Перегляд вихідного коду сторінки Система координат

'''Система координат'''&nbsp;— спосіб задання [[точка|точок]] [[простір|простору]] за допомогою [[число|чисел]]. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є ''початок координат''&nbsp;— точка, від якої ведеться відлік відстаней. Іншим обов'язковим елементом є одиниця довжини, яка дозволяє відраховувати відстані. Всі точки одновимірного простору можна задати при обраному початку координат одним числом. Для двовимірного простору необхідні два числа, для тривимірного&nbsp;— три. Ці числа називають ''координатами''.

Координати на [[площина|площині]] і в тривимірному просторі можна задавати багатьма різними способами. Розв'язуючи ту або іншу математичну або фізичну задачу, можна застосовувати різні координатні системи, обираючи з них ту, в якій завдання розв'язується простіше або зручніше в даному конкретному випадку.

[[Файл:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|Декартові координати на площині]]
Системи координат в елементарній [[геометрія|геометрії]]&nbsp;— величини, що визначають положення [[точка|точки]] на площині і в просторі. На площині положення точки найчастіше визначається відстанями від двох прямих ([[Вісь координат|координатних осей]]), що перетинаються в одній точці (початку координат) під прямим кутом; одна з координат називається [[ордината|ординатою]], а інша&nbsp;— [[абсциса|абсцисою]]. У просторі за системою Декарта положення точки визначається відстанями від трьох площин координат, що перетинаються в одній точці під прямими кутами одна до одної, або сферичними координатами, де початок координат перебуває в центрі сфери.

== Історія ==
Розвиток систем координат в історії людства пов'язаний як з математичними задачами, так і з практичними проблемами мистецтва [[навігація|навігації]], що спиралася на [[картографія|картографію]] та [[астрономія|астрономію]]. Найвідомішу систему координат, прямокутну, запропонував [[Рене Декарт]] у [[1637]] році. Поняття про [[полярна система координат|полярну систему координат]] у європейській математиці склалося приблизно в ці ж часи, але перші у'являння про неї існували ще в [[Стародавня Греція|Стародавній Греції]], у [[середньовіччя|середньовічних]] [[араби|арабських]] математиків, які розробляли методи обчислення напрямку на [[Кааба|Каабу]].

Становлення поняття систем координат призвело до розвитку нових розділів геометрії: [[аналітична геометрія|аналітичної]], [[Проєктивна геометрія|проєктивної]], [[нарисна геометрія|нарисної]].

== Декартова система координат ==
[[Файл:Coord planes color.svg|right|thumb|Точка P та її координати у декартовій системі координат тривимірного простору]]
{{main|Декартова система координат}}
Найпоширенішою системою координат у математиці є [[декартова система координат]], названа так на честь [[Рене Декарт]]а. Декартова система координат задається початком координат і трьома [[вектор]]ами, які визначають напрям [[вісь координат|координатних осей]]. Кожна точка простору задається числами, які дорівнюють віддалі від даної точки до координатних площин.

У двововимірній [[Декартова система координат|системі Декартових координат]], розташування точки ''P'' на ''xy''-площині визначається парою чисел <math>(x, y)</math>.
* <math>x</math>&nbsp;— відстань від точки P до осі ''y'' або значення [[абсциса|абсциси]] (з урахуванням знаку)
* <math>y</math>&nbsp;— відстань від точки P до осі ''x'' або значення [[ордината|ординати]] (з урахуванням знаку)

В тривимірній системі [[Декартова система координат|Декартових координат]], точка P в ''xyz''-просторі локалізується вже за допомогою трьох параметрів: <math>(x, y, z)</math>.

* <math>x</math>&nbsp;— відстань від точки P до площини ''yz''
* <math>y</math>&nbsp;— відстань від точки P до площини ''xz''
* <math>z</math>&nbsp;— відстань від точки P до площини ''xy''

Різні декартові системи координат зв'язані між собою [[Афінне перетворення|афінними перетвореннями]]: зсувом і поворотами.

== Криволінійні системи координат ==
{{main|Криволінійні координати}}

Виходячи з декартової системи координат, можна визначити криволіну систему координат, тобто, наприклад, для тривимірного простору числа <math>(x^1, x^2, x^3) </math>, зв'язаних із декартовими координатами <math>(x,y,z) </math> співідношеннями:
: <math> x^1 = x^1(x,y,z), \qquad x^2 = x^2(x,y,z), \qquad x^3 = x^3(x,y,z)  </math>,

де всі функції однозначні й неперервно диференційовані, причому [[якобіан]]:
: <math> \frac{\partial (x^1, x^2, x^3)}{\partial (x, y, z)} \neq 0 </math>.

=== Властивості ===
Кожне з рівнянь <math> x^i = x^1(x,y,z) = \text{const} </math>, задає ''координатну площину''. Перетин двох координатних площин із різними ''i'' задає ''координатну лінію''. Кожна точка простору визначається перетином трьох координатних площин.

Важливими характеристиками криволінійних систем координат є довжина елемента дуги й елемента об'єму у них. Ці величини використовуються при інтегруванні. Довжина елементу дуги задається квадратичною формою:
: <math> ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 g_{ik}(x^1, x^2, x^3) dx^j dx^k </math>,

де
: <math> g_{jk}(x^1, x^2, x^3) = \left[ \frac{\partial x}{x^j}\frac{\partial x}{x^k} +  \frac{\partial y}{x^j}\frac{\partial y}{x^k}   + \frac{\partial z}{x^j}\frac{\partial z}{x^k} \right]_{(x^1, x^2, x^3)} </math>

<math> g_{jk} </math> є компонентами [[метричний тензор|метричного тензора]].

Елемент об'єму дорівнює в криволінійній системі координат
: <math> dV = \frac{\partial (x^1, x^2, x^3)}{\partial (x, y, z)} dx^1 dx^2 dx^3 </math>.

Квадрат якобіана дорівнює детермінанту від метричного тензора:
: <math> \left( \frac{\partial (x^1, x^2, x^3)}{\partial (x, y, z)} \right)^2 = \det [g_{jk}] = g </math>.

Система координат називається ''правою'', якщо дотичні до координатних ліній, направлені в бік зростання відповідних координат, утворюють праву трійку [[вектор]]ів.

При описі векторів у криволінійній системі координат зручно користуватися локальним базисом, визначеним у кожній точці.

=== Полярна система координат ===
{{Main|Полярна система координат}}

[[Файл:CircularCoordinates.svg|thumb|Полярна система координат на площині]]
Прикладом криволінійної системи координат на [[площина|площині]] є ''[[полярна система координат]]'', в якій положення точки задається двома числами: відстанню <math> \rho </math> між точкою та початком координат, і кутом <math> \varphi </math> між променем, який сполучає початок координат із точкою та обраною віссю. Декартові та полярні координати точки зв'язані між собою формулами:
: <math> x = \rho \cos\varphi </math>,
: <math> y = \rho \sin\varphi </math>,

Деякі рівняння в полярній системі координат мають простіший вигляд ([[конічні перетини]], [[Спіраль|спіралі]], [[кардіоїда]], тощо).
Полярну систему координат можна узагальнити на випадок n-вимірного простору. Випадок n=2 (на площині) відповідає звичайній полярній системі координат, а n=3&nbsp;— [[сферична система координат|сферичній системі координат]].

=== Циліндрична система координат ===
[[Файл:Cylindrical Coordinates.svg|right|thumb|Циліндричні координати]]
{{Main|Циліндрична система координат}}
''Циліндричні координати''&nbsp;— тривимірний аналог полярних, у якому розташування точки {{math|''P''}} подається впорядкованою трійкою параметрів <math>(r, \varphi, z).</math> У термінах декартової системи координат:

* <math>0\leqslant{r}</math> ([[радіус]])&nbsp;— відстань від осі {{math|''z''}} до точки {{math|''P''}},
* <math>0\leqslant\varphi<360^\circ</math> ([[азимут]] або довгота)&nbsp;— кут між податною («плюсовою») частиною осі {{math|''x''}} і відрізком, проведеним від полюса до точки {{math|''P''}} й спроєктованим на площину {{math|''xy''}}.
* <math>z</math> (висота), що відповідає декартовій {{math|''z''}}&nbsp;— координаті точки {{math|''P''}}.

: ''Примітка:'' у літературі для першої (радіальної) координати іноді застосовується позначення {{math|ρ}}, для другої (кутової, чи азимутальної)&nbsp;— позначення {{math|θ}}, для третьої координати&nbsp;— позначення {{math|''h''}}.

Циліндричні координати є корисними для вивчення систем, симетричних відносно деякої осі. Наприклад, довга циліндрична поверхня з радіусом {{math|''R''}} у декартових координатах (з віссю {{math|''z''}}, яка збігається з віссю циліндра) описується рівнянням <math>x^2 + y^2 = R^2,</math> тоді як у циліндричних координатах воно має суттєво простіший вигляд, як {{math|''r'' {{=}} ''R''}}.

=== Сферична система координат ===
[[Файл:Spherical coordinates.svg|right|thumb|Сферичні координати]]
{{Main|Сферична система координат}}
У сферичній системі координат розташування точки {{math|''P''}} визначається трьома компонентами: <math>(\rho, \varphi, \theta).</math> У термінах декартової системи координат:
* <math>0\leqslant\rho</math> (радіус)&nbsp;— відстань від точки {{math|''P''}} до полюса,
* <math>0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ</math> (азимут або довгота)&nbsp;— кут між додатною піввіссю {{math|''x''}} і проєкцією відрізка, проведеного з полюса до точки {{math|''P''}}, на площину {{math|''xy''}}.
* <math>0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ</math> (широта або полярний кут)&nbsp;— кут між додатною піввіссю {{math|''z''}} і відрізком, проведеним з полюса до точки {{math|''P''}}.
: ''Примітка'': в літературі іноді азимут позначається {{math|θ}}, а полярний кут&nbsp;— {{math|φ}}. Інколи для радіальної координати використовується {{math|''r''}} замість {{math|ρ}}. Крім того, діапазон кутів для азимута може обиратись як (−180°, +180°] замість діапазону [0°, +360°). Нарешті, полярний кут може мати відлік не від додатного напрямку осі {{math|''z''}}, а від площини {{math|''xy''}}; у цьому випадку віл лежить у діапазоні [−90°, +90°], а не у діапазоні [0°, 180°]. Іноді порядок координат у трійці обирається іншим від описаного; наприклад, полярний і азимутальний кути можуть переставлятись.

Сферична система координат також має недолік: {{math|φ}} і {{math|θ}} є не визначеними, якщо {{math|ρ}} = 0; кут {{math|φ}} є не визначеним також и для граничних значень {{math|θ}} = 0 і {{math|θ}} = 180° (або для {{math|θ}} = ±90°, для випадку прийняття відповідного діапазону для цього кута).

Сферичні координати є корисними при вивченні систем, симетричних відносно точки. Так, рівняння сфери з радіусом {{math|''R''}} у декартових координатах з початком відліку у центрі сфери записується як <math>x^2+y^2+z^2=R^2,</math> тоді як у сферичних координатах воно стає набагато простішим: <math>\rho=R.</math>

Положення [[літак]]а в просторі можна задати трьома числами: висотою, відстанню від деякої точки на поверхні Землі та кутом між напрямком на літак і напрямком на північ. Таке задання відповідає [[Циліндрична система координат|циліндричній системі координат]]. Альтернативно, положення літака можна задати відстанню до нього та двома кутами: полярним та азимутальним. Таке задання відповідає сферичній системі координат.

== Перехід від однієї системи координат до іншої ==

=== Декартові та полярні ===

: <math>x=r\,\cos\theta \quad</math>
: <math>y=r\,\sin\theta \quad</math>

: <math>r=\sqrt{x^2 + y^2}</math>
: <math>\theta
= \arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y </math>
де ''u<sub>0</sub>''&nbsp;— [[функція Гевісайда]] з <math> u_0(0)=0 </math>,
а ''sgn''&nbsp;— [[signum-функція|функція signum]]. Тут функції ''u<sub>0</sub>'' та ''sgn'' використовуються як «логічні» [[перемикач]]і, аналогічні за значенням операторам «якщо..то» (if…else) в мовах програмування. Деякі мови програмування мають спеціальну функцію ''atan2(y, x)'', яка знаходить вірне значення ''&theta;'' в необхідному квадранті, визначеному ''x'' та ''y''.

=== Декартові та циліндричні ===

: <math>x=r\,\cos\theta</math>
: <math>y=r\,\sin\theta</math>
: <math>z=h \quad</math>

: <math>r=\sqrt{x^2 + y^2}</math>
: <math>\theta
=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y </math>
: <math>h=z \quad</math>

: <math>
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\cos\theta&-r\sin\theta&0\\
\sin\theta&r\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}
</math>

: <math>
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}
</math>

=== Декартові та сферичні ===

: <math>{x}=\rho \, \sin\phi \, \cos\theta \quad </math>
: <math>{y}=\rho \, \sin\phi \, \sin\theta \quad </math>
: <math>{z}=\rho \, \cos\phi \quad </math>

: <math>{\rho}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>
: <math>{\phi}=\arccos\frac{z}{\rho}</math>
: <math>{\phi}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>
: <math>{\theta}
=\arctan\frac{y}{x} + \pi\, u_0(-x)\, \operatorname{sgn} y </math>
: <math>
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\
\sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\
\cos\phi&-\rho\sin\phi&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}
</math>

: <math>
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{x}{\rho}&\frac{y}{\rho}&\frac{z}{\rho}\\
\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}
</math>

=== Циліндричні та сферичні ===

: <math>{r}=\rho \,\sin\phi</math>
: <math>{\theta}=\theta \quad</math>
: <math>{h}=\rho \,\cos\phi</math>

: <math>{\rho}=\sqrt{r^2+h^2}</math>
: <math>{\phi}
=\arctan\frac{h}{r} + \pi \, u_0(-r) \, \operatorname{sgn} h </math>
: <math>{\theta}=\theta \quad</math>

: <math>
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\sin\phi&\rho\cos\phi&0\\
0&0&1\\
\cos\phi&-\rho\sin\phi&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}
</math>

: <math>
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}&0&\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\\
\frac{-h}{r^2+h^2}&0&\frac{r}{r^2+h^2}\\
0&1&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}
</math>

== Застосування ==

=== Застосування в географії ===
{{main|Географічні координати}}

У географії та [[картографія|картографії]] положення на місцевості визначають трьома числами: [[широта|широтою]], [[довгота|довготою]] і [[висота|висотою]] над відомим загальним рівнем (найчастіше, wt [[рівень моря]]). Перші два числа є кутами, і визначення відстаней за ними опирається на відоме значення [[радіус]]а [[Земля|Землі]].

На [[мапа]]х зазвичай позначаються лінії [[паралель|паралелей]] та [[меридіан]]ів, а також [[масштаб]], за яким зручно визначати відстані. Висота над рівнем моря на картах зображують [[ізогіпса]]ми (горизонталями).

=== Застосування в астрономії ===
[[Файл:Poli celesti.svg|thumb|Небесна сфера: Z&nbsp;— зеніт, Z'&nbsp;— надир, Р, Р'&nbsp;— полюси світу, РР'&nbsp;— вісь світу, W -захід, E&nbsp;— схід]]
{{main|Системи небесних координат}}
В [[астрономія|астрономії]] за допомогою координат визначають положення [[зоря|зір]] і допоміжних точок на небосхилі. В астрономії користуються різними системами небесних координат. Кожна з них по суті є [[Сферична система координат|сферичною системою координат]], в якій відстань до об'єкта спостереження іноді лишається невідомою. Систему небесних координат задають великим колом [[небесна сфера|небесної сфери]] (або його полюсом, віддаленим на 90° від будь-якої точки цього кола) із вказівкою на цьому колі початкової точки (від якої відлічують інші координати) та напрямку їх відліку. Залежно від вибору фундаментального кола застосовують такі системи небесних координат<ref name="А-Е-С_Небесні_координати">{{А-Е-С|Небесні координати|314—316|n}}</ref>:
* [[горизонтальна система координат]]&nbsp;— головною площиною є [[горизонт#істинний горизонт|справжній (математичний) горизонт]], виділеним напрямком&nbsp;— південь.
* [[екваторіальна система координат]]&nbsp;— головною площиною є площина земного [[екватор]]а, на якій виділяють точку [[Весняне рівнодення|весняного рівнодення]], в якій екватор перетинається з екліптикою.
* [[екліптична система координат]]&nbsp;— головною площиною є [[екліптика]], на якій виділено точку весняного рівнодення, де екватор перетинається з екліптикою.
* [[галактична система координат]]&nbsp;— головною площиною є [[галактична площина]], а виділеним напрямком&nbsp;— напрямок на [[галактичний центр]].
{{вікісловник}}

=== Застосування у фізиці ===
Різноманітність систем координат не вичерпується вищенаведеними. Існує дуже багато криволінійних систем координат, зручних для розв'язування тієї чи іншої задачі. Наприклад, для тривимірного простору іноді застосовують [[циліндрична система координат|циліндричну систему координат]].

Описуючи [[Рух (механіка)|рух]] [[фізичне тіло|фізичних тіл]], [[фізика]] використовує поняття [[система відліку|системи відліку]]. Система відліку потребує окрім задання просторової системи координат, додаткового числа, яким вимірюється [[час]]. Три просторові та одна часова координата утворюють так званий [[простір-час]]. Початок відліку системи координат у фізиці зазвичай пов'язується з якимсь тілом, яке в обраній системі координат вважається нерухомим. Обрання початку координат не є однозначним. Так, наприклад, можна обрати за початок координат центр Землі. Тоді Земля буде вважатися нерухомою. Однак, можна обрати за початок координат барицентр [[Сонячна система|Сонячної системи]], і в цій системі координат Земля буде рухатися по еліптичній орбіті.

Загальний принцип фізики, [[принцип відносності]], вимагає, щоб формулювання всіх [[фізичний закон|фізичних законів]] не залежало від обраної системи відліку. Це положення лежить в основі [[теорія відносності|теорії відносності]]. Іншим важливим положенням теорії відносності є [[принцип близькодії]], за яким існує максимальна швидкість передачі сигналів, яку називають [[швидкість світла|швидкістю світла]]. Значення швидкості світла, як і вимагає принцип відносності, не залежить від системи відліку.

== Див. також ==
{{commonscat-inline}}
{{Портал|Математика}}

* [[Система відліку]]
* [[Інерційна система відліку]]
* [[Оператор координати]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* ''Корн Г., Корн Т.'' Справочник по матиматике.&nbsp;— М.: Наука, 1974.&nbsp;— 832 с.(С. 519) {{ref-ru}}
== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53409/20576.html Система координат]}}

{{Math-stub}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Системи координат]]
[[Категорія:Математична термінологія]]