Перегляд вихідного коду сторінки Сингулярні міри

У [[Теорія міри|теорії міри]] дві [[Міра множини|міри]] <math>\mu</math> і <math>\nu</math> визначені в одному [[вимірний простір|вимірному просторі]] називаються '''взаємно сингулярними''' якщо для деякої вимірної множини її міра <math>\mu</math> є рівною нулю і міра <math>\nu</math> на її доповненні є рівною нулю. 

== Формальне означення ==
[[Файл:Miary wzajemnie osobliwe.JPG|thumb|right|Взаємно сингулярні міри]]

Нехай <math>(X, \mathcal F)</math> — [[вимірний простір]], а <math>\mu</math> і <math>\nu</math> — міри над цим простором. Ці міри називаються '''взаємно сингулярними''', (позначається <math>\mu \perp \nu,</math>) якщо існує розбиття ''X'' на дві [[Порожня множина|непорожні множини]] <math> A, B \in \mathcal {F} </math> із порожнім [[Перетин множин|перетином]] для яких:
:<math>\mu</math> є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у <math>B,</math> а <math>\nu</math> є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у <math>A.</math>

=== Узагальнення ===
Очевидно, що у попередньому означенні достатньо вимагати щоб значення міри <math>\mu</math> було нульовим для <math>B,</math> а значення міри <math>\nu</math> нульовим на <math>A.</math> Проте у виді поданому вище його легко можна узагальнити на [[Заряд (теорія міри)|заряди]], [[Комплексна міра|комплексні]] і [[Векторна міра|векторні міри]]. Якщо ці структури є σ-адитивними і заданими на вимірному просторі, то у відповідному означенні достатньо замінити слово міра на заряд, комплексну чи векторну міру. 

Еквівалентно у випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі можна сказати, що <math>\mu</math> і <math>\nu</math> є взаємно сингулярними, якщо їх повні варіації  <math>|\mu|</math> і <math>|\nu|</math> є взаємно сингулярними як міри.

Якщо міра чи заряд є заданими лише на [[Алгебра (теорія множин)|алгебрі множин]] або не є σ-адитивними іноді розглядається слабше поняття взаємної сингулярності: заряди (не обов'язково σ-адитивні ) <math>\mu</math> і <math>\nu</math> на просторі із алгеброю множин <math>(X, \mathcal F)</math> називають '''слабко взаємно сингулярними''', якщо для довільного <math>\varepsilon > 0</math> існують [[Порожня множина|непорожні множини]] <math> A, B \in \mathcal {A} </math> із порожнім [[Перетин множин|перетином]] для яких <math>|\mu|(A) < \varepsilon</math> і <math>|\nu|(B) < \varepsilon</math>. Якщо два заряди є взаємно сингулярними то вони є і слабко взаємно сингулярними. У випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі ці два поняття є еквівалентними.

== Приклади ==
* [[Дельта-функція Дірака]], зосереджена у точці евклідового простору  задає сингулярну міру (відносно міри Лебега). Відповідна міра є рівною 1 для вимірних множин, що містять вказану точку і 0 для множин, що не містять її.
* [[Розподіл Кантора]] має неперервну (але не [[абсолютна неперервність|абсолютно неперервну]]) функцію розподілу ([[функція Кантора|функцію Кантора]]). Незважаючи на неперервність функції розподілу, відповідна [[міра ймовірності]] є сингулярною із мірою Лебега. Іншими подібними прикладами є [[Функція Мінковського|функції Мінковського]] і [[Функція Салема|Салема]]. В усіх випадках міру конкретної вимірної множини  <math> A \subset [0,1] </math> можна одержати за допомогою [[Інтеграл Лебега — Стілтьєса|інтеграла Лебега — Стілтьєса]], як <math>\mu(A) = \int_A 1 df.</math> Наприклад для випадку із функцією Кантора, якщо <math>C</math> — [[множина Кантора]] то <math>\mu(C) = \int_C 1 df = 1</math> і <math>\mu([0,1] \setminus C) = \int_{[0,1] \setminus C} 1 df = 0</math>, а [[міра Лебега]] множини Кантора дорівнює нулю. Тоді <math>C</math> і <math>[0,1] \setminus C</math> і є тим розбиттям, яке демонструє взаємну сингулярність міри Лебега і міри породженої функцією Кантора на одиничному інтервалі. 

== Див.також ==
* [[Абсолютна неперервність]]
* [[Заряд (теорія міри)]]
* [[Міра множини]]
* [[Сингулярна функція]]
* [[Теорема Лебега про розклад міри]]

[[Категорія:Теорія міри]]