Перегляд вихідного коду сторінки Середнє значення

У [[Математика|математиці]] '''сере́днє зна́чення''' ({{lang-en|mean}}) має різні визначення в залежності від контексту.

У [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] та [[Статистика|статистиці]] '''середнє значення''' та [[математичне сподівання]] використовуються як синоніми для позначення [[Міри центральної тенденції|мір центральної тенденції]] або [[Розподіл ймовірностей|розподілу ймовірностей]], або [[Випадкова змінна|випадкової змінної]], що характеризується цим розподілом.<ref>{{cite book|last=Feller|first=William|title=Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol I|url=https://archive.org/details/introductiontopr01wfel|year=1950|publisher=Wiley|isbn=0471257087|pages=[https://archive.org/details/introductiontopr01wfel/page/n237 221]}} {{ref-en}}</ref> У випадку [[Дискретний розподіл ймовірності|дискретного розподілу ймовірності]] випадкової змінної ''X'' середнє значення дорівнює сумі по всім можливим значенням, зважених відповідно до ймовірності цих значень; тобто, воно обчислюється взяттям добутку кожного можливого значення ''x'' випадкової величини ''X'' та його ймовірності P(''x''), і наступним сумуванням всіх цих добутків разом, даючи <math>\mu = \sum x P(x)</math>.<ref>Elementary Statistics by Robert R. Johnson and Patricia J. Kuby, [https://books.google.com/books?id=DWCAh7jWO98C&lpg=PP1&pg=PA279#v=onepage&q&f=false p. 279] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150905161654/https://books.google.com/books?id=DWCAh7jWO98C&lpg=PP1&pg=PA279#v=onepage&q&f=false |date=5 вересня 2015 }} {{ref-en}}</ref> Аналогічна формула застосовується й у випадку [[Неперервний розподіл ймовірностей|неперервного розподілу ймовірності]]. Не кожен розподіл імовірності має визначене середнє значення; див., наприклад, [[розподіл Коші]]. Більше того, для деяких розподілів середнє значення є нескінченним: наприклад, коли ймовірність значення <math>2^n</math> є <math>\tfrac{1}{2^n}</math> для n = 1, 2, 3, …

Для [[Набір даних|набору даних]] для позначення центрального значення дискретного набору чисел, а саме, суми цих значень, поділеної на їхню кількість, також використовуються як синоніми терміни [[середнє арифметичне]] та [[математичне сподівання]]. Середнє арифметичне набору чисел ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'' зазвичай позначають через <math>\bar{x}</math>, вимовляючи як «''x'' із рискою». Якщо набір даних ґрунтувався на ряді спостережень, отриманих [[Відбір вибірки (статистика)|вибіркою]] зі [[Генеральна сукупність|генеральної сукупності]], то середнє арифметичне називається '''[[Вибіркове середнє|вибірковим середнім]]''' ({{lang-en|sample mean}}, позначається через <math>\bar{x}</math>), щоби відрізняти його від '''середнього значення генеральної сукупності''' ({{lang-en|population mean}}, позначається через '''<math>\mu</math>''' або '''<math>\mu_x</math>''').<ref>Underhill, L.G.; Bradfield d. (1998) ''Introstat'', Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X [https://books.google.com/books?id=f6TlVjrSAsgC&lpg=PP1&pg=PA181#v=onepage&q&f=false p. 181] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150905154437/https://books.google.com/books?id=f6TlVjrSAsgC&lpg=PP1&pg=PA181#v=onepage&q&f=false|date=5 вересня 2015}} {{ref-en}}</ref>

Для скінченної сукупності '''середнє значення генеральної сукупності''' за певною властивістю дорівнює середньому арифметичному даної властивості за всіма членами цієї сукупності. Наприклад, середнє значення зросту для сукупності дорівнює сумі зростів кожної особи, діленої на загальну кількість осіб. Вибіркове середнє може відрізнятися від середнього сукупності, особливо для малих вибірок. [[Закон великих чисел]] каже, що чим більшим є розмір вибірки, тим правдоподібнішою є близькість вибіркового середнього до середнього сукупності.<ref>Schaum's Outline of Theory and Problems of Probability by Seymour Lipschutz and Marc Lipson, [https://books.google.com/books?id=ZKdqlw2ZnAMC&lpg=PP1&pg=PA141#v=onepage&q&f=false p. 141] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150905210543/https://books.google.com/books?id=ZKdqlw2ZnAMC&lpg=PP1&pg=PA141#v=onepage&q&f=false |date=5 вересня 2015 }} {{ref-en}}</ref>

За межами теорії ймовірностей та статистики широкий спектр інших значень «середнього» часто використовується в [[Геометрія|геометрії]] та [[Математичний аналіз|математичному аналізі]]; нижче наведено приклади.

== Типи середніх ==

=== Піфагорові середні ===
{{Докладніше1|[[Піфагорові середні]]}}

==== Середнє арифметичне ====
{{main|Середнє арифметичне}}

''Середнім арифметичним'' (або просто «середнім») вибірки <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math>, зазвичай позначуваним через <math>\bar{x}</math>, є сума вибраних значень, поділена на кількість елементів вибірки:

: <math> \bar{x} = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} </math>

Наприклад, середнім арифметичним п'яти значень 4, 36, 45, 50 та 75 є

: <math>\frac{4 + 36 + 45 + 50 + 75}{5} = \frac{210}{5} = 42.</math>

==== Середнє геометричне ====

[[Середнє геометричне]] є зручним для наборів додатних чисел, що інтерпретуються відповідно до їхнього добутку, а не суми (як у випадку середнього арифметичного), тобто, темпів зростання.

: <math> \bar{x} = \left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^\tfrac1n</math>

Наприклад, середнім геометричним п'яти значень 4, 36, 45, 50 та 75 є

: <math>(4 \times 36 \times 45 \times 50 \times 75)^{^1/_5} = \sqrt[5]{24\;300\;000} = 30.</math>

==== Середнє гармонійне ====

[[Середнє гармонійне]] є зручним для наборів чисел, які визначено по відношенню до певної [[Одиниця вимірювання|одиниці]], наприклад, [[Середня скалярна швидкість|швидкостей]] (відстань за одиницю часу).

: <math> \bar{x} = n \cdot \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}</math>

Наприклад, середнім гармонійним п'яти значень 4, 36, 45, 50 та 75 є

: <math>\frac{5}{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{45} + \tfrac{1}{50} + \tfrac{1}{75}} = \frac{5}{\;\tfrac{1}{3}\;} = 15.</math>

==== Співвідношення середнього арифметичного, геометричного та гармонійного ====
{{Main|Нерівність середнього арифметичного та геометричного}}

Середнє арифметичне ({{lang-en|arithmetic mean, AM}}), середнє геометричне ({{lang-en|geometric mean, GM}}) та середнє гармонійне ({{lang-en|harmonic mean, HM}}) задовольняють ці нерівності:

: <math> AM \ge GM \ge HM \, </math>

Рівність зберігається лише тоді, коли всі елементи заданої вибірки є рівними.

=== Статистичне положення ===
<!-- {{see also|Average#Statistical location}} -->
[[Файл:Comparison mean median mode.svg|lang=uk|thumb|Порівняння середнього арифметичного, [[Медіана (статистика)|медіани]] та [[Мода (статистика)|моди]] двох асиметричних ([[Логнормальний розподіл|логнормальних]]) розподілів.]]
[[Файл:visualisation mode median mean.svg|lang=uk|thumb|100px|Геометрична інтерпретація моди, медіани та середнього довільної функції густини ймовірності.<ref>{{cite web|title=AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions|url=http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|accessdate=16 березня 2015|archive-date=2 квітня 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402183703/http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150402183703/http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge |date=2015-04-02 }} {{ref-en}}</ref>]]

В [[Описова статистика|описовій статистиці]] середнє значення можна сплутати з [[Медіана (статистика)|медіаною]], [[Мода (статистика)|модою]] або {{нп|Середина діапазону|серединою діапазону||Mid-range}}, оскільки кожне з них може називатися «середньою величиною» (формальніше, мірою [[Центральна тенденція|центральної тенденції]]). Середнім значенням набору спостережень є середнє арифметичне цих значень; однак, для [[Асиметричність|асиметричних розподілів]] середнє значення не завжди є таким же, як і центральне значення (медіана) або найправдоподібніше значення (мода). Наприклад, середній дохід зазвичай відхиляється у більші значення при наявності невеликої кількості людей із дуже великими доходами, так що більшість мають дохід, менший за середній (насправді середнє значення доходів може бути настільки викривленим, що дохід менше за середній матимуть всі люди, крім одного). Навпроти, медіанний дохід є рівнем, на якому половина сукупності знаходиться нижче, і половина вище. Мода доходу&nbsp;— це найправдоподібніший дохід, він віддає перевагу більшій кількості людей з нижчими доходами. І хоча медіана та мода часто є інтуїтивнішими мірами для таких асиметричних даних, багато асиметричних розподілів насправді найкраще описуються їхнім середнім значенням, включно з [[Експоненційний розподіл|експоненційним розподілом]] та [[Розподіл Пуассона|розподілом Пуассона]].

=== Середнє значення розподілу ймовірності ===
{{main|Математичне сподівання}}

Середнім значенням [[Розподіл ймовірностей|розподілу ймовірності]] є середнє арифметичне значення [[Випадкова величина|випадкової змінної]], що має цей розподіл, у довгостроковій перспективі. В цьому контексті воно також відоме як [[математичне сподівання]]. Для [[Дискретний розподіл|дискретного розподілу ймовірності]] середнє значення задається як <math>\textstyle \sum xP(x)</math>, де сума береться над усіма можливими значеннями випадкової змінної, а <math>P(x)</math> є [[Функція маси імовірності|функцією маси ймовірності]]. Для [[Неперервний розподіл ймовірностей|неперервного розподілу]] середнім значенням є <math>\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx</math>, де <math>f(x)</math> є [[Густина імовірності|функцією густини ймовірності]]. В усіх випадках, в тому числі й тих, у яких розподіл не є ані дискретним, ані неперервним, середнє значення є [[Інтеграл Лебега|інтегралом Лебега]] випадкової змінної по відношенню до її [[Міра ймовірності|міри ймовірності]]. Середнє значення не обов'язково повинне існувати або бути скінченним; для деяких розподілів імовірності середнє значення є нескінченним ({{math|+&infin;}} або {{math|−&infin;}}), тоді як деякі інші не мають середнього значення.

=== Узагальнені середні ===

==== Середнє степеневе ====

[[Узагальнене середнє]], відоме також як середнє степеневе, або середнє [[Отто Гельдер|Гьольдера]], є узагальненням квадратичного, арифметичного, геометричного та гармонійного середніх. Воно визначається для набору ''n'' додатних чисел ''x''<sub>i</sub> як

: <math> \bar{x}(m) = \left ( \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{x_i^m} \right ) ^\tfrac1m</math>

Шляхом вибору різних значень параметру ''m'' отримуються наступні значення середніх:
:{|
|-
| <math>m\rightarrow\infty</math> || [[Екстремум|максимум]] <math>x_i</math>
|-
| <math>m=2</math> || [[середнє квадратичне]]
|-
| <math>m=1</math> || [[середнє арифметичне]]
|-
| <math>m\rightarrow0</math> || [[середнє геометричне]]
|-
| <math>m=-1</math> || [[середнє гармонійне]]
|-
| <math>m\rightarrow-\infty</math> || [[Екстремум|мінімум]] <math>x_i</math>
|}

==== Квазі-арифметичне середнє ====

Це може бути узагальнено далі як [[квазі-арифметичне середнє]]

: <math> \bar{x} = f^{-1}\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) </math>

і, знов-таки, відповідний вибір [[Оборотна функція|оборотної]] ''ƒ'' даватиме

{|
|-
| <math>f(x) = x</math> || [[середнє арифметичне]],
|-
| <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> || [[середнє гармонійне]],
|-
| <math>f(x) = x^m</math> || [[середнє степеневе]],
|-
| <math>f(x) = \ln x</math> || [[середнє геометричне]].
|}

=== Зважене середнє арифметичне ===

[[Зважене середнє арифметичне]] (або зважене усереднення) застосовується тоді, коли потрібно поєднувати середні значення вибірок різного розміру з однієї й тієї ж сукупності:

: <math> \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}}. </math>

Ваги <math>w_i</math> представляють розміри різних вибірок. В інших застосуваннях вони представляють міру надійності впливу відповідних значень на середнє.

=== Середнє зрізане ===

Іноді набір чисел може містити [[Викид (статистика)|викиди]], тобто значення даних, що є значно нижчими або значно вищими за інші. Часто викиди є помилковими даними, спричиненими {{нп|Артефакт (спостережний)|артефактами||Artifact (observational)}}. В такому випадку можна застосовувати {{нп|середнє зрізане|||Truncated mean}}. Це включає в себе відкидання заданих частин даних вгорі та внизу, зазвичай однакову кількість із кожного з країв, а потім взяття середнього арифметичного даних, що лишилися. Кількість відкинутих значень вказують у відсотках від загальної кількості значень.

=== Середнє інтерквартильне ===

{{нп|Середнє інтерквартильне|||Interquartile mean}} є конкретним прикладом середнього зрізаного. Це просто середнє арифметичне після відкидання нижчої та вищої чвертей значень.

: <math> \bar{x} = {2 \over n} \sum_{i=(n/4)+1}^{3n/4}{x_i} </math>

за умови, що значення було впорядковано, таким чином, воно є просто конкретним прикладом середнього зваженого для певного набору вагових коефіцієнтів.

=== Середнє значення функції ===
{{Докладніше1|[[Середнє значення функції]]}}

За деяких умов математики можуть обчислювати середнє значення нескінченного (або навіть [[Незліченна множина|незліченного]]) набору значень. Це може траплятися при обчисленні середнього значення <math>y_{\text{ave}}</math> функції <math>f(x)</math>. Інтуїтивно це можна розглядати як обчислення площі під ділянкою кривої, і потім ділення на довжину цієї ділянки. Це може здійснюватися грубо шляхом підрахунку квадратів на папері з графіком, або точніше шляхом [[Інтеграл|інтегрування]]. Формула для інтегрування записується таким чином:

: <math>y_{\text{ave}}(a,b) = \frac{ \int\limits_{a}^{b} \! f(x)\,dx\, }{ b - a }</math>

Необхідно вживати заходів, щоби переконуватися у збіжності інтегралу. Але середнє значення може бути скінченним навіть якщо сама функція в деяких точках прямує до нескінченності.

=== Середнє значення кутів ===

Іноді звичайні обчислення середніх значень дають збій на циклічних величинах, таких як [[кут]]и, час доби, та в інших ситуаціях, в яких застосовується [[модульна арифметика]]. Для таких величин може бути прийнятним застосування {{нп|Середнє значення циклічних величин|середнього значення циклічних величин||Mean of circular quantities}} для врахування модульних значень, або пристосування значень перед обчисленням середнього.

=== Середнє Фреше ===

{{нп|Середнє Фреше|||Fréchet mean}} пропонує спосіб визначення «центру» розподілу мас на [[Поверхня|поверхні]], або, загальніше, на [[Ріманів многовид|рімановому многовиді]]. На відміну від багатьох інших середніх, середнє Фреше визначається на просторі, елементи якого не обов'язково можуть додаватися, або множитися на скаляри.
Воно також відоме як '''середнє Керхера''' (на честь Германа Керхера).

=== Інші середні ===
{{Головна категорія|Середні величини}}

{{div col|colwidth=22em}}
* [[Середнє арифметико-геометричне]]
* {{нп|Середнє за Гайнцем|||Heinz mean}}
* [[Середнє гармонійне зважене]]
* {{нп|Генеральне середнє|||Grand mean}}
* {{нп|Середнє геометрико-гармонійне|||Geometric-harmonic mean}}
* [[Середнє геометричне зважене]]
* [[Середнє за Героном]]
* {{нп|Середнє елементарне симетричне|||Elementary symmetric mean}}
* [[Ентропія Реньї]] ([[квазі-арифметичне середнє]])
* {{нп|Середнє ідентричне|||Identric mean}}
* [[Середнє квадратичне]] (корінь середнього квадрата)
* {{нп|Середнє за Кізіні|||Chisini mean}}
* {{нп|Середнє контрагармонійне|||Contraharmonic mean}}
* {{нп|Середнє за Лемером|||Lehmer mean}}
* [[Середнє логарифмічне]]
* [[Рухоме середнє]]
* {{нп|Середнє за Столярським|||Stolarsky mean}}
* {{нп|Сферичне середнє|||Spherical mean}}
* [[Середнє за Чезаро]]
{{div col end}}

== Розподіл вибіркового середнього ==
{{Докладніше1|[[Середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного]]}}

Середнє арифметичне [[Генеральна сукупність|сукупності]] позначається через ''μ''. Вибіркове середнє (середнє арифметичне вибірки значень, взятої із сукупності) створює гарну [[Статистична оцінка|оцінку]] для середнього значення сукупності, оскільки його математичне сподівання дорівнює середньому значенню сукупності (тобто це [[незміщена оцінка]]). Вибіркове середнє є [[Випадкова змінна|випадковою змінною]], а не сталою, оскільки його обчислюване значення випадково різнитиметься в залежності від того, які елементи сукупності було вибрано, і, відповідно, воно матиме свій власний розподіл. Для випадкової вибірки в ''n'' спостережень з нормально розподіленої сукупності розподіл вибіркового середнього є [[Нормальний розподіл|нормальним]], з наступними середнім значенням та дисперсією:

: <math>\bar{x} \thicksim N\left\{\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right\}.</math>

Часто, оскільки ''дисперсія'' сукупності є невідомим параметром, її оцінюють {{нп|Сума квадратів (статистика)|сумою середніх квадратів||Sum of squares (statistics)}}; коли застосовується це оцінне значення, розподіл вибіркового середнього вже не є нормальним, а є швидше [[t-розподіл Стьюдента|''t''-розподілом Стьюдента]] з ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 [[Ступені вільності (статистика)|ступенями вільності]].

== Див. також ==
<!-- {{Портал|Статистика}} -->

* {{нп|Закон середніх|||Law of averages}}
* {{нп|Закон Тейлора|||Taylor's law}}
* [[Зведена статистика]]
* [[Коефіцієнт ексцесу]]
* [[Медіана (статистика)]]
* [[Мода (статистика)]]
* [[Описова статистика]]
* [[Теорема про середнє]]
* [[Центральна тенденція]]

== Примітки ==
{{Примітки}}

==Посилання==

* {{MathWorld | urlname= Mean | title= Mean}}
* {{MathWorld | urlname= ArithmeticMean | title= Arithmetic Mean}}
* [http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Інтерактивне порівняння середнього арифметичного та середнього геометричного двох чисел] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101127141911/http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm |date=27 листопада 2010 }} {{ref-en}}
* [http://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/means-trapezoid Деякі відношення, що включають середні] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170707234927/https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/means-trapezoid |date=7 липня 2017 }} {{ref-en}}

{{Статистика|описова}}

[[Категорія:Середні величини| ]]
[[Категорія:Момент (математика)]]