>X</math>).

Існує утворення пар (двійкування) <math>(X,Y,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math> або <math>(X,Y)</math>, яке називається {{нп|Дуальна система. Канонічне утворення пар.|канонічним утворенням пар||Dual system#Weak topology}}, білінійне відображення якого <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> є '''канонічним вкладенням}''' визначеним як <math>\langle x,x^{\prime}\rangle=x^{\prime}(x)</math> для всіх <math>x\in X</math> і <math>x^{\prime}\in Y</math>. Зауважимо зокрема, що <math>\langle\cdot,x^{\prime}\rangle</math> — це лише інший спосіб позначення <math>x^{\prime}</math>, тобто  <math>\langle\cdot,x^{\prime}\rangle=x^{\prime}(\cdot)</math>.

:'''Припущення.''' Якщо <math>Y</math> є векторним підпростором [[Спряжений простір|алгебраїчного дуального простору]] для простору <math>X</math>, тоді будемо вважати, що вони пов'язані з канонічним утворенням пар <math>\langle X,Y\rangle</math>.

У цьому випадку, '''слабка топологія на просторі <math>X</math>''' (відповідно, '''слабка топологія на просторі <math>Y</math>'''), позначається як <math>\sigma(X,Y)</math> (відповідно, <math>\sigma(Y,X))</math>, є {{нп|Дуальна система#Слабка топологія|слабкою топологією||Dual system#Weak topology}} на <math>X</math> (на <math>Y</math>) відносно канонічного утворення пар <math>\langle X,Y\rangle</math>.

Топологія <math>\sigma(X,Y)</math> є {{нп|Ініціяльна топологія|ініціяльною топологією||Initial topology}} векторного простору <math>X</math> відносно векторного простору <math>Y</math>.

Якщо <math>Y</math> є векторним простором лінійних функціоналів на просторі <math>X</math>, тоді неперервним дуальним простором для <math>X</math> відносно топології <math>\sigma(X,Y)</math> є <math>Y</math>.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}{{harv|Rudin|1991|loc=Theorem 3.10}}

==== Слабка і <math>*</math>-слабка топології ====

Нехай <math>X</math> — [[Топологічний векторний простір|топологічний векторний простір]] над полем <math>\mathbb{K}</math>, тобто <math>X</math> — <math>\mathbb{K}</math> [[Векторний простір|векторний простір]], оснащений [[Топологічний простір|топологією]] такою, що додавання векторів і [[Векторна алгебра|множення на скаляр]] є неперервними. Топологію, що пов'язана з простором <math>X</math>, називають '''початковою''' або '''заданою топологією''' 
(не можна використовувати терміни ''{{нп|Ініціяльна топологія|ініціяльна топологія||Initial topology}}'' та ''{{нп|Сильна топологія|сильна топологія||Strong topology}}'', коли мова йде про початкову топологію, оскільки, вони мають загальновживані значення, тому їх використання може призвести до непорозумінь). Для того, щоб визначити іншу топологію на просторі <math>X</math>, використовують топологічний або [[Спряжений простір|неперервний дуальний простір]] <math>X^*</math>, який складається з усіх [[Лінійна форма|лінійних функціоналів]] з векторного простору <math>X</math> в базове поле <math>\mathbb{K}</math>, які [[Неперервна функція|неперервні]] відносно заданої топології.

Нагадуємо, що <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> — канонічне еволюційне відображення, що визначається як <math>\langle x,x^{\prime}\rangle=x^{\prime}(x)</math> для всіх <math>x\in X</math> і <math>x^{\prime}\in X^*</math>, де зокрема, <math>\langle\cdot,x^{\prime}\rangle=x^{\prime}(\cdot)=x^{\prime}</math>.

:'''Означення.''' '''Слабка топологія на просторі <math>X</math>''' — це слабка топологія на <math>X</math> відносно {{нп|Дуальна система. Канонічне утворення пар|канонічного утворювання пар||Dual system#Canonical duality on a vector space}} <math>\langle X,X^*\rangle</math>. Тобто це найслабша топологія на просторі <math>X</math>, що робить усі відображення <math>x^{\prime}=\langle\cdot,x^{\prime}\rangle\colon X\rightarrow\mathbb{K}</math> неперервними, якщо <math>x^{\prime}\in X^*</math>.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}

:'''Означення.''' '''Слабка топологія на просторі <math>X^*</math>''' — це слабка топологія на <math>X^*</math> відносно {{нп|Дуальна система. Канонічне утворення пар|канонічного утворювання пар||Dual system#Canonical duality on a vector space}} <math>\langle X,X^*\rangle</math>. Тобто це найслабша топологія на просторі <math>X^*</math>, що робить усі відображення <math>\langle x,\cdot\rangle\colon X^*\rightarrow\mathbb{K}</math> неперервними, якщо <math>x\in X</math>.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}} 
Цю топологію також називають '''<math>*</math>-слабкою топологією'''.

Нижче наводяться альтернативні означення.

=== Слабка топологія, індукована неперервним дуальним простором ===

Альтернативно, '''слабка топологія''' на топологічному векторному просторі <math>X</math> є {{нп|Ініціяльна топологія|ініціяльною топологією||Initial topology}} відносно сім'ї <math>X^*</math>.
Іншими словами, це [[Порівняння топологій|найгрубша топологія]] на просторі <math>X</math> така, що кожен елемент простору <math>X^*</math> залишається [[Неперервна функція|неперервною функцією]].

[[Передбаза топології|Передбазою]]  для слабкої топології є набір множин вигляду <math>\phi^{-1}(U)</math>, де <math>\phi\in X^*</math> і <math>U</math> є відкритою підмножиною базового поля <math>\mathbb{K}</math>.
Іншими словами, підмножина простору <math>X</math> відкрита в слабкій топології тоді і лише тоді, коли її можна записати, як об'єднання (можливо, нескінченного набору) множин, кожна з яких є перетином скінченного набору множин вигляду <math>\phi^{-1}(U)</math>.

З цієї точки зору, слабка топологія є найгрубшою {{нп|Полярна топологія|полярною топологією||Polar topology}}.

=== Слабка збіжність ===
''Основна стаття: {{нп|Слабка збіжність (гільбертів простір)|Слабка збіжність (гільбертів простір)||Weak convergence (Hilbert space)}}''

Слабка топологія характеризується наступною умовою: [[Узагальнена послідовність| узагальнена послідовність]] <math>\{x_{\lambda}\}\in X</math> збігається в слабкій топології до елемента <math>x</math> з простору <math>X</math> тоді і лише тоді, коли <math>\phi(x_{\lambda})</math> збігається до <math>\phi(x)</math> в <math>\mathbb{R}</math> або <math>\mathbb{C}</math> для всіх <math>\phi\in X^*</math>.

Зокрема, якщо <math>\{x_{n}\}</math> є [[Послідовність|послідовністю]] в просторі <math>X</math>, тоді <math>\{x_{n}\}</math> ''слабко збігається'' до <math>x</math>, якщо

:<math>\varphi(x_{n})\rightarrow\varphi(x)</math>

при <math>n\rightarrow\infty</math> для всіх <math>\varphi\in X^*</math>.

У цьому випадку прийнято писати

:<math>x_{n}{\overset {{\rm w} }{\longrightarrow }}x</math>,

або інколи пишуть

:<math>x_{n}\rightharpoonup x</math>.

=== Інші властивості ===

Якщо простір <math>X</math> оснащений слабкою топологією, то додавання та множення на скаляр залишаються неперервними операціями, а простір <math>X</math> є [[Локально опуклий простір|локально опуклим топологічним векторним простором]].

Якщо <math>X</math> — нормований простір, то дуальний простір <math>X^*</math> є також нормованим векторним простором з нормою

:<math>\|\phi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\phi (x)|</math>.
Ця норма породжує топологію, яку називають ''сильною топологією'' на просторі <math>X^*</math>.
Це топологія [[Рівномірна збіжність|рівномірної збіжності]].
Рівномірна та сильна топології, як правило, є різними для різних просторів лінійних відображень; дивитися нижче.

== <math>*</math>-Слабка топологія ==
''Основна стаття: {{нп|Полярна топологія|полярна топологія||Polar topology}}''

<math>*</math>-Слабка топологія є важливим прикладом {{нп|Полярна топологія|полярної топології||Polar topology}}.

Простір <math>X</math> можна вкласти в його [[Спряжений простір|подвійний дуальний простір]] <math>X^{**}</math> наступним чином:

:<math> x\mapsto \begin{cases}T_{x}\colon X^{*}\to \mathbb{K}, \\ T_{x}(\phi )=\phi (x). \end{cases} </math>

Таким чином, <math>T\colon X\rightarrow X^{**}</math> є [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивним]] лінійним відображенням, але не обов'язково [[Сюр'єкція|сюр'єктивним]] (простори, для яких це канонічне вкладення є сюр'єктивним, називаються 
[[Рефлексивний простір|рефлексивними]]). ''<math>*</math>-Слабка топологія'' на просторі <math>X^{*}</math> — слабка топологія, індукована образом відображення <math>T\colon T(X)\subset X^{**}</math>. Іншими словами, це найгрубша топологія така, що відображення <math>T_{x}</math>, визначені на <math>T_{X}(\phi)=\phi(x)</math> з <math>X^{*}</math> у базове поле <math>\mathbb{R}</math> або <math>\mathbb{C}</math>, залишаються неперервним.

;<math>*</math>-Слабка збіжність

[[Узагальнена послідовність]] <math>\phi_{\lambda}(x)</math> в просторі <math>X^*</math> збігається до <math>\phi</math> в <math>*</math>-слабкій топологію, якщо ця збіжність поточкова:

:<math>\phi_{\lambda}(x)\rightarrow\phi(x)</math>

для всіх <math>x\in X</math>.
Зокрема, [[Послідовність|послідовність]] <math>\phi_{n}\in X^{*}</math> збігається до <math>\phi</math> при умові, що

:<math>\phi_{n}(x)\rightarrow\phi(x)</math>

для всіх <math>x\in X</math>.

У цьому випадку, пишуть

:<math>\phi _{n}{\overset {{\rm w}^{*}}{\to }}\phi</math>

при <math>n\rightarrow\infty</math>.

<math>*</math>-Слабку збіжність інколи називають '''простою збіжністю''' або '''поточковою збіжністю'''.
Дійсно, вона співпадає з [[Поточкова збіжність|поточковою збіжністю]] лінійних функціоналів.

=== Властивості ===

Якщо <math>X</math> є сепарабальним (факторизованим) (тобто має злічену щільну підмножину) [[Локально опуклий простір|локально опуклим]] простором і <math>H</math> є обмеженою нормованою підмножиною свого неперервного дуального простору, то <math>H</math>, наділена своєю <math>*</math>-слабкою (підпросторною) топологією, є [[Метризовний простір|метризованим]] топологічним простором.
Якщо простір <math>X</math> є сепарабельним [[Метризовний простір|метризованим]] [[Локально опуклий простір|локально опуклим]] простором, то <math>*</math>-слабка топологія на неперервному дуальному просторі <math>X</math> є сепарабельною.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}

;Властивості в нормованому просторі

За означенням, <math>*</math>-слабка топологія є слабшою за слабку топологію на дуальному просторі <math>X^{*}</math>.
Важливим твердженням для <math>*</math>-слабкої топології є {{нп|Теорема Банаха–Алаоглу|теорема Банаха–Алаоглу||Banach–Alaoglu theorem}}: якщо простір <math>X</math> є нормованим, тоді замкнена одинична куля в дуальному просторі <math>X^{*}</math> є <math>*</math>-слабко-[[Компактний простір|компактою]] (більш загально, {{нп|Полярна множина|полярна множина||Polar set}} на дуальному просторі <math>X^{*}</math> в околі <math>0</math> простору <math>X</math> є <math>*</math>-слабко-компактною). Більше того, замкнута одинична куля в нормованому просторі <math>X</math> є компактною в слабкій топології тоді й лише тоді, коли простір <math>X</math> є [[Рефлексивний простір|рефлексивним]].

Більш загально, нехай <math>\mathbb F</math> — локально-компактне поле значень (наприклад, дійсні числа, комплексні числа або будь-яка <math>p</math>-адична система числення).
Нехай <math>X</math> є нормованим топологічним векторним простором над полем <math>\mathbb F</math>, який сумісний з абсолютним значенням над полем <math>\mathbb F</math>.
Тоді в просторі <math>X^{*}</math>, який є топологічним дуальним простором для простору <math>X</math> неперервних <math>\mathbb F</math>-значних лінійних функціоналів на просторі <math>X</math>, всі замкнуті за нормою кулі є компактними в <math>*</math>-слабкій топології.

Якщо простір <math>X</math> є нормованим простором, то підмножина неперервного дуального простору є <math>*</math>-слабко-компактною тоді і лише тоді, коли вона є <math>*</math>-слабкою замкнутою і обмеженою за нормою.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}
Зокрема, це означає, що коли простір <math>X</math> є [[Нескінченновимірний простір|нескінченновимірним]] нормованим простором, тоді замкнута одинична куля у початку координат у дуальному просторі простору <math>X</math> не містить жодного <math>*</math>-слабкого околу нуля.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}

Якщо простір <math>X</math> є нормованим простором, то цей простір є сепарабельним тоді і лише тоді, коли <math>*</math>-слабка топологія на замкненій одиничній кулі простору <math>X^{*}</math> є метризовною,{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}} у цьому випадку <math>*</math>-слабка топологія є метризовною на обмеженій за нормою підмножині простору <math>X^{*}</math>.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}
Якщо нормований простір <math>X</math> має дуальний простір, який є сепарабельним (відносно дуальної нормованої топології), тоді <math>X</math> є обов'язково сеперабельним.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=225-273}}
Якщо <math>X</math> — [[Банахів простір]], то <math>*</math>-слабка топологія не є метризовною на всьому просторі <math>X^{*}</math>, якщо простір <math>X</math> не є скінченновимірним.<ref>Proposition 2.6.12, p.&nbsp;226 in {{citation | last = Megginson | first = Robert E. | title = An introduction to Banach space theory | series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 183 | publisher = Springer-Verlag | location = New York | year = 1998 | pages = xx+596 | isbn = 0-387-98431-3}}.</ref>

== Приклади ==

=== Гільбертові простори ===

Розглянемо, наприклад, різницю між сильною та слабкою збіжністю функцій у [[Гільбертів простір|гільбертовому просторі]] <math>L^{2}(\mathbb{R}^{n})</math> (див. [[простір Lp]]).
Сильна збіжність послідовності <math>\psi _{k}\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})</math> до елемента <math>\psi</math> означає, що

:<math>\int _{\mathbb{R}^{n}}|\psi _{k}-\psi|^{2}\, {\rm d}\mu \to 0</math>,

якщо <math>k\rightarrow\infty</math>.
Тут поняття збіжності відповідає нормі у просторі <math>L^{2}</math>.

На відміну від сильної, слабка збіжність вимагає лише, щоб

:<math>\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}_{k}f\, {\rm d} \mu \to \int _{\mathbb {R}^{n}}{\bar {\psi }}f\, {\rm d} \mu</math>
для всіх функцій <math>f\in L^{2}</math> (або, більш типово, для всіх <math>f</math>, які належать [[Щільна множина|щільній підмножині]] <math>L^{2}</math>, таких, як простір [[Розподіли|тестових функцій]], якщо послідовність <math>\{\psi_{k}\}</math> є обмеженою).
Для заданих тестових функцій, відповідне поняття збіжності відповідає лише топології, що використовується в просторі <math>\mathbb{C}</math>.

Наприклад, у гільбертовому просторі <math>L^{2}(0, \pi)</math>, послідовність функцій

:<math>\psi_{k}(x)={\sqrt{2/\pi}}\sin(kx)</math>

утворює [[Ортонормований базис|ортонормований базис]].
Зокрема, (сильна) границя послідовності <math>\{\psi_{k}\}</math> при <math>k\rightarrow\infty</math> не існує.
З іншого боку, за [[Бернгард Ріман|лемою Рімана–Лебеґа]], слабка границя існує і дорівнює нулю.

=== Розподіли ===
''Основна стаття: [[Розподіли]]''

Зазвичай отримують простори [[Розподіли|розподілів]], утворюючи сильний дуальний простір для простору тестових функцій (таких, як гладкі функції на <math>\mathbb{R}^{n}</math> з компактним носієм).
В альтернативній конструкції таких просторів можна взяти слабкий дуальний простір для простору тестових функцій усередині гільбертового простору, такого як <math>L^{2}</math>.
Таким чином, потрібно розглядати ідею {{нп|Оснащений гільбертів простір|оснащеного гільбертового простору||Rigged Hilbert space}}.

=== Слабка топологія, що індукована алгебраїчним дуальним простором ===

Нехай <math>X</math>  — векторний простір і <math>X^{\sharp}</math> — [[Спряжений простір|алгебраїчний дуальний простір]] до простору <math>X</math> (тобто векторний простір усіх лінійних функціоналів на просторі <math>X</math>).
Якщо простір <math>X</math> наділений слабкою топологією, індукованою простором <math>X^{\sharp}</math>, тоді неперервним дуальним простір простору <math>X</math> є простір <math>X^{\sharp}</math>: будь-яка обмежена підмножина простору <math>X</math> міститься у скінченновимірному векторному підпросторі простору <math>X</math>, будь-який векторний підпростір простору <math>X</math> — замкнений і має {{нп|Доповнювальний підпростір|топологічно доповнювальний||Complemented subspace}}.{{sfn | Trèves | 2006 | pp=36, 201}}

==Операторні топології==

Якщо <math>X</math> та <math>Y</math> є топологічними векторними просторами, тоді простір <math>L(X,Y)</math> [[Лінійний неперервний оператор|лінійних неперервних операторів]] <math>f\colon X\rightarrow Y</math>  може мати безліч різних можливих топологій.
Назва таких топологій залежить від виду топології, що використовується на просторі <math>Y</math> для визначення збіжності операторів (Йосіда 1980, IV.7 Топології лінійних відображень).
Загалом існує безліч можливих {{нп|Операторна топологія|операторних топологій||Operator topologies}} на <math>L(X,Y)</math>, назви яких не зовсім інтуїтивні.

Наприклад, ''{{нп|Сильна операторна топологія|сильна операторна топологія||Strong operator topology}}'' на <math>L(X,Y)</math> є топологією ''поточкової збіжності''.

Якщо <math>Y</math> — нормований простір, то ця топологія визначається напівнормами, що індексуються за допомогою <math>x\in X</math>:

:<math>f\mapsto \|f(x)\|_{Y}</math>.

Більш загально, якщо сім'я напівнорм <math>Q</math> визначає топлогію на просторі <math>Y</math>, тоді напівнорми <math>p_{q,x}</math> на <math>L(X,Y)</math>, що визначають сильну топологію, визначаються як

:<math>p_{q,x}\colon \ f\rightarrow q(f(x))</math>

з індексами <math>q\in Q</math> та <math>x\in X</math>.

Зокрема, дивись {{нп|Слабка операторна топологія|слабку операторну топологію||Weak operator topology}} та {{нп|$*$-слабка операторна топологія|<math>*</math>-слабку операторну топологію||Ultraweak topology}}.

== Див. також ==
* {{нп|Компакт Еберлейна|Компакт Еберлейна||Eberlein compactum}}, компактна множина в слабкій топології
* {{нп|Слабка збіжність (гільбертів простір)|Слабка збіжність (гільбертів простір)||Weak convergence (Hilbert space)}}
* {{нп|*-слабка операторна топологія|*-слабка операторна топологія||Weak-star operator topology}}
* {{нп|Слабка збіжність мір|Слабка збіжність мір||Convergence of measures#Weak convergence of measures}}
* {{нп|Топологія на просторах лінійних відображень|Топологія на просторах лінійних відображень||Topologies on spaces of linear maps}}
* {{нп|Топології на множині операторів у гільбертовому просторі|Топології на множині операторів у гільбертовому просторі||Topologies on the set of operators on a Hilbert space}}
* {{нп|Широка топологія|Широка топологія||Vague topology}}

<!--

== Означення ==
Нехай <math>E</math>&nbsp;— топологічний векторний простір і <math>E^*</math>&nbsp;— відповідний [[спряжений простір]]. Послідовність елементів <math>\{ x_n\} \subset E</math> ''слабо збігається'' до елементу <math>x_0 \in E</math>, якщо для будь-якого неперервного лінійного функціоналу <math>f \in E^*</math> послідовність чисел <math>\{f(x_n)\}</math> збігається до <math>f(x_0)</math>.

При цьому збіжність в просторі <math>E</math>, яка визначається його вихідною топологією, називається ''сильною''.

== Властивості ==
* Якщо послідовність збігається до деякого елемента сильно, то вона збігається до цього елементу і слабо.
* У скінченновимірному евклідовому просторі поняття сильної і слабкої збіжності збігаються.
-->

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* {{citation|last=Conway|first=John B.|title=A Course in Functional Analysis|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|year=1994|isbn=0-387-97245-5}}
* {{citation |last=Pedersen |first=Gert |title=Analysis Now |year=1989 |publisher=Springer |isbn=0-387-96788-5}}
* {{Cite book | isbn = 978-0-07-054236-5 | title = Functional analysis | last1 = Rudin | first1 = Walter | year = 1991 | publisher = McGraw-Hill Science/Engineering/Math | pages =  | url-access = registration | url = https://archive.org/details/functionalanalys00rudi }} <!-- Rudin, Walter's Functional Analysis -->
* {{Cite book | isbn = 9780486434797 | title = General Topology | url = https://archive.org/details/generaltopology0000will | last1 = Willard | first1 = Stephen | date = February 2004 | publisher = Courier Dover Publications  | pages =  }} <!-- Willard, Stephen's General Topology (2004) -->
* {{citation|last=Yosida|first=Kosaku|title=Functional analysis|publisher=Springer|isbn=978-3-540-58654-8|year=1980|edition=6th}}

{{Ізольована стаття}}
[[Категорія:Топологічні векторні простори]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]