Перегляд вихідного коду сторінки Симплекс

{{Otheruses|Симплекс (значення)}}
'''Симплекс''' або '''''n''-вимірний тетраедр''' (від {{lang-la|simplex}}&nbsp;— простий)&nbsp;— [[геометрична фігура]], що є багатовимірним узагальненням [[трикутник]]а і [[тетраедр]]а. Визначається як [[опукла оболонка]] ''n''+1 точок, що не лежать в одній ''n''-1 -вимірній [[Гіперплощина|гіперплощині]]. Ці точки називаються '''вершинами''' симплекса.

Формально, симплексом <math>s</math> розмірності <math>n</math> є множина <math>\{A\},</math> яка складається з дійсних функцій <math>f,</math> визначених на множині <math>\{A\},</math> які задовільняють двом умовам:

<math>\sum_{A}f(A)=1,\quad</math> та <math>\quad f(A)\geq0.</math>

Елементи <math>\{A\}</math> є вершинами, а функції <math>f</math> - точками симплекса <math>s,</math> значення яких на вершинах симплекса <math>s</math> називаються барицентричними координатами точки <math>f.</math> Відстань між двома точками <math>f,\theta</math> симплекса <math>s</math> визначається формулою <math>l(f,\theta)=[\sum_{A}(f(A)-\theta(A))^{2}]^{1/2}.</math> [[Топологічний простір]], утворений таким чином, називається простором симплекса <math>s.</math> Барицентричні координати є [[Неперервна функція|неперервними функціями]] на просторі симплекса.

== Побудова ==
Як відомо, через будь-які n [[Точка|точок]] можна провести (n-1)-[[Площина|площину]] і існують [[множина|множини]] з n+1 точок, через які (n-1)-площину провести не можна. Таким чином n+1&nbsp;— мінімальна кількість точок в n-[[Простір|просторі]], які не лежать в одній (n-1)-площині, і можуть бути вершинами n-многогранника, тобто, n-симплекс являє собою [[Джойн (топологія)|джойн]] n+1 точок.

Простий n-многогранник з кількістю вершин n+1 називається симплексом. У просторах найменших розмірностей цьому визначенню відповідають 4 фігури:

* 0-симплекс ([[точка]])&nbsp;— 1 вершина;
* 1-симплекс ([[відрізок]])&nbsp;— 2 вершини;
* 2-симплекс ([[трикутник]])&nbsp;— 3 вершини;
* 3-симплекс ([[тетраедр]])&nbsp;— 4 вершини.

Всі ці фігури володіють трьома загальними властивостями:

# Відповідно до визначення, число вершин у кожної фігури на одиницю більше розмірності простору;
# Існує загальне правило перетворення фігур нижчої розмірності у фігури вищої [[Розмірність|розмірності]]. Воно полягає в тому, що з геометричного [[центр]]а фігури будується [[перпендикуляр]] в наступний вимір, на цьому перпендикулярі будується нова вершина і з'єднується [[ребро|ребрами]] зі всіма вершинами початкового симплекса;
# Як випливає з описаної в п. 2 процедури, будь-яка вершина симплекса сполучена ребрами зі всією рештою вершин.

== Кількість граней симплекса ==

Симплекс має n+1 вершин, кожна з яких сполучена ребрами зі всією рештою вершин.

Оскільки всі вершини симплекса сполучені між собою, то тією ж властивістю володіє і будь-яка [[підмножина]] його вершин. Це значить, що будь-яка підмножина з L+1 вершин симплекса визначають його L-вимірну грань, і ця грань сама є L-симплексом. Тоді для симплекса число L-вимірних граней рівне числу способів вибрати L+1 вершину з повного набору n+1 вершин.

Позначимо символом K(L, n) число L-вимірних граней в n-многограннику, тоді для n-симплекса

: <math>~K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},</math>

де <math>~C^m_n</math>&nbsp;— число [[Комбінації з n по k|комбінацій з n по m]].

Зокрема, кількість граней найбільшої розмірності рівна кількості вершин і рівна n+1:

: <math>~K(0,n) = K(n-1,n)= n+1.</math>

== Стандартний симплекс ==
[[Файл:2D-simplex.svg|right|200px|thumb|Зелений трикутник&nbsp;— стандартний 2-симплекс]]
{{Якір|Стандартний симплекс}}'''Стандартний ''n''-симплекс''' ця підмножина <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>, що визначається як:

: <math>\Delta^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid {(\sum_i t_i = 1)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}</math>

Його вершинами є точки:
: e<sub>0</sub>=(1, 0 . 0): e<sub>1</sub>=(0, 1 . 0)
: .
: e<sub>n</sub>=(0, 0 . 1)

Існує канонічне [[бієкція|бієктивне відображення]] стандартного ''n''-симплекса в будь-якій іншої ''n''-симплекс з координатами вершин <math>(v_0, v_1,\dots v_n)</math>:
: <math>(t_0,\dots t_n) \to \sum_i t_i v_i</math>
Значення ''t<sub>i</sub>'' для даної точки називаються її [[барицентричні координати|барицентричними координатами]].

== Зростаючі координати ==

Альтернативну координатну систему можна визначити взявши:
: <math>\begin{align}
s_0 &= 0\\
s_1 &= s_0 + t_0 = t_0\\
s_2 &= s_1 + t_1 = t_0 + t_1\\
s_3 &= s_2 + t_2 = t_0 + t_1 + t_2\\
&\dots\\
s_n &= s_{n-1} + t_{n-1} = t_0 + t_1 + \dots + t_{n-1}\\
s_{n+1} &= s_n + t_n = t_0 + t_1 + \dots + t_n = 1
\end{align}
</math>

Тоді точки симплекса визначаються векторами з неспадними координатами між 0 and 1:

: <math>\Delta_*^n = \left\{(s_1,\cdots,s_n)\in\mathbb{R}^n\mid 0 = s_0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_n \leq s_{n+1} = 1 \right\}.</math>

== Геометричні властивості ==
Симплекс називається '''правильним''', якщо всі його ребра мають однакову довжину: наприклад, правильний трикутник або правильний тетраедр. Правильний симплекс завжди є [[правильний многогранник|правильним многогранником]].

[[Орієнтований об'єм]] ''n''-симплекса в ''n''-вимірному [[евклідів простір|евклідовому просторі]] можна визначити за формулою:
: <math>V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)</math>

[[Визначник Келі-Менгера]] дозволяє обчислити об'єм симплекса, знаючи довжини його ребер:
: <math>V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\
1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}</math>
де <math>d_{ij}=|v_i - v_j|</math>&nbsp;— відстань між ''i''-й і ''j''-й вершинами, ''n''&nbsp;— [[розмірність простору]]. Ця формула&nbsp;— узагальнення [[формула Герона|формули Герона]] для трикутників.

Об'єм правильного ''n''-симплекса з одиничною стороною рівний <math>\frac{\sqrt{n+1}}{n!\, 2^{n/2}}</math>

Якщо задано <math>~C^2_{n+1}</math> додатних [[дійсне число|дійсних чисел]] <math>d_{ij}, ~0 \leq i,j \leq n,</math> то симплекс відстань між відповідними вершинами якого рівна цим числам існує [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли <math>X^TDX < 0, \quad \forall X: \sum_{i=0}^n x_i = 0,</math> де матриця ''D'' визначається:
: <math>D = \begin{pmatrix}
0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\
d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\
\end{pmatrix}.</math>

Еквівалентно такий симплекс існує, якщо і тільки якщо [[квадратна матриця]] ''A'' розмірності ''n'' елементи якої визначаються:

: <math>a_{ij} = \begin{cases} d_{0i}^2, & i = j \\ \frac{d_{0i}^2 + d_{0j}^2 + d_{ij}^2}{2}, & i \neq j \end{cases}</math>

є [[додатноозначена матриця|додатноозначеною]]. Дана матриця є [[визначник Грама|матрицею Грама]] для векторів <math> v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0.</math>

== Формули для правильного симплекса ==

{| class="wikitable"
|-
| Число L-вимірних граней
|colspan="5" align="center"| <math>~K(L,n) = C^{L+1}_{n+1}</math>
|- align="center"
| align="left" | Висота
| <math>~H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}</math>
| <math>~H_n = R_n \frac{n+1}{n}</math>
| <math>~H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>~H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3}</math>
| <math>~H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}</math>
|- align="center"
| align="left" | Об'єм
| <math>~V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}</math>
| <math>~V_n =  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>
| <math>~V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}</math>
| <math>~V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12}</math>
| <math>~V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}</math>
|- align="center"
| align="left" | Радіус описаної сфери
| <math>~R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>
| <math>~a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}</math>
| <math>~R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3}</math>
| <math>~R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4}</math>
| <math>~R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}</math>
|- align="center"
| align="left" | Радіус вписаної сфери
| <math>~r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}</math>
| <math>~r_n = \frac{R_n}{n}</math>
| <math>~r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6}</math>
| <math>~r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12}</math>
| <math>~r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}</math>
|- align="center"
| align="left" | Двогранний кут
| colspan="5" | <math>~\cos \alpha = \frac{1}{n}</math>
|}

Співвідношення між величинами:
: <math>~R_n = H_n \frac{n}{n-1}</math>

: <math>~a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2</math>

: <math>~V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n </math>

: <math>~r_n = R_n^2 - R_{n-1}^2</math>

== Див. також ==
* [[Блоковий многогранник]]
* [[Симплекс-метод]]
* [[Симпліційний комплекс]]
* [[Симпліційний многогранник]]

== Література ==
* О. Шинкаренко, Т. Остапенко: Математика вищого навчання — геометричні знання.
* {{cite book
|title=Principles of Mathematical Analysis
|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi
|last=Rudin
|first=Walter
|year=1976
|publisher=McGraw-Hill
|edition=3rd
|isbn=0-07-054235-X
|author-link=Walter Rudin
}}
* {{Cite book
|title=Regular Polytopes
|last=Coxeter
|first=H.S.M.
|year=1973
|publisher=Dover
|edition=3rd
|isbn=0-486-61480-8
|author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter
|title-link=Regular Polytopes (book)
}}
* {{cite book
|url=https://books.google.com/books?id=IUZdAAAAQBAJ
|title=Convex Optimization
|last1=Boyd
|first1=Stephen
|last2=Vandenberghe
|first2=Lieven
|date=2004
|publisher=Cambridge University Press
|isbn=978-1-107-39400-1
|author-link=Stephen P. Boyd
|author2-link=Lieven Vandenberghe
}}

== Ланки==
*{{MathWorld|urlname=Simplex|title=Симплекс}}
{{Багатовимірність}}{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}{{Багатогранники}}
{{Трикутник}}
[[Категорія:Многогранники|С]]
[[Категорія:Багатовимірна евклідова геометрія]]