Перегляд вихідного коду сторінки Симпліційне відображення

У [[Алгебрична топологія|алгебричній топології]] '''симпліційним відображенням''' між двома [[Симпліційний комплекс|симпліційними комплексами]] називається [[Функція (математика)|відображення]], що переводить вершини одного комплекса у вершини іншого і до того ж образи вершин деякого [[Симплекс|симплекса]] теж є вершинами симплекса (можливо із повтореннями). Також відображення продовжуються до відображень між поліедрами, лінійно на кожному симплексі через барицентричні координати.

== Означення ==
Нехай ''K'' і ''L'' є [[Симпліційний комплекс|симпліційними комплексами]], а |''K''| і |''L''| позначають відповідні поліедри. Тоді відображення <math>f\colon |K| \to |L|</math> називається '''симпліційним''', якщо воно задовольняє такі властивості:

#Якщо ''v'' є вершиною симпліційного комплексу ''K'', то ''f''(''v'') є вершиною комплексу ''L''.
#Якщо <math>a_0, a_1, \dots, a_n </math> є вершинами деякого симплекса комплексу ''K'' то <math>f(a_0), f(a_1), \dots, f(a_n) </math> є вершинами деякого симплекса комплексу ''L'' (вершини можуть повторюватися).
#Якщо деяка точка може бути записана через вершини її симплекса як:
::<math>p = \sum_{i=0}^k \lambda_i a_i \, \in (s)</math>

: то її образ при відображенні є рівним

::<math>f(p) = \sum_{i=0}^k \lambda_i f (a_i),</math>
: тобто відображення є лінійним відносно барицентричних координат.

Якщо розглядати тільки відображення на вершинах, то перші дві властивості дають означення симпліційного відображення між симпліційними комплексами, зокрема [[Абстрактний симпліційний комплекс|абстрактними симпліційними комплексами]].

Бієктивні симпліційні відображення називають '''симпліційними ізоморфізмами'''.

== Властивості ==
* Якщо <math>f\colon |K| \to |L|</math> і <math>g \colon |L| \to |M|</math> є симпліційними відображеннями (між симпліційними комплексами, чи відповідними поліедрами), то <math>g \circ f</math> теж є симпліційним відображенням.
* Симпліційне відображення <math>f\colon |K| \to |L|</math> між поліедрами є [[Неперервне відображення|неперервним]].
::Оскільки відображення ''f'' за означенням є лінійним на кожному симплексі комплекса ''K'', то воно є неперервним на цих симплексах. Нехай <math>X \subset |L|</math> є [[Замкнута множина|замкнутою підмножиною]]. Тоді також <math>X \cap (s)</math> є замкнутою множиною, для кожного відкритого симплекса у ''L''. Відповідно із неперервності <math>f^{-1} (X \cap (s)) \cap (t)</math> є замкнутою множиною для кожного відкритого симплекса (''t'') у ''K''. Звідси і <math>f^{-1} (X) \cap (t)</math> є замкнутою множиною для кожного відкритого симплекса (''t'') у ''K''. Оскільки відкриті симплекси утворюють [[відкрите покриття]] простору ''K'', то і <math>f^{-1} (X)</math> є замкнутою множиною, тобто відображення є неперервним.

==Симпліційне наближення==
Нехай <math>g\colon |K| \to |L|</math> є неперервним відображенням між поліедрами, а <math>\text{st}(a)</math> позначає зірку вершини комплексу. Симпліційне відображення <math>f \colon K \to L</math> називається симпліційним наближенням до ''g'', якщо для всіх вершин <math>f(\text{st}(a)) \subseteq \text{st}(g (a))</math>.

=== Властивості ===
* Нехай <math>f: K \to L</math> — симпліційне відображення і <math>\phi</math> його симпліційне наближення. Тоді <math>\phi = f.</math>
* Якщо <math>g\colon |K| \to |L|</math> є неперервним відображенням між поліедрами і для кожної вершини <math>a \in K</math> існує вершина <math>b \in L</math>, така що <math>f(\text{st}(a)) \subseteq \text{st}(b),</math> то існує симпліційне наближення ''f'' до відображення ''g'' для якого  <math>f(a) = b.</math>
::Необхідно лише перевірити, що якщо <math>a_0, a_1, \dots, a_n </math> є вершинами деякого симплекса комплексу ''K'' то <math>f(a_0), f(a_1), \dots, f(a_n) </math> є вершинами деякого симплекса комплексу ''L''. Нехай точка ''p'' належить відкритому симплексу <math>(a_0, a_1, \dots, a_n).</math> Тоді <math>p \in \text{st}(a_0) \cap \text{st}(a_1) \cap \dots \cap \text{st}(a_n)</math> і тому <math>g(p) \in g(\text{st}(a_0)) \cap g(\text{st}(a_1)) \cap \dots \cap g(\text{st}(a_n)) \subseteq \text{st}(f(a_0)) \cap \text{st}(f(a_1)) \cap \dots \cap \text{st}(f(a_n)).</math> Тобто для відкритого симплекса, якому належить точка <math>g(p)</math> усі <math>f(a_i)</math> є вершинами. Відповідно вони є вершинами деякої грані цього симплекса.
* Якщо <math>g\colon |K| \to |L|</math> є неперервним відображенням між поліедрами і <math>f</math> його симпліційним наближенням, то відображення <math>f</math> і <math>g</math> є [[Гомотопія|гомотопними]]. До того ж гомотопію можна вибрати відносною до множини точок у яких  <math>f(p) = g(p).</math>
::Якщо точка ''p'' належить відкритому симплексу <math>(a_0, a_1, \dots, a_n)</math> то, як у доведенні попередньої властивості <math>g(p)</math> належить симплексу для якого всі <math>f(a_i)</math> є вершинами. Відповідно <math>f(p)</math> також належить цьому симплексу, як і [[відрізок]], що сполучає <math>f(p)</math> і <math>g(p)</math>. Відповідно можна побудувати гомотопію від ''f'' до ''g'' вздовж цих відрізків. За побудовою вона буде відносною до множини точок у яких <math>f(p) = g(p).</math>
* Нехай <math>g_1 \colon |K| \to |L|</math> і <math>g_2 \colon |L| \to |M|</math> є неперервними відображеннями між поліедрами і <math>f_1</math> і <math>f_2</math> є симпліційними наближеннями до <math>g_1</math> і <math>g_2</math> відповідно. Тоді <math>f_2 \circ f_1</math> є симпліційним наближенням до <math>g_2 \circ g_1</math>.  
* [[Теорема про симпліційне наближення]]. Якщо <math>g\colon |K| \to |L|</math> є неперервним відображенням між поліедрами, то існує число <math> n_0 </math> таке, що для всіх <math> n \geqslant n_0 </math> існує симпліційне наближення <math> f : \mathrm{Bd}^n K \to L </math> до <math>g</math> (де <math> \mathrm{Bd}^n\; K </math> позначає застосування ''n'' разів процесу барицентричного розбиття до симпліційного комплексу.

== Див. також ==
* [[Симпліційний комплекс]]

==Література==
* {{citation|last=Maunder|first=Charles Richard Francis|title=Algebraic topology|year=1980|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521231619}}
* {{cite book|last=Munkres|first= James R.|title=Elements of Algebraic Topology|publisher= Westview Press|year= 1995|isbn=978-0-201-62728-2}}
* ''Isadore Singer and John A. Thorpe'', Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3

[[Категорія:Алгебрична топологія]]