Перегляд вихідного коду сторінки Скалярний добуток

{{unibox}}'''Скаля́рний добу́ток''' ({{lang-en|dot product, scalar product}})&nbsp;— [[бінарна операція]] над [[вектор]]ами, результатом якої є [[скаляр]].

Скалярний добуток геометричних векторів <math>\vec x</math> та <math>\vec y</math> обчислюється за формулою:
: <math>\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right)</math>
де <math>|\vec x|</math> та <math>|\vec y|</math> є [[довжина вектора|довжинами векторів]], а <math>\cos \measuredangle\left(\vec x, \vec y\right)</math> дорівнює [[косинус]]у кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного [[множення]], знак множення можна не писати: <math>\vec x\cdot \vec y = {\vec {x}}{\vec {y}}</math>.

Два означення добутку векторів:
* Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
* Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини <math>\vec x</math> на довжину проєкції <math>\vec y</math> на <math>\vec x</math>).

В [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів [[векторний простір|векторного простору]] елемент з [[поле (математика)|поля]], над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів <math>x</math> та <math>y</math> позначають як <math>\langle x,y\rangle</math>. Можлива і скорочена форма запису: <math>xy</math>. Також можливе позначення <math>x^Ty</math>, що підкреслює зв'язок з [[матриця (математика)|множенням матриць]].

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як [[гільбертів простір|передгільбертів простір]].

== Визначення в евклідовому просторі ==
{{Main|Евклідів простір}}

В [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] скалярний добуток двох [[вектор]]ів
: <math>\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;і&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\vec{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}</math>

в ортонормованому базисі [[Евклідів простір|<math>n</math>-вимірного евклідового]] простору дорівнює сумі добутків координат векторів:
: <math>\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}</math>.
: В загальному випадку:
:<math>\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_ig_{ij}y_j = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}</math>, де <math>g</math> — елемент [[Матриця Грама|Матриці Грама]]

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється так:
: <math>
  \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}
\cdot
  \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} =
1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36
</math>,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, [[Матриця (математика)|матрицю]]-стовпчик, яка відповідає першому зі співмножників треба транспонувати й помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами [[множення]] матриць.

=== Норма векторів ===
{{Main|Норма (математика)}}

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити [[Норма (математика)|норму вектора]]:

: <math>|| \vec x || = \sqrt{\vec x\cdot \vec x}</math>.

Якщо простір евклідів, то:
: <math>|| \vec x || = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}</math>.

=== Обчислення кута ===

В евклідовому просторі виконується така рівність:
: <math>\vec x\cdot \vec y =  |\vec x| |\vec y| \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right)</math>.

На основі цього можна обчислити кут між векторами:
: <math>\measuredangle\left(\vec x,\vec y\right)=\arccos\frac{\vec x\cdot\vec y}{\left|\vec x\right|\,\left|\vec y\right|}</math>.

=== Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів ===
{{main|Ермітів скалярний добуток}}

Для <math>\Complex^n</math> [[векторний простір|векторного простору]] над [[поле (математика)|полем]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] стандартний скалярний добуток векторів <math>\vec x,\vec y\in \Complex^n</math> визначається як [[Функція (математика)|відображення]], що задовільняє наступним умовам:
: <math>\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i} = {x_1}\overline{y_1}+{x_2}\overline{y_2}+\dotsb + {x_n}\overline{y_n},</math>
де риска над комплексним числом позначає [[комплексно-спряжене число]].

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як
: <math>\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i = \overline{x_1}{y_1}+\overline{x_2}{y_2}+\dotsb + \overline{x_n}{y_n}</math>.

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

=== Властивості ===

* Попри те, що у випадку [[Дійсне число|дійсних чисел]] є симетричним, тобто <math>\vec x \cdot \vec y = \vec y\cdot \vec x</math>, у випадку комплексних чисел є ''ермітовим'', тобто <math>\vec x \cdot \vec y=\overline{\vec y \cdot \vec x }</math>.
* Скалярний добуток не [[асоціативність|асоціативний]] (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
* Скалярний добуток [[дистрибутивність|дистрибутивний]] стосовно додавання та [[віднімання]].
* В евклідовому просторі [[спряжений оператор|спряженим]] стосовно [[лінійний оператор|лінійного оператора]] <math>A</math> називається оператор <math>A^*</math>, для якого виконується рівність: <math> \langle A \cdot x,y \rangle =\langle x,A^* \cdot y\rangle</math> для довільних <math>x</math>, <math>y</math>.<ref>{{cite book|
title=Линейная алгебра|
author=Ильин В. А., Позняк Э. Г.|
year=1999|
edition=четверте|
publisher=Наука, Физматлит|
place=Москва
}}</ref>

== Узагальнене визначення ==

Якщо <math>L</math>&nbsp;— лінійний простір над полем <math>\mathcal K</math>, а <math>\overline L</math>&nbsp;— комплексно спряжений до <math>L</math> то [[білінійне відображення]] <math>L\times L \to \mathcal K</math>, або, при <math>\mathcal K = \Complex</math> відображення <math>L \times \overline{L} \to \mathcal K</math> називається ''скалярним добутком''.<ref>{{cite book
|автор=А. И. Кострикин, Ю. И. Манин
|назва=Линейная алгебра и геометрия
}}</ref>

* Скалярний добуток в дійсному векторному просторі <math>V</math>, це симетричне додатньовизначене [[білінійне відображення]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\R</math>, тобто, для <math>x,y,z\in V</math> та <math>\lambda\in\R</math> виконуються такі умови:
*# білінійність:
*#* <math>\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
*#* <math>\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle</math>
*#* <math>\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle</math>
*# симетричність: <math>\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle</math>
*# додатньовизначеність: <math>\langle x,x\rangle\geq0,</math> та <math>\langle x,x\rangle=0</math> якщо <math>x=0</math>
* Скалярний добуток в [[комплексні числа|комплексному]] векторному просторі <math>V</math>, це ермітове додатньовизначене [[півторалінійне відображення]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to \Complex</math>, тобто, для <math>x,y,z\in V</math> і <math>\lambda\in\Complex</math> виконуються такі умови:
*# півторалінійність:
*#* <math>\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
*#* <math>\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle</math>
*#* <math>\langle  \lambda x, y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle x,\bar \lambda y\rangle</math><!-- Будь ласка, залиште це так, див. статтю Півторалінійна форма -->
*# ермітовість: <math>\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}</math>
*# додатньовизначеність: <math>\langle x,x\rangle\geq0</math> і <math>\langle x,x\rangle=0</math>, якщо <math>x=0</math>. (те, що <math>\langle x,x\rangle</math> дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

== Представлення у вигляді добутку матриць ==

Стандартний скалярний добуток можна представити як [[Множення матриць|добуток матриць]]. Водночас вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:
: <math>\langle x, y\rangle  =  x^Ty = y^Tx</math>,
де знаком <math>{}^T</math> позначається [[транспонування матриці]].

У випадку комплексних чисел виконується:
: <math>\langle x, y\rangle  = x^* y</math>,
де знаком <math>{}^*</math> позначається [[ермітово-спряжена матриця]].

Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна [[симетрична матриця|симетрична]] та [[додатноозначена матриця]] <math>A</math> визначає скалярний добуток:
: <math>\langle x, y\rangle_A  =  x^T A y </math>;
аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця <math>A</math> визначає скалярний добуток:
: <math>\langle x, y\rangle_A  =  x^* A y </math>.

== Див. також ==
{{multicol}}
* [[Ермітів скалярний добуток]]
* [[Векторний добуток]]
* [[Гільбертів простір]]
{{multicol-break}}
* [[Норма (математика)]]
* [[Нерівність Коші — Буняковського]]
{{multicol-end}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53396/10376.html  Добуток скалярний]}}

{{Math-stub}}
{{ВП-портали|Математика}}

[[Категорія:Білінійні форми]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Тензорне числення]]