Перегляд вихідного коду сторінки Сингулярні гомології

'''Сингулярні гомології'''&nbsp;— гомології, що визначаються виходячи з сингулярних симплексів [[топологічний простір|топологічного простору]] ''X'' таким же чином, як звичайні (симпліційні) гомології (і когомології) поліедра&nbsp;— виходячи з лінійного [[симплекс]]а.

У [[теорія категорій|категорії]] [[симпліційний комплекс|поліедрів]] сингулярна теорія еквівалентна [[Симпліційна гомологія|симпліційній]] (а також клітинній). Цим звичайно встановлюється топологічна інваріантність останніх. Проте значення груп сингулярних гомологій цим не вичерпується. Маючи простий опис, вони застосовні у достатньо широких категоріях гомотопно інваріантних топологічних просторів. Природні зв'язки з теорією гомотопій роблять сингулярну теорію незамінною в [[гомотопія|гомотопній топології]].

Проте, хоча групи сингулярних гомологій визначені для будь-яких топологічних просторів без яких-небудь обмежень їх застосування виправдане лише при істотних обмеженнях типу локальної стягуваності або гомологічної локальної зв'язності. Сингулярні ланцюги, будучи за своєю природою «дуже» [[Лінійно зв'язний простір|лінійно зв'язними]], не несуть в собі інформацію про «неперервні» цикли, якщо вони не є «достатньо» лінійно зв'язними. Тому в загальних категоріях топологічних просторів замість сингулярних звичайно використовуються [[когомології Александрова — Чеха]] і асоційовані з ними гомології.

== Означення ==

Під сингулярним симплексом <math>\sigma_n</math> розуміється [[неперервне відображення]] n-вимірного [[симплекс|стандартного симплекса]] <math>\sigma_n:\Delta^n\to X</math> причому [[образ відображення|образ]] <math>\sigma_n</math> звичайно називається носієм <math>\sigma_n</math> і позначається <math>| \sigma_n |</math>. Сингулярні ланцюги&nbsp;— формальні [[лінійна комбінація|лінійні комбінації]] сингулярних симплексів з коефіцієнтами в [[абелева група|абелевій групі]] ''G''. Вони утворюють групу ''C<sub>n</sub>(X, G)''. Групи ланцюгів об'єднуються в сингулярний [[ланцюговий комплекс]] <math>C_\bullet(X, G)</math> з граничним [[гомоморфізм]]ом <math>\partial_n:C_n\to C_{n-1}</math>, що визначається співвідношенням:
: <math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k [p_0,\cdots,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_n]</math>
де <math>\sigma_n = [p_0,p_1,\cdots,p_n]=\sigma_n([e_0,e_1,\cdots,e_n]).</math>

Ядро граничного оператора позначається <math>Z_n(X)=\ker (\partial_{n})</math>, і називається групою сингулярних n-циклів. Образ граничного оператора позначається <math>B_n(X)=\operatorname{im} (\partial_{n+1}),</math> і називається групою сингулярних n-границь.

Також виконується рівність <math>\partial_n\circ \partial_{n+1}=0.</math> n-на гомологічна група простору X визначається як [[факторгрупа]]:

: <math>H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X).</math>

== Сингулярні когомології ==
 
Сингулярні когомології визначаються двоїстим чином. Комплекс коланцюгів <math>C^\bullet(X, G)</math> визначається як комплекс гомоморфізмів в ''G'' комплексу [[ціле число|цілочислових]] сингулярних ланцюгів <math>C_\bullet(X, \Z)</math>. Менш формально, коланцюги&nbsp;— функції ξ, визначені на сингулярному симплексі, що приймають значення в ''G'', а кограничний гомоморфізм d визначається формулою:
: <math>(\partial_n \eta) \sigma_{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k \eta [p_0,\cdots,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_n]</math>
 
Сингулярні когомології <math>H^n(X, G)</math>&nbsp;— це факторгрупи груп n-вимірних коциклів (ядер <math>\partial</math>) за підгрупами кограниць (образів <math>\partial</math>).
 
Гомології і когомології з коефіцієнтами в довільній групі ''G'' можуть бути виражені через цілочислові гомології за допомогою [[Теорема про універсальні коефіцієнти|формул універсальних коефіцієнтів]]. Когомології з коефіцієнтами в групі ''G'' пов'язані з цілочисловими когомологіями формулами універсальних коефіцієнтів лише для скінченно породжених груп ''G''.

''f''<sub>#</sub> і ''g''<sub>#</sub>.

== Гомотопна інваріантність ==

Якщо ''X'' і ''Y'' є двома [[Гомотопія|гомотопно еквівалентними]] [[Топологічний простір|топологічними просторами]], то

:<math>H_n(X) \cong H_n(Y)\,</math>

для всіх ''n'' &ge; 0.  Це означає, що сингулярні гомологічні групи є гомотопними інваріантами.

Зокрема, якщо ''X'' [[Зв'язаний простір|зв'язаним]] [[Стягуваний простір|стягуваним простором]], то всі його гомологічні групи є [[Тривіальна група|тривіальними]], за винятком <math>H_0(X) \cong \mathbb{Z}</math>.

Більш загально, кожне [[неперервне відображення]] ''f'': ''X'' &rarr; ''Y'' породжує [[Гомоморфізм|гомоморфізми]]

:<math>f_{\sharp} : C_n(X) \rightarrow C_n(Y),</math>

для яких

:<math>\partial f_{\sharp} = f_{\sharp} \partial,</math>

тобто ''f''<sub>#</sub> є [[Ланцюговий комплекс|ланцюговим гомоморфізмом]] і відповідно породжує гомоморфізм на групах гомології

:<math>f_* : H_n(X) \rightarrow H_n(Y).</math>

Тоді якщо ''f'' і ''g'' є [[Гомотопія|гомотопними відображеннями]], то ''f''<sub>*</sub> = ''g''<sub>*</sub>. Як наслідок, якщо ''f'' є гомотопною еквівалентністю, то  ''f''<sub>*</sub> є [[Ізоморфізм (математика)|ізоморфізмом]], оскільки існує неперервне відображення ''h'': ''Y'' &rarr; ''X'' для якого <math>h \circ f</math> і <math>f \circ h</math> є гомотопними відповідним [[Тотожне відображення|тотожним відображенням]]. Тому <math>h_* \circ f_*</math> і <math>f_* \circ h_*</math> є тотожними гомоморфізмами на <math>H_n(X)</math> і <math>H_n(Y)</math> відповідно, тож ''h''<sub>*</sub> є [[Обернене відображення|оберненим гомоморфізмом]] до ''f''<sub>*</sub>.

Для доведення факту, що ''f''<sub>*</sub> = ''g''<sub>*</sub> для гомотопних відображень, достатньо побудувати [[Ланцюгова гомотопія|ланцюгову гомотопію]]:
:<math>P : C_n(X) \rightarrow C_{n+1}(Y)</math>
між ланцюговими гомоморфізмами ''f''<sub>#</sub> і ''g''<sub>#</sub>.

Нехай ''F'' : ''X'' &times; [0, 1] &rarr; ''Y'' є гомотопією між ''f'' і ''g''. Вона породжує ланцюгові гомоморфізми :<math>F_{\sharp} : C_n(X \times [0,1]) \rightarrow C_n(Y).</math> Якщо <math>i_0 : X \rightarrow X \times 0 </math> і <math>i_1 : X \rightarrow X \times 1</math> є відповідними вкладеннями то достатньо побудувати ланцюгову гомотопію 
:<math>P' : C_n(X) \rightarrow C_{n+1}(X \times [0,1])</math>
між <math>(i_0)_{\sharp}</math> і <math>(i_1)_{\sharp}</math>. Тоді <math>P = F_{\sharp} \circ P'</math> буде необхідною ланцюговою гомотопією між ''f''<sub>#</sub> і ''g''<sub>#</sub>.

Оскільки <math>P'</math> відображає базові елементи &sigma;: &Delta;<sup>''n''</sup> &rarr; ''X'' із ''C<sub>n</sub>''(''X'') у елемент із ''C<sub>n+1</sub>''(''X'' &times; [0, 1]) то має зміст розглянути &Delta;<sup>''n''</sup> &times; [0, 1]. Цей топологічний простір можна [[Симпліційний комплекс|триангулювати]] індукцією по розмірності кістяка. Для розмірності менше 0 є [[Порожня множина|порожньою множиною]]. Якщо побудована триангуляція для всіх ''k'' < ''r'' і &lambda; є деяким симплексом розмірності ''r'', то для границі <math>\bar \lambda</math> за припущенням індукції існує триангуляція простору  <math>\bar \lambda \times [0,1].</math> Якщо позначити <math>\hat \lambda</math> точку <math>(b, 1/2)</math> для барицентра ''b'' відповідного симплекса то симплексами у триангуляції (&Delta;<sup>''n''</sup>)<sup>''r''</sup> &times; [0, 1] будуть усі симплекси &mu; із триангуляції (&Delta;<sup>''n''</sup>)<sup>''r'' - 1</sup> &times; [0, 1], а також симплекси виду <math>(\hat \lambda \mu)</math> для симплексів &mu; із триангуляції <math>\bar \lambda \times [0,1]</math> (тобто симплекси <math>\bar \lambda \times [0,1]</math>вершинами яких є <math>\hat \lambda</math> і вершини симплекса &mu;) для всіх симплексів &lambda; розмірності ''r,'' самі точки <math>\hat \lambda</math> для цих симплексів і також симплекси <math>\lambda \times 0 </math> і <math>\lambda \times 1 </math> і  <math>\hat \lambda \lambda \times 0  </math> з <math>\hat \lambda \lambda \times 1 </math> Для ''r'' = ''n'' зокрема одержується триангуляція &Delta;<sup>''n''</sup> &times; [0, 1].

Припустимо, що вже побудовано <math>P' : C_r(X) \rightarrow C_{r+1}(X \times [0,1])</math> для всіх ''r'' < ''n''  і всіх просторів ''X'' (для ''r'' < 0 можна взяти нульовий гомоморфізм). Для сингулярного симплекса &sigma;: &Delta;<sup>''n''</sup> &rarr; ''X'' визначимо:
:<math>P'(\sigma) = (\sigma \times 1)_\sharp \left ( a \left [ \Delta_n \times 1 - \Delta_n \times 0 - P' \partial \Delta_n \right ] \right ).</math>

Вище позначено точку  <math>a = (b, 1/2)</math> для барицентра ''b'' і для довільного симплекса <math>\Delta</math> вираз <math>a \Delta</math> позначає симплекс із вершинами із <math>\Delta</math> і ''a'' із продовженням по лінійності. Також за індукцією <math>P' \partial \Delta_n</math> є  [[Лінійна комбінація|лінійною комбінацією]] симпліційних відображень.

Для цього гомоморфізму 

:<math>\partial P' (\sigma) = (\sigma \times 1)_\sharp \left ( \Delta_n \times 1 - \Delta_n \times 0 - P' \partial \Delta_n  - a \partial \left [ \Delta_n \times 1 - \Delta_n \times 0 - P' \partial \Delta_n \right ] \right )</math>

Але  <math>\partial  \left [ \Delta_n \times 1 - \Delta_n \times 0 - P' \partial \Delta_n \right ] = 
\partial  \Delta_n \times 1 - \partial\Delta_n \times 0 - \partial P' \partial \Delta_n.</math> Згідно припущення індукції для ''n'' - 1 і простору <math>\Delta_n</math>: 
:<math>\partial P' \partial \Delta_n =  \partial P' \partial \Delta_n + P' \partial \partial \Delta_n = 
(i_1)_{\sharp} \partial \Delta_n  - (i_0)_{\sharp} \partial \Delta_n  =
\partial \Delta_n \times 1 - \partial\Delta_n \times 0.</math>  

Звідси <math>a \partial \left [ \Delta_n \times 1 - \Delta_n \times 0 - P' \partial \Delta_n \right ] = 0  </math> і тому: 
:<math>\partial P' (\sigma) = (\sigma \times 1)_\sharp \left ( \Delta_n \times 1 - \Delta_n \times 0 - P' \partial \Delta_n \right ) = (i_1)_\sharp (\sigma) - (i_0)_\sharp (\sigma) - P' \partial (\sigma),</math>

що завершує індуктивний крок у побудові гомоморфізму <math>P'</math> і відповідно також гомоморфізму ''P'' який і буде ланцюговою гомотопією між ''f''<sub>#</sub> і ''g''<sub>#</sub>.

== Див. також ==
* [[∪-добуток]]
* [[Когомологія де Рама]]
* [[Ланцюговий комплекс]]
* [[Ланцюгова гомотопія]]
* [[Послідовність Маєра — Вієторіса]]
* [[Симпліційна гомологія]]

== Література ==
* ''Вик Дж. У.'' Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию.&nbsp;— Москва: МЦНМО, 2005
* ''Дольд А.'' Лекции по алгебраической топологии.&nbsp;— Москва: Мир, 1976
* ''Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.'' Современная геометрия: Методы теории гомологий.&nbsp;— Москва: Наука, 1984
* ''Зейферт Г., Трельфалль В.'' Топология.&nbsp;— Ижевск: РХД, 2001
* ''Лефшец С.'' Алгебраическая топология.&nbsp;— Москва: ИЛ, 1949
* ''Новиков П. С.'' Топология.&nbsp;— 2 изд. испр. и доп.&nbsp;— Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
* ''Прасолов В. В.'' Элементы теории гомологий.&nbsp;— Москва: МЦНМО, 2006
* ''Свитцер Р. М.'' Алгебраическая топология.&nbsp;— гомотопии и гомологии.&nbsp;— Москва: Наука, 1985
* ''Спеньер Э.'' Алгебраическая топология.&nbsp;— Москва: Мир, 1971
* ''Стинрод Н., Эйленберг С.'' Основания алгебраической топологии. —Москва: Физматгиз, 1958
* ''Фоменко А. Т., Фукс Д. Б.'' Курс гомотопической топологии.&nbsp;— Москва: Наука, 1989

[[Категорія:Алгебрична топологія]]