Перегляд вихідного коду сторінки Система лінійних алгебраїчних рівнянь

[[Файл:Secretsharing-3-point.png|right|thumb|200px|Система трьох рівнянь (3 площини) з трьома невідомими (тривимірність простору). Розв'язком є точка перетину площин.]]
{{Hatnote|Абревіатура СЛР може також означати [[Серцево-легенева реанімація]].}}
'''Система лінійних алгебраїчних рівнянь''' (''СЛАР'')&nbsp;— в [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] система [[лінійне рівняння|лінійних рівнянь]], яка має вигляд:

: <math>
\left\{
\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1    \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2    \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&              && \vdots\;\;\; &&     &&& \vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m.   \\
\end{alignat}
\right.
</math>
Це система ''m'' лінійних рівнянь з ''n'' невідомими, де

: <math>x_1,\ x_2,\ldots ,x_n</math> є невідомими,
: <math>a_{11},\ a_{12},\ldots, a_{mn}</math> є коефіцієнтами системи,
: <math>b_1,\ b_2,\ldots ,b_m</math>&nbsp;— вільними членами<ref>В межах цієї статті коефіцієнти системи, вільні члени та невідомі вважаються [[дійсне число|дійсними числами]], хоча вони можуть бути [[комплексні числа|комплексними]] або, навіть, складнішими математичними об'єктами з умовою, що для них визначені операції [[множення]] і [[додавання]].</ref>.

Якщо кількість рівнянь співпадає з кількістю невідомих, таку систему лінійних рівнянь називають '''квадратною'''.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у [[математика|математиці]], оскільки до них зводиться велика кількість задач [[лінійна алгебра|лінійної алгебри]], [[теорія диференціальних рівнянь|теорії диференціальних рівнянь]], [[математична фізика|математичної фізики]] тощо, та областей [[фізика|фізики]] й [[техніка|техніки]], де застосовуються ці математичні теорії.

== Векторний запис ==
Систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна записати у вигляді, де кожна невідома є ваговим коефіцієнтом в [[лінійна комбінація|лінійній комбінації]] [[вектор]]-стовпців.
:<math>
 x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
 x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} +
 \cdots +
 x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>
Що дозволяє переформулювати задачу в термінах [[векторний простір|векторного простору]]: рівняння має розв'язок [[тоді і тільки тоді]], коли лінійна комбінація ([[лінійна оболонка]]) векторів лівої частини включає вектор правої частини.

== Матричний запис ==
Векторна форма еквівалентна матричній формі запису
:<math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math>
де '''A''' — [[Матриця (математика)|матриця]] ''m×n'', '''x''' — [[Вектор (математика)|вектор]] з ''n'' компонент, '''b''' — вектор з ''m'' компонент.
:<math>A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m
\end{bmatrix}
</math>
Число векторів в базисі лінійної оболонки векторів є [[ранг матриці|рангом матриці]].

== Множина розв'язків ==
{{Докладніше|Множина розв'язків}}
'''Розв'язком''' системи лінійних алгебраїчних рівнянь є будь-яка сукупність [[Дійсні числа|дійсних чисел]] <math>x_1, x_2, ..., x_n</math>, яка при підстановці в кожне рівняння системи перетворює його в [[тотожність]].

Якщо система має хоча б один розв'язок, то вона називається '''сумісною''', і '''несумісною''', якщо не має жодного. Відповідь на питання сумісності системи дає [[теорема Кронекера-Капеллі]].

Сумісна система називається '''визначеною''', якщо вона має єдиний розв'язок, і '''невизначеною''', якщо вона має безліч розв'язків. В останньому випадку кожен її розв'язок називають '''частковим розв'язком системи'''. Сукупність усіх часткових розв'язків називають '''загальним розв'язком системи'''.

Якщо всі вільні члени <math> b_i = 0</math>, система лінійних алгебраїчних рівнянь називається '''однорідною'''. Однорідна система має очевидний розв'язок, у якому всі <math> x_i = 0</math>. Цей розв'язок заведено називати '''тривіальним'''. Відмінні від тривіального розв'язки існують тільки тоді, коли матриця <math> A </math> [[вироджена матриця|вироджена]].

== Еквівалентні системи лінійних алгебраїчних рівнянь ==
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь називаються '''еквівалентними''', якщо множина їхніх розв'язків збігається, тобто будь-який розв'язок однієї системи є водночас розв'язком іншої, і навпаки.

Систему, еквівалентну даній, можна отримати, зокрема, замінивши одне з рівнянь на це ж рівняння, помножене на будь-яке відмінне від [[Нуль (число)|нуля]] [[число]]. Еквівалентну систему можна отримати також, замінивши одне з рівнянь сумою цього рівняння з іншим рівнянням системи. Загалом, заміна рівняння системи на [[лінійна комбінація|лінійну комбінацію]] рівнянь дає систему, еквівалентну початковій.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь
: <math> A \mathbf{x} \ = \mathbf{b} </math>

еквівалентна системі

: <math>  C A \mathbf{x} \ = C \mathbf{b} </math>,

де <math> C </math> - [[невироджена матриця]].

Зокрема, якщо сама матриця <math> A </math> - невироджена, і для неї існує [[обернена матриця]] <math> A^{-1} </math>, то розв'язок системи рівнянь можна формально записати у вигляді 
:<math> \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} </math>.

== Методи розв'язання ==
Методи розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь можна досить чітко поділити на три групи: '''точні''', '''ітераційні''' та '''ймовірнісні'''. За Бахваловим (1987 рік), точні методи застосовні до систем з числом змінних до порядку 10<sup>4</sup>, ітераційні — 10<sup>7</sup>.

=== Точні методи ===
До точних методів належать методи, що дають точний результат у припущенні ідеальної арифметики (див. [[IEEE754]]). Точні методи можна застосовувати й тоді, коли коефіцієнти й вільні члени рівняння задані в аналітичній, символьній формі.
* '''Метод послідовного виключення'''. Найпростішим, хоча важким для практичних застосувань, методом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих. Суть його в тому, що із першого рівняння змінна <math> x_1 </math> виражається через інші змінні, й підставляється в усі інші рівняння. Це можна зробити, якщо коефіцієнт <math> a_{11} </math> відмінний від нуля. У випадку, якщо він нульовий, можна вибрати інше рівняння, оскільки перестановка рівнянь у системі дає еквівалентну систему. В результаті утворюється нова система рівнянь, в якій рівнянь на одне менше. З цією системою рівнянь можна поступити так само, отримуючи ще меншу систему рівнянь. Продовжуючи так, отримують одне [[лінійне рівняння]], з якого можна визначити одну із змінних, а інші, виключені, виразити через неї. 
* [[Метод Гауса]] — метод, найчастіше застосовуваний при ручному розв'язку СЛАР.
** [[Метод Гауса-Жордана]] - модифікація методу Гауса.
* [[Метод Крамера|Метод Крамера (за формулами Крамера)]] — чисто теоретичний метод, непридатний до практичного використання через обчислювальну складність і малу точність, оскільки вимагає обчислення [[визначник]]ів, а тільки в одному визначнику <math>n!</math> доданків. Метод Крамера може застосовуватися для матриць 2×2, або, щонайбільше, 3×3.
* [[Матричний метод розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь|Матричний метод (за допомогою оберненої матриці)]] - певна теоретична абстракція всіх інших точних методів.
* [[Розв'язування СЛАР методом квадратного кореня|Метод квадратного кореня]] — квадратичний метод, який вимагає симетричної матриці системи.
* [[Розв'язування СЛАР методом прогонки|Метод прогонки]] зручний для розв'язку систем з тридіагональною матрицею, які часто виникають в задачах [[математична фізика|математичної фізики]].

=== Ітераційні методи ===
{{Main|Ітераційні методи розв'язування СЛАР}}
Ітераційні методи встановлюють процедуру уточнення певного початкового наближення до розв'язку. При виконанні умов [[Границя|збіжності]] вони дозволяють досягти будь-якої точності просто повторенням [[ітерація|ітерацій]]. Перевага цих методів у тому, що часто вони дозволяють досягти розв'язку з наперед заданою точністю швидше, а також розв'язувати більші системи рівнянь. Суть цих методі полягає в тому, щоб знайти [[нерухома точка|нерухому точку]] матричного рівняння: 
:<math> \mathbf{x} = A^\prime \mathbf{x} + \mathbf{b}^\prime </math>,

еквівалентного початковій системі лінійних алгебраїчних рівнянь. При ітерації <math> \mathbf{x} </math> в правій частині рівняння заміняється, наприклад, у [[метод Якобі|методі Якобі (метод простої ітерації)]] на наближення, знайдене на попередньому кроці: 
:<math> \mathbf{x}_{n+1} = A^\prime \mathbf{x}_n + \mathbf{b}^\prime </math>.

Збіжність ітераційної процедури досягається вибором матриці <math> A^\prime </math>, що залежить від задачі. Умови збіжності конкретні для кожного конкретного методу.

Серед ітераційних методів можна відзначити найпопулярніші:
* [[Метод Якобі]] (метод простої ітерації);
* [[Метод Зейделя]] (інколи називають метод Гауса-Зейделя);
* Метод релаксації;
* Багатосітковий метод;
* [[Метод Монтанте]];
* Метод Абрамова (використовується для розв'язування невеликих систем);
* Метод узагальнення мінімальних лишків;
* Метод біспряжених градієнтів;
* Стабілізований метод біспряжених градієнтів;
* Квадратичний метод спряжених градієнтів;
* Метод квазі-мінімальних лишків.

== Системи лінійних нерівностей ==
Поряд з рівняннями суттєву роль у всіх розділах сучасної математики грають нерівності. Розв'язання багатьох задач зводиться до розв'язання нерівностей або їхніх систем. 

Нерівність <math>F(x_1, x_2,...,x_n)\lor\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> (1) називають алгебраїчною, якщо функції <math>F(x_1,x_2,...,x_n)</math> та <math>\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> - многочлени відповідно степеня m з n невідомими. Зокрема, якщо  <math>F(x_1,x_2,...,x_n)</math> та <math>\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> - лійнійні функції, тобто многочлени першого степеня, то нерівність (1) називається лінійною. Інакше кажучи, лінійними називають нерівності, у яких невідомі тільки першого степеня. Такими, наприклад, є нерівності <math>x+2,32y-z- \sqrt 3 \geqslant 0 </math> та <math>9097580232x+98052y-89512\leqslant0</math>. Перше з них - лінійна нерівність з трьома невідомими, друга - з двома. 

Лінійна нерівність з n невідомими у загальному вигляді записується так:

:<math>a_1x_1+a_2x_2+...+a_n x_n-a\leqslant0.</math>

== Програмне забезпечення ==
Методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь входять до складу численних математичних програм на зразок [[Mathematica]], [[Maple]], [[Matlab]] та інших. Окремими незалежними бібліотеками підпрограм, що надають такі можливості, є, зокрема [[Linpack]] та [[LAPACK]]. Відповідний модуль є також у [[GNU Scientific Library]], [[IMSL]], [[NAG]].

== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Системи лінійних рівнянь|сторінки=30-33 }}
* [http://sole.ooz.ie/ WebApp, що розв'язує системи лінійних алгебраїчних рівнянь різними методами з поясненнями процедури розв'язку]{{Недоступне посилання|date=травень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* [https://web.archive.org/web/20160318125916/http://www.solvingequations.net/ Онлайновий розв'язувач]
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/linsolver.en Ще один онлайновий розв'язувач]
* [https://web.archive.org/web/20120316132057/http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/linrov.php?language=english Онлайновий калькулятор для систем лінійних рівнянь]

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Обернена матриця]]
* [[Псевдообернена матриця]]
* [[Теорема Кронекера — Капеллі]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Мальцев.Основы линейной алгебры}}
* {{Golub.Loan.Matrix Computations}}
* Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

== Виноски ==
{{reflist}}

{{Лінійна алгебра}}
{{Числова лінійна алгебра}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Рівняння]]
[[Категорія:Методи розв'язку СЛАР| ]]